圖書描述
《數學是啥玩意？》 (III)
數學的宇宙，産生自周遭的現實世界，就好像夢想由日常的事物所激發。
數學的宇宙浩瀚無比，這塊大版圖裏的一切，都是人類心智活動的産物。
閱讀完這三冊《數學是啥玩意？》，你就已一腳踏入瞭韆變萬化的數學天地，遍覽數論（質數、同餘式）、集閤論、拓樸學（公路係統、地圖著色）、組閤數學（正交錶、記憶輪）、分析學（機率）、幾何、代數等等學門的基礎知識。
讀過《數學是啥玩意？》之後，你就會徹底明白：數學，絕對不等於枯燥的數字計算，也不等於一頁又一頁沒有清楚解釋的難懂定理，而是實用有趣的益智遊戲。
數學的宇宙，産生自周遭的現實世界，就好像夢想由日常的事物所激發。
數學的宇宙浩瀚無比，這塊大版圖裏的一切，都是人類心智活動的産物。
閱讀完這三冊《數學是啥玩意？》，你就已一腳踏入瞭韆變萬化的數學天地，遍覽數論（質數、同餘式）、集閤論、拓樸學（公路係統、地圖著色）、組閤數學（正交錶、記憶輪）、分析學（機率）、幾何、代數等等學門的基礎知識。
讀過《數學是啥玩意？》之後，你就會徹底明白：數學，絕對不等於枯燥的數字計算，也不等於一頁又一頁沒有清楚解釋的難懂定理，而是實用有趣的益智遊戲。
著者信息
作者簡介
斯坦──《乾嘛學數學？》作者 Sherman K. Stein
加州大學戴維斯分校數學教授，該校傑齣教學奬得主之一，並曾獲得美國數學學會頒發的福特奬（Lester R. Ford Prize），以錶彰他在闡揚數學知識方麵的貢獻；此外也因為《Algebra and Tiling》這本書，獲頒貝肯巴赫書奬（Beckenbach Book Prize）。
斯坦的主要興趣在代數、組閤數學及教學法，另著有《乾嘛學數學？》（天下文化齣版）以及為中學生所寫的數學普及書係。
譯者簡介
葉偉文
國立清華大學核工係畢業，原子科學研究所碩士（保健物理組）。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《乾嘛學數學？》、《物理馬戲團 I～III》、《數學小魔女》、《統計，改變瞭世界》等
斯坦──《乾嘛學數學？》作者 Sherman K. Stein
加州大學戴維斯分校數學教授，該校傑齣教學奬得主之一，並曾獲得美國數學學會頒發的福特奬（Lester R. Ford Prize），以錶彰他在闡揚數學知識方麵的貢獻；此外也因為《Algebra and Tiling》這本書，獲頒貝肯巴赫書奬（Beckenbach Book Prize）。
斯坦的主要興趣在代數、組閤數學及教學法，另著有《乾嘛學數學？》（天下文化齣版）以及為中學生所寫的數學普及書係。
譯者簡介
葉偉文
國立清華大學核工係畢業，原子科學研究所碩士（保健物理組）。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《乾嘛學數學？》、《物理馬戲團 I～III》、《數學小魔女》、《統計，改變瞭世界》等
圖書目錄
閱讀地圖
閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集閤
第19章 總 覽
附錄E 等比與調和級數
附錄F 任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明
閱讀指南
第15章 地圖著色
第16章 數的種類
第17章 尺規作圖
第18章 無窮集閤
第19章 總 覽
附錄E 等比與調和級數
附錄F 任何維數的空間
「數學健身房」的部分解答與說明
圖書序言
第三版序
《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年瞭，在這段時間裏，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映瞭這些演進，同時也錶達齣我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加瞭一章，專門討論機率，即反映齣現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所麵臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。
在我們所處的世界裏，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。
相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的産物；在數學裏，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。
我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，隻要有一顆好奇的心就行瞭。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科係的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花瞭好幾年，想找一本閤適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。
本書所談的主題選自數論、拓樸學、集閤論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節隻需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。
我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。
《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看齣，機率的概念在日常生活裏雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的錶示法〉當中，還增添瞭公製的介紹，這是因為公製與十進位製是不可分的。
全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變隻是為瞭讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。
「數學健身房」裏的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用瞭一隻筆（✎）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念纔能解答。第三類練習題的前麵有兩隻筆（✎✎），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想齣其他的方法。
值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做瞭不一樣的閱讀安排。利用最前麵的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。
《數學是啥玩意？》的第二版發行迄今，已經七年瞭，在這段時間裏，由於受到專業學識發展和社會變遷的影響，數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映瞭這些演進，同時也錶達齣我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加瞭一章，專門討論機率，即反映齣現今的社會或個人，可能會應用與機率有關的數學知識，來解決所麵臨的難題，而老師與學生在探討相關知識時，也對這些課題愈來愈感興趣。
在我們所處的世界裏，許多事物都是天然生成的，比如水。我們知道，水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的，但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性，卻一無所知。用原子與分子的概念，很方便就能解析水這種物質，卻又無法掌握水真實的特性，原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。
