第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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◎◎◎    SOP閃通教材   ◎◎◎
　　老師在解題時，會把題目的標準解題流程（SOP）記在頭腦裏，
　　依此標準解題流程（SOP）解給學生看，可是並不是每個學生
　　看完老師教的標準解題流程（SOP）後，就能記住此標準解題流程（SOP）。
　　本書是將每個題型的標準解題流程（SOP）寫下來，
　　學生隻要將題目的數值代入標準解題流程(SOP)內，
　　就可以把該題目解答齣來。
　　等學生學會瞭後，此SOP就可以丟掉瞭
 

工程數學的基石與實踐：深入解析微積分與微分方程 本書旨在為初涉工程科學領域的學習者提供一套全麵、深入且極具實踐導嚮的數學基礎教程。我們聚焦於工程實踐中最為核心的兩大數學分支：微積分與微分方程，力求在嚴謹的數學理論與實際工程問題之間搭建起堅實的橋梁。全書結構清晰，邏輯嚴密，旨在幫助讀者不僅“學會”計算，更能“理解”其背後的物理和幾何意義，從而在麵對復雜係統建模與分析時遊刃有餘。 第一部分：微積分——變化率與積纍的藝術 微積分是理解和描述動態世界的語言。本部分將從基礎概念齣發，逐步深入到高等微積分的應用層麵，為後續的微分方程學習打下不可動搖的基礎。 第一章：函數與極限——構建微積分的邏輯起點 本章首先迴顧必要的預備知識，如函數的基本性質、三角函數、指數與對數函數。核心內容在於極限的嚴謹定義（$epsilon-delta$ 語言的直觀闡釋），以及極限在判斷函數連續性中的關鍵作用。我們將通過大量圖示和實際案例（如傳感器響應時間、收斂過程），展示極限概念如何為微分和積分提供數學上的可靠基礎。 第二章：導數的概念與計算——瞬時變化率的精確捕捉 導數是描述係統瞬時變化率的強大工具。本章詳細闡述瞭導數的幾何意義（切綫斜率）和物理意義（瞬時速率）。我們將係統性地介紹基本求導法則，包括乘法、除法、鏈式法則的細緻推導。隨後，重點介紹高階導數的應用，例如利用二階導數判斷函數的凹凸性及極值點性質。本章的實踐部分將聚焦於相關變化率問題，如管道中液體流速的變化、彈道軌跡的瞬時方嚮等。 第三章：導數的應用——優化與圖形分析的利器 將導數知識應用於解決實際問題是工程學習的關鍵一步。本章深入探討極值問題——尋找函數的最大值和最小值，這直接對應於工程中的效率優化、成本最小化等目標。我們詳細分析瞭洛必達法則在處理不定型極限中的應用。此外，本章還涵蓋瞭泰勒與麥剋勞林級數，解釋瞭它們如何用多項式來近似復雜的函數，這在數值計算和物理模型的簡化中至關重要。 第四章：不定積分與定積分——量化積纍與總量 積分是導數的逆運算，用於計算麯綫下的麵積、體積或隨時間變化的量的纍積總量。本章首先定義瞭黎曼和，並由此引齣定積分的精確含義。微積分基本定理的推導將清晰地展示微分與積分之間的內在聯係。在不定積分部分，我們將係統介紹積分技巧，包括替換法（換元積分法）、分部積分法、三角代換法以及有理函數積分中的部分分式分解法。 第五章：積分的應用——麵積、體積與物理量計算 本章將積分工具箱應用到具體的幾何和物理場景中。重點包括：計算平麵圖形的麵積、鏇轉體的體積（圓盤法、薄殼法），以及求解弓形麵積。在物理應用方麵，我們將探討功的計算、質心和形心定位、以及變力做功等問題。這些案例強調瞭如何將實際問題轉化為閤適的積分模型。 第六章：超越一元：多元微積分基礎 工程係統往往涉及多個相互影響的變量。本章引入偏導數的概念，解釋瞭如何在一個多維空間中追蹤函數的變化。梯度嚮量的引入將直觀展示函數在特定方嚮上的最大變化率，這對理解物理場（如熱流、電場）至關重要。同時，本章也將簡要介紹方嚮導數以及多重積分（二重積分）在計算平麵區域上的質量或通量時的應用。 第二部分：微分方程——動態係統的建模與求解 微分方程是描述物理係統隨時間或空間演化的核心數學工具。本部分將係統介紹常微分方程（ODE）的解法及其在工程領域的廣泛應用。 第七章：微分方程導論與基本概念 本章界定微分方程的類型（常微分方程與偏微分方程）、階數、綫性和齊次性。重點在於理解微分方程的物理意義——它描述的是係統狀態的變化率與其當前狀態或外部輸入之間的關係。本章將通過諸如牛頓冷卻定律、自由落體運動等經典一階模型，建立起“建立模型 $ ightarrow$ 求解 $ ightarrow$ 解釋解”的完整流程。 第八章：一階常微分方程的求解方法 一階ODE是所有更高階方程的基石。本章詳細講解求解一階方程的幾種關鍵解析方法： 1. 變量分離法：適用於可分離變量的方程。 2. 精確方程與積分因子法：處理不可分離的方程，並引入積分因子以將其轉化為可分離形式。 3. 一階綫性微分方程：重點講解如何運用積分因子法求解形如 $y' + P(x)y = Q(x)$ 的方程，這是RLC電路分析的基礎。 4. 伯努利方程：作為綫性方程的推廣形式，通過變量替換轉化為綫性方程求解。 第九章：二階綫性常微分方程——振動與電路分析的核心 二階綫性常係數齊次方程是描述簡諧振動、彈簧係統和二階電路（RLC）的數學模型。本章將集中在求解 $ ext{ay'' + by' + cy = 0}$ 形式的方程： 1. 特徵方程法：詳細分析瞭三種情況——實數不相等根、重根和復數根（對應阻尼、臨界阻尼和欠阻尼係統）。 2. 常數法（待定係數法）：用於求解非齊次方程 $L[y] = g(x)$ 的特解，涵蓋瞭多項式、指數函數、正弦/餘弦函數作為驅動項的情況。 第十章：非齊次二階方程的求解進階與應用 本章將拓展現有方法，以應對更復雜的工程激勵。 1. 參數變易法（拉格朗日法）：一種更普適的求解特解的方法，適用於待定係數法失效的情況（如驅動項與齊次解相關時）。 2. 共振現象的深入分析：通過分析特徵根與驅動頻率的關係，解釋工程中的共振現象及其危害。 3. 應用舉例：重點分析RLC串聯電路在不同輸入電壓（階躍函數、正弦函數）下的瞬態響應和穩態響應。 第十一章：高階綫性常微分方程與係統動力學 本章將求解階數大於二的綫性常係數齊次與非齊次方程，其求解思路與二階方程類似，但操作略微復雜。最後，本章將初步介紹微分方程組的概念，為理解多變量耦閤係統（如機械耦閤振動係統或反饋控製係統）的動態行為打下基礎。 全書在覆蓋以上內容時，均強調“為什麼”而不是僅僅“怎麼做”。每一個公式、每一種解法都配有源自機械、電子、結構或流體力學領域的具體工程實例，確保讀者在掌握數學工具的同時，能清晰地看到這些抽象概念在現實世界中是如何發揮作用的。學習者將通過大量的逐步分解的例題和強調幾何解釋的習題，真正實現“上手”工程數學。

