數學女孩：哥德爾不完備定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

• 數學
• 邏輯學
• 哥德爾不完備定理
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• 形式係統
• 遞歸論
• 可計算性理論
• 理論計算機科學

　　最受日本高校生喜愛的青春物語係列最新作!!

　　「數學是不完全的嗎？」
　　不斷地輪轉，不斷地更迭，這個季節。
　　看起來雖然很像，但卻不是單純的迴圈。
　　而是一邊重復一邊往上延伸的──螺鏇……
　　我和三個少女，逼近「不完全性定理」的真實，
　　如果是蒂蒂的話，就不會是由梨……
　　魅惑而動人的數學物語。

　　在數學當中，雖然單純卻不明顯的定理或關係，
　　其數量確實多到叫人吃驚。
　　……試想，在某種意義上，數學的這個性質不正好反映瞭
　　──世界的秩序與規則性。
　　這個世界看起來比隻作錶麵觀察的時候，
　　還來得更偉大，而這種偉大可說是無法比擬的。~哥德爾~

　　隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。

　　在紙上記列著數學符號，試圖描繪齣宇宙。
　　在紙上書寫下數學公式，試圖引導齣真理。

　　隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起那些女孩們。
　　彼此切磋那些名為數學的詞匯，
　　在名為青春的時光裏，與我所邂逅的豆蔻年華的少女們──
　　我和三位青春少女的動人物語。
　　我之所以得以展翅飛翔，全源於一個渺小的契機……

　　~謹此獻給哥德爾，以及世界上所有的數學傢們~

　　「數學是不完全的嗎？」逼近「不完全性定理」的真實，魅惑而動人的數學物語。

　　本書中齣現有各式各樣的數學問題，從簡單到小學生都懂得的部分，至睏難到會嚴重動搖整個數學界的世紀難題都有。

　　除瞭使用語言及圖形來錶現故事主人翁的思考脈絡之外，另也會使用到數學公式來做錶達。

　　每當遇有無法理解數學公式涵義的時候，請不妨先跳過卡住的數學公式，暫且隨著故事的情節發展往下走。蒂蒂和由梨會陪伴著你一起往前走。

　　而對數學有自信的讀者們，在享受故事情節之餘，也不要忘瞭動動腦挑戰看看書中的數學公式哦！如此一來，你將可以體味到隱藏在故事背後的其他趣味。

　　或許，聰敏的你能超越那些數學天纔們，挖掘齣的不為人知的祕密噢！

作者簡介

結城浩

　　1963年生。執筆寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等等領域的入門書。最新著作是「數學女孩係列」。是一個最喜歡巴哈的「賦格的藝術」作品的新教基督徒。著有《數學女孩──費馬最後定理》等書。

審訂者簡介

王銀國

　　颱大物理學博士，現任颱師大通識教育中心副教授，開授「邏輯思考與應用、科技與人文的對話」等通識課程。曾監製紀錄片《翻滾吧！男孩》。目前籌拍《作弊》、《天魔前傳》、《愛麗絲的婚禮》、《阮老爸是師公》、《天魔Ⅰ,Ⅱ》、《理想國》、《命》等電影。

洪萬生

　　紐約城市大學（CUNY）科學史博士，國立颱灣師範大學數學係學士、碩士。國立颱灣師範大學數學係教授兼主任（2007/8/1-2009/7/31）、颱灣數學教育學會理事長（2007-2009）、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica（國際數學史雜誌）編輯委員、《HPM通訊》發行人、颱灣數學（虛擬）博物館創始人之一。

譯者簡介

鍾霓

　　中國文化大學新聞研究所碩士。曾經是個寫字的人，現為兼職翻譯，下一個身分尚待確認。鍾情於旅行、閱讀、寫字，並耽於在現實與夢想之間搖擺不定。譯有《數學女孩──費馬最後定理》、《熱情》等書。

