微積分（含基礎數學）（二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本書將微積分所需用到的中學數學一起編入微積分課程中。函數是微積分主要的研究對象，我們先完整介紹一般函數，然後再討論其極限。而對三角函數、反三角函數、指數函數與對數函數也依此方式進行。函數與極限介紹完後，再進入微分與積分。

　　本書下列部分的介紹，與一般微積分書籍不同：鏈鎖律、微分、內積與外積的定義、換變數法、積分的應用。讀者可比較之。

　　本書盡量用直覺的方式介紹定理，避免嚴格的數學證明。對於某些定義，也以此方式進行，譬如極限的定義。

好的，這是一份關於一本假設的、不包含《微積分（含基礎數學）（二版）》內容的圖書簡介，側重於詳細的、非人工智能風格的描述： --- 《量子計算與信息論：從薛定諤方程到糾錯碼》 前言 在二十一世紀的科技浪潮中，信息不再僅僅是比特流的簡單堆砌，而是與物質世界的深層規律緊密交織。本書《量子計算與信息論：從薛定諤方程到糾錯碼》旨在為讀者構建一座堅實的橋梁，連接理論物理學的精妙與現代信息科學的前沿應用。我們深知，要真正理解量子信息，必須迴歸到量子力學的基本原理，同時也要掌握經典信息論為我們指明的方嚮。因此，本書並非對現有微積分教科書的簡單替代，而是聚焦於一個更具顛覆性的計算範式——量子世界中的信息處理。 本書的內容深度聚焦於量子力學在信息科學中的具體應用，我們迴避瞭傳統微積分教材中對連續函數、極限、導數和積分的係統性、全麵性講解，轉而將數學工具（如綫性代數、復數運算）作為理解量子現象的必要載體，而非學習的終極目標。我們的核心目標是闡釋如何利用量子疊加和糾纏的特性，設計齣比經典計算機更強大的算法，並確保信息在噪聲環境中得以可靠傳輸。 --- 第一部分：量子力學的基石——信息處理的視角 本部分將量子理論的抽象概念，轉化為信息科學所需的嚴謹框架。我們不會糾纏於洛必達法則或泰勒級數的復雜推導，而是直接進入量子比特（Qubit）的定義與操作空間。 第一章：量子比特與希爾伯特空間 我們從狄拉剋符號（Bra-Ket Notation）入手，明確如何用嚮量空間來描述一個量子態。本書將大量運用綫性代數中的張量積、內積和矩陣運算來定義量子態的演化。重點在於理解單比特係統 $mathbb{C}^2$ 上的操作，以及多比特係統的張量積結構。我們將詳細分析泡利矩陣（$sigma_x, sigma_y, sigma_z$）如何作為鏇轉操作符，而非僅僅是微分方程的解的一部分。 第二章：量子態的演化與酉矩陣 量子係統的演化必須是幺正的（Unitary），以保證概率守恒。本章深入探討酉矩陣（Unitary Matrices）在時間演化中的核心作用。我們將重點分析哈密頓量（Hamiltonian）如何通過薛定諤方程（$ihbar frac{partial}{partial t}|psi angle = H|psi angle$）導齣時間演化算符 $U(t) = e^{-iHt/hbar}$。需要強調的是，我們關注的重點是 $U(t)$ 作為一種可逆的、保持內積的變換，而非其背後涉及的微分方程求解技巧。我們將通過具體的量子門操作，而非連續變量的分析，來闡釋這一原理。 第三章：測量：信息的提取與坍縮 量子測量是量子信息處理中最具非連續性和不可逆性的過程。本章將采用投影測量公設，闡釋概率的計算方式，特彆是玻恩定則。我們將詳細分析期望值（Expectation Value）的計算，它依賴於矩陣的跡（Trace）運算，而非極限的概念。測量帶來的態的坍縮，是理解量子算法與經典算法根本差異的關鍵。 --- 第二部分：量子計算的核心算法與架構 在建立起基礎理論後，本部分將轉嚮實際的計算模型——量子電路和關鍵算法。我們緻力於展示量子並行性（Quantum Parallelism）如何轉化為計算優勢。 第四章：基本量子邏輯門集 本書將詳盡介紹構建通用量子計算機所需的基本門集，例如：Hadamard門（用於創造疊加態）、相位門（$S, T$ 門）、以及最重要的受控非門（CNOT）。我們特彆關注 CNOT 門如何作為構建糾纏態的橋梁，以及它在實現通用性計算中的不可替代性。對這些門的操作，將完全通過 $2 imes 2$ 或 $4 imes 4$ 矩陣乘法來定義和驗證。 第五章：Shor算法與量子傅裏葉變換（QFT） Shor算法是量子計算的標誌性成就。本章將拆解其核心——量子傅裏葉變換（QFT）。QFT 是離散傅裏葉變換（DFT）在量子態空間中的高效實現。我們將用矩陣形式和電路結構來描述 QFT 的具體步驟，重點在於其指數級的加速來自於對相位信息的有效提取，而非復雜的傅裏葉級數展開。我們將對比經典快速傅裏葉變換（FFT）的復雜度與 QFT 的效率。 第六章：Grover搜索算法 Grover 算法提供瞭一個針對無序數據庫的平方加速。本章將聚焦於振幅放大（Amplitude Amplification）技術。我們通過定義“擴散算符”和“反射算符”——這兩者都是酉矩陣——來構造迭代過程。分析過程集中於迭代次數如何使得目標態的概率振幅逐漸增強，這是一個幾何迭代過程，而非依賴於連續變量的優化方法。 --- 第三部分：量子信息與糾錯 信息論的視角至關重要。本部分將經典的信息度量（如熵）推廣到量子領域，並探討在噪聲環境中保護脆弱量子信息的方法。 第七章：量子信息度量：馮·諾依曼熵與糾纏 經典信息論中的香農熵（Shannon Entropy）被馮·諾依曼熵（Von Neumann Entropy）所取代，後者基於密度矩陣的特徵值。本章將解釋如何用密度矩陣 $ ho$ 來描述混閤態，並計算 $ ho$ 的熵 $S( ho) = - ext{Tr}( ho log_2 ho)$。我們還將引入糾纏度量，特彆是糾纏熵（Entanglement Entropy），來量化子係統之間的非經典關聯。 第八章：量子信道與噪聲模型 現實的量子計算機必然受到環境退相乾的影響。本章引入瞭量子信道的概念，並用超操作（Superoperator）或Kraus算子集閤來描述這些不可逆的噪聲過程。我們將分析退相乾（Decoherence）和去極化（Depolarization）等常見噪聲模型對量子態的影響。 第九章：量子糾錯碼 量子糾錯是構建容錯量子計算機的關鍵。我們將研究如何利用經典編碼的思想，設計能夠抵抗特定錯誤（如比特翻轉和相位翻轉）的穩定子碼（Stabilizer Codes），特彆是Shor 9比特碼和CSS碼。本章的重點在於測量穩定子（Syndrome Measurement）的過程，該過程用於定位錯誤而不破壞存儲的量子信息，這完全依賴於矩陣的綫性代數性質和可觀測量，而非對錯誤函數的導數分析。 --- 總結 《量子計算與信息論：從薛定諤方程到糾錯碼》是一部麵嚮物理、計算機科學和工程領域研究人員與高階學生的專著。它要求讀者具備紮實的綫性代數基礎，理解復數運算和矩陣理論，並將這些工具應用於描述和操縱量子信息流。本書堅定地站在前沿計算理論的立場上，探究的是如何利用物質的基本屬性來超越經典計算的界限，而不是傳統微積分領域中關於變化率和積纍量的基礎研究。本書的每一章都緻力於揭示量子世界中信息處理的奧秘，為讀者進入量子信息科學的最前沿做好準備。 ---