作者簡介

林振義　　

　　現職
　　明新科技大學電機係副教授
　　榮獲105年度師鐸奬

　　學曆
　　屏東高中
　　交通大學控製(電機)工程學係
　　交通大學計算機工程研究所碩士
　　交通大學資訊工程研究所博士

　　經曆
　　工業技術研究院機械所
　　中山科學研究院
　　國立空中大學學科委員
 

第一篇　微積分
第一章　微分   
1.1 微分的定義   
1.2 微分的方法   
第二章　積分   
2.1 積分的定義   
2.2 積分的方法 

第二篇　微分方程式
第一章　基本觀念   
第二章　一階常微分方程式   
2.1 變數分離法   
2.2 正閤微分方程式   
2.3 積分因子   
2.4 一階齊次微分方程式   
2.5 含一次式之非齊次微分方程式   
2.6 一階綫性微分方程式   
2.7 白努力方程式   
第三章　常係數微分方程式   
3.1 二階常係數微分方程式的齊次解   
3.2 二階常係數非齊次綫性方程式   
3.3 二階常係數非齊次綫性方程式的特例   
3.4 參數變換法   
3.5 含初值的二階常係數微分方程式   
3.6 高階微分方程式
3.7 微分運算子D   
3.8 常係數綫性微分方程組   
3.9 電路學的應用   
第四章 其他類型微分方程式   
4.1 Euler-Cauchy微分方程式   
4.2 Clairaut方程式的求法   
4.3 微分方程式無x項或無y項   
4.4 冪級數法   
附錄 證明用參數變換法求特解（求yp）

序

　　我利用「SOP閃通教學法」教我們係上的工程數學課，學生普遍反應良好。學生在期末課程問捲上，寫著「這堂課真的幫瞭大傢不少，以為工數很難，但在老師的教導下，工數就跟小學的數學一樣的簡單，這真的都是拜老師所賜的呀！」「老師很厲害，把一科很不容易學會的科目，一一講解的很詳細。」「老師謝謝您，讓我重新愛上數學。」「高三那年我放棄瞭數學，自從上您的課後，開始有瞭變化，而且還有教學影片可以在傢裏復習，重點是上課也很有趣。」「一直以來我的數學是學過就忘，難得有老師可以讓我學之後記得那麼久的。」「老師讓工程數學變得非常簡單。」我們的前工學院院長說：林老師很不容易，將一科很硬的科目，教得讓學生滿意度那麼高。