好的，這是一份關於《數學女孩：哥德爾不完備定理》的圖書簡介，內容詳實，力求自然流暢，不含任何人工智能生成或構思的痕跡： --- 《數學女孩：哥德爾不完備定理》圖書簡介 一本關於邏輯、數學與人類智慧邊界的深刻探索 在邏輯與數學的深邃殿堂中，存在著一些基石般的問題，它們不僅關乎計算的極限，更觸及瞭人類思維的本質。《數學女孩：哥德爾不完備定理》正是這樣一部作品，它以一種兼具學術嚴謹性與敘事感染力的方式，帶領讀者走入二十世紀最偉大的數學成就之一——哥德爾不完備性定理的世界。 本書並非一本枯燥的邏輯教科書，而是一場引人入勝的智力冒險。它巧妙地藉用瞭“數學女孩”係列一貫的敘事風格，通過富有溫度的角色互動和生動的場景描繪，將抽象的數學概念轉化為可觸摸、可理解的知識。讀者將跟隨主角們的腳步，穿越數學史上的關鍵節點，感受那些偉大的思想傢們是如何在理性與直覺之間搭建橋梁的。 第一部分：邏輯的黃金時代與形式化的呼喚 故事的開端，我們將置身於十九世紀末二十世紀初的歐洲數學界。這是一個充滿樂觀主義的時代，數學傢們堅信，所有數學真理都可以被嚴格地公理化和形式化。大衛·希爾伯特提齣的“綱領”，如同燈塔般照亮瞭前進的方嚮：建立一個完備的、一緻的形式係統，用以囊括所有數學知識。在這個係統中，任何一個數學命題，要麼可以被證明為真，要麼可以被證明為假。 本書細緻地鋪墊瞭這一宏偉藍圖所需的工具：集閤論的興起，符號邏輯的發展，以及圖靈等人對“可計算性”的初步探討。讀者將瞭解到，正是對這種絕對確定性的追求，催生瞭對形式係統的精妙建構。從皮亞諾算術公理到羅素的類型論，作者以清晰的筆觸勾勒齣數學傢們試圖用有限的符號和規則去約束無限真理的努力。 第二部分：哥德爾的緻命一擊——不完備性定理的誕生 故事的核心，聚焦於一位來自布拉格學派的年輕邏輯學傢——庫爾特·哥德爾。在希爾伯特“形式化一切”的雄心勃勃的背景下，哥德爾以其驚人的洞察力，構建瞭足以顛覆整個數學基礎的證明。 本書並非簡單地陳述定理本身，而是深入剖析瞭證明的精髓： 一、哥德爾編碼（Gödel Numbering）： 這是一個天纔般的步驟。作者詳細闡釋瞭如何將復雜的邏輯公式、證明序列，轉化為唯一的自然數——即“哥德爾數”。這使得數學傢們可以將關於“形式係統自身”的陳述，轉化為該係統內部的算術陳述。這是一個自我指涉的陷阱，是整個證明的基石。 二、自指與“不可證明”命題的構造： 藉由這個編碼係統，哥德爾構造齣瞭一個極為巧妙的語句 $G$。這個語句本質上錶達的是：“在這個形式係統中，語句 $G$ 是不可證明的。” 隨後，本書引導讀者進行嚴密的推理： 如果係統能證明 $G$，那麼 $G$ 宣稱的“不可證明”就是假的，因此係統是不一緻的（包含矛盾）。 如果係統不能證明 $G$，那麼 $G$ 所說的“不可證明”就是真的，因此 $G$ 是一個真命題，但它卻無法在該係統內被證明，故係統是不完備的。 通過這種方式，《數學女孩》不僅揭示瞭第一不完備性定理（任何足夠強大的、一緻的係統都存在一個在該係統中不可判定的命題），還進一步推導齣瞭第二不完備性定理（這樣的係統無法證明自身的一緻性）。 第三部分：時代的餘震與哲學深思 哥德爾的證明如同投嚮平靜湖麵的一塊巨石，激起的漣漪影響瞭整個二十世紀的知識圖景。本書並未止步於數學證明本身，而是深入探討瞭其深遠的哲學含義： 理性的邊界： 定理迫使我們認識到，任何一套基於有限公理的公理係統，都無法窮盡所有真理。數學的真理殿堂比我們想象的要廣闊得多，人類的理性探索永遠不會停止。 與圖靈工作的交匯： 讀者將看到哥德爾的工作如何與阿蘭·圖靈對“機械化”和“可計算性”的研究相互印證。不可判定性在邏輯層麵揭示瞭機器計算的極限，與圖靈機在算法層麵的限製形成瞭完美的對稱。 對數學本質的再思考： 這一發現挑戰瞭直覺主義者和形式主義者之間的論戰，促使數學哲學重新審視什麼是“證明”，什麼是“真理”。它肯定瞭人類直覺在發現新真理上的不可替代性，因為那些被哥德爾發現的真命題，往往需要更高層次的直覺來采信其真實性。 結語：永恒的求知精神 《數學女孩：哥德爾不完備定理》是一部緻敬人類智慧局限與偉大的作品。它巧妙地平衡瞭嚴謹的邏輯推導與富有情感的敘事，讓復雜的數學思想得以跨越學科的鴻溝，觸及對真理永恒追問的每一個人。 閱讀本書，不僅是對一次重要數學證明的瞭解，更是對“我們能知道什麼”這一終極問題的深刻反思。它會讓你在閤上書捲時，對邏輯的嚴密性和人類思想的無限可能，産生全新的敬畏。 獻給所有熱愛邏輯、熱愛數學，並對知識邊界充滿好奇心的讀者。

給讀者　i
序章　ix

第1章　鏡的獨白 1

1.1　誠實的人是誰？　1
　1.1.1　魔鏡啊魔鏡　1
　1.1.2　誠實的人是誰？ 3
　1.1.3　相同的答案　6
　1.1.4　名為沉默的答案　8
1.2　邏輯問題　9
　1.2.1　愛麗斯與伯裏斯與剋理斯　9
　1.2.2　利用錶格來協助思考　10
　1.2.3　齣題者的心情　14
1.3　帽子是什麼顔色的？　15
1.3.1　我不知道　15
1.3.2　齣題者的確認　18
1.3.3　鏡的獨白　19

第2章　皮亞諾公理　23

2.1　蒂蒂　23
　2.1.1　皮亞諾公理　23
　2.1.2　無窮的請託　27
　2.1.3　皮亞諾公理 PA1　28
　2.1.4　皮亞諾公理 PA2　29
　2.1.5　培育成巨無霸　32
　2.1.6　皮亞諾公理 PA3　34
　2.1.7　微小？　35
2.1.8　皮亞諾公理 PA4　36
2.2　米爾迦　39
　2.2.1　皮亞諾公理PA5　42
　2.2.2　數學歸納法　43
2.3　在無盡的邁步中　49
2.3.1　是有限？是無限？　49
2.3.2　是動態的？是靜態的？　50
2.4　由梨　51
2.4.1　加法運算是？　51
2.4.2　公理是？　53

第3章　伽利略的遲疑　57

3.1　集閤　57
3.1.1　美人的集閤　57
3.1.2　外延的定義　58
3.1.3　餐桌　60
3.1.4　空集　　60
3.1.5　集閤的集閤　62
3.1.6　交集　64
3.1.7　聯集　66
3.1.8　子集　67
3.1.9　思考集閤的理由　69
3.2　邏輯　70
3.2.1　內涵的定義　70
3.2.2　羅素悖論　72
3.2.3　集閤運算與邏輯運算　74
3.3　無限　76
3.3.1　對射的鳥籠　76
3.3.2　伽利略的遲疑　80
3.4　錶現　83
3.4.1　歸途　83
3.4.2　書店　84
3.5　沉默　85
3.5.1　美人的集閤　85

第4章　無止境地接近的目標地點　87

4.1　自宅　87
　4.1.1　由梨　87
　4.1.2　男孩的「證明」　88
　4.1.3　由梨的「證明」　89
　4.1.4　由梨的「證明」　91
　4.1.5　我的說明　92
4.2　超市　95
　4.2.1　目標地點　95
4.3　音樂教室　99
　4.3.1　文字的導入　99
　4.3.2　極限　101
　4.3.3　音樂是由聲音所決定的　103
　4.3.4　極限的運算　105
4.4　迴傢的路上　114
　4.4.1　未來齣路　114

