專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本書中的每一章節都是根據以下三個步驟來進行：
　　第一、基礎的基本定義介紹。
　　第二、利用基本定義來證明定理。
　　第三、將定理應用在幾何例題上。

　　為瞭建立學生學習的信心，本書每章節例題的編排方式都是由淺入深，學生在瞭解每個定理的由來之後，可以這些定理為基礎，先練習前麵的幾個基本題型，之後纔進入綜閤的題型，並在學習完一個單元之後，熟記此單元的重點整理歸納，來作曆屆基測考題的練習。最後，可搭配博幼網站上的檢測捲，做為此單元學習成果的測試。

　　博幼的幾何教材乃是藉由邏輯上的思考，來幫助學生從無到有建立起幾何學的概念，依照點 綫 麵 體的順序編輯而成，教材中的所有定理，都是由基本定義經過證明而得來，且每個定理都是建立在前一個定理之上，各章節之間相互連結，其內容環環相扣，一氣嗬成。

　　本書共分10章，教材中明列瞭國中範圍的111個定義、8個公理以及證明瞭157個定理，搭配約有80種題型、728個例題、564個習題以及曆年112個基測試題。凡是中學生所需要學習的幾何知識，在這套教材中全都找的到，而且都有詳細嚴謹的證明過程。
 

好的，這是一份針對一本名為《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1 (2版)》的圖書的圖書簡介，內容詳盡，不包含該書的任何具體信息，旨在描述一個不同主題的數學教材。 --- 圖書名稱：高級微積分與微分幾何：理論與應用 簡介： 本書旨在為數學、物理學、工程學及相關領域的學生和研究人員提供一個全麵、深入的微積分概念和微分幾何基礎的知識體係。它超越瞭傳統微積分教材的範疇，著重於嚴謹的理論推導、拓撲學的視角以及在高維空間中的應用。全書共分為四個核心部分，邏輯遞進，層層深入。 第一部分：多元微積分的嚴格基礎 本部分重點迴顧並深化瞭讀者對多變量函數的理解，但其核心目標是建立一個在拓撲空間上運行的微積分框架。 我們從 $mathbb{R}^n$ 上的嚮量值函數和標量值函數開始，但很快將討論引入到更一般的度量空間中。關鍵概念包括：度量空間上的收斂性、連續性、緊緻性以及完備性。這些拓撲工具為後續處理函數空間上的分析奠定瞭基礎。 在微分學方麵，本書詳盡討論瞭方嚮導數、梯度、Hessian 矩陣，並引入瞭微分形式（Differential Forms）的初步概念。我們深入分析瞭雅可比矩陣的幾何意義，並利用行列式來解釋多重積分中的體積縮放因子。關鍵在於，我們從一開始就強調函數可微性的局部綫性近似的本質，並將其推廣到更高維度的切空間概念。 積分學部分則側重於勒貝格積分理論的介紹，而非僅僅停留在黎曼積分的範疇。我們解釋瞭勒貝格積分的優越性，特彆是在處理高度不規則函數或無窮級數與積分的交換問題時。同時，多重積分的變元變換被嚴格地建立在微分同胚和雅可比行列式變換的理論之上。 第二部分：微分形式與廣義斯托剋斯定理 這是全書最具原創性和技術深度的部分。我們將微積分的四大基本定理——梯度定理、散度定理、斯托剋斯定理和格林定理——統一在一個簡潔而強大的框架下：廣義斯托剋斯定理。 首先，我們正式定義瞭微分 $k$ 形式，以及在流形上定義外導數 $( ext{d})$ 的過程。我們詳細闡述瞭外導數運算的性質，特彆是 $ ext{d}^2 = 0$ 這一核心恒等式。通過引入楔積（Wedge Product），我們展示瞭如何構造高階的微分形式，這使得我們能夠處理任意維度的體積元。 接下來，本書介紹瞭流形（Manifolds）的基本概念。我們從拓撲流形開始，討論瞭光滑結構、坐標圖集（Atlas）以及切空間（Tangent Spaces）的構造。切空間被視為流形上所有光滑嚮量場的集閤，並被賦予嚮量空間結構。我們使用微分形式和嚮量場之間的配對來定義李導數（Lie Derivative），這是研究保結構變換的關鍵工具。 廣義斯托剋斯定理的錶述和證明是本部分的重中之重。它簡潔地將對邊界的積分與內部的微分運算聯係起來，無論是在歐幾裏得空間還是在更一般的（有邊界的）光滑流形上。 第三部分：麯率與黎曼幾何基礎 在掌握瞭微分形式和流形結構後，我們將注意力轉嚮度量結構，從而進入經典微分幾何的領域。 本部分引入瞭黎曼度量張量（Riemannian Metric Tensor），它是定義距離、角度和麯率的基礎。我們詳細探討瞭在局部坐標係下度量張量和其逆張量的錶示。 核心內容圍繞聯絡（Connection）展開。我們首先討論瞭為什麼需要“平移”的概念，並由此引入瞭列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita Connection），該聯絡是唯一保持黎曼度量相容且無撓率的聯絡。我們推導瞭剋裏斯托費爾符號（Christoffel Symbols），它們是聯絡係數的具體坐標錶示。 隨後，本書緻力於測地綫（Geodesics）的研究。我們將其定義為“盡可能直的麯綫”，並通過變分原理和測地綫方程，展示瞭它們在黎曼流形上的動力學意義。 麯率的概念通過黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor）被精確地量化。我們詳細展示瞭如何從度量和剋裏斯托費爾符號計算齣麯率張量，並解釋瞭麯率張量如何衡量空間非平坦性。我們還引入瞭裏奇麯率（Ricci Curvature）和標量麯率（Scalar Curvature），討論瞭它們在物理學（如廣義相對論）中的直接應用。 第四部分：應用與現代視角 最後一部分將理論成果應用於實際問題，並探討瞭更現代的分析工具。 我們探討瞭嚮量場流（Flow of Vector Fields）的概念，並利用常微分方程的理論來理解流的存在性和唯一性。這在理解動力係統和物理場演化中至關重要。 在幾何應用方麵，本書深入分析瞭極小麯麵（Minimal Surfaces）的變分原理，將它們與二階微分形式的消失聯係起來。 此外，本書還引入瞭拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），該算子是微分幾何中泛函分析的基礎。我們探討瞭霍奇理論（Hodge Theory）的初步思想，特彆是關於上同調與微分形式的深刻聯係，這為理解流形上的拓撲不變量提供瞭一個強大的分析工具。 全書配有大量旨在啓發洞察力的例題和具有挑戰性的習題，許多習題要求讀者在抽象空間中進行嚴格的證明。本書要求讀者具備紮實的綫性代數和單變量微積分知識，並鼓勵讀者將抽象的數學結構與具體的幾何直覺相結閤。

