綫性代數的天龍八步（三版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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讀書名為什麼是《綫性代數的天龍八步》而不是《綫性代數的天龍八部》？

　　— 原因，當然不是指～這本《綫性代數的天龍八步》是『金庸』武俠小說《天龍八部》的『綫性代數山寨版』

　　— 原因，當然更不是指～歐吉桑跟歐巴桑要用『綫性代數』來研究分析『佛教護法隊伍』裏，以『天、龍』為首的『八類』神話種族（包含︰天眾、龍、夜叉、阿修羅、迦樓羅、乾闥婆、緊那羅、摩呼羅迦）

　　— 真正的原因，是指～為瞭讓同學在麵對『綫性代數』這門『繁雜、易犯錯、卻極端有用又需要長長久久接觸』的數學時，能夠安心麵對並全麵掌握其精髓的的『八套』神妙『行進步法』！

　　在《綫性代數的天龍八步》這本書裏，歐吉桑跟歐巴桑貼心地用『Step by step（讓你可以不會陷入繁雜的迷霧中）』的方式、用『大量備註框（讓你清楚每一個段落的因果轉承）』的形態、用『中英文混雜（讓你既能記得住專有名詞又能輕鬆閱讀）』的寫法來呈現『綫性代數』的八大主題（『嚮量空間』、『綫性變換』、『代錶矩陣』、『特徵值』、『內積空間』、『雙綫型』、『矩陣與行列式』、『特殊應用問題』）裏頭的：

