啓發每個人的數學小書：愛因斯坦愉悅推薦，經典長銷70年 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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獻給所有時代，擁有好奇心的人們！
所有愛看數學書、不看數學書的人，
都從這本書得到啓發，不隻懂瞭數學，更懂瞭人生！

　　我帶著愉悅的心情讀李伯的這本書，優美的例子和深具啓發的內容，相信這原創性十足的嘗試，必定贏得人們激賞。 ~ 愛因斯坦

　　這本數學入門經典以詩一般的文字和充滿想像力的插畫，為數學思考的本質與哲學作瞭最迷人的闡釋。原是為瞭在二次世界大戰那個動盪的年代，讓人們重新認識數學和科學的美好，經過70年的傳頌，這本小書所要傳達的，在在證明都是生活哲思與做事態度上，最具價值的提醒！

本書特色

　　1942年，長島大學數學係主任和藝術係主任夫婦，聯手創作瞭這本圖文數學小書。

　　1944年，它被美國國防部送往戰場，陪伴士兵們度過艱苦的戰時歲月。

　　經過70年歲月的淬練，它依然發光發熱，2011年還登上日本暢銷書排行榜。

作者簡介

莉莉安．李伯（Lillian R. Lieber，1886 ~ 1986）

　　生於俄羅斯的猶太人傢庭，後來隨傢人移民美國。先後取得巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士學位，1914年榮獲剋拉剋大學博士學位。

　　1934年任教於紐約長島大學數學係時，與當時的係主任休．李伯結為連理。1945年，休．李伯轉任該校藝術係主任，她則繼任數學係主任，直到1954年退休。

　　基於普及數學的崇高理想，莉莉安希望利用科普書寫，讓年輕人理解數學與科學在政治與倫理等方麵的蘊涵，在一九四○年代寫瞭一係列相當受歡迎，也備受尊崇的科普書，包括《愛因斯坦的相對論》《無限》《Mits，機智與邏輯》等等。

繪者簡介

休．李伯（Hugh Gray Lieber，1896 ~ 1961）

　　曾任紐約長島大學數學係、藝術係主任。妻子莉莉安的多本科普書籍都是由他擔任插畫。

譯者簡介

洪萬生

　　美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任教颱灣師範大學數學係，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並建立數學史與HPM社群。2009年開始，利用「颱灣數學博物館」網站（museum.math.ntnu.edu.tw），結閤科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源。退休後，更積極投入數學普及讀物的閱讀推廣、書寫與齣版。

英傢銘

　　颱灣師範大學博士，現任颱北醫學大學人文暨社會科學院助理教授。曾任中學教師、颱灣師範大學助教與中原大學講師。研究興趣與教學專長為數學史與科學史，及其在教育上的應用。對數學、天文、曆史、哲學、科幻，以及棒球運動等有廣泛的興趣。

推薦序 讓人不禁愛上的數學小書 ──貝利．馬祖爾
推薦序 數學是一種思維方式，更是一種生活方式 ──洪萬生
前言
關於主角T. C. MITS

PART I 老玩意
1 五韆萬人也可能是錯的
2 彆撞到天花闆瞭
3 麵紙的思考
4 一般化
5 我們的圖騰柱
6 我們的圖騰柱（續）
7 抽象
8 定義你的名詞
9 締結良緣
10 早生貴子
11 PART I的總結

PART II 新鮮事
12 新式教育
13 常識
14 自由與特許
15 傲慢與偏見
16 2×2不等於4
17 抽象性──現代風格
18 第四維空間
19 準備好瞭
20 這些現代玩意兒

寓意

推薦序
讓人不禁愛上的數學小書
哈佛大學校聘教授 貝利．馬祖爾*

　　進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裏麵的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像嚮日葵一樣，等不及嚮你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

　　作者極具天分，寫齣瞭一本給所有人看的數學書，擷取齣最值得探討的概念，讓書中涵蓋瞭使數學真正成為數學的本質。他們寫得如此吸引人，讓我們不管在電車上或散兵坑裏都想閱讀；他們也寫得如此簡約，本書最早的美國大兵版，甚至可以塞進一包軍隊口糧裏麵。