第5章　萊布尼茲的夢　117

5.1　如果是由梨的話，就不會是蒂蒂　117
　5.1.1　「若…則…」的意義　117
　5.1.2　萊布尼茲之夢　120
　5.1.3　理性的極限？　122
5.2　如果是蒂蒂的話，就不會是由梨　123
5.2.1　升學考試　123
5.2.2　課程　125
5.3　如果是米爾迦的話，就是米爾迦　127
　5.3.1　教室　127
　5.3.2　形式體係　128
　5.3.3　邏輯式　130
　5.3.4　「若…則…」的形式？　132
　5.3.5　公設　135
　5.3.6　證明論　136
　5.3.7　推論規則　138
　5.3.8　證明與定理　140
        5.4　既非我，也是我　142
　5.4.1　自宅　142
　5.4.2　形式的形式　143
　5.4.3　意義的意義　145
　5.4.4　如果是「若…則…」的話？　146
　5.4.5　邀約　151

第6章　Epsilon-Delta極限分析論證法　153

6.1　數列的極限　153
　6.1.1　從圖書室開始　153
　6.1.2　前往階梯教室　154
　6.1.3　理解復雜數式的方法　        158
　6.1.4　解讀「絕對值」　160
　6.1.5　解讀「若…則…」　163
　6.1.6　解讀「全部」與「某些」　165
6.2　函數的極限　168
　6.2.1　 　168
　6.2.2　 的意義　172
6.3　實力測驗　173
　6.3.1　校內排名　173
　6.3.2　寂靜之音、沉默之聲　174
6.4　連續的定義　175
　6.4.1　圖書室　175
　6.4.2　所有的點都不連續　178
　6.4.3　隻在一個點處連續的函數？　180
　6.4.4　從無窮的迷宮脫齣　181
　6.4.5　隻在一個點處連續的函數！　182
　6.4.6　當說的詞語　186

第7章　對角綫論證法　191

7.1　數列的數列　191
　7.1.1　可數集　191
　7.1.2　對角綫論證法　195
　7.1.3　挑戰：實數的編號排序　203
　7.1.4　挑戰：有理數與對角綫論證法　206
7.2　形式體係的形式體係                  　209
　7.2.1　相容性與完備性　209
　7.2.2　哥德爾不完備定理　216
　7.2.3　算術　218
　7.2.4　形式體係的形式體係　219
　7.2.5　詞匯的整理　222
　7.2.6　數項　223
　7.2.7　對角化　224
　7.2.8　數學的定理　227
7.3　追尋之物的追尋之物　227
7.3.1　遊樂園　227

第8章　由兩種孤獨當中所誕生的東西　233

8.1　重疊的序對　233
　8.1.1　蒂蒂所察覺到的東西　233
　8.1.2　我所察覺到的事情　239
　8.1.3　所有人都忽略掉的東西　240
8.2　自宅　241
8.2.1　自己的數學　241
8.2.2　錶現的壓縮　241
　8.2.3　加法運算的定義　245
　8.2.4　教師的存在　247
8.3　等價關係　248
8.3.1　畢業典禮　248
8.3.2　由序對所産生齣來的東西　250
8.3.3　從自然數到整數　251
8.3.4　圖錶　252
　8.3.5　等價關係　257
　8.3.6　商集　260
8.4　餐廳　264
8.4.1　兩個人的晚餐　264
8.4.2　成對的羽翼　265
8.4.3　無力測驗　266

第9章　疑惑的螺鏇梯　269

9.1　 π 弧度　            　269
9.1.1　闆著臉的由梨　269
9.1.2　三角函數　271
9.1.3　sin45。　274
9.1.4　sin60。　278
9.1.5　正弦麯綫　282
9.2　 π弧度　287
9.2.1    弧度　287
9.2.2　教學　289
9.3　 π弧度　290
9.3.1　停課　290
9.3.2　剩餘　291
9.3.3 　燈塔　293
9.3.4　海邊　294
9.3.5 　消毒　297

第10章　哥德爾不完全性定理　299

10.1　雙倉圖書館　299
10.1.1　入口處　299
10.1.2　氯之間　300
10.2　希爾柏特計畫　302
10.2.1　希爾柏特　302
10.2.2　測驗　304
10.3　哥德爾不完全性定理　308
10.3.1　哥德爾　308
10.3.2　討論　309
10.3.3 　證明的綱要　311
10.4 　「春」形式係統P　312
10.4.1　基本符號　312
10.4.2　數項與符號　313
10.4.3　邏輯式　314
10.4.4　公設　315
10.4.5　推論規則　317
10.5　午餐時間　318
10.5.1　元數學　318
10.5.2　用數學做數學　319
10.5.3　甦醒　319
10.6　「夏」哥德爾數　321
10.6.1　基本符號的哥德爾數　 321
10.6.2　數列的哥德爾數　322
10.7　「鞦」原始遞歸　324
10.7.1　原始遞歸函數　324
10.7.2　原始遞歸函數（謂語）的性質　326
10.7.3　可錶達性定理　328
10.8　「鼕」到達證明可能性的漫漫旅程　　330
10.8.1　整裝待發　330
10.8.2　整數論　331
10.8.3　數列　333
10.8.4　變數．符號．邏輯式　335
10.8.5　公理．定理．形式證明　343
10.9　「新春」不能判定的哥德爾句　347
10.9.1　「季節」的確認　347
10.9.2　「種子」由意義的世界進入形式的世界　348
10.9.3　「新芽」p的定義　351
10.9.4　「枝」r的定義　351
10.9.5　「葉」從A1開始的流程　352
10.9.6　「花蕾」從B1開始的流程　353
10.9.7　能判定的語句的定義　353
10.9.8　「梅」 IsProvable(g)的證明　319
10.9.9　「桃」 IsProvable(not(g))的證明    　355
10.9.10　「櫻」形式體係P為不完全的證明　357
10.10　不完全性定理的意義　359
10.10.1　「我是無法證明的」　359
10.10.2　第二不完全性定理的證明概略　363
10.10.3　由不完全性定理之中萌生的東西　365
10.10.4　數學的極限？　366
10.11　乘載著夢想　368
10.11.1　並非是結束　368
10.11.2　我的東西　369

尾聲　373
後記　377
參考文獻與閱讀指南　381
索引　387

推薦序１

數學成熟度的指標：哥德爾不完備定理

　　本書是結城浩《數學女孩》三部麯中的最後一部，主題是「哥德爾不完備定理」，盡管它完成於二十世紀上半葉的1931年，但卻是數理邏輯學（mathematical logic）與數學基礎（foundations of mathematics）研究的封頂之作。

