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圖書標籤:

• 數學分析
• 微積分
• 高等數學
• 實分析
• 極限
• 連續性
• 微分
• 積分
• 函數
• 數學

　　美麗的數學王國門口有兩根壯碩的大柱子，其中一根為非綫性的微積分，而另一根則為綫性的綫性代數。這兩根大柱子射齣美麗的光芒，照耀瞭數學王國的代數、幾何、分析、物理、工程和經濟，這些光芒不僅提供瞭它們養分，還幫助它們成長。

　　數學有五要素：實數、歐式空間、函數、不等式和公理。實數和歐式空間為數學的身體，像電腦的硬體一樣，而函數、不等式和公理為數學的靈魂，像電腦的軟體一樣。電腦一定要有 硬體，但是有瞭硬體，還是不能動，尚需要軟體，纔能運作，本書詳細介紹實數、歐式空間、函數、不等式和公理。

　　這本數學分析基礎，涵蓋非綫性的微積分和綫性的綫性代數，還涵蓋微分方程，此書共計有1,164頁。書中含有目錄、索引、Index、圖像和各式各樣的題目，我們將完整的習題解答，錄成CD，附置於書後。

　　本書中除瞭詳細介紹一維微積分外，更詳細介紹二維和三維的多變數分析，因為二維和三維最為其體，且最有感覺。瞭解二維和三維分析，一方麵可以檢驗一維分析，而另一方麵則可以學習四維以上之高等微積分，建議先念本書，再念高等微積分。

　　本書對每一定理和重要概念，都指齣其原由和應用。本書每一章還會介紹一節數學傢有趣的生平，所謂蹲下來為的是要跳得更高，閱讀完該節後，相信讀者又可以體力充沛地繼續學習下麵的章節瞭。

　　這一本數學分析基礎，是由著者在國立清華大學教瞭三十餘年的微積分講義補編而成，希望在颱灣能成為一本有意義的教科書和課外讀物。

作者簡介

王懷權

　　學曆
　　國立颱灣師範大學數學學士（1964年）。
　　國立清華大學數學碩士（1966年）。
　　美國愛荷華大學數學博士（1971年）。

　　經曆
　　國立清華大學教授（1974-2004年）。
　　國立清華大學數學係係主任（1975-1977年）。
　　中華民國數學會理事長（1991-1995年）。
　　玄奬大學講座教授兼應用數學係係主任（2004-2008年）。

　　著作
　　Homogeneous Banach Algebras, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, No.29, Marcel Dekker, Inc. New York, U.S.A.（1977年）。
　　Nonlinear Analysis, National Tsing Hua University Press, Hsinchu, Taiwan, （2003年）。
　　數學的故鄉，成信文化事業股份有限公司齣版，颱灣颱北（2004年）。
　　Palais-Smale Approaches to Semilinear Elliptic Equations in Unbounded  Domains, Electron. J. Diff. Eqns., Monograph 06,（2004年）。

　　榮譽
　　與國立清華大學化學係賴昭正教授組隊參加國立清華大學教職員橋牌賽，獲得第一名，由橋牌國手瀋君山院長頒予奬牌（1982年）。
　　獲得1986年度中山學術著作奬，由李遠哲院長於國立清華大學月涵堂頒發榮譽校友奬狀。
　　國科會甲種奬（1971-2008年）。
　　國科會優等奬（1994年）。
　　國立清華大學傑齣教學奬暨教育部教學特優教師（1994年）。
　　國立清華大學傑齣教學奬（2003年）。
　　中華民國數學會學會奬（2003年）。

1實數、函數和數列的定義、不等式和經典公理1
11實數1
12函數和數列的定義18
13不等式25
14經典公理30
15曆史上第一個大數學傢畢達格拉斯38
16習題40

2函數的極限43
21函數的運算43
22函數極限的定義45
23函數極限的定理48
24右極限和左極限56
25函數極限存在和不存在的例子63
26蘇格拉底、柏拉圖和亞裏士多德81
27習題84

3函數的連續87
31函數連續的定義87
32連續函數三大優異定理93
33連續函數六大經典定理97
34連續和不連續函數的例子105
35大數學傢阿基米德113
36習題
ix115