相反的，數學就完全是人為的成果，每個定理與每項證明都是人類心智活動的産物；在數學裏，所有的牌都攤在桌上。在這層意義上，數學是具體的，世界反而是抽象的。
我打算藉由這本書，把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」，可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族，不管你的主要興趣是什麼，隻要有一顆好奇的心就行瞭。這本書最初是設計為大專課程，幫助不同科係的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花瞭好幾年，想找一本閤適的教科書，但找到的不是太難就是太專門。
本書所談的主題選自數論、拓樸學、集閤論、幾何、代數與分析學，但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂（有些章節隻需國中學過的算術），所以針對每個主題，我都會說明主要觀念，讓這些主題的本身很容易實驗或求證。
我建議各位在閱讀每一條定理及證明時，要充分利用數學的具體特性，不要有先入為主的信念，而是要心懷警覺與懷疑，仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」，或「在證明之前，不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時，最好是能照做。讀這本書時，最好也能把紙、筆放在手邊，隨時可派上用場。
《數學是啥玩意？》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版，第1章到第4章是全書的核心，而接下來的六章與新增的第13章，則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識，在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性；你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看齣，機率的概念在日常生活裏雖然隱而不顯，卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的錶示法〉當中，還增添瞭公製的介紹，這是因為公製與十進位製是不可分的。
全書還有許多較小規模的改變，包括新的結果、更為簡單的證明，以及新的練習題。就像第二版一樣，很多改變隻是為瞭讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。
「數學健身房」裏的習題依難度分為三類。第一類是一般練習，讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用瞭一隻筆（✎）與前一類區隔，通常你必須應用那一章所談的觀念纔能解答。第三類練習題的前麵有兩隻筆（✎✎），難度最高，解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題，還必須能舉一反三，想齣其他的方法。
值得注意的是，本書依不同類型的學生及不同的難易程度，做瞭不一樣的閱讀安排。利用最前麵的閱讀地圖與閱讀指南，老師或讀者可以自行決定要如何進行。
斯坦
圖書試讀
第15章 地圖著色
西洋棋盤隻需要兩種顔色，就能塗滿整個盤麵，方法是讓緊鄰（共用一條邊綫）的兩個小方格各塗上不同顔色。有些地圖也是一樣，隻需兩種顔色就可以塗滿，使相鄰的國傢有不同的顔色，但是有些地圖就做不到瞭。
為瞭簡單起見，當我們說「能以兩種顔色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是隻要用兩種不同的顔色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊綫的國傢，會有不同的顔色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顔色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊綫的國傢顔色不同。
我們假設前麵兩張地圖，畫的都是一個有很多國傢的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」，而不在海岸綫上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊綫數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。
那些海島上有眾多國傢的地圖裏，由於包圍內陸頂點的國傢必須交替著上不同的顔色，因此若有個內陸頂點的次數是奇數的，這張地圖就沒辦法用兩種顔色來著色。我們因此得到下列定理：
定理1：如果一個海島上有許多國傢的地圖能用兩種顔色來著色，則每個內陸頂點的次數都是偶數。
至於四色地圖的問題，可以迴溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提齣的。就在這一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿給他的老師，邏輯學傢笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根則寫信問哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）：
我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實，但我不那麼確定，以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割，並且把每塊區域塗上不同的顔色，使得同一條邊綫的兩邊顔色不同，則隻需要四種顔色就一定夠瞭，甚至更少些……
你認為如何？如果真的是這樣，你以前知道嗎？我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事，我愈想愈覺得它是真確的。
西洋棋盤隻需要兩種顔色，就能塗滿整個盤麵，方法是讓緊鄰（共用一條邊綫）的兩個小方格各塗上不同顔色。有些地圖也是一樣，隻需兩種顔色就可以塗滿，使相鄰的國傢有不同的顔色，但是有些地圖就做不到瞭。
為瞭簡單起見，當我們說「能以兩種顔色著色的地圖」或「兩色地圖」時，我們指的是隻要用兩種不同的顔色，就可以把整張地圖塗滿，而且那些共享至少一條邊綫的國傢，會有不同的顔色。同樣的，在本章稍後，我們可能會談到「用三種不同的顔色塗滿地圖」或者說「一張五色地圖」，都是指：共享一條邊綫的國傢顔色不同。
我們假設前麵兩張地圖，畫的都是一個有很多國傢的大島。我們稱那些國界的交叉點為「頂點」，而不在海岸綫上的頂點則稱為「內陸頂點」。而「頂點的次數」是指交會在這個頂點的邊綫數目。這種觀念已經在第7章扮演過關鍵性的角色。
那些海島上有眾多國傢的地圖裏，由於包圍內陸頂點的國傢必須交替著上不同的顔色，因此若有個內陸頂點的次數是奇數的，這張地圖就沒辦法用兩種顔色來著色。我們因此得到下列定理：
定理1：如果一個海島上有許多國傢的地圖能用兩種顔色來著色，則每個內陸頂點的次數都是偶數。
至於四色地圖的問題，可以迴溯到1852年的10月23日，是梅氏（K. O. May）提齣的。就在這一天，古斯瑞（Francis Guthrie）把它拿給他的老師，邏輯學傢笛摩根（Augustus De Morgan, 1806-1871）看，而笛摩根則寫信問哈密頓（W. R. Hamilton, 1805-1865）：
我的學生今天就一件事問我原因何在。他認為這件事是一項事實，但我不那麼確定，以前也沒注意到。他說如果把一個圖形隨意分割，並且把每塊區域塗上不同的顔色，使得同一條邊綫的兩邊顔色不同，則隻需要四種顔色就一定夠瞭，甚至更少些……
你認為如何？如果真的是這樣，你以前知道嗎？我的學生說他曾以英格蘭的地圖來做實驗。這件事，我愈想愈覺得它是真確的。
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