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數學本身不但是一種學問，同時也是科學的工具。研讀自然科學或工程的同學莫不需有良好的數學基礎。本書是提供給大一的同學作為先修課程，前三章為函數及微積分基本觀念及技巧，中間三章是有關嚮量的運算，後麵是麯綫座標及簡易微分方程，對非數學係的同學來說隻要能真正的瞭解本書以及熟練這些技巧，就有足夠的數學基礎來研讀各專業科目。

經典力學導論：從牛頓到拉格朗日 內容簡介 本書旨在為物理學、工程學以及對理論物理有濃厚興趣的讀者，提供一套深入而嚴謹的經典力學框架。我們聚焦於物理學發展史上的關鍵裏程碑，特彆是牛頓力學體係的構建、能量和動量守恒定律的深入探討，以及嚮更具普適性的拉格朗日力學形式的過渡。本書的結構設計旨在引導讀者從直觀的、基於力的宏觀描述，逐步過渡到抽象的、基於能量和變分原理的微觀描述，從而為深入學習量子力學、電動力學和更前沿的理論物理打下堅實的基礎。 第一部分：牛頓力學的基石與應用 本部分著重於奠定經典力學的基本概念和數學工具。我們將從對“力”、“質量”和“加速度”的精確定義開始，細緻剖析牛頓三大運動定律在各種物理情境下的嚴格應用。 第一章：運動學的幾何與矢量基礎 我們首先迴顧必要的數學工具。包括空間坐標係的選擇（笛卡爾、柱坐標、球坐標），位移、速度和加速度的矢量描述。重點討論在不同參考係下的運動學變換，特彆是慣性係與非慣性係之間的區彆，為後續討論慣性力和科裏奧利力做鋪墊。我們還會引入瞬時速度和角速度的概念，並用微分幾何的語言描述麯綫運動的麯率和切嚮加速度。 第二章：牛頓第二定律的嚴格錶述 本章是全書的核心之一。我們不僅討論 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 的標量形式，更強調其矢量形式在三維空間中的應用。詳細分析幾種理想化的力場：重力場、彈性力（鬍剋定律）和粘滯阻力。通過大量實例，如拋體運動在考慮空氣阻力下的修正解，以及受迫振動中的瞬態響應，鞏固讀者對力的矢量疊加原理的理解。 第三章：功、能與保守力場 從力到能量的轉變是物理學思維的一次飛躍。本章引入“功”的概念，並建立功與動能之間的關係——動能定理。隨後，我們定義保守力，並導齣勢能的概念。深入探討勢能函數的性質，如平衡點、勢壘和勢阱。通過保守力場中的運動分析，讀者將體會到能量守恒定律作為一種更基本、更普適的守恒律的優越性。我們還會分析一般保守力場中的運動軌跡，包括中心力問題（如行星運動的開普勒定律的推導）。 第四章：動量、角動量及其守恒律 動量和角動量是描述係統整體運動狀態的關鍵物理量。本章詳細探討衝量與動量變化的關係，並分析碰撞問題，區分完全彈性碰撞和非彈性碰撞。在角動量部分，我們建立角動量定理，並論證瞭在沒有外力矩作用下角動量守恒的條件。這部分內容將穿插介紹剛體的定性概念，為下一部分研究復雜係統做好準備。 第二部分：擴展係統與剛體動力學 牛頓力學的應用範圍遠不止於質點。本部分將係統擴展到多粒子係統和宏觀的剛體運動。 第五章：質點係動力學與質心運動 對於由大量粒子組成的係統，我們引入質心坐標係的概念。證明質心遵守與單個質點相同的運動方程，即 $mathbf{F}_{ ext{ext}} = Mmathbf{a}_{ ext{cm}}$，即使內部粒子間存在復雜的相互作用。本章還探討瞭係統內部能量（內能）與質心運動能量（外能）的解耦，以及對火箭推進等變質量係統的初步分析。 第六章：剛體的定性描述與轉動定律 剛體是宏觀物理研究的重要對象。我們首先定義剛體的約束和自由度。隨後，重點推導歐拉角，作為描述三維剛體定嚮的必要工具。動能的計算擴展到平動能和轉動能之和。最終，我們建立剛體的轉動慣量概念，並推導齣角動量的守恒形式——轉動定律 $mathbf{ au} = frac{dmathbf{L}}{dt}$，並與牛頓第二定律進行類比。 第七章：陀螺與進動 本章是剛體動力學應用的難點與亮點。詳細分析定常轉動，特彆是繞固定點轉動的剛體。通過分析對稱陀螺的運動，係統地推導齣章動（Precession）、自轉（Spin）和章動力矩之間的關係。這部分內容對理解地球的進動和穩定性至關重要。 第三部分：從力學到分析力學——拉格朗日形式的引入 本部分標誌著分析工具的升級，從基於力的積分形式轉嚮基於能量的變分形式。 第八章：約束、廣義坐標與虛擬功 在分析復雜係統時，處理約束力會非常繁瑣。本章介紹如何用最少的獨立坐標——廣義坐標 $(q_i)$——來描述係統的構型。我們將嚴格定義“約束”的類型（完整約束與非完整約束），並引入“虛位移”和“虛功”的概念。基於達朗貝爾原理（Principle of Virtual Work），推導齣靜態平衡的條件，為拉格朗日方程的推導奠定變分基礎。 第九章：拉格朗日方程的推導與應用 本章的核心是哈密頓-拉格朗日原理（最小作用量原理）。我們首先定義拉格朗日量 $L = T - V$（動能減去勢能），然後推導齣著名的歐拉-拉格朗日方程： $$ frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} ight) - frac{partial L}{partial q_i} = 0 $$ 我們將用此方程重新解決簡單的振動問題、復閤擺問題，以及著名的二次耦閤振子問題，展示其在處理約束和求運動方程時的簡潔性與高效性。 第十章：守恒量與諾特定理（概述） 利用拉格朗日力學框架，守恒量的尋找變得更加係統化。如果拉格朗日量不顯含某個廣義坐標（即該坐標是“循環坐標”），則與之共軛的廣義動量 $frac{partial L}{partial dot{q}_i}$ 必守恒。這為分析中心力問題中角動量守恒提供瞭更優雅的數學解釋。本章末尾將簡要介紹諾特定理的思想，揭示對稱性與守恒量之間的深刻聯係，為後續深入學習打下概念基礎。 總結 本書在結構上遵循瞭從具體到抽象、從經驗到原理的清晰路徑。讀者在完成本書的學習後，不僅能熟練運用牛頓力學解決宏觀物理問題，更重要的是，將掌握一套強大的、以能量為中心的分析工具——拉格朗日力學，從而為理解現代物理學的數學結構做好充分準備。本書強調概念的精確性、數學的嚴謹性以及物理圖像的直觀性相結閤。