4函數的導數119
41函數導數的概念119
42函數導數的定義120
43函數導數三大基本定理124
44均值定理130
45可微函數與其導函數之間彼此關係密切137
46可微和不可微函數的例子141
47數學傢笛卡兒之網路故事151
48數學傢笛卡兒152
49習題156

5導函數的應用161
51麯綫的切綫斜率、切綫方程和法綫方程161
52均值定理的應用163
53函數的增滅、極值、凹凸、反麯點和漸近綫166
54畫函數的圖形185
55法國大數學傢費馬188
56瑞士馬特洪峰191
57習題192

6函數的積分195
61可積函數198
62積分運算定理210
63積分均值定理222
64微積分基本定理224
65積分的應用—求麵積和體積226
66數學傢巴斯卡232

7初等函數237
71反函數定理238
72三角函數和反三角函數241
73對數函數253
74指數函數261
75雙麯函數和反雙麯函數266
76通世數學傢牛頓273
77習題275

8積分法277
81分部積分法277
82變數變換積分法281
83部份分式積分法284
84三角函數積分法286
85三角函數替換積分法292
86數學大師歐伊勒295
87習題297

9數列301
91收斂數列定理301
92發散數列運算定理314
93上極限和下極限319
94一筆畫326
95習題327

10級數331
101收斂級數和發散級數331
102正項級數340
103廣義交錯級數348
104絕對收斂級數352
105數學王子高斯356
106習題359

11泰勒理論361
111泰勒定理的自來361
112泰勒定理363
113泰勒級數369
114馬剋勞林級數370
115泰勒定理救人一命。379
116天纔數學傢歌洛怡380
117習題382

12數值方法383
121牛頓求根法385
122壓縮映射定理求定點法390
123n次逼近求函數值法393
124弦梯積分法395
125辛浦森積分法397
126韆山獨行，壁創宇宙大業─愛因斯坦400
127習題404

13函數極限的推廣、不定型、瑕積分和Γ函數405
131函數極限的推廣405
132不定型407
133瑕積分414
134Γ函數428
135法國龐加萊和德國希爾伯特432

14函數列和函數級數437
141函數列437
142函數級數450
143數學傢在哪裏思考數學？461
144習題463

15綫性空間、綫性變換與矩陣空間和歐氏空間467
151綫性空間467
152綫性變換空間與矩陣空間483
153歐氏空間504
154黃金比例數524
155習題526

16二變數純量函數的極限和連續529
161二變數純量函數的極限529
162二變數純量函數的連續538
163數學傢陳省身555
164習題556

17嚮量函數的極限和連續557
171一變數嚮量函數的極限557
172一變數嚮量函數的連續562
173嚮量場的極限567
174嚮量場的連續570
175國際數學聯閤會和國際數學傢會議575
176習題580

18二變數純量函數的微導583
181全導數、方嚮導數、偏導數、梯度和微分583
182全導數鏈法則600
183均值定理601
184隱函數定理602
185高階偏導數和泰勒定理604
186極值和鞍點611
187拉格宏機乘子定理618
188鳥和青蛙621
189習題627

19嚮量函數的微導629
191單變數嚮量函數的微導629
192嚮量場的微導640
193美國普林斯頓大學。652
194習題654

20重積分655
201二重可積函數655
202二重積分運算定理669
203二重積分均值定理680
204微分與積分682
205有界集上的二重積分687
206三重積分687
207開發新領域693
208習題694

21重積分之計算與應用697
211二重積分之計算與應用697
212三重積分之計算與應用729
213數學的嚴謹與抽象737

22純量場和嚮量場的綫積分與麵積分741
221純量場、嚮量場、散度、鏇度和梯度741
2222維純量場和嚮量場的綫積分746
2233維純量場和嚮量場的綫積分780
224純量場和嚮量場的麵積分785
225多變數微積分基本定理803
226解決持久問題809
227習題810

23微分方程813
231初值微分方程和積分方程813
232一階微分方程815
233初值微分方程組和嚮量積分方程823
234二階微分方程825
235數學的力與美839
236習題841
索引842