CH 1 函數與極限
CH 2 指數函數與對數函數
CH 3 三角與反三角函數
CH 4 導 數
CH 5 微 分
CH 6 導數的應用
CH 7 不定積分
CH 8 定積分與其應用
CH 9 嚮 量

附錄 積分錶

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作為一個在校大學生，我一直在尋找一本能夠幫助我紮實掌握微積分知識的教材。市麵上同類書籍眾多，但很多都過於理論化，或者缺乏係統性，讓我感到無從下手。這部《微積分（含基礎數學）（二版）》則給我帶來瞭耳目一新的感覺。它巧妙地將基礎數學和微積分融為一體，這種設計非常人性化。書的前半部分，作者花瞭相當大的篇幅來梳理和鞏固我在代數、幾何、三角函數等方麵的知識盲點，這對於我來說，就像是在為建造一座高樓打下堅實的地基。尤其是對不等式和方程組的講解，非常細緻，讓我能夠更自信地去處理微積分中遇到的各種代數運算。進入微積分部分後，作者的講解邏輯非常清晰。他沒有急於引入復雜的定理，而是先從直觀的例子入手，引導讀者逐步理解極限的概念。然後，在導數部分，作者特彆強調瞭導數的幾何意義和物理意義，通過求麯綫切綫和瞬時速度的例子，讓我能夠深刻理解導數所代錶的“瞬時變化”。接著，在積分部分，作者又將導數的逆運算和麵積計算巧妙地聯係起來，讓我對微積分的整體框架有瞭更深刻的認識。書中配有大量的插圖，這些圖示不僅美觀，而且能夠有效地幫助我理解抽象的數學概念。練習題的設計也很到位，從易到難，循序漸進，讓我能夠在練習中鞏固知識，發現自己的薄弱環節。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，對我這個數學基礎薄弱但又急切想學習微積分的讀者來說，簡直是雪中送炭。我一直對微積分這個概念充滿瞭好奇，但每次翻開那些動輒幾百頁、密密麻麻的公式和定理的書籍，都會望而卻步。這次看到“含基礎數學”的字樣，我就知道這可能是我一直尋找的那本“敲門磚”。果不其然，從第一頁開始，作者就循序漸進地講解瞭集閤、函數、不等式、數列等最基本卻又至關重要的概念。這些內容對於很多直接跳到微積分學習的人來說可能有些枯燥，但對我來說，卻是構建知識體係的基石。作者的講解方式非常耐心，常常會舉齣生活中的例子，將抽象的數學概念具象化，讓我不再覺得數學是冰冷的符號堆砌。例如，在講解函數的部分，作者就用“投入産齣”的類比，生動地解釋瞭函數的定義和性質，讓我豁然開朗。而且，書中的練習題設計也相當閤理，從簡單的概念鞏固到稍微復雜的應用，都覆蓋到瞭。每一道題後麵都有詳細的解答和分析，這對於我這種需要反復琢磨纔能理解的學生來說，簡直是無價之寶。我不再需要花費大量時間去尋找解析，而是能直接對照反思自己的錯誤，進步神速。總的來說，這本書真正做到瞭“因材施教”，讓我這個“零基礎”的讀者也能自信地踏上微積分的學習之路，大大提升瞭我學習的興趣和信心。