　　◎有什麼
　　『定義、定理、題型、策略』— 是你一定要知道的！

　　◎是什麼
　　『前述東東是啥米碗糕？價值是啥米（重不重要？）』— 是你一定要作判斷的！

　　◎為什麼
　　『前述見解～對嗎 ?』— 是你一定要給個閤理說法的！

　　◎怎麼用
　　『解題關鍵、應用程序、迴答方式、應注意事項有哪些東東？夠好嗎？瞭解嗎？』— 是你一定要謹記在心的！
 

深入探索代數迷宮：現代應用視角下的矩陣理論與嚮量空間 圖書簡介 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的綫性代數知識體係，側重於現代科學與工程領域中的實際應用。我們摒棄瞭傳統教材中過於抽象和割裂的敘事方式，轉而采用一種更加結構化、聯係緊密的研究路徑，旨在幫助學習者不僅掌握計算技巧，更能深刻理解其背後的數學原理及其在數據科學、機器學習、物理學、信號處理等前沿領域的強大支撐作用。 本書的結構圍繞“核心概念構建”、“計算工具精煉”與“應用場景驅動”三大支柱展開，力求在嚴謹性與易懂性之間找到完美的平衡點。 --- 第一部分：構建基石——嚮量、綫性組閤與空間結構 本部分奠定整個綫性代數大廈的基石。我們首先從幾何直覺齣發，引入嚮量的概念，將其置於歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中，強調其作為“有嚮綫段”和“數據點的雙重身份”。 核心內容包括： 1. 嚮量的運算與幾何意義： 詳細闡述嚮量的加法、數乘，以及最重要的內積（點積）。內積不僅是計算角度和投影的工具，更是定義空間“距離”和“正交性”的根本。 2. 綫性組閤與張成空間（Span）： 這是理解所有後續概念的關鍵。我們詳細剖析瞭如何通過綫性組閤來“構建”一個空間，並引入張成空間的概念，直觀展示瞭不同嚮量集閤所能覆蓋的區域。 3. 綫性相關性與基（Basis）： 深入探討綫性相關與綫性無關的判定方法及其重要性。隨後，引入基這一核心概念——用最少量的、相互獨立的嚮量來描述整個嚮量空間。我們嚴格證明瞭基的嚮量個數是唯一的，這是維度理論的直接推論。 4. 子空間（Subspaces）的係統化研究： 重點分析四種基本子空間：列空間（Column Space, $Col(A)$）、零空間（Null Space, $Nul(A)$）、行空間（Row Space, $Row(A)$）和左零空間（Left Null Space）。通過高斯消元法（RREF）的實際操作，展示如何係統地找齣這些子空間的基和維度。我們強調秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）在連接矩陣結構與解空間方麵的核心地位。 --- 第二部分：動力核心——矩陣代數與綫性變換 本部分將視角從靜態的嚮量集閤轉移到動態的綫性變換，理解矩陣的本質是描述空間中綫性操作的“機器”。 核心內容包括： 1. 矩陣作為綫性變換： 將 $m imes n$ 矩陣 $A$ 視為一個將 $mathbb{R}^n$ 映射到 $mathbb{R}^m$ 的函數 $T(mathbf{x}) = Amathbf{x}$。我們詳細解釋瞭矩陣的列如何構成變換後的基嚮量的像，從而完全定義瞭該變換。 2. 矩陣運算的幾何解釋： 矩陣乘法不再僅僅是數字的羅列，而是變換的復閤。矩陣加法、轉置、逆矩陣的幾何意義被清晰闡述。 3. 行列式（Determinant）的深度剖析： 行列式被賦予瞭有嚮體積縮放因子的幾何意義。我們不僅介紹代數計算公式（如代數餘子式展開），更關注其在判斷矩陣可逆性、理解綫性方程組解的唯一性以及在多重積分變量替換（雅可比行列式）中的應用。 4. 綫性方程組的求解： 係統迴顧並深化高斯消元法，強調其作為求解 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 的通用算法地位。重點分析三種情況（唯一解、無窮多解、無解）的幾何對應關係，以及LU分解作為高效求解多組右側嚮量問題的工業化方法。 --- 第三部分：精煉與優化——特徵值、對角化與正交性 這是綫性代數從“描述”邁嚮“分析與優化”的關鍵階段，聚焦於尋找係統中最本質、最穩定的結構。 核心內容包括： 1. 特徵值與特徵嚮量（Eigenvalues and Eigenvectors）： 它們代錶瞭在綫性變換作用下方嚮不發生改變的特殊嚮量。我們詳細推導特徵方程，並討論瞭特徵值/特徵嚮量的代數重數與幾何重數的關係。 2. 相似性與對角化（Diagonalization）： 當矩陣擁有足夠多的綫性無關特徵嚮量時，我們可以通過相似變換將其對角化 $A = PDP^{-1}$。這一過程極大地簡化瞭矩陣的冪運算 $A^k$ 和高階微分方程的求解。我們清晰界定瞭可對角化的充要條件。 3. 正交性：理論與實踐： 正交性是綫性代數中最“優美”的結構。我們引入施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）過程，用以構造任意子空間的正交基，這極大地簡化瞭投影和最小二乘問題的計算。 4. 正交矩陣與QR分解： 正交矩陣 $Q$ 因其保持長度和角度的特性（$Q^T Q = I$）在數值計算中至關重要。QR分解作為一種比LU分解更穩定的分解形式，是求解最小二乘問題的基石。 5. 對稱矩陣的譜定理（The Spectral Theorem）： 這是綫性代數理論的巔峰之一。我們闡述瞭實對稱矩陣總是可正交對角化的，並且其特徵值必為實數。這一理論是理解二次型、主成分分析（PCA）和穩定性分析的理論基礎。 --- 第四部分：超越歐氏空間——抽象化與應用拓展 本部分將理論推廣到更廣闊的數學框架，並展示其在現代計算中的威力。 核心內容包括： 1. 內積空間（Inner Product Spaces）： 將嚮量空間的概念推廣到包含函數空間（如傅裏葉分析的基礎）和多項式空間。內積的概念泛化，使得“正交”和“投影”的幾何直覺可以應用於無限維空間。 2. 最小二乘法（Least Squares）： 當方程組 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 無精確解時，如何找到“最佳近似解”？我們從幾何上推導齣法方程，並解釋最小二乘解實際上是嚮量 $mathbf{b}$ 在矩陣列空間上的正交投影。 3. 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： SVD被譽為“矩陣的終極分解”。它適用於任何矩陣（不論方陣與否，不論可逆與否）。我們詳細解釋瞭SVD的幾何意義——它描述瞭一個鏇轉、縮放（由奇異值決定）和另一個鏇轉的復閤過程。SVD是圖像壓縮、推薦係統和僞逆計算的核心。 4. 應用案例： 結閤具體計算實例，展示綫性代數如何驅動實際技術： 馬爾可夫鏈與穩態分布： 利用特徵嚮量分析隨機過程的長期行為。 綫性迴歸的矩陣錶述： 最小二乘法在統計建模中的直接應用。 圖論與網絡分析： 利用鄰接矩陣的性質分析網絡連通性。 本書特色： 本書的每一章都緊密銜接“計算”與“理解”。我們提供瞭大量步驟清晰的計算示例，同時穿插瞭“概念辨析”專欄，用於剖析學習者常犯的錯誤和概念誤區。通過這種方式，讀者不僅能夠熟練運用工具，更能建立起對矩陣、空間和變換之間深刻關係的直覺。它不僅是一本教材，更是一本引導讀者穿越代數迷宮、直抵現代數學核心的實用指南。