作者簡介

財團法人博幼社會福利基金會

　　博幼基金會課輔理念

　　秉持「不能讓窮孩子落入永遠的貧睏」的理念，博幼基金會自92年成立以來，在董事長李傢同的帶領之下，為弱勢傢庭的孩子提供免費的課業輔導，以提昇其學習成就，使其不因傢境影響而中斷學習。更期待孩子未來能靠自己的能力改善傢庭狀況。

　　博幼目前在南投縣埔裏鎮、信義鄉；颱中市沙鹿區；新竹縣竹東鎮、尖石鄉、橫山鄉、五峰鄉；雲林縣口湖鄉、四湖鄉；屏東縣潮州鎮、來義鄉；澎湖縣湖西鄉；宜蘭綫大同鄉等地區，每週一至週五，每天為二韆多位弱勢傢庭的孩子提供2~3小時免費的課業輔導。未來將繼續朝其他偏遠地區去，為有課輔需求的弱勢傢庭提供服務。
 

第一章 幾何的基本元素
1.1節 點與綫
1.2節 角
1.3節   角與角之間的關係
1.4節   垂直與平行
1.5節   幾何學的基本公理
1.6節   有關角的一些基本定理
1.7節   圓

第二章 三角形
2.1節 三角形的重要基本觀念
2.2節 兩邊夾一角三角形全等定理
2.3節   兩角夾一邊三角形全等定理
2.4節   三邊相等三角形全等定理
2.5節   三角形的邊角關係

第三章 垂直綫與平行綫
3.1節   垂直綫
3.2節   平行綫
3.3節   對稱圖形

 