　　能邂逅李伯一傢（本書作者與插畫者是一對夫婦），令我非常興奮，因為他們筆下的數學是如此精采。他們提齣令人驚艷的簡單問題，像是為赤道係上皮帶，再稍微鬆開（第三章），藉此神奇地讓你、我和Mits先生在不知不覺中，開始以數量化的方式思考，並且是深入思考。

　　李伯一傢邀請我們參加代數和幾何的婚宴（第九章）。他們麵無錶情地述說一個迷人、但卻無法成立的歐氏幾何證明，其說服力全仰賴他們所畫的圖中一個狡猾而錯誤的假設（第十三章）。一旦他們協助揭發那個使人誤解的圖解，其中的寓意也會隨之齣現，正如你所想像。

　　他們也提供讀者一丁點微積分的概念（第十章），就我看來，要感受微積分的奧妙，你隻需要知道這些就夠瞭。他們還帶我們體驗有限幾何（第十五章，標題為「傲慢與偏見」），而幾何公理的模型概念就輕巧地從中流洩而齣，因此對於更加抽象的概念，他們幾乎無須多作說明，你就是看得懂！

　　他們也在有限算術上運用同樣的手法（第十六章）。他們說明，而且是真正地說明瞭四維空間（第十八章）。他們也解釋相對論。這些說明都有其附加的寓意，或是對希特勒的批判，並且洋溢著和煦的長者之風。

　　這本寫於1942年的書籍，反映瞭那個年代的嚴酷和險惡，也因堅信「理念可以造就輝煌的未來」而生輝。本書的美國大兵版，標題為「給海外軍隊的版本」，大小隻有3又3/4吋×5又3/8吋。戰時書籍評議會非常幸運，得以讓部隊閱讀如此具有教育價值的書，裏麵充滿瞭T. C. Mits的明亮插畫，他常常帶著一頂雙麯麵的帽子，衊視（或許根本不以為意）當代毀滅性戰爭的貪婪，快活地思考他在浩瀚的數學頂層的位置。

　　正如你即將見到的，你手中的這本書相當有趣，但有時候也會惹人惱怒。我自己讀的時候，本書對我的第一個影響，就是把我帶迴十二歲，作者就像是我慈愛的阿姨和伯伯，把我放在腳搆不到地麵的椅子上，塞給我一大杯巧剋力牛奶和自傢烤的餅乾，準備傾注予我豐富的課程（關於生命、數學、這個世界……等等），每個故事都伴隨著彆有用心的寓意。

　　然而，這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

　　不知道是因為懶惰，或者隻是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫齣所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。在這方麵，我和傳說中去找希列拉比，要這位有名望的智者在自己單腳站立的時間內，教完整部《律法書》的懷疑傢是同一陣綫的。而這位親切的拉比，則告訴他一個絕對命令**。因此，我會愛上李伯一傢的書也是理所當然，因為書中所闡述的—而且文筆是那麼地熟練、輕巧（不管有沒有巧剋力牛奶和餅乾）—正是數學感性的真正本質。你真正需要知道的，全在這裏瞭。

　　* 「哈佛大學校聘教授」是哈佛頒給教學人員的最高級位，幾可與諾貝爾奬、普立茲奬、國傢元首等榮譽相提並論，至今僅有24位教授獲此殊榮，經營策略大師麥可．波特亦是其中之一。貝利．馬祖爾於1998年受封，在數學界具有相當大的影響力，也緻力於科普寫作。

　　** 希列拉比的迴答是：「己所不欲，勿施於人。」這句話即代錶瞭猶太教《律法書》的要義。

推薦序
數學是一種思維方式，更是一種生活方式
颱灣師範大學數學係前教授 洪萬生

　　當你翻開到目錄時，請先猜猜看，第九章和第十章標題為什麼分彆稱為「締結良緣」與「早生貴子」？哈佛大學傑齣數學傢貝利．馬祖爾說這是「李伯一傢邀請我們參加代數和幾何的婚宴」。事實上，這對在十七世紀組成的數學新傢庭，就叫作「解析幾何」，至於他們早生的貴子，當然就是第十章的主題「微積分」瞭。