作者簡介

王富祥

　　【現任】
　　國立颱北教育大學資訊科學係專任教授。

　　【經曆】
　　國立颱北師範學院數學教育學係係主任、國立颱北教育大學副校長、理學院院長、澎湖創意中心主任、亞太區小學數學奧林匹亞颱灣區培育計畫指導教授、國科會「國小高年級數學資優生的數學學習評量」研究計畫共同主持人。

　　【學曆】
　　國立中央大學數學博士、國立中央大學數學碩士、國立成功大學數學學係學士。

　　【專長】
　　偏微分方程、泛函分析、積／微分方程、差分方程、動態時間係統、生産管理分析、乏晰理論、資優培育。擅長引導式的數學方式，突破學習者的心防，曾帶領學生參加亞太地區奧林匹亞數學競賽，連續獲得多屆冠軍。

　　【著作】
　　《七把刀弄懂微積分》、《工程數學的降魔十一掌》、《綫性代數的天龍八步》、《太極機率》、《高等微積分的九陽真經》、《歐吉桑ㄍㄨㄥ數學：數學原來也可以醬子！》、《歐吉桑ㄍㄨㄥ數學：你1～9年級數學資優生瞭沒？算數篇；幾何篇；代數篇；規律、判斷篇》、《歐吉桑ㄍㄨㄥ數學：抓齣躲在「6÷2(1＋2)」ㄟ細節魔鬼》、《數學學測‧指考15個得分要訣(上、下冊)》《24小時就愛上數學：1～9年級最佳數學入門書》、《數學基測，輕鬆拿高分！(上、下冊)》；閤著《數學好好玩：1小時學會22×22》；《嘸驚微積分》、《嘸驚工程數學》、《國考突破(四)數的推理》、《微積分》、《精準微積分》、《精準工程數學》期刊論文近百篇。

遊雪玲

　　【現任】
　　聖約翰科技大學通識教育中心專任副教授。

　　【經曆】
　　聖約翰科技大學通識教育中心主任。

　　【學曆】
　　國立颱灣科技大學工業管理博士、淡江大學數學研究所碩士、國立成功大學數學學係學士。

　　【專長】
　　微分方程、品質管理、機率、統計、最佳化。
 

作者序

第一章 嚮量空間
第二章 綫性變換
第三章 代錶矩陣
第四章 特徵值
第五章 內積空間
第六章 雙綫型

附錄A 矩陣與行列式
附錄B 特殊應用問題

 

评分☆☆☆☆☆

我一直覺得，一本好的教材不僅僅是知識的傳遞者，更應該是學習者的良師益友。《綫性代數的天龍八步（三版）》完美地詮釋瞭這一點。作者在書中展現齣的對綫性代數的熱愛和深刻理解，感染著每一位讀者。他不僅僅是在“教書”，更是在“育人”，引導讀者去思考，去探索，去發現數學之美。我特彆喜歡書中那些“點睛之筆”——作者在關鍵概念處插入的思考題，或者對某個重要定理的哲學性解讀。這些內容讓我不僅僅滿足於記住公式和定理，更能深入思考它們背後的數學思想和邏輯。書中的語言風格也十分親切，沒有那種高高在上的學術腔調，而是像一位經驗豐富的長者，耐心細緻地為你講解。每次讀完一章，我都會有一種豁然開朗的感覺，對綫性代數的理解也更加透徹。這本書已經成為我學習數學過程中不可或缺的夥伴。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，要真正掌握一門學問，不應該僅僅停留在理論層麵，更要理解其背後的思想和應用。《綫性代數的天龍八步（三版）》在這方麵做得非常齣色。作者並沒有迴避綫性代數在實際世界中的應用，而是通過大量的實例，展示瞭它在計算機圖形學、機器學習、數據科學、經濟學等多個領域的強大威力。比如，書中對圖像處理中的矩陣變換的講解，讓我明白瞭為什麼照片可以鏇轉、縮放，以及如何實現這些效果；在講解主成分分析（PCA）時，作者清晰地闡述瞭它如何幫助我們從海量數據中提取關鍵信息，這對於我理解當下熱門的AI技術非常有幫助。更重要的是，作者不僅僅是列舉應用，他還在解釋概念的同時，巧妙地將理論與實踐聯係起來，讓你在理解抽象概念的同時，也能預見到它們在實際問題中是如何解決的。這種“知行閤一”的學習方式，讓我對綫性代數的應用前景有瞭更深刻的認識，也激發瞭我進一步學習和探索的興趣。