推薦序
　　
　　因為工作和教會的服事，常需要接觸中學生，指導他們的課業，因為求學時期的資料早已遺失，記憶也已淡忘瞭，因此一切都得重頭來過，還記得剛開始重新接觸國中幾何時，心中立即浮現一個疑問：現在的教材為何變得如此簡化？
　　
　　我發現我們現在的幾何教科書一開始就教作圖，比方說，教小孩如何平分一個角。我問我的學生，你怎麼知道這樣做就可以平分一個角?他的迴答是，他把那個圖剪下來，然後按照平分綫來對摺，這樣就可以證明角已經被平分瞭。
　　
　　我對這件事情極感難過，因為角平分綫的原理是根據三角形全等證明而來。我小的時候絕對先學三角形全等，然後再學角平分綫，我們當然不是把那個角剪下來，然後再對摺，我們是根據三角形全等的原理，可以證明我們所做的角平分綫是正確的。
　　
　　學幾何，其目的不是在於學有關於幾何的證明，而是要學會如何閤乎邏輯地證明一個定理。現在我們的考試都不考證明題，所以學生其實是搞不清楚什麼叫做證明的。
　　
　　我在成功中學唸幾何的時候，我記得非常清楚，我的老師一開始就強調幾何不可以做實驗，必須講證明。以後，我深深感覺到當年老師給我有關於幾何的教育，一輩子受用。現在我在教電子綫路，我們當然可以做實驗，但是如果要解釋某一個電壓往上升，或者電流往下降，都必須要很閤乎邏輯地證明電壓一定會往上升，或者電流一定會往下降，而不能做個實驗瞭事。
　　
　　因此我在教學上，特彆重視基本定理的證明，發現學生一旦理解瞭定理的證明過程，即使沒有背公式，在解題時也能夠一步步的推算齣正確答案。從此，學生在學習上不再是背數學，而是以理解的方式學習。
　　
　　當第一次見到由博幼基金會所編輯的幾何教材時，即認定它就是學生學習幾何所需要的一套教材。為何如此說呢？因為博幼的這套教材乃是藉由邏輯上的思考，來幫助學生從無到有建立起幾何學的概念，教材中的所有定理，都是由基本定義經過證明而得來；博幼教材是依照「點綫麵體」的順序編輯而成，每個定理都是建立在前一個定理之上，各章節之間相互連結，其內容環環相扣，一氣嗬成。本套教材共分10章，分為四本書齣版，教材中明列瞭國中範圍的111個定義、8個公理以及證明瞭157個定理，凡是中學生所需要學習的幾何知識，在這套教材中全都找的到，而且都有詳細嚴謹的證明過程。
　　
　　仔細看完本書，發現本書中的每一章節都是根據以下三個步驟來進行：
　　
　　第一、基礎的基本定義介紹。　　
　　第二、利用基本定義來證明定理。　　
　　第三、將定理應用在幾何例題上。
　　
　　為瞭建立學生學習的信心，每章節例題的編排方式都是由淺入深，等學生熟悉基本的題型之後，這纔導入綜閤的題型，並在每單元的最後引導學生作本章節內容的重點整理歸納，最後再加入曆屆基測考題來增強本教材的實用性。(全書約有80種題型、728個例題、564個習題以及曆年112個基測試題。)
　　
　　因此，在學習上，學生可藉著博幼幾何教材清楚知道每個定理的由來，再以這些定理為基礎，解決各定理所延伸之種種題型，博幼的幾何教材絕對是最適閤中學生學習的一套工具。
　　
　　我敢說，博幼基金會的這一本幾何教科書是目前最完整的幾何教科書，其中有很多基本的教材，也有很難的教材，老師可以從中選擇教材來教。對於聰明的和不太聰明的孩子，這本書都適用。
　　

幾何學是古埃及人為每年尼羅河氾濫之後測量土地界限發展齣來的一門科學。自希臘數學傢歐基裏德（ Euclid，歐幾裏德約生於公元前 330年─約卒於公元前 275年）之後就以一套嚴謹的邏輯方法來敘述幾何學，從一些幾何基本元素定義及幾個公認為正確的公理開始，根據這些公理及定義，逐一證明每一定理，建構成完整的幾何學。

幾何學上的一些性質大多可以經由觀察或實驗而歸納齣結果，但必須經由證明纔能確認其正確性，因為觀察或實驗可能受儀器精密度的因素或因環境的影響産生視差錯覺，導緻錯誤結果。例如圖 1及圖 2是兩條等長的綫段，但因為視差的關係，人們會將二綫段看成並非等長的綫段，所以，幾何的性質不能以觀察或是實驗的結果就認為其性質是正確的，必需經過嚴謹的數學推理證明，纔能判斷幾何性質的正確性。

數學推理論證有嚴謹的過程，在論證過程中有幾個數學常用的名詞，說明如下：

定義：一些敘述用來解釋一個幾何學的名詞。
公理：基本假設，公認為正確的事實。公理是不需證明也無法證明。
定理：一件事理經過證明為正確的叫做定理。

定理都可以分為兩部份：
(1)假設或己知：已知條件或事項。
(2)結論：由已知條件推論導緻的結果。

係（推理）：由一個定理可以直接推理得到的定理。

定理證明：由假設或已知的條件，根據定義、公理或已經證明的定理，逐步推論到結論為止，這個推論過程就是定理的證明。

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「我對這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》的評價，可以用「驚豔」兩個字來形容！身為一個已經離開校園一段時間的上班族，純粹是齣於興趣而想重新接觸幾何。市麵上關於數學的書很多，但很多都太學術化，或是太過於簡化，很難真正學到東西。這本書剛好填補瞭這個空缺。它的敘述方式非常友善，沒有讓人感到壓力的術語堆積。而且，它對每一個定義和定理的介紹，都非常詳盡，不僅僅是告訴你「是什麼」，更會深入解釋「為什麼會是這樣」。我特別欣賞它在介紹一些進階概念時，所採用的「鋪陳」手法，讓人感覺是自然而然地學會，而不是硬塞。它的例題講解更是經典，不僅僅是答案，還會分析解題的思路和技巧，讓我能夠舉一反三。我甚至會把書中的一些圖形畫在筆記本上，常常在思考問題時，都能從書裡的圖像得到啟發。這本書讓我重新找迴瞭對數學學習的熱情，也讓我對幾何有瞭更深刻的理解，真的非常值得推薦給任何想要紮實學習幾何的人。」

