圖書描述
一洗數學枯燥乏味的惡名
學生與老師都該一讀的數字趣味雜談
＊入圍2010年英國山謬．強森奬（Samuel Johnson Prize）非文學類
＊英國《星期天泰晤士報》（The Sunday Times）暢銷書
艾利剋斯以最生動的方式帶領讀者重新認識數學的奧祕。
從人類的計數曆史文化齣發，漫談不同文化的數字宇宙觀、摺紙的科學、數字遊戲、圓周率與黃金比例的祕密，甚至是賭場上的下注機率方式。本書也講述數學傢們的生平軼事，既是數字的曆史雜談，也是奇妙的數字人類學。
你以為從1數到10是全世界的人都會的事嗎？
你知道1089的數字祕密嗎？
你曉得彩券是最糟的閤法賭博嗎？
如果我們不用24小時製，而是把一天的時間分成一韆份，這樣的生活節奏會變得如何呢？
數學被認為既枯燥又睏難，而實際接觸起來通常也是如此。可是數學也深具啓發性、是可以理解的，更重要的是它極具原創力。本書作者艾利剋斯想傳達齣每一個數學發現的興奮與奧妙，他認為抽象數學是人類最偉大的成就之一，更算得上是人類進步的基石。數學是個令人驚嘆的世界、充滿奧祕的遊樂園，歡迎大傢到此一遊。
本書從第○章開始，先討論在有數字之前的世界是怎麼迴事，數字又是如何齣現的。緊接著第一章開始，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事瞭。從數字的計算方式、各種計算器、動物的數學觀念、○的概念、圓周率、X和Y的代數世界、機率，到生命靈數、摺紙的科學、數字魔術、數獨、黃金比例的祕密……，作者以最有趣生動的方式來探討我們生活周邊的各種數字和數學的呈現。
作者簡介
艾利剋斯．貝洛斯 Alex Bellos
英國人，擁有牛津大學數學及哲學雙學位，曾任英國《衛報》（The Guardian）記者，並於一九八八年派駐巴西裏約數年。二○○三年返迴英國後，撰寫瞭一本有關巴西足球的書（Futebol, the Brazilian Way of Life）；也為巴西足球球星比利寫過代筆自傳（Pele, the Autobiography），並成為暢銷書；之後艾利剋斯還想和數學再續前緣，於是有瞭這本作品。他目前定居於倫敦，持續研究有趣的數學問題。
譯者簡介
鬍守仁
芝加哥大學數學博士，現任淡江大學數學係教授。譯有《毛起來說三角》、《希爾伯特的23個數學問題》、《連結》、《最ㄅㄧㄤˋ的數學公式》、《妙不可言的數學證明》、《數學傢是怎麼思考的》、《醉漢走路》、《打開魔術箱》、《拼圖拼字拼數學》等。
著者信息
圖書目錄
導讀 歡迎光臨數字樂園
序言
第○章 數字之始
數字從何而來？在尚未發展齣數字的語言與符號以前，人類是如何計數？亞馬遜叢林裏的孟杜魯庫人無法數數超過5以上；然而日本卻有一隻黑猩猩能理解「序數」的概念。人類與生俱來對於數字的直觀與現今精確的數學概念有何差彆？
第一章 計數文化
從1到10，緊接著11、12、13……，看似理所當然，但並非絕對，其實世界上有許多文化是以非「10」為基底來計數。而日本與中國的算盤文化，也與基底有關。刻闆印象中，中國人與日本人的數學很強，其實原因齣在發音簡單的九九乘法錶，以及有規則的數字文字。
第二章 看吧！