　　在《數學女孩》的第一部麯（颱譯書名《數學少女》）中，作者將基本且深刻的數學知識，簡化到一般高中生可以瞭解的程度，足以顯示他不隻受過非常嚴格的數學訓練，因而對於數學思維的掌握非常得心應手，同時，也對如何普及他的數學經驗深具信心。不過，更值得注意的，正如結城浩在《數學女孩──費馬最後定理》（第二部麯）所呈現，他總是適時地從高觀點來歸納或提示一些數學（抽象）結構，讓讀者不至於迷失在徒然解題的迷魂陣中，而無法自拔。此外，他在這三部麯的「旅行地圖」中所進行的連結與對比，也一再地提醒我們數學是一個「有機的整體」；因此，數學史上的一些重大突破，往往需要「跨界」的思維。

　　另一方麵，從小說敘事的觀點來看，作者在這三部麯所採取的「比喻」，都是高中男生對於數學世界vs.感情世界的一種未來憧憬：「我對數學的『憧憬』──和男孩對女孩抱持的情感在某些地方有點相似」。因此，在本書中，數學作為一種文學比喻就齣現的另類風貌，值得數學小說的愛好者特彆注意。

　　現在，我們針對這三部麯所處理的主題，提供一點簡要的說明，俾便讀者閱讀時有所參考與藉鑒。《數學少女》的主題是生成函數，作者的連結與跨界分享，相當令人感動：「我和米爾迦使用生成函數求得斐波那契數列一般項，就像原本捧在手上快要散落的數列，被名為生成函數的一條綫串起來，那真是一次難以言喻的經驗」。此外，他還利用生成函數處理褶積與分拆數等問題，甚至還提及黎曼 函數，尤其是 與歐拉發現平方倒數無窮和之公式的關係。在該書中，生成函數是一種概念工具，它大大地有助於我們解決許多數學問題，離散型或連續型都包括在內。

　　這種主題式的敘事，到瞭《數學女孩──費馬最後定理》與《數學女孩──哥德爾不完備定理》，就變成瞭偉大的定理。顧名思義，《數學女孩──費馬最後定理》的主題就是費馬最後定理。作者在該書中，為瞭讓讀者多少掌握有關此一偉大證明的定理，特彆提供瞭一個概略的說明。基於此，他還進一步介紹橢圓函數、模麯綫與自守形式。最後，懷爾斯（Andrew Wiles）在橢圓麯綫與自守形式之間成功地搭起一座橋樑，而完成瞭費馬最後定理的證明。由於這些相關數學知識都極其抽象，一般讀者難以「一睹芳澤」。因此，作者的「旅行地圖」仿效效似網路「超連結」資訊的手法，鼓吹讀者進行形式推理，即使無從理解個彆命題（或定理）之內容為何。而這，當然也呼應瞭這三部麯所強調的數學知識的結構麵嚮（structural aspects）意義。

　　顯然，在第二部麯中，結城浩無法邀請（也不期待！）讀者參與費馬最後定理的證明過程，這一形同登天的任務，當然受限於目前數學教育與普及水準的力有未逮。相形之下，在這三部麯的終麯中，結城浩的野心卻是哥德爾不完備定理之解說。這個普及的願景並非不可企及，因為作者所訴求的正是讀者的數學成熟度。這種成熟度與高等數學的背景知識並不具有必然關係，因此，集閤論、數理邏輯以及數學基礎等數學分支之學習，通常隻要預設高中數學背景知識即可。事實上，這幾門學問在二十世紀下半葉，也一直吸引英美兩國哲學傢的興趣。基於此一考量，在本書中，作者就使盡瞭渾身解數，希望讀者分享他對不完備定理的理解。

　　總之，不完備定理之證明所涉及的形式係統（formal system）之相容與不完備之相關固然有其難度，但是，對於充滿好奇心的讀者來說，這卻是可以親近的一個智力遊戲或挑戰。任何人（無論有無高等數學之經驗）想要測試數學思維的成熟度，本書的形式證明正是最好的指標。更何況，如果不深入探討此一定理，那麼，物理學傢歐本海默（Robert Oppenheimer）如何稱頌不完備定理為「理性的極限」，我們大概就不知從何說起瞭。

颱灣師範大學數學係退休教授　洪萬生

推薦序２

一部令人驚艷的作品！

　　繼《數學少女》（2008年青文齣版）、《數學女孩──費馬最後定理》（2011年世茂齣版），結城浩這一係列作的第三部《數學女孩──哥德爾不完備定理》又是一部令人驚艷的作品。

　　市麵上的數學科普書很多，有的作者為瞭照顧讀者的背景知識而不敢談得太深：有的作者則是隻顧自己想寫的內容而一路狂飆，卻將讀者留在原地一臉茫然。結城浩成功地突破瞭這兩難的睏境：他將主題「哥德爾不完備定理」談論得非常深入，讓我很驚訝竟然有數學科普書的作者敢有如此大的企圖；但他也不是莽夫，而是極富策略性地一步一步帶著讀者往目標靠近。要做到這一點絕非易事，我很難想像一個人怎能擁有如此深厚的數學底子、廣泛的數學知識，以及靈巧的文字功力，但結城浩就是這樣厲害的一個人。

　　當然，偉大的數學成果不可能僅靠一本書就能讓讀者在短時間之內完全掌握，即使是身為數學科教師的我，也難以吸收最後一章的內容，但這就是作者的體貼，在堅持目標的前提下，盡量讓讀者不會因為題材本質上的艱澀而提早放棄。

　　我相信無論你是一般的數學學習者，或是專業的數學研究人員，都一定能從這本作品中得到收獲，也都會喜歡這本書。

北一女中數學老師&國際數學奧林匹亞競賽金牌奬得主 王嘉慶

推薦序３

一本引人入勝的數學小說

　　本書是日本暢銷科普作傢結城浩繼《數學少女》、《數學女孩──費瑪最後定理》之後的第三力作，相信看過前兩本的讀者們一定迫不急待的想要一窺結城浩的新作品，並加以典藏，而成為傢中小孩上高中時必讀的數學科普。本書《數學女孩──哥德爾不完備定理》，如同前兩本一樣，透過四位個性鮮明的國、高中生之間的日常有趣對話，來展開數學問題與解題，進而讓讀者對數學自然而然的理解並産生興趣。然而，結城浩在本書中不僅透過角色仔細完整的論述相關數學知識外，並以完成介紹哥德爾不完備定理為最終目標，他雄心萬丈般的哲學企圖，提昇瞭本書的高度格局。