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「這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》真的顛覆瞭我對數學教科書的刻闆印象。以往我對幾何的印象就是考試的一堆證明題，常常讓我覺得枯燥乏味。但這本書，它把幾何變成瞭一場有趣的智力冒險！它的排版設計非常精美，圖片的運用更是畫龍點睛，讓原本可能枯燥的幾何圖形都活瞭起來。它在引導學習時，總是很巧妙地引發讀者的好奇心，讓你想要一探究竟。最讓我驚喜的是，它在講解一些經典的幾何問題時，會從不同的角度去剖析，提供多種解法，讓你知道原來解決問題的方式可以這麼多元。它在對應一些比較難的觀念時，也會適時穿插一些小故事或歷史典故，讓學習過程不那麼單調。而且，它練習題的難度跨度也很適閤，從入門到有點挑戰性的都有，能夠有效地鞏固學習成果。我個人覺得，它對於培養空間想像能力和邏輯思維能力，都有非常顯著的效果。這是一本能讓你真正「愛上」幾何的書。」

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「老實說，我當初買這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》的時候，並沒有抱持太大的期待，畢竟在升學主義掛帥的年代，很多數學書都隻是為瞭應付考試而編寫。然而，這本書的齣現，完全刷新瞭我的認知。它並沒有把重點放在速成和技巧，而是非常紮實地從基礎齣發，一步步引導讀者建立穩固的幾何觀念。它的語言風格非常平易近人，很多時候，你會覺得作者就像一位和藹可親的長輩，耐心地跟你解釋每一個細節。我特別欣賞它在闡述原理時，所採用的「反覆驗證」和「由淺入深」的方式。有時候，一個看似簡單的圖形，它也能從不同的角度去挖掘其中的奧秘。它在提供練習題時，也不僅僅是給齣題目，更重要的是，它會分析題目的類型和考察的重點，幫助你理解為什麼要這樣做。我覺得這本書最大的價值，就在於它真正教會你「如何思考」，而不是「如何背誦」。對於那些真心想在幾何領域有所建樹的人來說，這本書絕對是必不可少的基石。」

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「喔，這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》簡直是許多人心中的救星！我還記得以前在學校學幾何的時候，真的是霧裡看花，很多觀念總是卡卡的，考試時更是欲哭無淚。直到我同學推薦瞭這本書，我纔發現，原來幾何可以這麼親切！它不像坊間有些教科書，一開頭就丟一堆密密麻麻的公式和證明，讓人望之卻步。這本書的編排方式非常循序漸進，從最基本的點、線、麵開始，用非常清晰易懂的比喻和圖示來解釋，彷彿老師就坐在你身邊手把手教學一樣。而且，它的題目設計也很讚，從簡單的觀念驗證，到需要一點小思考的應用題，都有涵蓋到。更貼心的是，它後麵還有詳解，而且解釋得非常仔細，連我這個數學白癡都能看得懂。很多時候，你會發現自己卡住的地方，其實隻是因為一個小觀念沒有釐清，而這本書恰恰就能幫你把那些模糊的地方都掃清楚。我真的覺得，如果你對幾何感到苦手，或是想重新打穩基礎，這本書絕對是你的不二選擇。我已經推薦給好多學弟妹瞭，大傢反應都說差好多！」

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「買瞭這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本 1(2版)》之後，我每天都迫不及待地想翻開它。你知道嗎？以前我們學幾何，常常就是死記硬背，什麼平行線截比例線段、什麼三角形相似，感覺就像在背英文單字一樣，毫無樂趣可言。但是這本書，它居然能把這麼抽象的概念，變得這麼有畫麵感！它用瞭好多貼近生活的例子，像是建築物的結構、生活中的各種圖形，讓你瞬間覺得幾何並不是什麼高高在上的學問，而是無所不在的。它在講解每個定理或性質時，都會先從直觀的想像入手，然後再引導到數學的嚴謹性，這樣的過程讓人很容易接受。我特別喜歡它裡麵的一些小提示和小提醒，常常能點破我之前沒有注意到的盲點。而且，它的練習題也很有層次感，不會讓你覺得一下子就跳到太難的程度。我甚至發現，透過它，我連看一些設計圖或建築圖時，都多瞭幾分理解。這本書不隻是一本教科書，更像是一位耐心且引導你探索幾何奧秘的良師益友。」