生命靈數看似迷信，然而數學史上最有名的畢氏定理發明人畢達格拉斯，也有一套反映自然的數學命理。另一位名人，歐幾裏得開啓瞭有趣的幾何世界，而伊斯蘭世界則運用幾何藝術來崇敬宇宙真理。至於摺紙藝術的發展，已從休閑活動進而影響數學研究。
第三章 關於空無一物
印度聖者商羯羅大阿闍蔾，是宗教上的領袖，也是印度吠陀數學大使。吠陀數學是印度的科學，也代錶瞭印度教的宇宙觀，例如「空」即是「零」的概念。他的方法不僅讓學童快速地學習數學，也讓全世界最頂尖的理工學者嘖嘖稱奇。
第四章 □的故事
速算天纔被當成神奇的錶演者，人腦計算機，他們的目標就是超越一個又一個的紀錄。而圓周率□，一個不循環不斷展開的無理數，更是獵□者窮盡心力追求的終極目標。不論是速算者或是獵□者，都在追求數字無窮無盡的境界。
第五章 X因子
代數的發明，幫助人們進一步解開睏難的數學計算，而每個文化的代數運算符號都不相同，也各有其曆史。運算符號的改進也促成新概念的誕生，自從蘇格蘭數學傢納皮爾發明對數之後，復雜的乘法變簡單瞭，還齣現瞭對數計算尺，但現在已是珍貴的古董收藏。
第六章 遊戲時間
數字作為娛樂的曆史和數學一樣古老，像是中國古代的七角闆還有幻方，幻方不僅是風水的的法則，也是最早期的數字拼圖遊戲。數讀更掀起全球熱潮，它讓鉛筆的銷售量增加瞭700%；還有曆久不衰的魔術方塊。且看看數字遊戲狂熱的一麵。
第七章 數列的祕密
以一定方式排列的數，稱為數列。美國亞特蘭大的史隆是數列收藏達人，從最簡單的數列到惡魔數列還有音樂數列，都是他的收藏品，一一編號，並且架設網路整數數列大全，讓全球的數列收藏傢共襄盛舉。
第八章 金手指
黃金比例，1:1.618，又稱為神聖比例，或是費波那契數列。仔細觀察大自然，花瓣的數目、樹葉的分布、動物的螺紋，都依從瞭黃金比例。而這個比例也是人類藝術的依據，舉凡建築、iPhone，都看得到她的身影，她是數字界的維納斯。
第九章 機遇好極瞭
賭博是機率的化身，如何破解吃角子老虎、輪盤、二十一點背後的機率，一直是賭徒們鑽研的數學課題，賭徒的智慧甚至啓發瞭財經保險市場各類金融商品的運作模型。但數學傢指齣，樂透彩是最差勁的賭注。
第十章 一切歸於正常
測量物品、計算數字，就是對事物進行統計。最著名的統計分布，就是高斯麯綫，也就是鍾形麯綫，但有時看似尋常的統計結果卻能改變曆史，端看人類如何解讀。
第十一章 盡頭到瞭
三角形的尖端有多尖？宇宙有多大？有沒有一個旅館能夠容納無限多的房客？無限延伸的雙麯麵是什麼樣子？關於無限，一直睏擾著數學傢們。而康托引進瞭新的符號「□」來代錶無限，開啓瞭無限的數字樂園。
圖書序言
導讀
歡迎光臨數字樂園
鬍守仁（淡江大學數學係教授）
歡迎光臨數字樂園！雖然這是個古老的樂園，漫步其間依然是贊嘆不絕，驚奇連連。
讓我們先走馬看花，逛逛這個樂園。數字樂園中最古老的把戲就是數數。數字在我們的生活中再平常不過瞭，幾乎自有記憶以來這些阿拉伯數字就如影隨行，然而從扳著手指數數，到確認這些能夠隨心所欲操弄的符號，可是個精采的故事。光是進位基底的數目，就經曆不少的嘗試與改變，直到今日，依然可見二進位、五進位、十二進位、二十進位、六十進位的痕跡。零的齣現不僅讓數的錶達與計算方便，更代錶瞭人類對於數的概念更高層次的抽象化，引領數學「發明」瞭許多概念，例如負數、小數。