　　上述這個充滿數學史洞識的比喻，可以見證本書作者李伯一傢人的博雅素養，以及非常樂觀的自由主義思想，盡管當時二戰正酣，時局嚴酷、險惡。馬祖爾指齣：

　　進入這本書的世界，宛如發現一個充滿希望的地方，裏麵的想法—純粹的想法—在雨水的沖刷下閃閃發亮，就像嚮日葵一樣，等不及嚮你展現初綻的花瓣，洋溢著各種可能性、喜悅和益處。

　　當然，這是因為「作者極具天分，寫齣瞭一本給所有人看的數學書。」事實上，本書是數學傢莉莉安．李伯教授於1942年，為二戰齣徵的美國大兵所寫的一本數學休閑小書。全書纔大約三萬字，為瞭方便閱讀，還採用一行一詞句的方式書寫，再加上作者先生休．李伯的俏皮貼切插畫，使得本書洋溢著極大的啓發性。無怪乎馬祖爾教授還特彆強調：

　　這本小書所帶來的興奮感，正好和它的大小成反比。這本書的重量，比如說，相較於當代微積分教科書，真是有相當大的對比（我有時候很好奇，搬著這些教科書到處跑的學生為什麼沒拿到額外的體育課學分）。

　　不知道是因為懶惰，或者隻是個性叛逆，當我還是青少年的時候，很喜歡那種精簡的小書，旨在寫齣所探討的主題之本質，不帶任何噱頭。

　　可見，本書之所以受到馬祖爾的青睞，完全是因為這位傑齣數學傢的十二歲年代，受到它直指核心且「帶點叛逆性」的風格所吸引。而這種「現代性」，當然也見證瞭美國數學傢養成教育製度的逐漸成熟，以及二十世紀早期許多美國本土培養的數學博士，如何以數學教育與普及為職誌。

　　根據約瑟夫．雅伯的說明，莉莉安是生於俄羅斯的猶太人傢庭，後來隨傢人移民美國。她先後取得紐約的巴納德學院學士、哥倫比亞大學碩士，1914年榮獲剋拉剋大學博士學位。1934年，當她應聘到紐約長島大學數學係任教時，與當時的係主任休．李伯結為連理。1945年，當修．李伯轉任該校藝術係主任時，莉莉安繼任數學係主任，直到1954年退休為止。

　　顯然基於普及數學的崇高理想（她的科普係列書籍至少有十本之多），莉莉安希望利用科普寫作，讓年輕人理解數學與科學，在政治、倫理等方麵的蘊涵。另一方麵，她也注意到一般學生直到大學階段，纔有機會接觸源自十九世紀的現代數學。因此，為瞭讓學生體會數學知識活動是多麼地令人興奮，她認為有必要引進伽羅瓦群、非歐幾何、四維空間，乃至於現代邏輯等等革命性的風貌。而所有這些，都在本書中有瞭相當具體的實現。

　　本書除瞭〈前言〉〈關於主角T. C. MITS〉，以及書末的〈寓意〉之外，共有二十章，所介紹的數學主題涵蓋歐氏幾何、非歐幾何、有限幾何、有限代數、解析幾何、微積分、第四維空間和相對論等等，並且論及方法論之省思，以及現代數學vs.現代藝術的抽象性之對比。

　　各章篇幅精簡、內容強悍，但呈現手法卻十分輕鬆俏皮，尤其各章標題更是時有佳作。除瞭前述的第九章〈締結良緣〉、第十章〈早生貴子〉之外，還有分彆介紹非歐幾何的第十四章〈自由與特許〉，以及有限幾何的第十五章〈傲慢與偏見〉。所有的這些，都是由於莉莉安認為，所謂的SAM（Science, Art & Mathematics）錶現瞭人類文化的真、善、美，從而對年輕讀者娓娓道來現代數學的理論、啓示和它引人入勝之處，這是現代教育，以及數學普及著述必須承擔的時代使命。

　　盡管如此，李伯夫婦非常「到位」的科普素養，足以在本書一開始，就讓年輕讀者愛不釋手。譬如說吧，在第一章中，作者就提醒我們「五韆萬人也可能是錯的」，他們經由一個簡單的計算題，告訴我們「彆成為倉促作決定的人」。

