初中資優生的解析幾何學(二版) pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

☆☆☆☆☆

圖書標籤:

解析幾何
初中數學
資優生
競賽數學
幾何
數學輔導
二版
中學數學
學習參考
培優

下载链接在页面底部

facebook linkedin mastodon messenger pinterest reddit telegram twitter viber vkontakte whatsapp 复制链接

想要找书就要到灣灣書站

twbook.tinynews.org

立刻按 ctrl+D收藏本页

你会得到大惊喜!!

圖書描述

「思考比學習更重要；思考纔是真正的學習」

　　數學大師楊維哲教授特地為想成為初中資優生的人而編寫，
　　內容著重觀念的理解和思考，完全顛覆傳統採取強迫記憶的模式，
　　藉由獨特的教學風格讓你突破自我極限，發揮埋沒已久的天份，
　　跟隨著數學大師的腳步，讓你窺探解析幾何的奧秘，引領你成為數理資優生。

深入探究：高中數學競賽與高等代數預備知識導覽（一本麵嚮渴望拓展知識邊界的優秀高中生和數學愛好者的深度學習指南）書籍定位與目標讀者：本書旨在為那些對高中數學，特彆是解析幾何領域有濃厚興趣，並希望在大學先修課程或數學競賽中取得優異成績的初中優秀學生、高中生以及自學者提供一個全麵而深入的進階知識平颱。它並非傳統意義上的初中教材補充，而是緻力於搭建一座從紮實初中幾何基礎邁嚮高等數學思維的堅實橋梁。我們假定讀者已經掌握瞭初中代數和平麵幾何的全部基礎知識，並且對函數、方程等概念有清晰的理解。本書的核心目標是培養讀者獨立思考、抽象建模和嚴謹論證的能力，為他們未來深入學習微積分、綫性代數以及更復雜的空間幾何打下堅實的基礎。 --- 第一部分：歐氏幾何的深化與坐標係統的精煉（解析幾何的基石重塑）本部分將超越初中對直綫的簡單刻畫，引入更精確、更具幾何洞察力的分析工具。第一章：坐標係與點的位置嚮量的引入笛卡爾坐標係的拓展與泛化：重新審視二維笛卡爾坐標係，不僅關注點 $(x, y)$ 的坐標，更強調其作為位置嚮量 $mathbf{r} = xmathbf{i} + ymathbf{j}$ 的幾何意義。探討嚮量的加減法、數乘如何對應於平麵上的平移和伸縮。距離公式的嚮量推導：不依賴於勾股定理的直接應用，而是通過嚮量的模長 $|vec{P_1P_2}| = |mathbf{r}_2 - mathbf{r}_1|$ 來推導距離公式，從而建立幾何量與代數運算的內在聯係。內積（點積）的概念與應用：引入嚮量的內積 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}||mathbf{b}|cos heta$。深入探討內積在判斷垂直性（$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$）以及求解投影上的強大威力。有嚮綫段與比例分割：細緻分析定比分點公式的嚮量形式，這為後續處理重心、中綫等概念提供瞭代數化的手段。第二章：直綫方程的多元錶述與幾何性質的代數刻畫點斜式、斜截式、一般式之外的錶達：重點研究嚮量法綫式 $n_x x + n_y y = d$ 和嚮量方嚮式 $mathbf{r} = mathbf{r}_0 + tmathbf{d}$。解析每種形式背後的幾何直觀和應用場景。兩直綫位置關係的精確判彆：利用斜率的乘積（僅適用於非垂直情況）的局限性，轉而使用法嚮量或方嚮嚮量的點積和叉積的二維模擬（如行列式形式）來精確判斷平行、相交或重閤。點到直綫的距離與投影：利用嚮量投影的知識，推導齣點到直綫距離公式的嚮量幾何意義，即點到直綫垂足的嚮量位移。直綫束與切比雪夫多項式（初步接觸）：探討如何用參數方程錶示通過特定交點的直綫係，為解決復雜幾何約束問題打下基礎。第三章：圓錐麯綫的統一解析——以二次型方程為中心本章是解析幾何的精髓，旨在揭示圓、橢圓、拋物綫和雙麯綫在代數上的內在統一性。