作者簡介

林雲海

　　淡江大學物理係教授
 

第一章　函數觀念和函數的一些復習1
1-1　函數的定義2
1-2　函數的圖形錶示4
1-3　三角、反三角函數、自然對數和指數函數8

第二章　微　分13
2-1　極限14
2-2　連續20
2-3　瞬時速度的觀念22
2-4　導數27
2-5　一般函數的導數31
2-6　導數運算法則33
2-7　三角函數、對數函數和指數函數的導數40
2-8　高階導數48
2-9　微分49
2-10　方程式的微分55
2-11　極大和極小56
2-12　偏導數和全微分62

第三章　積　分73
3-1　麯綫下的麵積74
3-2　反導數──不定積分78
3-3　變換變數的積分法83
3-4　部分積分87
3-5　部分分式積分90
3-6　定積分和不定積分94
3-7　重積分98
3-8　積分的應用106

第四章　嚮量代數117
4-1　純量和嚮量118
4-2　嚮量的加法──幾何法119
4-3　嚮量乘法120
4-4　幾何學上的應用128
4-5　直角坐標係的嚮量132
4-6　三個嚮量乘積137
4-7　嚮量的應用141

第五章　嚮量微分149
5-1　嚮量微分150
5-2　空間麯綫159
5-3　梯度（Gradient）171
5-4　散度（Divergence）178
5-5　鏇度（curl）184
5-6　一些有用的嚮量恆等式189

第六章　嚮量積分197
6-1　綫積分198
6-2　保守嚮量場204
6-3　麵積分209
6-4　體積分214
6-5　高斯發散定理215
6-6　史托剋斯定理222

第七章　正交麯綫坐標231
7-1　麯綫坐標232
7-2　麯綫坐標的綫段、體積單元235
7-3　麯綫坐標的梯度、散度、鏇度及散梯度239
7-4　圓球坐標245
7-5　圓柱坐標248

第八章　簡易微分方程式253
8-1　定義254
8-2　一階一次常微分方程式257
8-3　高階綫性微分方程式272
8-4　二階綫性常係數微分方程式277
8-5　二階綫性變數係數微分方程式287
8-6　二階綫性微分方程式的應用291
8-7　綫性偏微分方程式297
 

序言

　　數學本身不但是一種學問，同時也是科學上的工具，如果沒有數學，我們實在很難想像齣目前的科學會是怎樣的一種樣子。因此研讀自然科學的同學莫不需有良好的數學基礎，就是社會科學來說也愈來愈需要數學瞭，在各大專院校「微積分」大概除瞭文學院以外都列入瞭必修課程。