數完數之後，就要做算術瞭。阿拉伯數字來自印度，他們聲稱在吠陀經中找到算術方法，比起現在學校教的更為有效而快速，有些方法還真叫人拍案稱奇。在沒有計算機之前，算得快，算得準可是個瞭不起的本事。有段時間速算者是錶演舞颱的焦點，有些甚至受聘為歐洲核子研究中心的人肉計算機。人們也曾設計不少精巧的機械來做四則運算，而真正讓我們有效的計算復雜的乘法及除法，則是靠瞭對數的發明。然而能徒手計算齣1到1,005,000的對數，精確到小數第七位，仍然讓人覺得不可思議。更彆說計算□到小數兩百位。□是數中的名流，它是永不循環的無理數，它的小數展開完全沒有什麼規律可循。記憶□的小數展開更是錶演的好對象，一麵記住□的小數展開一麵玩雜耍還是一項比賽呢！就算今天，還有人不斷地計算更多位數的□，這可有個高尚的理由：測試電腦的處理容量，改進它的計算錶現。
除瞭找尋越來越小的□的小數位值，人們也找尋越來越大的質數。網路上的《網路梅森質數大搜尋》（The Great Internet Mersenne Prime Search）可說是最早的「分散式計算」計畫之一，目前連結瞭75,000部電腦，在這些電腦閑置時，使用它們的處理器來搜尋質數。搜尋質數又是為哪樁？這也有個高尚的理由：我們常用的密碼係統立足於整數相乘容易、分解睏難的事實。我們需要大質數來確保安全。
縱使數學不是人人所愛，人們仍不免為一些益智謎題所吸引。從希臘神話中獅身人麵怪獸提齣的謎語到偵探小說，每當遇到一個謎題，我們的本能促使我們去解決它，直到達到目標。十九世紀初人們瘋迷七巧闆，十九世紀末數字推盤也帶來瞭狂熱。幾年前，我們沉迷於數獨。魔術方塊的挑戰更是直到今日仍然熱絡，有單手的，有用腳轉動的，還有濛眼的等等。然而最少到底需要多少步纔能解決任意的魔術方塊呢？數獨方格中要先給齣多少數字纔有唯一的解？謎題不僅以神奇而簡潔的方式傳遞數學令人稱奇的內容，也常提齣瞭許多深奧的數學問題。以好玩開始的問題，也能引起深度的探索。二十世紀初謎題專傢杜德奈把三角形切成四片，重組為正方形，現在麻省理工的教授德緬推廣為分割一個多邊形，重新排列、相連而組成另外一個多邊形，如此一來，變形金剛豈不得以成真。
機率與統計的園地，更是驚奇連連。知道嗎？過去十屆世界盃足球決賽中有七屆至少有兩個球員的生日在同一天，巧閤是吧！雖然說德國的樂透彩每一種數字組閤中奬的機率是一韆四百萬分之一，然而一九九五年和一九八六年有同一組數字中奬，詭異的巧閤還是弊端？其實這個機率超過四分之一，嚇一跳吧。人的腦袋其實並不擅於瞭解隨機，機率的領域中充斥許許多多悖論和驚奇。我們直覺認為模式齣現必有其因，很難相信這會是隨機的結果。當蘋果電腦推齣iPod的隨機播放功能時，常有播完一首後，又重播同一歌手歌麯的現象，因而引起抱怨連連。想一想，既是隨機播放，每一首新播的歌都和先前播過的歌無關，齣現一連串同一歌手的歌麯應該一點也不齣奇。猜猜看，賈伯斯對這項抗議有什麼反應。
去到拉斯維加斯，總免不瞭試試手氣，我們是否真有機會打敗賭場？範恩的「隨機漫步」告訴我們賭徒破産是必然的結局。不過，一九六二年數學傢索普（Ed Thorp）齣版瞭《擊敗莊傢》（Beat the Dealer）一書，發錶瞭關於二十一點的算牌術，這本書不僅是賭博的經典書籍，更在經濟與金融界産生迴響，進而創造齣財經市場的模型，並且將下注的策略應用其中。布萊剋與休斯二人更創造齣公式，指齣如何訂定金融衍生産品的價格，這是華爾街最著名的公式。十六世紀時當卡丹諾（Girolamo Cardano）寫下《機遇遊戲之書》（The Book of Games of Chances）時，恐怕很難想像到這幅光景吧！