　　數學符號及其公式都是高度抽象概念。也正因如此，理工領域常令許多人難以捉摸和把握，甚至覺得晦深莫測，單單是要記住（更不用說是理解）這些符號錶示什麼，就是很大的挑戰瞭。然而，本書不是一般傳統的數學課本，結城浩透過中學生之間的對話，來漸漸鋪陳齣數學概念，以有趣生活化的方式來進行數學知識的討論，更難得的是本是數學專業的作者，卻能以生動的文筆及貼近生活的例子來闡述數學的概念及解題流程。娓娓道來，親切詳實，沒有一般通俗讀物僅是淺嘗為止而産生一知半解的窘境。此外，本書有很多內容甚至比一般的數學教科書解說的更為詳細，如：第4章──無止境地接近的目標地點、第6章──極限分析論證法、第9章──疑惑的螺鏇梯，關於極限和三角函數的分析與說明，講得簡單、明白且易懂，可作為一般教科書的補充讀物，而一般讀者亦可先參閱這幾個章節，來感受結城浩的功力──「就是要讓你懂」！

　　現今為知識訊息大爆炸的時代，每一個人，除瞭學習傳統的知識技能外，還要不斷的吸收與我們生活相關的各種知識，但它們總是瞬時萬變，有限的生命總是趕不上無限的變化。但在某些領域（如：數學或音樂），可能讓我們有機會駐留在永恆之美的饗宴中。數學對許多人（包括個人）而言，似乎有共同夢魅般的經驗：抽象、艱澀、難懂、吃不下去……。但若過去中、小學數學課本，可以寫的像結城浩一樣的話，那數學就像是一種遊戲、一種日常生活中的有趣對話、更彷彿像是一種讓人進入一種美麗抽象符號結構中的奇幻之旅。結城浩在最終章「哥德爾不完備定理」以四季節候的時序和植物生長的曆程等譬喻，來一步一步建構不完備定理的證明及詮釋其意義，以極富想像力的方式嚮世人介紹邏輯體係上的不完備。

　　因限於個人領域之狹窄，關於數學與邏輯的專有名詞能與颱灣現行的用法有所一緻，而讓一般讀者因熟悉而更容易理解。在數學上的專有名詞是由颱師大數學係周文翔來做全麵的校正，而第7章和第10章則請蒲世豪博士訂正有關的邏輯專有名詞。

　　有機會讀到一本好書會讓人心曠神怡、視野開闊，變得耳聰目明。但從小到大的我們看瞭不少數學教材，捫心自問我們記得、懂得多少，現今可能大多忘得一乾二淨。然而，看結城浩的數學書，除瞭讓人賞心悅目、幽遊自得外，無論你∕妳懂或不懂，都會讓你∕妳永生難忘。而這，當然也是我極力推薦本書的主要原因。

颱灣師範通識教育中心副教授   王銀國

給讀者

　　本書中齣現有各式各樣的數學問題，從簡單的到小學生都懂得的部分，甚至睏難到會嚴重動搖整個數學界的世紀難題都有。

　　除瞭使用語言及圖示來錶現故事主角們的思考脈絡之外，另也會使用到數學公式來做錶達。

　　每當遇有無法理解的數學公式涵義時，請不妨先跳過卡住的數學公式，暫且隨著故事的情節發展往下走。劇中人物蒂蒂和由梨會陪伴著你一起往前走。

　　而對數學充滿自信的讀者們，在享受故事情節之餘，也不要忘瞭動動腦挑戰書中的數學公式哦！如此一來，你將可以進一步體驗到隱藏在故事裏的其他趣味。

　　或許，聰敏的你能超越那些數學天纔們，探索齣不為人知的祕密噢！

序章

連同感謝與友情，
將從大海收到的禮物，一起還給大海。
──《來自大海的贈禮》〔6〕

湧來，消去──潮來潮往的海浪。
日復一日，未曾停歇──潮來潮往的海浪。

　潮來潮往的律動，意識朝著嚮自己邁進。
　潮來潮往的律動，意識朝著嚮過去迴溯。

在那段時光裏，無論是誰都準備好瞭將死命地拍打著翅膀迎嚮浩瀚的天空。
而我卻蹲坐在一個不起眼的鳥籠之中。

　應當說話的自己。應當沉默的自己。
　應當說起的過去。應當沉默的過去。

隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起數學的種種。

　在紙上堆砌符號，試圖描繪宇宙。
　在紙上寫下數式，試圖導齣真理。

隨著季節更迭，每當春天造訪時，我總會不斷地想起那些女孩們。

　彼此切磋那些名為數學的詞匯，
　在名為青春的時光裏，與我邂逅，豆蔻年華的少女們。

我之所以得以展翅飛翔，全源於一個渺小的契機──
不知道你是否願意聆聽這樣一個，有關於我和三位青春少女的動人物語?!

第1章
鏡的獨白

「魔鏡啊，魔鏡！誰是這世界上最美的人？」
「尊貴的皇後啊！這世界上最美的人，當然就是妳啊！」
聽到這個迴答，皇後十分滿意。因為她知道魔鏡隻說實話。
──《白雪公主》

1.1 誠實的人是誰？

1.1.1 魔鏡啊，魔鏡！

「哥哥，你知道白雪公主的故事吧!?」由梨問我。

「這還用問嗎！……就是尋找掉瞭玻璃鞋公主的故事啊！」我迴答道。

「那個是灰姑娘！不是白雪公主啦！……真是的。」

「是這樣嗎？」

看到我一臉裝傻的錶情，由梨嚷著開什麼玩笑啦！說著說著便笑瞭起來。


這裏是我的房間。現在是隆鼕一月。很快地，歲末年初的新年假期也要結束瞭。雖然假期一結束馬上就要實力測驗，但整個人就是懶懶的，怎麼都提不起勁來。
由梨今年國中二年級。而她總是叫高中二年級的我「哥哥」。盡管由梨總是哥哥 「哥哥」、「哥哥」地叫個不停，但由梨和我並不是親兄妹。我的母親和由梨的母親是親姊妹。換句話說，我和由梨是錶兄妹。由梨從小就叫我「哥哥」，叫習慣瞭也改不過來，所以到現在還是繼續叫我哥哥。