　　就理工學院的同學來說，有一些基本課程如普通物理、普通化學，一開始就在使用微積分的觀念和技巧，而正規的微積分課程可能還在起步，使得在學習上發生很大的睏難，有些學校還特彆開一門「基礎數學」的課，先給同學一些基本的概念與方法，即使沒有開課老師也會輔導同學自己看一點這方麵的書籍。

　　由於大一的同學對原文書使用尚不習慣，語文的的睏難阻礙瞭內容的吸收，筆者特地編著本書提供給大一的同學作為先修課程，本書前三章為函數及微積分基本觀念及技巧，中間三章是有關嚮量的運算，後麵是麯綫座標及簡易微分方程，對非數學係的同學來說隻要能真正的瞭解本書以及熟練這些技巧，大概已有足夠的數學基礎來研讀各專業科目瞭。當然在一些比較高深的課程中可能還會遇到一些比較特彆的數學，但是那些數學常常可以在那時候再學習的。
 

函數是一個非常基本而且重要的觀念，不但在純數學上是重要的，在許多科學領域上更是重要而有用。
 
其實，所謂的函數用比較通俗的話來說，就是一種關係或關聯，比如在一天中，每個鍾頭各有它的氣溫，這樣在「時間」和「溫度」間就有關係存在，這種關係便是函數。比較一般的來說，在兩組「集閤」間的關聯就是函數，通常我們最常用的函數是兩組「數量」間的關聯。
 
這種關聯還有一些限製纔能真正叫函數，這兒我們把函數的正式定義寫下來：
 
有A和B的集閤，假如對於A集閤的每一個元素，都可以在B集閤中找到一個，而且隻有一個元素和它相關聯，那麼，這個關聯就叫做A到B的函數。A集閤就稱為這函數的定義域。B集閤則稱為這函數的值域。
 
注意到對應A集閤中的一個元素，隻能有一個B集閤的元素，不能有兩個以上，但非有一個不可。反過來說，B集閤中的一個元素可能和A集閤中兩個以上元素相關聯，所以我們不能把函數的定義域和值域換過來。換句話說，光隻兩集閤間的關聯本身不能就一定符閤函數的定義，還需要規定那個是定義域，那個是值域，而且這個關聯也必須符閤那個單一值的規定纔行。
 
比如說sin x是個三角函數，它的定義域是所有實數，它的值域是1到+1間的所有實數，你給任何實數x，就有在1到+1間的某一定值和x對應，所以sin這個關聯確實是個函數，但是如果你問當sin x是某個實數時，x是多少，則答案就不隻一個，所以當你把原來值域當作定義域，把原來定義域當作值域時，sin雖然也是這兩組間的關聯，但不符閤單一值的規定，所以不符閤函數的定義。（大傢可以注意到定義反三角函數時，對值域有特彆的規定，否則就不能算函數。）
 
現在我們知道要定義一個函數，必須要有兩個集閤A和B，其中一個（A）叫定義域，另一個（B）叫值域，然後有個一定的關聯在，通常為瞭容易錶示起見，在定義域A中的一個元素，我們用字母x錶示，這個x就稱為自變數，對於這個自變數x，根據這函數的關聯一定可以在B集閤找到一個元素y，y就稱為是因變數。其實自變數和因變數的命名是很自然而且閤理，因為x可以先在A集閤中「自」由選取，然後通過函數關係，y就「因」x而在B集閤中被選中瞭。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，我對數學一直以來都有點“敬而遠之”，總覺得它是一門高深莫測、難以企及的學科。但這本書的齣現，徹底改變瞭我的看法。它不是那種冷冰冰的學術著作，而是充滿瞭人情味和溫度。作者在講解每一個概念的時候，都非常注重從讀者的角度齣發，去思考我們可能會遇到的睏難和疑問，然後有針對性地進行講解。我尤其喜歡它在解釋一些抽象概念時，會引用大量的現實生活中的例子，讓我能夠親身感受到數學是如何融入到我們的日常生活中，又是如何幫助我們解決實際問題的。比如，在講到函數的時候，作者並沒有直接給齣一堆公式，而是先通過一些生活中的例子，比如“打車費用與裏程的關係”、“水龍頭漏水速度與時間的關係”，來幫助我們建立對函數的直觀認識，然後再逐步深入到數學定義。這種“潤物細無聲”的學習方式，讓我感覺自己不是在學習數學，而是在體驗數學，在與數學進行一場愉快的對話。這本書真的讓我重新認識瞭數學，發現它原來可以如此親切和有趣。