十九世紀統計學在機率論的基礎上發展起來。數學傢龐卡瑞就由他購買麵包的重量，逮到麵包店偷斤減兩的證據。這正是現代消費者保護的理論基礎。商業標準部門為什麼能夠隨機抽取販售的商品樣本，就能判斷廣告是否不實？巨量的數據又如何檢驗是否僞造？
幾何園地幾乎和數字園地一般古老。歐幾裏得以五個公理描述瞭這個美好而平坦的世界。龐卡瑞以圓盤為模型展示瞭一個奇特的世界，在我們的眼中，越靠近圓周，物體越變越小。然而其間的生物對此一無所知，依然生生不息。聽起來像是科幻小說中的空間，其實隻需要更動歐幾裏得的第五公理，讓過綫外一點，有無窮多條直綫通過該點並與此直綫平行，得到的空間就和我們快樂生活的空間一樣真實，而上述的圓盤就是這個雙麯空間的模型，它像是經過瞭一個奇特鏡頭的扭麯。於是我們要問：到底如何將空間分類？而真實世界的雙麯麵又是什麼樣子呢？電腦無法呈現它，因為希爾伯特證明瞭雙麯麵無法由一個公式錶示。然而，康乃爾大學的副教授泰米爾卻以鈎針織齣瞭雙麯麵，能在上麵畫齣可以摺成褲子一樣的正八邊形，也能顯示極限圓的樣子。古老的樂園還真充滿驚奇。
比較東西的多寡是進入數字樂園最早碰到的一個把戲。我們的概念中，一部分的東西當然要比全體的少。然而，當我們踏入有著無限多間房間的希爾伯特大飯店，明明客滿的飯店，多來瞭一個客人，能給他找齣一間空房，多來兩個沒問題，就算來瞭一個、兩個、三個……無窮多的客人，也沒什麼好怕的，即使來瞭一輛、兩輛、三輛……無窮多輛遊覽車，每輛上有一位、兩位、三位……無窮多位客人，全部入住也不成問題。全部真的比部分多？比大小到底是怎麼一迴事？似乎還有我們想不到的花樣。當我們踏入十九世紀康托建立的樂園，驚奇地發現我們可以無窮地比較無窮，無窮不隻是數也數不完，它還有等級之分。整數、有理數是一樣多的無窮，實數卻是比他們還多的無窮。豈能不瞠目結舌！
多麼奇特的數字樂園，再一次，歡迎光臨！
序言
孩童時代，我喜歡數學，也愛好寫作。青少年時期，仍然保持對這兩方麵的熱愛，希望大學時可以專攻數學與哲學，一方麵立足科學，另一方麵也涉獵人文，那就完美極瞭。不過大學時，我把大部分時間都投身在學生報刊上，還曾在英國全國性的報刊上發錶過文章，包括在《衛報》（Guardian）上的一篇文章，談論數學有多棒，這是我第一次寫與數學相關的文章，也是過去二十年僅有的一篇。
畢業後，我做瞭記者，我似乎放棄瞭數字的世界以擁抱文字的世界。我先在英國布萊頓（Brighton）的一份晚報工作，之後轉到幾份倫敦的報紙，最後成瞭派駐裏約熱內盧的外國記者。偶爾，我受過訓練的數學頭腦發揮瞭作用，例如，找齣美國哪一州的麵積最接近亞馬遜剛被採伐殆盡的雨林帶麵積，或是在各式各樣的金融危機中做匯率的轉換。不過，基本上我已把數學拋諸腦後瞭。
幾年前，我返迴英國傢鄉，不太確定下一步要做什麼。有段時間，我販賣巴西足球員的運動衫；我寫過部落格，想過進口熱帶水果，不過都不成功。在這段重新思考的過程中，我決定迴頭看看年輕時耗費許多精力的課題，就因如此，我找到瞭靈感的火花，引領我寫下瞭現在這本書。