圓錐麯綫的生成與定義迴顧：簡要迴顧圓錐截麵的生成過程，強調其作為一類特定二元二次方程的解集的本質。標準方程的深入推導：不僅展示如何通過定義（如距離和率）推導齣標準方程 $frac{x^2}{a^2} pm frac{y^2}{b^2} = 1$ 等，更要分析 $a, b, c$ (焦距) 之間的關係如何從幾何性質（如離心率 $e = c/a$）中自然湧現。離心率與焦點性質的代數驗證：利用離心率 $e$ 的範圍（$e=0$ 為圓，$01$ 為雙麯綫）統一分類，並嚴格證明焦點弦的性質。拋物綫的聚焦特性與切綫：側重於拋物綫的反射性質，並從極限角度理解拋物綫切綫斜率的幾何意義。 --- 第二部分：幾何變換與非歐幾何的萌芽本部分將視角從靜態的方程轉嚮動態的幾何變換，這是理解高等數學中“變換”概念的關鍵一步。第四章：幾何變換的代數描述剛體運動（等距變換）：詳細介紹平移、鏇轉的矩陣錶示（二維鏇轉矩陣 $mathbf{R}$）。探討復閤變換的矩陣乘法性質。理解為何鏇轉和平移的組閤構成瞭一般剛體運動。相似變換與縮放：引入縮放矩陣，分析相似變換如何保持角度不變但改變長度，以及相似比 $k$ 在麵積和體積上的影響（二維麵積因子為 $k^2$）。仿射變換的初步認識：介紹更廣義的變換，如剪切（Shear），並分析仿射變換如何保持“直綫仍為直綫”和“平行性”的某些特徵。第五章：嚮量空間與綫性組閤的幾何直覺綫性組閤與張成空間（Span）：以二維嚮量空間為例，理解兩個非共綫嚮量如何“張成”整個平麵。講解為什麼需要兩個基嚮量來唯一確定平麵上的任何一點。綫性相關的幾何意義：解釋在綫性代數中，嚮量綫性相關意味著什麼——它們落在同一條綫上（或同一個子空間內）。這與解析幾何中“共綫點”的概念形成瞭深刻的聯係。基底與坐標變換的幾何解釋：當我們改變坐標係（例如，將坐標軸鏇轉 $ heta$ 度）時，點的位置嚮量本身不變，改變的是我們用來描述它的基嚮量 $(mathbf{i}, mathbf{j})$ 的方嚮。這為理解坐標變換的本質提供瞭直覺。 --- 第三部分：參數化與微積分的邊界（高等數學的引子）本章旨在展示解析幾何如何自然地過渡到微積分和微分方程的領域，為有誌於未來學習科學與工程的讀者指明方嚮。第六章：參數方程的應用與運動學建模參數方程描述麯綫：深入學習如何使用時間 $t$ 或角度 $ heta$ 作為參數來描述麯綫運動，尤其適用於描述圓錐麯綫在運動過程中的位置變化。麯綫的切綫斜率（初識導數）：引入“切綫斜率”是極限的觀念（盡管不進行嚴格的 $epsilon-delta$ 證明）。對於參數方程 $x=f(t), y=g(t)$，解釋切綫斜率 $frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt}$ 的物理意義——速度的兩個分量的比值。追及問題與相對運動的參數化處理：利用參數方程建立二維空間中兩個物體運動的軌跡方程，並分析它們何時會相遇或達到最近距離。第七章：空間幾何的預覽——從平麵到三維的自然延伸三維坐標係與嚮量的擴展：簡要介紹空間直角坐標係 $(x, y, z)$ 和單位嚮量 $(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})$。展示距離公式在三維中的自然擴展。空間直綫與平麵的嚮量錶示：討論空間直綫如何由一個點和一個方嚮嚮量確定，以及平麵如何由一個點和一個法嚮量確定。強調法嚮量在空間幾何中的核心地位。空間中的點到平麵距離：利用嚮量投影的知識，推導齣點到平麵距離的公式，展示解析幾何思維在升維後的適用性和統一性。結語：本書的編寫風格力求嚴謹而富有啓發性，注重幾何直覺的培養與代數工具的熟練運用相結閤。它提供的不是現成答案的堆砌，而是深入理解數學結構、為更高階學習做好思維準備的藍圖。通過本書的係統學習，讀者將能夠以更成熟的數學視角重新審視平麵幾何，並為接觸更廣闊的數學世界做好充分準備。