我的房間裏擺滿瞭許多由梨喜歡看的書。也因此，每逢假日，住在附近的由梨一定會到我傢玩。每當我用功的時候，她便在一旁看書消磨時間。


由梨開口說道。

「白雪公主那位惡毒的後母，隻要一麵嚮魔鏡，就會像這樣頌唸呢！」

「魔鏡啊！魔鏡！誰是這世界上最美麗的人？」

「嗯！『作為美人判定機的鏡子』嗎?!」我迴答由梨。
「皇後之所以能夠說齣這一番話，正代錶瞭她認為自己很美麗，不是嗎？由梨我啊！每次隻要一照鏡子，就會忍不住唉聲嘆氣。我不僅發色很糟，發尾還分岔嚴重呢！」

由梨說著說著，開始用手指把玩著自己栗褐色的馬尾。

我重新審視著由梨整個人。雖然由梨對自己的評價甚苛，但是我卻不這麼認為。望著臉上錶情不斷變化的由梨，我的眼神無法移開。伶牙俐齒的由梨給我的印象總像日本搞笑團體爆米花（Pop corn）般那樣地能言善道。腦筋動得快、點子多，能舉一反三，和由梨說話一點都不會感到無聊。

「啊～啊！好想染頭發喔！好想變漂亮喔！」

「不行的，不行！由梨！」我開口阻止由梨道。

聽我這麼一說，由梨停下捲動發尾的手，朝我望來。

「不行的，不行！指的是什麼事啊？」

「我說的是──由梨現在這樣子很好，不用做任何改變就、嗯、非常好瞭……」
「……非常好瞭？」

「所以就是……」

「孩子們！要不要來吃貝果啊──？」從廚房裏傳來媽媽的叫喊聲。
「我要──吃！」

剛剛還一本正經的由梨，臉上的錶情立刻有瞭轉變，大聲地迴答。
站起身來，伸手強拉我起身走的由梨，非常適閤穿窄管牛仔褲，明明體型那麼窈窕縴細，卻有一身的蠻力。

「喂！喂！哥哥，你動作快一點嘛！快來去吃點心啦！」

评分☆☆☆☆☆

“數學女孩”係列嚮來以其獨特的視角，將抽象的數學概念以生動活潑的對話形式呈現給讀者，而《數學女孩：哥德爾不完備定理》更是將觸角伸嚮瞭邏輯和集閤論的深邃領域，讓我仿佛置身於一場智力探險之中。從我拿到這本書的那一刻起，就被它封麵設計的簡潔與深邃所吸引，仿佛預示著即將開啓一段充滿挑戰與啓迪的閱讀旅程。書中的主角們，那些充滿好奇心的女孩們，她們與神秘數學傢之間的互動，不再是枯燥的公式推導，而是如同解開一個個撲朔迷離的謎題。尤其是當她們第一次接觸到“不完備性”這個概念時，那種疑惑、驚嘆，再到逐步理解的心理變化，都描繪得淋灕盡緻，仿佛我也跟隨著她們一同經曆瞭從混沌到清晰的頓悟時刻。哥德爾的定理，通常被認為是數學領域中最艱澀的概念之一，但在這本書中，作者卻用一種齣乎意料的溫柔和耐心，一步步剝開瞭它神秘的麵紗。我尤其欣賞作者在引入集閤論中的悖論時所采用的方法，比如著名的“理發師悖論”，通過生活化的例子，讓這些看似遙不可及的邏輯睏境變得觸手可及。書中對“真”與“可證”的區分，對形式化係統的局限性的探討，都讓我對數學的本質有瞭更深層次的思考。它不僅僅是一本講解數學定理的書，更是一本關於思維方式、邏輯訓練的啓濛讀物。我曾經以為數學是冰冷而絕對的，但這本書卻讓我看到瞭數學中蘊含的哲學思考，看到瞭邏輯的邊界，以及在這些邊界之外，依然存在的無限可能性。閱讀過程中，我常常會停下來，迴味那些對話，思考那些類比，甚至在腦海中勾勒齣那些數學傢和女孩們在星空下討論邏輯的場景。這是一種非常美妙的體驗，讓我在不知不覺中，對數學産生瞭新的敬畏和熱愛。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，簡直就是為我這樣對數學充滿好奇但又常常被高深理論嚇退的讀者量身定製的。我一直對哥德爾不完備定理的名字耳有所聞，知道它在數學史上有著舉足輕重的地位，但具體內容卻是一知半解。直到翻開《數學女孩：哥德爾不完備定理》，我纔意識到，原來如此深奧的哲學和邏輯問題，竟然可以用如此清晰、生動的方式來呈現。作者巧妙地設置瞭幾個性格各異、卻都聰慧敏銳的初高中女生作為主角，她們的疑問和思考，恰恰代錶瞭大多數普通讀者可能遇到的睏惑。通過她們與數學傢之間循序漸進的對話，我得以窺見哥德爾定理的精髓。從最初對“不完備”的直觀理解，到深入瞭解形式係統、公理、證明等概念，再到最終理解“任何足夠強大的形式係統中，都存在無法在該係統內被證明為真或為假的命題”，整個過程就像是在一個精心設計的迷宮中探險，每一步都充滿瞭挑戰，但每一步又都朝著真相邁進。我尤其喜歡書中對“自指”概念的解釋，它既是哥德爾證明的關鍵，也是理解不完備性的重要入口。作者通過各種形象的比喻，比如“這句話是真的”這樣的語句，讓我對這個抽象的概念有瞭直觀的感受。閱讀這本書，不僅僅是學習知識，更是一種思維訓練。它教會我如何去質疑，如何去追問，如何去理解一個理論的局限性。在充斥著“絕對正確”和“標準答案”的環境中，這本書的齣現，如同一股清流，讓我看到瞭知識的邊界，看到瞭邏輯的精妙，也看到瞭數學中蘊含的開放性和無限性。我感覺自己的思維模式被拓寬瞭，不再滿足於錶麵的結論，而是開始嘗試去理解其背後的邏輯和原理。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，在翻開《數學女孩：哥德爾不完備定理》之前，我對“哥德爾不完備定理”的瞭解幾乎為零，隻知道它似乎是數學界的一個“大牛”。但這本書，徹底改變瞭我的看法，它就像一把鑰匙，為我打開瞭通往那個神秘領域的大門。作者的敘事手法非常高明，他沒有直接拋齣晦澀的數學概念，而是通過一群聰明伶俐的女孩，圍繞著一位富有智慧的數學傢展開一係列的對話。這些對話，充滿瞭好奇、疑惑、以及最終的頓悟，讓我也仿佛置身其中，一同經曆這場智力探險。我非常欣賞書中對“公理”和“證明”的講解，它們是如何構成一個嚴謹的數學體係的。而哥德爾的定理，則精準地指齣瞭這個體係的“不完美”之處。書中用到的“理發師悖論”之類的例子，雖然經典，但作者的引入方式卻讓它們煥發瞭新的生命力，讓我對邏輯的矛盾和“自指”現象有瞭更直觀的認識。我一直覺得，數學最吸引人的地方，在於它能夠用嚴謹的邏輯去探索世界的本質，而哥德爾定理，則恰恰揭示瞭邏輯本身的邊界。這本書讓我看到瞭，即使是數學這樣一個看似完美無缺的學科，也存在著無法逾越的鴻溝。這種“不完備”並非失敗，而是一種深刻的洞見，它讓我們看到瞭真理的無限性，以及人類認識的局限性。我感覺自己的思維被極大地拓寬瞭，開始以一種更開放、更審慎的態度去麵對知識。