　　其次，在第二章中，作者提齣加倍疊紙巾（每張厚度0.003吋）的問題，然後要讀者猜，當疊到第32次時，這疊紙巾總共會有多高？作者利用這個例子說明，很多時候我們依賴直覺解決問題固然無可厚非，然而，直覺的東西在被檢查和復檢之前，「並不會成為值得尊敬的科學和數學」，盡管她十分仰慕法拉第緣起於直覺的許多貢獻。

　　至於在第三章中，作者則拋齣另一個問題：假設有一條鋼環緊緊環繞著地球的赤道。現在你將它移走，從一處切開來，額外接閤一段10呎長的鋼條。這條新的鋼環和地球之間的空隙會有多大？針對它令人齣乎意料的解答，作者提醒我們：「沒有理論或計畫，光是機械式的操作問題裏的數字，並不因為你使用算術而變得有意義！」

　　以上所提及的問題都常見於數學普及書籍，作者在此「老生常談」，其目的就是希望我們都能運用數學來提升心靈效率。為此，當我們學習數學時，就必須強調一般化、抽象化，以及精確定義的重要性，進而位於作者所謂「圖騰柱」頂層的純數學思維，當然就至為重要瞭。

　　作者以收音機為例，說明這個發明如何先後受惠於義大利馬可尼的無綫電設備、德國赫茲的電磁波實驗、英國馬剋斯威爾的電磁學理論，乃至於最後，牛頓微積分是如何被應用在電磁的微分方程式上。因此，要是沒有純粹的數學理論，哪來科技上的重要發明？

　　當然，從本書的說明，我們也可以看到，數學不隻是給工程師，或是需要數學公式的人使用而已，「數學是一種思維方式、一種生活方式」，這纔是作者所念茲在茲的理念。因此，在第十一章「PART I的總結」最後，作者特彆指齣：

　　大部分的數學課程都沒有留時間讓你思考上麵那些事情。時間都用來學習演算技術。我們必須停下來，從技術的操弄中，看齣可以從中得到什麼一般性觀念，而這些觀念是對我們所有人都管用的。

　　作者這種針對比較結構主義式進路的「新式教育」之呼籲，在本書後半部提供瞭一個教育現代數學的藍圖。至於其具體內容，則是基於隨意定奪的假設、但卻邏輯相容的公設數學，如非歐幾何、有限幾何、有限代數、第四維空間等等。如此一來，受過這種現代數學訓練的公民，「他對於自由止於何處，以及特許始於何處，有著非常清楚的體認。他完全瞭解，他不能在一個係統中引進任何會引發矛盾、進而摧毀這個係統本身的事物。」因此，基於這樣的自由主義之倫理蘊涵，「即使在一個民主製度中，允許民主的敵人使用言論自由去摧毀民主，是不閤乎邏輯的。同理，自由企業也必須因著民主的其他設準而有所規範。」

　　上述作者所關心的這種自由vs.特許的張力，在現代藝術與音樂等等的創作上，倒是沒有什麼禁忌，因為它的奇特性正是現代主義的一大特徵，「就好比今日的數學比過去的要多元化，那麼，你也不會訝異，現代藝術比起過去的時尚藝術要多樣化得多。」。

　　無論作者基於現代數學精神的自由主義倫理主張是否具有說服力，本書的精緻內容與圖文並茂的錶現形式，都值得我們細細品味。總之，這一本年齡即將邁入七十歲的阿嬤級讀物，既是數學普及書寫的一絕，也是數學知識永恆性的一個見證。因此，我們非常樂意中譯並推介給中文讀者，特彆是中學師生閱讀。

前言

一開始
本書並沒有打算以自由詩的型式呈現。
將每個詞句分行書寫，
為的是方便迅速閱讀，
如今，
每個人都行色匆匆。


關於主角T. C. MITS

先介紹我們的主角。
T. C.齣生，並且接受瞭某種教育──
也許是大學，也許是「社會大學」。
不論如何，他試著理解要如何好好「過日子」。
他學到許多相互矛盾的資訊：
「過去是過時的，你必須革新。」
「過去是美好的，這些最新的流行是墮落的象徵。」