著者信息

作者簡介

楊維哲

　　學曆：
　　國立颱灣大學數學係畢業
　　國立颱灣大學醫科肄業
　　普仁斯敦大學博士

　　經曆：
　　國立颱灣大學數學係主任
　　數學研究中心主任

圖書目錄

1 坐標係
1−1　一維坐標係   1
1−2　絕對值與符號   4
1−3　距　離   5
1−4　圓規的用法   7
1−5　二維坐標係   11
1−6　一、二維對照：中點公式   15
1−7　距離的應用   17
1−8　麵積公式   21

2 割點公式
2−1　等距分割   29
2−2　一般分割   30
2−3　質心與凸性組閤   33
2−4　平直組閤   35

3 關係、函數、圖解
3−1　關係與圖解   40
3−2　由式子定圖形   45
3−3　函　數   52
3−4　函數的圖解   58
3−5　齊一次函數、斜率   61

4 直　綫
4−1　一般式   65
4−2　參數式   74
4−3　斜率的意義   77
4−4　一次不等式的圖解   87
4−5　聯立的意義   91
4−6　點綫距   95
4−7　綫性規劃   101
4−8　直綫係   115
4−9　摺綫與斷綫   124

5 圓
5−1　圓的方程式   133
5−2　圓與直綫   143
5−3　圓　冪   153
5−4　圓係、根軸   156
5−5　極　綫   161

6 一些麯綫的描圖
6−1　拋物綫   167
6−2　阿基米德(Archimedes)   176
6−3　橢　圓   178
6−4　雙麯綫   181
6−5　描圖法：範圍、對稱   190
6−6　描圖法：漸近綫   195
6−7　軌　跡   202

7 嚮量的介紹
7−1　定義及錶現   206
7−2　綫性運算、成分   207
7−3　嚮徑與幾何   209
7−4　內　積   212
7−5　方　嚮   217
7−6　外　積   221
7−7　嚮量與幾何   221

附錄：垃圾處理場的位置問題
──平衡中心的研究   230
金華國中　楊汗如
索　引   267

圖書序言

序
　　
　　這一本書本來想取名為初中資優生的解析幾何學。顧名思義，它是為初中資優生寫的。（我心目中有相當明確的對象：1986年春季的資優生研習營的學生；）或者，更為明確一點：這是為我最疼愛的資優生楊汗如寫的。
　　
　　我的看法常常與眾不同，快樂與痛苦常因此産生；汗如也被迫與眾不同，因為她的數、理、化成績並不太好，（照常人的標準，不能同意把她列入「數理資優」之類）又不被允許去補習，乃至於校內輔導、模擬考、復習考又大大的打擊瞭她的信心，天性的瀟灑被沖蝕殆盡，……
　　
　　我的看法是：要嘛，天底下本來就無「資優」，要嘛，天底下人人資優，汗如當然資優。我以長期觀察的經驗，敢確定：隻要給她輕鬆的氣氛，優哉悠哉的環境，她可以學得很好！絕不輸她哥哥。
　　
　　這本書，立意在「初中程度」的拘束條件，因此，三角學的概念都不用，雖則偶而用到，但是不懂的人都可以繞道而過。
　　
　　我們的主題是直綫和圓；當然也扯到一些彆的麯綫。其實寫到最後甚至於想寫一些反影幾何，但是那當然不太好，因為這個研習營，時間隻有一週不到。
　　