Index861

评分☆☆☆☆☆

拿到《數學分析基礎》這本書，我最關心的是它在數學分析的“語言”和“錶達”上是否足夠清晰和規範。我知道，數學分析的嚴謹性很大程度上體現在其精確的符號和嚴格的定義上。我希望這本書能夠用一種嚴謹而又易於理解的語言，來闡述數學分析的各種概念。例如，在講解集閤論時，是否會清晰地定義各種集閤運算；在講解函數時，是否會詳細說明定義域、值域、單射、滿射等概念。我特彆希望作者能夠在使用符號時，保持高度的一緻性，並且能夠充分解釋每一個符號的含義。我希望這本書能夠成為我學習數學分析的“字典”，我可以在任何時候查閱，找到我需要的定義和解釋。我希望它能夠幫助我準確地理解和使用數學分析的術語，避免在學習過程中産生不必要的混淆。如果書中能夠包含一個詳細的符號索引，或者一個術語錶，那將極大地提高它的實用性。這本書對我來說，是希望能夠成為我通往數學分析殿堂的“引路人”，它能夠為我打下堅實的語言基礎，讓我能夠更自信地去閱讀和理解更復雜的數學文獻。

评分☆☆☆☆☆

讀到《數學分析基礎》這個書名，我立刻聯想到那些曾經讓我頭疼不已的數學概念。我知道，數學分析是許多高深理論的基石，掌握好它，纔能在更高的數學領域遊刃有餘。我非常期待這本書能夠以一種非常“接地氣”的方式，來闡述那些抽象的概念。例如，在講解序列和級數收斂時，我希望它能提供一些可視化的圖形，或者一些實際的例子，來幫助我理解“無窮”的概念是如何被“控製”的。我尤其關心作者在講解導數和積分時，是否能夠深入地剖析它們在物理、工程等實際應用中的體現。比如，導數可以用來描述速度和加速度，積分可以用來計算麵積和體積，這些應用層麵的解讀，往往比純粹的數學推導更能激發我的學習興趣。我希望這本書能夠不僅僅停留在理論層麵，而是能夠將數學分析與實際應用緊密結閤，讓我看到數學分析的強大生命力和廣泛的應用前景。如果書中能夠包含一些著名的數學難題，以及這些難題是如何被數學分析的工具所解決的，那將是極具啓發性的。這本書對我而言，是希望能夠成為我理解數學分析的“翻譯官”，將那些晦澀的理論轉化為我能夠理解並運用的知識。

评分☆☆☆☆☆

在拿到《數學分析基礎》這本書時，我首先想到的是，它是否能夠幫助我建立起一種“全局觀”。數學分析中的概念並非孤立存在，而是相互關聯，構成瞭一個龐大的知識體係。我希望這本書能夠幫助我理解，數學分析的各個部分是如何有機地聯係在一起的。例如，序列的極限概念是如何引齣函數的極限，函數的極限又是如何引齣連續性的，連續性又是如何引齣導數和積分的。我希望它能夠展現齣數學分析的“整體美”，讓我能夠從宏觀的角度把握這門學科。我尤其希望作者在講解過程中，能夠適當地進行“概念的升華”，將一些看似微小的細節，與更宏大的數學思想聯係起來。例如，在講解 $epsilon-delta$ 語言時，能否將其引申到數學的“精確性”和“可靠性”的基石作用。我希望這本書能夠幫助我，在學習具體知識點的同時，也能看到它們在整個數學分析框架中的位置和意義。如果書中能夠提供一些“思維導圖”或者“知識網絡圖”，來梳理各個概念之間的關係，那將極大地幫助我建立起清晰的全局認識。這本書對我來說，是希望能夠成為我理解數學分析的“藍圖”，它能夠讓我看到學科的全貌，從而更有方嚮地進行深入學習。

评分☆☆☆☆☆

這本書的書名是《數學分析基礎》，這顯然是一本理論性極強的學科入門讀物。我拿到這本書時，首先被它樸實無華的封麵設計所吸引，沒有花哨的插圖，也沒有煽情的標題，一切都圍繞著“數學分析”這四個字，預示著它將帶我踏上一段嚴謹而充滿挑戰的智力探索之旅。我的期待是，它能為我打下堅實的數學分析基礎，讓我理解那些看似抽象的數學概念是如何構建起來的，以及它們在解決實際問題時所扮演的角色。我知道，數學分析是許多高級數學分支的基石，無論是高等代數、微分幾何，還是概率論，都離不開它。所以，我希望這本書能夠深入淺齣地講解，用清晰的邏輯和詳實的例證，讓我領略到數學的魅力，而不是僅僅停留在公式的堆砌上。我特彆關注作者在講解過程中，是否能夠引導讀者思考，培養獨立分析問題的能力，而不僅僅是被動地接受知識。如果這本書能夠做到這一點，那麼它在我心中的價值將不可估量，它將是我學術生涯中一位不可或缺的良師益友。我期待著這本書能夠解答我心中對數學分析的種種疑問，並激發我進一步探索更廣闊的數學世界。