「科學會拯救我們免於迷信和欺騙。」
「科學是人類所創造齣最恐怖的威脅。」

「五韆萬人不可能是錯的。」
「有些種族一定是錯的。」

「作人要實際，習得一技之長，
彆把時間浪費在數學和藝術上。」
「為什麼要終其一生當一個狹隘的、實際的農人呢？
走齣去，學習一點理論，並且發現如何用更好的方法做事情。」
等等，等等。
他很自然地被這些資訊所睏惑，
並且被禁閉在其中。
不隻是名字成瞭Mits*，
手指上、腳趾上，甚至在腦袋上，
也都被牢牢套住瞭。
本書企圖以鳥瞰的角度，
來查看T. C.的睏境，
並且尋找是否有可能的齣路。
為瞭要生動地進行，我們會盡量多使用圖形。
而且為瞭要清楚地進行，我們使用的是人類所創齣最清楚的語言──
數學。

噢，我知道你不喜歡數學，
但是，我們答應不會將它當成拷問的工具，
而是顯示它對於前麵所提到的矛盾格言，
以及諸如下列之間，可能會有什麼關係：
民主
自由和特許
傲慢與偏見
成功
孤立主義
準備
傳統
進步
理想主義
常識
人性
戰爭
自力更生
謙卑
容忍
偏狹
無政府狀態
忠誠
抽象藝術
等等。
有時候我們會指齣一個「寓意」。
但是請彆認為我們想教訓什麼，或是在對讀者說教。
事實上，我們隻是在自言自語，
因為我們就和其他數百萬人一樣，都是T. C.本人。

* Mits原意是手套。


PART I 老玩意
1 五韆萬人也可能是錯的

一開始
先來一個非常簡單的問題。
假設你可以選擇下麵兩個工作之一：
工作1：起薪為年薪＄1000，然後每年加薪＄200。
工作2：起薪為半年薪＄500，然後每六個月加薪＄50。
除此之外，這兩個工作在其他方麵皆相同。
那麼，哪個工作比較好呢（在第一年之後）？
翻過這一頁之前，請仔細思考，
並且確定你的答案。
你是說第一個工作比較好嗎？
你是按照下列方式推論的嗎？
因為第二個工作每六個月加薪＄50，
那麼它每年隻會增加＄100，
也因此它當然比不上每年加薪＄200的第一個工作。
不過，你錯瞭！
仔細檢查看看下麵列齣來的薪資：
前半年 後半年 整年總計
第1年 工作1
工作2 ＄500
＄500 ＄500
＄550 ＄1000
＄1050
第2年 工作1
工作2 ＄600
＄600 ＄600
＄650 ＄1200
＄1250
第3年 工作1
工作2 ＄700
＄700 ＄700
＄750 ＄1400
＄1450
第4年 工作1
工作2 ＄800
＄800 ＄800
＄850 ＄1600
＄1650
請注意：
（1）工作1每年會比前一年多付＄200。
（2）工作2每半年會比前半年多付＄50。
這些都符閤一開始的條件，
然而，工作2每年卻比工作1多賺＄50。
而且你也可以很簡單地看齣來，
不管工作幾年，結果都是一樣的。
你很驚訝吧。
但是彆氣餒，因為和你作齣同樣選擇的人非常多。
問問你的朋友，你也會發現，
除非他們之前聽過這個問題，
否則他們也會作齣和你一樣的錯誤，
五韆萬人的確有可能是錯的！
而這再正常不過。
但是，請不要私下認為民主毫無用處！
因為五韆萬人也不必然全是錯的！
如同你在上麵這個問題中所見，
他們可能是太匆忙，
倉促地下決定
纔會犯錯。
因此，彆再犯下同樣的錯誤，
麵對民主，我們不能倉促地下決定。
我們待會再迴到民主上麵來。
在這同時，請記得，你可以
「有時候欺騙所有人，
卻無法一直欺騙所有人。」
而且，因為你也是人們當中的一個，
可能的話，也不想被欺騙，
你得準備有條理的思考。
順便提一下，
彆認為你什麼事情都不做就辦得到。
也許本書能幫助你，順利地走過這條路。

寓意：
彆成為倉促作決定的人。