成年後再踏入數學世界，我的經驗與孩童時期截然不同。當時由於應付考試，往往忽略瞭真正引人入勝的事物，而現在我得以自由自在地涉獵看起來新奇有趣的事物。我學到瞭「民族數學」，研究不同文化如何看待數學，還有宗教如何塑造數學。近來行為心理學與神經科學的研究，拼閤齣頭腦如何思考數字的成果，令我著迷。
我覺得我就像一個身負重任的駐外特派記者，隻不過這次，我的駐在地是抽象的數學世界。
由於我想要體驗數學的實際運用，我的旅程很快就變得全球性瞭。我飛往印度去學習這個國傢如何發明瞭零，這可是曆史上人類心智最偉大的突破；我住進雷諾一間豪華賭場，親眼觀察機率如何成為博弈的基礎；在日本，我遇到瞭全世界最會計算的猩猩。
我的研究不斷進展，我發現我處於既是專傢又是業餘者的微妙地位。再度學習學校教過的數學就像重新認識老朋友，此外還遇上許多老朋友的相識，而我從前並不認識他們，以及許多新齣現的人物。例如，在我寫這本書之前，我並不知道好幾百年來，人們試圖在十進位的數係中引進兩個新的數，我也不知道摺紙術是很嚴肅的科學方法，對於數獨背後的理論我更是一無所知（因為那時候還沒有這玩意兒）。我踏上瞭許多意想不到的地方，如德國的萊比錫，亞曆桑納的斯考特戴爾；還有圖書館中未曾想過會探訪的書架。我花瞭難忘的一日閱讀與植物相關的儀式，去瞭解為什麼畢達哥拉斯（Pythagoras）吃東西極端挑剔。
本書由第○章開始，因為我想在這章討論在有數學之前的內容，是關於「數」是如何齣現的。而第一章開始時，「數」已經是人類生活不可分割的一部分，可以開始著手做正事瞭。我盡量減少技術性的內容，但是並不想迴避所有的數學式子與證明。我希望讀者們有機會經驗一些數學的藝術成果，體會它們的優美。不過如果你不想管什麼數學式子或證明，本書的寫法也能夠讓你直接跳到下一節。各章的閱讀次序可以隨你所好，因為每一章的內容都各自獨立，不用讀過前麵的章節也能瞭解。不過我還是希望讀者能從頭開始按順序閱讀，因為本書大緻上是根據數學發現的曆史來編排，偶爾我也會用到前麵所談過的材料。
我加入瞭相當份量的曆史資料，因為數學就是數學發展的曆史。人文科學永遠都因為新想法或新潮流取代瞭舊思維，而處於一再重復發現的狀態，應用科學的理論則總是經曆不斷的修正。但數學和它們不一樣，數學永遠不老化。畢氏定理或歐幾裏得（Euclid）定理的成立，現今一如往昔，這也就是為什麼畢達哥拉斯和歐幾裏得是我們在學校學到的最古老的名字。到瞭十六歲，學生所學到的數學不超過十七世紀中葉人們所懂的數學，到瞭十八歲，學到的也不過是十八世紀中葉的數學，而我在大學裏學到最現代的數學，則是來自一九二○年。
寫這本書時，我無時無刻不希望能傳達數學發現的興奮與奧妙，希望讓各位知道數學傢是有趣的人，他們是邏輯之王，因此極度排斥不閤邏輯的感覺。數學流傳在外的名聲是它既枯燥又睏難，實情通常也是如此，可是數學也深具啓發性，是可以理解的，更重要的是它極具原創力。抽象數學的想法是人類最偉大的成就之一，它算得上是人類進步的基石。
數學，是個令人驚嘆的世界，我建議各位不妨一遊。
艾利剋斯．貝洛斯
二○一○年一月
圖書試讀
當我走進皮耶．皮卡（Pierre Pica）位於巴黎擁擠的公寓時，著實被那一整排的驅蚊劑給嚇壞瞭。經曆瞭五個月與當地印第安人的相處，皮卡剛從亞馬遜雨林迴來，正在消毒帶迴來的禮物。他的書房裝飾著部落麵具、羽毛做成的頭飾以及編織的籃子，學術書籍重重壓著書架，一個沒做完的魔術方塊躺在壁架上。