评分☆☆☆☆☆

當我看到《數學分析基礎》這個書名時，我的腦海中立刻浮現齣微積分學發展史上的那些巨匠們，他們是如何一步步奠定這門學科的基石的。我希望這本書能夠不僅僅是一本教材，更是一部數學分析的“史詩”。我期待作者能夠以一種引人入勝的方式，講述數學分析中那些核心概念的起源和演變。例如，在介紹極限的概念時，能否迴顧一下阿基米德如何通過“逼近法”來計算圓周率，以及後來的數學傢如何一步步將這種直觀的思想嚴謹化。同樣，在講解積分時，能否提及牛頓和萊布尼茨的微積分發明，以及他們之間存在的爭議和閤作。我希望這本書能夠幫助我理解，數學分析中的每一個定理、每一個公式，都是經過瞭無數代數學傢前赴後繼的探索和檢驗纔得以確立的。我期待通過閱讀這本書，能夠感受到數學分析的“厚重感”，以及它作為一門古老而又充滿活力的學科的魅力。如果書中能夠穿插一些數學傢的傳記片段，或者他們當年寫下的筆記，那將是令人興奮的。這本書對我來說，將是關於數學分析的一場“思想旅行”，我希望它能夠帶我穿越時空，去感受數學思想的傳承和發展。

评分☆☆☆☆☆

我對《數學分析基礎》這本書的期望，是它能夠幫助我建立起一種“數學懷疑精神”。我知道，數學分析的核心在於嚴謹的邏輯和嚴格的證明，而這種嚴謹性，恰恰需要我們對每一個概念、每一個結論都保持審慎的態度。我希望這本書能夠引導我，不要輕易接受現成的結論，而是要思考“為什麼會這樣？”，並且去嘗試自己去證明。我尤其關注作者在講解過程中，是否會主動地提齣一些“反例”，或者一些需要深入思考的“邊界情況”，來挑戰我的固有認知。例如，在討論連續性時，能否給齣一些看似連續但實際上並非處處連續的函數，或者在討論收斂時，給齣一些收斂速度的比較。我希望這本書能夠教會我如何像一個數學傢一樣去思考，去質疑，去探究。我希望它能夠培養我一種“刨根問底”的精神，不僅僅滿足於知道“是什麼”，更要去探究“為什麼是”。如果書中能夠提供一些開放性的問題，鼓勵讀者去思考和探索，那將是極具價值的。這本書對我來說，不僅僅是知識的傳遞，更是一種思維方式的塑造，我希望它能夠讓我受益終身。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《數學分析基礎》這本書，首先關注的是它的章節結構和內容安排。我希望這本書能夠係統地、有條理地梳理數學分析的知識體係，從最基本的概念如實數係、集閤論齣發，逐步深入到序列、極限、連續、微分、積分等核心內容。我希望它的邏輯鏈條能夠清晰明瞭，前後呼應，讓讀者能夠感受到知識的層層遞進，而不是零散的知識點堆砌。我非常在意作者在講解過程中，是否能夠充分地解釋每一個概念的定義、性質以及它們之間的相互關係。比如，在講到極限時，是否詳細解釋瞭 $epsilon-delta$ 語言的含義和應用，以及它在證明中的重要性；在講解連續性時，是否清晰地說明瞭函數在一點連續、在區間連續以及一緻連續的區彆和聯係。我希望書中能夠提供大量的例題和習題，並且這些例題能夠覆蓋不同難度和不同側重點，幫助我鞏固所學知識，並訓練我獨立解決問題的能力。如果習題後麵能附帶一些提示或者解答，那就更好瞭，能夠在我遇到睏難時提供及時的幫助，避免我陷入思維的死鬍同。這本書對我來說，更像是一本“工具書”，我希望它能夠成為我在學習和研究過程中，隨時可以查閱、可以依賴的寶藏。

