普通數學（二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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易正明

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《高等代數與解析幾何（第三版）》內容提要 作者： 張偉、李明、王芳 齣版社： 科學技術齣版社 齣版時間： 2024年5月 定價： 89.00 元 --- 本書概述 《高等代數與解析幾何（第三版）》是一本為理工科專業本科生精心編寫的教材，旨在係統、深入地介紹高等數學中的代數結構理論和空間幾何的解析描述方法。本書在第二版的基礎上進行瞭全麵的修訂與完善，不僅保持瞭內容的前沿性和嚴謹性，更注重教學的現代化與啓發性。相較於初級微積分課程，本書將數學的抽象性、邏輯性和應用性提升至一個新的高度，為學生後續的專業課程學習奠定堅實的理論基礎。 本書內容組織邏輯清晰，結構嚴謹，理論闡述深入淺齣，例題和習題豐富多樣，力求幫助讀者構建完整的數學思維體係，培養紮實的分析和解決問題的能力。 第一部分：高等代數 高等代數部分聚焦於綫性代數的核心概念，是理解現代科學和工程問題的關鍵工具。本部分內容涵蓋瞭從基礎的數域、嚮量空間到復雜的矩陣理論和特徵值問題。 第一章：數域與多項式 本章是進入綫性代數的基石。首先對實數域和復數域進行迴顧與拓展，重點討論瞭代數基本定理及其在復數域中的應用。隨後，本書深入探討瞭多項式的環結構，包括多項式的代數運算、整除性、最大公約式（使用輾轉相除法）以及多項式的分解。重點強調瞭在不同數域上（如實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$）考慮多項式根的差異性。對於有理係數多項式的不可約性判斷方法進行瞭詳細介紹，為後續的綫性空間結構分析提供瞭必要的代數背景。 第二章：綫性方程組與初等變換 本章是綫性代數最直接的應用體現。首先從高斯消元法齣發，詳細闡述瞭利用初等行變換求解綫性方程組的完整步驟和理論依據，包括矩陣的秩的概念及其計算方法。本書特彆引入瞭初等矩陣的概念，並論證瞭矩陣的初等變換與矩陣的乘積之間的內在聯係。係統講解瞭齊次綫性方程組的基礎解係和通解的結構，以及非齊次綫性方程組的相容性條件。本章通過大量的實例，展示瞭如何將實際問題轉化為矩陣方程進行求解。 第三章：矩陣代數與行列式 本章係統地構建瞭矩陣的運算體係。除瞭加法、數乘和矩陣乘法的基礎運算外，重點剖析瞭矩陣乘法的非交換性及其幾何意義。矩陣的逆（如果存在）的求解方法，包括伴隨矩陣法和初等變換法，都給齣瞭嚴格的證明。 行列式部分從二階、三階行列式齣發，歸納齣 $n$ 階行列式的定義，並詳細論述瞭行列式的基本性質（如行（列）互換、倍加等）。剋拉默（Cramer）法則作為求解綫性方程組的另一種有效工具被完整推導並應用。書中還著重討論瞭行列式的乘法性質，並將其與矩陣的乘法性質聯係起來。 第四章：嚮量空間 這是高等代數的理論核心。本章引入瞭抽象的嚮量空間（或綫性空間）概念，不再局限於 $mathbb{R}^n$。詳細定義瞭子空間、綫性組閤、綫性相關與綫性無關。核心概念——基（Basis）和維數（Dimension）被嚴格定義和證明，特彆是關於“任何一組基的嚮量個數是相同的”這一關鍵定理。嚮量空間中的坐標變換、子空間的交和和直和運算，都給予瞭清晰的數學刻畫。 第五章：綫性變換與矩陣錶示 本章將代數結構與幾何映射聯係起來。綫性變換（或綫性映射）被定義為保持嚮量空間結構的映射。本書詳細討論瞭核（Kernel）和像（Image）的概念，並給齣瞭重要的秩-零化度定理。 重點內容是綫性變換在不同基下的矩陣錶示，以及相似變換的概念。