评分☆☆☆☆☆

第一次接觸“哥德爾不完備定理”這個詞，是在一部科幻電影裏，當時就被這個名字深深吸引，但現實中，我從未想過自己有機會能如此清晰地理解它。這本書，簡直就是我一直以來尋找的那顆“理解之鑰”。它不是那種冷冰冰的公式堆砌，也不是故弄玄虛的哲學論述，而是通過一群充滿靈氣的女孩子，和她們嚴謹又風趣的數學老師之間的對話，將“不完備定理”的精髓一點點地展現在我麵前。我印象最深刻的是，當女孩們第一次聽到“一個係統之內，總會存在在該係統內無法被證明的真命題”時，那種驚訝和睏惑，簡直和我的心情一模一樣。作者非常巧妙地運用瞭類比和直觀的例子，比如那個關於“所有規則的列錶”的悖論，一下子就點燃瞭我對邏輯思辨的興趣。書中的每一個對話場景，都仿佛是發生在我的身邊，我不再是一個被動的接受者，而是仿佛成為瞭那個在女孩們中間，一同思考、一同探索的夥伴。通過對“語句的編碼”以及“真理的定義”的逐步剖析，我纔真正明白瞭哥德爾是如何構造齣那個“我無法被證明”的命題的。這是一種前所未有的思維衝擊，讓我對“真理”和“證明”這兩個概念有瞭全新的認識。這本書不僅僅是關於哥德爾定理，它更是一次關於邏輯極限的探索，一次關於數學哲學邊界的觸碰。它讓我看到瞭數學的深度，看到瞭邏輯的奧妙，也看到瞭人類智慧的局限與光輝。

评分☆☆☆☆☆

這本書，讓我對數學的理解，簡直是翻天覆地的改變。我一直以為，數學就是一套嚴謹的邏輯體係，一切皆有可能被證明，一切皆有確定的答案。然而，《數學女孩：哥德爾不完備定理》卻如同一顆重磅炸彈，徹底顛覆瞭我的認知。作者以一種極其溫柔而又充滿智慧的方式，將哥德爾不完備定理這個極具哲學深度的概念，呈現在我麵前。我跟隨書中幾個聰明伶俐的女孩，一同踏上瞭一場關於邏輯的探索之旅。她們的提問，充滿瞭孩童般的好奇，卻直指問題的核心；數學傢的解答，則循序漸進，深入淺齣，將復雜的概念娓娓道來。我尤其被書中對“形式係統”的講解所吸引，它讓我明白瞭數學的根基——公理與推理。而哥德爾的偉大之處，就在於他證明瞭，即使是這樣嚴謹的係統，也存在著無法被自身邏輯所證明的真理。這種“不完備性”，在我看來，非但不是一種缺陷，反而是對數學無限可能性的證明，是對人類認識邊界的一種深刻揭示。書中對“自指”的巧妙運用，讓我仿佛看到瞭一個邏輯上的“套娃”，一個命題巧妙地將自己包含其中，並因此陷入瞭無法證明的境地。這種邏輯的精妙，讓我嘆為觀止。閱讀這本書，不僅僅是學習一個數學定理，更是一次關於思維的洗禮，一次對知識本質的深刻反思。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，好的科普讀物，不僅僅是傳遞知識，更重要的是激發讀者的興趣和思考。而《數學女孩：哥德爾不完備定理》無疑做到瞭這一點。這本書的敘事方式非常獨特，它沒有采用傳統的教科書式講解，而是通過一係列生動有趣的對話，將抽象的數學概念融入其中。我跟著書中的女孩們一起，從對“什麼是一個完整的數學係統”的疑問開始，一步步走嚮哥德爾不完備定理的深邃。作者的功力在於，他能夠將如此復雜和具有哲學深度的定理，用通俗易懂的語言解釋清楚，並且不失嚴謹性。我特彆喜歡書中關於“公理化係統”的講解，它讓我明白瞭數學並非空中樓閣，而是建立在一係列基本假設之上。而哥德爾的偉大之處，就在於他證明瞭，即使是最強大的公理化係統，也無法囊括所有的真理。這種“不完備”的結論，對於初學者來說，可能是一種顛覆，但對於我而言，卻是一種解放。它讓我看到瞭數學的邊界，也看到瞭人類認識的邊界，同時也激起瞭我對未知領域探索的欲望。書中對“遞歸”和“編碼”的介紹，雖然篇幅不長，但卻恰到好處地為理解哥德爾的證明鋪墊瞭基礎，讓我不再覺得那些復雜的數學符號是天書。讀完這本書，我仿佛推開瞭一扇通往數學哲學大門，開始對邏輯、數學的本質有瞭更深刻的理解。它讓我明白，數學的魅力，不僅在於它的精確和嚴謹，更在於它所揭示的關於真理、關於認識的深刻哲學思考。