评分☆☆☆☆☆

作為一名準備考研的跨專業學生，我對微積分的掌握程度直接關係到我的復習效率。在眾多推薦的書籍中，我選擇瞭這本《微積分（含基礎數學）（二版）》，事實證明我的選擇是明智的。這本書的最大亮點在於其“含基礎數學”的設計。我之前數學基礎有些薄弱，特彆是高等數學中的一些前提概念，例如集閤論、邏輯符號、基本不等式等，我總覺得不夠牢固。這本書恰好彌補瞭這一點，在引入微積分概念之前，作者用相當的篇幅對這些基礎知識進行瞭梳理和講解，並且講解得非常透徹，這讓我能夠更有信心和底氣去麵對後續的微積分內容。微積分的部分，作者的講解邏輯性非常強，層層遞進。從極限的直觀理解，到導數的定義及其幾何意義，再到不定積分和定積分的計算與應用，每一步都銜接得非常自然。讓我印象深刻的是，作者在講解導數應用時，不僅列舉瞭函數單調性、極值、凹凸性等，還結閤瞭優化問題，這對我準備考研的數學題型非常有幫助。此外，書中的例題設計非常精巧，既涵蓋瞭基礎計算，也包含瞭綜閤應用，並且每道例題的解題思路都十分清晰，對於我這種需要反復練習以鞏固知識的學生來說，非常有價值。這本書的語言風格也比較樸實易懂，沒有過多華麗的辭藻，而是用最直接、最準確的數學語言來錶達。

评分☆☆☆☆☆

剛拿到這本《微積分（含基礎數學）（二版）》，就被它厚實的質感和精美的排版吸引瞭。我本身就對數學有著濃厚的興趣，尤其對微積分在物理、工程、經濟等眾多領域的應用著迷不已。這本書的內容可以說是我期待已久的那種。它不僅覆蓋瞭單變量微積分的核心內容，如極限、導數、積分及其應用，還對多變量微積分做瞭初步的介紹，這對於我之後深入學習更加復雜的數學模型至關重要。作者在講解過程中，並沒有一味地堆砌公式，而是非常注重概念的理解和幾何直觀的建立。例如，在講解導數時，作者花瞭相當大的篇幅去闡釋導數作為“變化率”的幾何意義，通過無數的麯綫斜率的例子，讓讀者能直觀地體會到導數在刻畫函數局部變化趨勢上的作用。同樣，對於積分，作者也從“麵積纍積”的角度齣發，詳細講解瞭定積分的幾何解釋，並將其與反導數聯係起來，形成瞭一個完整的概念體係。更令我驚喜的是，書中引用瞭大量的實際應用案例，從計算物體的運動軌跡到分析經濟增長模型，都讓我看到瞭微積分強大的生命力。這些案例不僅僅是理論的例證，更是激發學習動力的一劑良藥，讓我更深刻地理解瞭學習微積分的價值所在。書中的習題也很有深度，既有基礎性的計算題，也有需要綜閤運用多個概念的分析題，讓我能充分檢驗自己的學習成果。

评分☆☆☆☆☆

對於我這樣一名業餘的數學愛好者來說，能夠找到一本既係統又易於理解的微積分書籍並非易事。很多介紹微積分的書籍，要麼過於專業晦澀，要麼過於淺顯，難以滿足深入學習的需求。這本書的齣現，恰好填補瞭這個空白。作者在編排上非常用心，將基礎數學知識與微積分內容有機地結閤在一起，避免瞭初學者在麵對微積分時因基礎薄弱而産生的挫敗感。比如，在介紹函數時，作者沒有僅僅停留在定義層麵，而是花費瞭大量篇幅去講解函數的圖像、性質以及各種常見的函數類型，這對於理解導數和積分的幾何意義非常有幫助。在講解極限部分，作者采用瞭多種方法來闡釋，包括數列逼近、幾何直觀以及ε-δ語言的初步介紹，使得這個抽象的概念變得更加具體可感。而當進入到導數和積分的內容時，作者的講解更加深入，不僅闡述瞭各種計算方法和技巧，更重要的是，他將這些工具與解決實際問題緊密聯係起來。例如，在講解積分的應用時，書中包含瞭計算體積、弧長、功等多種物理和幾何問題，這些鮮活的例子讓我看到瞭微積分在科學研究和工程實踐中的巨大價值。我尤其欣賞書中對於“微積分基本定理”的講解，作者通過多角度的闡釋，讓我深刻理解瞭導數和積分之間的內在聯係，這是學習微積分的重中之重。