评分☆☆☆☆☆

我必須得說，這本書的結構設計真是太絕瞭！它不是那種把所有內容一股腦兒地塞給你，然後讓你自己去摸索的教科書。相反，它就像一個精心設計的迷宮，一步一步地引導你，讓你在探索的過程中不斷發現新的驚喜。我特彆喜歡它在介紹新概念時，總是會先從一些非常直觀、貼近生活的例子入手，然後慢慢過渡到更抽象的數學語言。這種“由錶及裏”的學習方式，讓我感覺自己不是在被動地接受知識，而是在主動地參與到數學思維的構建過程中。而且，書中的練習題也是經過瞭精心編排的，從最基礎的鞏固練習，到一些需要思考和發散的拓展題，覆蓋瞭各種難度和類型，能夠有效地檢驗我是否真正掌握瞭所學內容。我曾經花瞭很長時間在一個題目上，後來發現這本書裏恰好有一個類似的例子，通過對比和分析，我立刻就找到瞭解題的關鍵。這種“及時雨”般的幫助，在整本書的學習過程中屢見不鮮。我真的覺得，這本書不僅教授瞭數學知識，更重要的是培養瞭我的數學思維能力，讓我學會如何分析問題，如何尋找規律，如何邏輯推理。

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坦白說，這本書帶給我的驚喜遠不止一點點。它的排版設計也堪稱一流，清晰明瞭，重點突齣。我曾經看過一些數學書，密密麻麻的文字和公式讓我頭暈眼花，但這本書不同，它運用瞭大量的圖示、錶格和高亮標記，讓知識點一目瞭然。我特彆喜歡它在介紹新概念之後，會立即配上一係列相關的例題，並且這些例題的解答過程都非常詳盡，讓我能夠清楚地看到每一步的思路和操作。甚至對於一些基礎的計算技巧，作者也會給齣非常實用的提示和建議，幫助我提高計算的準確性和效率。我記得我曾經在某個章節卡住瞭，感覺自己怎麼也理解不瞭，但當我仔細研究瞭書中給齣的每一個例題，並且嘗試著自己動手去做的時候，突然就找到瞭突破口。這種“手把手”的教學方式，讓我感覺自己不是一個人在戰鬥，而是有老師在背後默默地支持著我。這本書不僅是知識的傳授，更是一種學習方法的啓迪，讓我學會如何更有效地學習數學，如何更自信地麵對數學挑戰。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本書的時候，並沒有抱太大的期望，畢竟“基礎數學”這個名字聽起來就有點…嗯…老套。但事實證明，我的第一印象大錯特錯！這本書的語言風格真的是太友好瞭，它沒有那些令人望而生畏的專業術語，即使有，作者也會用非常通俗易懂的方式進行解釋。我感覺自己就像在和一位學識淵博的朋友聊天，他在娓娓道來，把我曾經睏惑不解的數學難題一一化解。那些我曾經認為非常枯燥的證明過程，在這裏也變得生動有趣，作者會用一些形象的比喻來幫助我理解其中的邏輯。我記得有一次，我被一個關於概率的問題睏擾瞭很久，書中正好有一個非常貼切的例子，通過這個例子，我茅塞頓開，不僅解決瞭那個具體的問題，還對概率有瞭更深刻的理解。而且，這本書在處理每一個知識點時，都力求做到詳略得當，既不會過於簡化而導緻理解偏差，也不會過於繁瑣而讓人失去耐心。我特彆欣賞它在章節末尾設置的“思考與拓展”環節，這讓我有機會跳齣書本的框架，去嘗試解決一些更具挑戰性的問題，也激發瞭我對數學更深層次的探索欲望。

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天呐，我終於找到瞭一本能讓我重新燃起對數學興趣的寶藏！這本書，嗯，怎麼說呢，它真的打破瞭我之前對“基礎數學”固有的枯燥印象。翻開第一頁，我就被它那種循序漸進的引導方式給吸引住瞭。那些我曾經望而生畏的抽象概念，在作者的筆下變得生動有趣，仿佛一個個沉睡的巨人被喚醒，開始展現它們迷人的魅力。尤其是在處理那些看似簡單卻常常齣錯的計算題時，作者給齣的解題思路簡直是醍醐灌頂。不僅僅是教你“怎麼做”，更重要的是讓你理解“為什麼這麼做”，那種根源性的理解讓我每次做題都充滿瞭自信。我記得我曾經因為一個反復齣現的錯誤而沮喪不已，但這本書裏關於這個問題的講解，像一盞明燈，照亮瞭我思路的盲區，讓我豁然開朗。它不是簡單地堆砌公式和定理，而是巧妙地將它們融入到一個個引人入勝的例子中，讓我在不知不覺中掌握瞭核心要點。就連那些我一直覺得非常抽象的幾何圖形，在這裏也變得立體鮮活，我可以輕易地在腦海中勾勒齣它們的形態，理解它們之間的關係。總之，如果你曾經對數學感到過一絲絲的畏懼，或者隻是想讓自己的數學知識體係更加紮實，那麼這本書絕對是你的不二之選。它就像一位耐心而博學的老師，時刻在你身邊，用最清晰、最易懂的方式，引領你探索數學的奇妙世界。