评分☆☆☆☆☆

對於我這種追求嚴謹和深度學習的讀者來說，《綫性代數的天龍八步（三版）》提供的論證和推導過程，無疑是這本書最大的亮點之一。作者在講解每一個定理和性質時，都非常注重邏輯的嚴密性，從基礎公理齣發，一步步通過清晰的邏輯鏈條導齣結論，不留任何含糊不清的地方。這對於培養我的數學思維和嚴謹的學術態度至關重要。我特彆欣賞作者在證明過程中采用的多種方法，有時候會提供一種直接的代數證明，有時候又會結閤幾何直觀來輔助理解，這不僅拓寬瞭我的思路，也讓我能夠從不同的角度去理解同一個數學結論。而且，書中給齣的習題也很有代錶性，既有鞏固基礎概念的練習，也有挑戰思維的綜閤題，能夠有效地檢驗我對知識的掌握程度。通過反復思考和練習，我感覺自己的數學邏輯能力得到瞭顯著提升。

评分☆☆☆☆☆

這本書真是徹底顛覆瞭我對數學的刻闆印象！我之前學綫性代數的時候，總是感覺那些矩陣、嚮量、空間的概念像是從外太空飄來的，完全抓不住重點，也看不到它們到底有什麼用。但當我翻開《綫性代數的天龍八步（三版）》時，簡直就像打開瞭新世界的大門。作者就像一個經驗豐富的老前輩，用極其通俗易懂的語言，把那些復雜的數學原理拆解得絲絲入扣。他不是直接扔給你一堆公式和定義，而是通過一個個生動形象的比喻，從最基礎的概念講起，一步步引導你深入理解。我尤其喜歡他對幾何直觀的強調，比如講到嚮量時，他會讓你想象成箭頭，講到空間時，會讓你在三維世界裏遨遊。這種“看得見”的數學，讓我瞬間覺得綫性代數不再是枯燥的符號遊戲，而是描繪現實世界的有力工具。而且，書中穿插的那些小故事和曆史背景，也讓學習過程充滿瞭趣味性，感覺不像是在“啃書”，更像是在和一位博學的老師聊天。即使我平時對數學感到頭疼，讀這本書也一點都不覺得吃力，反而越讀越有勁，充滿瞭探索的樂趣。

评分☆☆☆☆☆

這本書最讓我驚喜的一點，是它在“難度梯度”上的精心設計。我之前接觸過一些綫性代數的教材，要麼過於淺顯，感覺學完後還是似懂非懂；要麼過於深奧，一開始就被大量復雜的符號和概念嚇退。而《綫性代數的天龍八步（三版）》則提供瞭一種平滑的學習麯綫。它從最基礎的概念入手，比如嚮量的加法和數乘，矩陣的基本運算，然後逐步深入到嚮量空間、綫性變換、特徵值與特徵嚮量等核心內容。在每一個階段，作者都給瞭足夠的篇幅去解釋和示範，確保讀者能夠紮實地掌握前一個概念，再進入下一個。即使遇到一些比較難理解的部分，書中也會提供一些“預備知識”或者“拓展閱讀”的建議，幫助我循序漸進地攻剋難關。這種由淺入深、由易到難的學習路徑，極大地增強瞭我的學習信心，讓我覺得學好綫性代數並非遙不可及。