圖書試讀

用户评价

评分☆☆☆☆☆

我尤其推薦這本書中的「補充」與「延伸」單元。它不隻是圍繞著課本內容打轉，而是會適當地延伸到一些更進階的概念，或是介紹一些與解析幾何相關的有趣數學知識。像是有些單元會稍微觸碰到一點嚮量的應用，或是介紹一些有趣的幾何圖形性質，這些內容對於資優生來說，是非常寶貴的額外養分。它能夠激發他們對數學的更大好奇心，讓他們知道數學的世界還有更廣闊的天地。這本書讓我感覺，它不隻是一本教科書，更像是一扇打開通往數學奇妙世界的大門。

评分☆☆☆☆☆

這本《初中資優生的解析幾何學(二版)》真的是讓我眼睛一亮，原本以為初中的幾何課本就那樣，頂多是把國中的觀念再加深一點，沒想到這本完全顛覆瞭我的想像！首先，它的編排方式就非常有條理，從最基礎的點、線、麵的概念開始，循序漸進地帶入座標係，然後再深入到各種麯線的方程，像是直線、圓、橢圓、雙麯線，甚至還有拋物線。最讓我驚豔的是，它不隻是告訴你公式，更著重於「為什麼」，每一步的推導都寫得非常清楚，甚至會補充一些歷史背景或是相關的數學傢故事，讓學習過程變得更有趣，而不是死記硬背。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這本書的題目設計真的非常用心。它不是那種一味堆砌難題的書，而是非常巧妙地融入瞭許多思考題和應用題。我以前學幾何的時候，常常覺得很多題目都隻是套公式，但這本書的題目很多都要求你活用觀念，去分析題目給的條件，然後自己建構齣幾何模型，再用代數的方式去解決。像是有些題目會結閤實際生活中的情境，或是需要一些邏輯推理纔能找到解題的方嚮，這對培養孩子的空間感和數學思維非常有幫助。而且，它的題目由淺入深，從基礎練習到挑戰題，讓資優生能夠在不同層次上得到鍛鍊，不會覺得太簡單而失去興趣，也不會因為太難而感到挫敗。

评分☆☆☆☆☆

這本書的文字風格是我非常喜歡的一點。它的敘述不會太學術化，反而有一種娓娓道來的親切感，好像是一位經驗豐富的老師在跟你麵對麵講解一樣。雖然是針對資優生，但它並沒有因此就省略掉一些基礎的解釋，反而會用比較精煉的語言，深入淺齣地闡述一些比較抽象的概念。我特別欣賞的是，書中經常會加入一些「小提示」或是「注意事項」，點齣一些學生容易忽略的細節，或是提供一些額外的解題思路，這對於釐清觀念、避免錯誤非常有幫助。很多時候，那些「旁徵博引」的額外說明，反而比主幹的內容更讓我印象深刻。

评分☆☆☆☆☆

這本《初中資優生的解析幾何學(二版)》在視覺呈現上也下瞭不少功夫。它的排版非常清晰，不會有擁擠的感覺，每個公式、定理都有獨立的區塊，重點標示也很明確。圖形的繪製更是精美，而且都非常貼閤內容，能夠直觀地幫助理解。我注意到書中有很多輔助性的圖示，像是嚮量的示意圖、角度的標示等等，都設計得非常精準。有時候，即使文字上的描述比較複雜，透過書中的圖形，也能夠一目瞭然。這對於國中生來說，是很重要的學習輔助，能夠降低理解的門檻，讓學習過程更有效率。