我問皮卡旅途可好。
「很艱難。」他迴答。
皮卡是位語言學傢，或許正因為如此，他說話總是慢條斯理，也很小心，煞費苦心遣字用詞。他大約五十歲，不過看起來有點孩子氣，明亮的藍眼睛、紅潤的臉龐、柔軟卻淩亂的銀發。他的聲調平和，舉止卻有些緊綳。
他是著名語言學傢諾姆．喬姆斯基（Noam Chomsky）的學生，現在任職於法國國傢科學研究中心。過去十年，他的研究重心是孟杜魯庫人（Munduruku），他們是居住於巴西亞馬遜的原住民，大約有七韆人。孟杜魯庫人散居的亞馬遜雨林大小相當於美國紐澤西州，他們聚居於村落，過著狩獵與採集的生活。皮卡有興趣的是孟杜魯庫人的語言：它沒有動詞的時態、沒有復數、沒有超過五的數字。
為瞭進行他的考察工作，他經曆的旅程相當於偉大的探險傢。距離這些印第安人最近的機場位於亞馬遜的聖塔萊姆（Santarém），離大西洋五百英裏。從那裏，他搭乘十五小時的輪渡，沿著塔帕荷斯河（Tapajós River）行進瞭兩百英裏，到達伊泰土巴（Itaituba），這裏以前是個淘金熱的小鎮，也是補充食物及燃料的最後一站。最後一次的旅程中，他在伊泰土巴僱瞭輛吉普車，滿載所需設備，包括電腦、太陽能闆、電池、書籍和一百二十加侖的汽油。然後踏上橫越亞馬遜的公路，這是一九七○年代高價建造的國傢基礎建設，現已成破敗的泥路，有時甚至艱險難以通行。
皮卡的目的地是加卡裏坎嘎（Jacareacanga），伊泰土巴南麵兩百英裏的小聚落。我問他多久可以抵達那裏。「看情形嘍！有時候似乎一生一世，有時候兩天。」
「那這次花瞭多少時間？」我追問他。
「你知道，我們根本不知道多久可以到達，因為每次花的時間都不一樣。如果一切順利，雨季時大約需要十到十二小時。」
加卡裏坎嘎位於孟杜魯庫人領域的分界綫。要進入他們的居住地，皮卡必須等候印第安人齣現，協商他們以獨木舟載他進去。
「那你要等多久？」我又問他。
「我等瞭相當一段時間，不過彆問我等瞭多少天。」
「一、兩天嗎？」我試探著問。
過瞭好幾秒鍾，他皺瞭皺眉頭，「差不多兩個星期。」
離開巴黎一個月後，皮卡終於抵達他的目的地。當然，我還想知道由加卡裏坎嘎到村落又花瞭多少時間。
現在皮卡對我這一係列的問題相當不耐煩瞭。「所有問題的答案都一樣，得看情形而定。」
我滿堅持：「這次花瞭多久時間？」
他結巴著說：「我不知道，我想可能……兩天……一天一夜……」
我愈是想從他口中得到實情和資訊，他愈是不想迴答。我有點兒生氣。我不知道他答案的背後是法國人不妥協的性格，學術界的迂腐，還是單純的不想迴答。我停止瞭繼續追問，轉而談論其他的事情。直到幾個小時之後，當我們談到由那個杳無人煙的蠻荒之地迴傢的感覺時，他纔打開瞭心房。他說：「當我剛從亞馬遜迴來時，我失去瞭對時間的感覺，對數字的感覺，可能還有對空間的感覺。」他會忘記約會、簡單的方嚮也會混淆。「巴黎的直綫和角度，讓我在重新適應上，睏難至極。」皮卡所以無法提供我量化的資訊，也是這種文化衝擊的一部分。他和那些幾乎不會數數的孟杜魯庫人相處太久瞭，連自己也失去以數字描述這個世界的能力。
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