评分☆☆☆☆☆

我拿到《數學分析基礎》這本書，非常好奇作者會以怎樣的方式來呈現數學分析的嚴謹之美。我一直認為，數學分析不僅僅是枯燥的符號和公式，更是一種思維方式，一種對邏輯和精確性的極緻追求。我希望這本書能夠在我領略到數學分析的嚴謹性的同時，也能夠感受到它背後所蘊含的深刻思想。我期待作者能夠用清晰易懂的語言，將那些抽象的概念具象化，或者通過一些生動的比喻來幫助我理解。比如，在講解函數極限時，能否用“逼近”的概念來幫助我建立直觀的認識；在講解導數時，能否用“變化率”或者“切綫斜率”來闡釋其幾何意義。我特彆關注書中對證明的闡述方式，是否能夠引導讀者理解證明的邏輯脈絡，而不是僅僅展示一個現成的證明過程。我希望作者能夠教我如何去思考一個數學問題，如何去構建一個嚴謹的證明，甚至是如何去發現新的數學結論。如果書中能夠包含一些曆史上著名的數學證明的演變過程，或者一些數學傢是如何突破思維定勢，最終找到解決問題的關鍵，那將是我非常願意看到的。這本書對我來說，不僅僅是一本教材，更是一扇通往數學世界大門的鑰匙，我希望它能夠引領我，讓我能夠獨立地去探索和發現數學的奧秘。

评分☆☆☆☆☆

翻開《數學分析基礎》，我首先關注的是它的“求真”精神。數學分析之所以為“分析”，在於它對事物本質的深入探究，對不確定性的清晰界定。我希望這本書能夠展現齣這種嚴謹的“求真”態度，不僅僅是給齣結論，更重要的是展現得齣結論的過程，以及對結論成立條件的明確說明。我期待作者能夠通過清晰的邏輯推理，層層遞進地引導我理解每一個數學定理的由來。我尤其關心書中對“證明”的闡釋。我希望它能夠詳細解釋一個證明的結構，包括已知條件、待證明結論、推理步驟以及每一步推理的依據。我希望作者能夠通過舉例說明，幫助我理解不同證明技巧的應用，比如反證法、數學歸納法等。我希望這本書能夠讓我理解，數學的嚴謹性是如何建立起來的，以及為什麼這些嚴格的證明是至關重要的。如果書中能夠穿插一些數學史上的“證明之爭”，或者數學傢如何通過不懈的努力來剋服證明中的難題，那將是非常有啓發性的。這本書對我來說，將是一場關於“真理”的探尋之旅，我希望它能夠培養我一種對事實的尊重，對邏輯的信賴，以及對真理的追求。

评分☆☆☆☆☆

當我翻開《數學分析基礎》這本書時，我腦海中浮現的是大學時期那些與數學分析纏鬥的日日夜夜。那是一段既痛苦又充滿發現的時光，充滿瞭對極限、連續、導數和積分的反復理解和實踐。我希望這本書能夠用一種全新的視角來重新解讀這些概念，或許是結閤一些現代的視角，或者是一些更貼近直覺的解釋。我尤其關心作者如何處理那些經典的“陷阱”和“誤區”，比如在討論連續性時，如何清晰地界定開集、閉集以及它們與函數性質的關係，或者在介紹積分理論時，如何從黎曼積分過渡到更一般的勒貝格積分，以及兩者之間的優劣和聯係。我希望這本書能夠提供一些巧妙的思考路徑，讓我能夠繞過那些常見的思維障礙，真正地掌握數學分析的核心思想。此外，如果書中能夠穿插一些數學史上的趣聞軼事，或者是一些著名數學傢在探索這些概念時遇到的睏難和最終的頓悟，那無疑會極大地增加閱讀的趣味性，並幫助我更好地理解這些概念的來龍去脈。總而言之，我期待這本書能夠成為我迴顧和深化對數學分析理解的一塊重要拼圖，讓我能夠以更成熟、更深刻的眼光看待這些基礎的數學工具。