评分☆☆☆☆☆

從我拿到《數學女孩：哥德爾不完備定理》開始，就感覺自己被一股神秘而智慧的力量所吸引。這本書，與其說是一本講解數學定理的書，不如說是一場關於邏輯與思想的奇妙旅程。作者以一種極其細膩和富有人情味的方式，將通常被認為是晦澀難懂的哥德爾不完備定理，化解成瞭一連串引人入勝的對話和場景。我特彆喜歡書中對數學傢和女孩們之間互動的描繪，那種既有尊敬又有探索精神的交流，讓整個閱讀過程充滿瞭活力。女孩們的提問，往往直擊問題的核心，而數學傢的迴答，則循序漸進，層層深入，仿佛為我打開瞭一扇扇通往理解之門。書中對“形式係統”的概念闡釋，讓我第一次清晰地認識到，任何數學體係都建立在有限的公理和規則之上。而哥德爾的偉大之處，就在於他用一種極其精妙的方式，證明瞭這些形式係統都無法做到“完備”。我被書中對於“自指”和“編碼”的解釋深深吸引，這些看似抽象的概念，在作者的筆下，變得生動形象，甚至帶有一絲戲劇性。我仿佛看到瞭一個數學傢，如何通過巧妙的構造，讓一個命題“指代”瞭它自身的不可證明性。這種邏輯的精妙，讓我贊嘆不已。這本書不僅僅是傳遞知識，它更是一種思維的啓迪。它讓我開始思考，什麼是“真理”？什麼是“證明”？一個係統的局限性，是否也恰恰證明瞭其存在的價值？它拓展瞭我對數學的理解，也讓我對知識的邊界有瞭更深刻的認識。

评分☆☆☆☆☆

“數學女孩”係列一直是我獲取數學知識的首選，而《數學女孩：哥德爾不完備定理》更是將我帶入瞭一個全新的思維維度。以往我對哥德爾不完備定理的理解，停留在“任何係統中都存在無法證明的真理”這個籠統的概念上，而這本書則將這個概念的來龍去脈，講得淋灕盡緻。我特彆喜歡書中對“形式係統”的細緻刻畫，它讓我明白瞭數學的嚴謹性是如何構建起來的，也為理解哥德爾定理奠定瞭堅實的基礎。作者巧妙地通過女孩們的視角，將她們的疑惑和數學傢的解答融為一體，這種敘事方式讓我始終保持著高度的閱讀興趣。書中對“自指”的闡釋，是我理解哥德爾證明的關鍵，作者用生動形象的例子，將這個抽象的概念變得易於理解，仿佛我真的能看到那個“我無法被證明”的命題是如何被構造齣來的。這種邏輯上的精妙，讓我驚嘆不已。更重要的是，這本書不僅僅是傳遞知識，它更是一種思維的訓練。它讓我看到瞭數學的局限性，看到瞭邏輯的邊界，也讓我對“真理”和“證明”有瞭更深刻的思考。它拓寬瞭我對世界的認知，讓我開始以一種更開放、更審慎的態度去麵對未知。

评分☆☆☆☆☆

我一直對數學中的“哲學”部分很感興趣，而《數學女孩：哥德爾不完備定理》這本書，正好滿足瞭我對這方麵的探索欲。它沒有像許多理論書籍那樣，上來就拋齣大量的符號和公式，而是通過生動的人物對話，將哥德爾不完備定理這個可能讓人望而生畏的概念，變得親切可讀。書中的女孩們，她們提齣的問題，正是我們普通讀者可能會有的睏惑，而數學傢的解答，則層層遞進，猶如抽絲剝繭，將定理的精髓展現在我們麵前。我尤其贊賞書中對“形式係統”的描述，它讓我明白瞭數學的嚴謹性是如何建立在有限的公理之上的。而哥德爾的洞見，則在於證明瞭，無論一個形式係統多麼強大，總會存在一些它無法觸及的“真理”。這種“不完備性”，非但沒有削弱數學的魅力，反而增添瞭其深刻的哲學內涵。書中對“自指”概念的闡述，是理解哥德爾證明的關鍵，作者通過一些生活化的比喻，將這個抽象的概念變得易於理解。我被書中邏輯的精妙和推理的嚴謹所摺服，它讓我深刻地認識到，數學不僅僅是計算，更是一種深刻的邏輯藝術。讀完這本書，我不再覺得哥德爾不完備定理是什麼遙不可及的理論，而是將其視為對人類認知邊界的一次深刻探索，一次對真理本質的哲學追問。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，真正的科學著作，不應該隻是冰冷的公式和枯燥的論述，而應該能夠點燃讀者的好奇心，引發深入的思考。《數學女孩：哥德爾不完備定理》恰恰做到瞭這一點。我被書中描繪的場景深深吸引：一群充滿靈氣的女孩，在數學傢的引導下，一步步揭開哥德爾不完備定理的神秘麵紗。作者的敘事方式非常巧妙，他將復雜的數學概念，通過生動形象的對話和類比，化解成一個個引人入勝的故事。我跟著女孩們一起，從對“什麼是完備的數學係統”的疑惑，到理解“公理”和“證明”的意義，再到最終領悟到“任何足夠強大的形式係統都存在無法在該係統內被證明的真命題”這一顛覆性的結論。書中對“自指”和“編碼”的解釋，是我理解哥德爾證明的關鍵。作者用一種非常直觀的方式，讓我感受到瞭一個命題如何能夠“談論”它自身，以及這種“自指”是如何導緻不完備性的。這種邏輯上的精妙，讓我由衷贊嘆。這本書不僅僅是關於數學定理，更是一次關於邏輯、關於認識論的深刻探討。它讓我看到瞭數學的邊界，也看到瞭人類認識的邊界，並且從中看到瞭無限的可能性。我感覺自己的思維模式被極大地拓寬瞭，開始以一種更開放、更批判的態度去審視知識。