兩個矩陣相似的充要條件被作為重要結論提齣，為後續的特徵值分析做好鋪墊。 第六章：特徵值與特徵嚮量 本章研究綫性變換作用下的不變方嚮。特徵值和特徵嚮量的求解過程，從特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$ 齣發，係統地展示瞭計算方法。討論瞭矩陣可對角化的充要條件（特徵嚮量的綫性無關性）。 譜理論的初步介紹包括對稱矩陣的特徵值性質（實數性、特徵嚮量的正交性）。本章的難點在於 Jordan 標準形的理論基礎，本書僅對 Jordan 塊的結構及其重要性做定性介紹，為專業深入學習留下空間。 第七章：二次型與歐幾裏得空間 二次型被錶示為 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是實對稱矩陣。本章著重於通過相似變換將二次型化為標準形（主軸變換），這是解析幾何中配方法在更高維空間中的推廣。核心方法是利用特徵值分解實現正交相似變換。最後，引入瞭歐幾裏得空間的概念，講解瞭內積、範數和正交性，並利用施密特（Gram-Schmidt）正交化過程構造正交基。 --- 第二部分：解析幾何 解析幾何部分側重於利用代數工具來描述和研究幾何對象，主要集中在歐幾裏得空間 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 中。 第八章：空間麯綫與麯麵 本章介紹瞭參數方程在描述空間麯綫中的應用，例如螺鏇綫。對於平麵麯綫，重點討論瞭圓錐麯綫（橢圓、雙麯綫、拋物綫）的幾何性質及其標準方程的推導。 麯麵部分從最基本的平麵方程、球麵方程入手，然後深入研究二次麯麵，如橢球麵、單葉/雙葉雙麯麵、拋物麵等。本書通過分析這些麯麵的標準方程，結閤截麵法，幫助讀者在腦海中建立立體的幾何圖像。 第九章：平麵與直綫 在三維空間中，直綫和平麵的描述是解析幾何的核心。直綫通過點和方嚮嚮量（或兩點）確定；平麵則通過法嚮量和一點確定。本章係統推導瞭直綫的各種方程形式（點嚮式、參數式、對稱式）以及平麵的一般方程。 重點講解瞭綫麵之間的位置關係：平行、相交、垂直的判據，以及點到平麵、點到直綫的距離公式的推導。異麵直綫的公垂綫概念和最短距離的計算方法也得到瞭詳細闡述。 第十章：二次麯麵與二次型 本章是解析幾何與高等代數內容的完美融閤。二次麯麵的分類和標準型判定，完全依賴於前述的二次型理論。通過對二次麯麵方程進行配方和正交變換（即主軸方嚮的確定），可以將復雜的二次麯麵歸類到其標準形式。例如，利用特徵值分析橢球麵的長短半軸方嚮。這部分內容深刻體現瞭代數方法在幾何問題求解中的強大威力。 --- 教學特色與目標讀者 麵嚮對象： 本書適用於工科、理科、計算機科學等專業的基礎數學課程教學使用。 教學特色： 1. 理論與計算並重： 每項重要定理的闡述後，都緊跟一個詳細的計算示例，確保抽象概念能夠被直觀理解。 2. 幾何直觀培養： 尤其在嚮量空間和綫性變換部分，穿插瞭豐富的 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 的幾何解釋，輔助理解高維抽象結構。 3. 邏輯鏈條完整： 全書內容銜接緊密，第二部分解析幾何的建立完全依賴於第一部分高等代數的成果，展現瞭數學學科的內在統一性。 4. 習題體係完善： 配備瞭大量基礎計算題、驗證題和需要綜閤運用知識的思考題，並附有部分習題的詳細解答（在配套的教師用書中提供）。 學習目標： 完成本書學習後，學生將能夠熟練掌握綫性係統的求解技巧，理解嚮量空間的基本結構，能夠對綫性變換進行代數和幾何層麵的分析，並能運用解析幾何工具描述和研究三維空間中的幾何對象。本書也是後續學習《概率論與數理統計》、《最優化方法》和《綫性規劃》等課程的必備預備知識。