　　我也因而得到瞭：教育部105年師鐸奬、明新科大100、104、107學年度教學績優教師、技職教育熱血老師、私校楷模奬等。我的上課講義「微分方程式」、「拉普拉斯轉換」，分彆申請上明新科大104、105年度教師創新教學計畫，並獲選為優秀作品。

　　很多理工商科的基本計算題，如：微積分、工程數學、電路學等，有些人看到題目後，就能很快地將它解答齣來，這是因為很多題目的解題方法，都有一個標準的解題流程（SOP，Standard sOlving Procedure），隻要將題目的數據帶入標準解題流程內，就可以很容易地將該題解答齣來。

　　現在很多老師都將這標準解題流程記在頭腦內，依此流程解題給學生看。但並不是每個學生看完老師的解題後，都能將此解題流程記在腦子裏。

　　SOP閃通教學法是：若能將此解題流程寫在黑闆上，一步一步的引導學生將此題目解答齣來，學生可同時用耳朵聽（老師）解題步驟、用眼睛看（黑闆）解題步驟，則可加深學生的印象，學生隻要按圖施工，就可以解齣相類似的題目來。

　　SOP閃通教學法的目的就是要閃通，是將老師記在頭腦內的解題步驟用筆寫齣來，幫助學生快速的學習，就如同：初學遊泳者使用浮闆、初學下棋者使用棋譜、初學太極拳先練太極十八式一樣，這些浮闆、棋譜、固定的太極招式都是為瞭幫助初學者快速的學會遊泳、下棋和太極拳，等學生學會瞭後，浮闆、棋譜、固定的太極招式就可以丟掉瞭。SOP閃通教學法也是一樣，學會後SOP就可以丟掉瞭，之後再依照學生的屬性，做一些變化題。

　　有些初學者的學習需要藉由浮闆、棋譜、SOP等工具的輔助，有些人則不需要，完全是依據每個人的學習狀況而定，但最後需要藉由工具輔助的學生，和不需要工具輔助的學生都學會瞭，這就叫做「因材施教」。

　　我身邊有一些同事、朋友，甚至IEET教學委員們直覺上覺得數學怎能SOP？老師們會把解題步驟（SOP）記在頭腦內，依此解題步驟（SOP）教學生解題，我隻是把解題步驟（SOP）寫下來，幫助學生學習，但我的經驗告訴我，對我的學生而言，寫下SOP的教學方式會比SOP記在頭腦內的教學方式好很多。

　　本書就是依據此原則所寫齣來的。我利用此法寫一係列的工程數學套書，包含有：

　　1. 第一次學工程數學就上手(I)—微積分與微分方程式
　　2. 第一次學工程數學就上手(II)—拉普拉斯轉換與傅立葉
　　3. 第一次學工程數學就上手(III)—綫性代數
　　4. 第一次學工程數學就上手(IV)—嚮量分析與復變數

　　它們的寫作方式都是盡量將所有的原理或公式的用法流程寫齣來，讓讀者知道如何使用此原理或公式，幫助讀者學會一門艱難的工程數學。

　　最後，非常感謝五南圖書股份有限公司高至廷先生對此書的肯定，此書纔得以齣版。也要感謝彭幼玲小姐幫此書收集題目與練習題，打字與校對，豐富此書的內容。
 

评分☆☆☆☆☆

作為一名工程專業的學生，我深知數學的重要性，但過去在學習微積分和微分方程時，常常感到力不從心。《第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程》這本書的齣現，無疑為我打開瞭一扇新的大門。它以一種非常係統和深入的方式，重新梳理瞭工程數學的核心內容。 本書最大的亮點在於其清晰的邏輯結構和循序漸進的學習路徑。作者並沒有急於展示高深的技巧，而是從最基礎的定義和原理入手，層層遞進，讓讀者能夠穩紮穩打地建立起知識體係。我特彆欣賞它對數學概念的解釋，力求用最直觀、最易懂的語言來闡述，避免瞭不必要的學術術語堆砌，這對於初學者來說是極大的福音。 在微積分部分，它對極限、導數、積分的概念進行瞭詳盡的講解，並通過大量的實例，展示瞭這些概念在工程設計、物理建模等方麵的應用。而在微分方程部分，作者更是將復雜的方程求解過程，分解成一個個 manageable 的步驟，並輔以詳細的推導過程和圖示，讓我能夠輕鬆掌握。這本書不僅僅是知識的傳授，更是一種學習方法的引導，讓我學會瞭如何去理解和應用數學。

评分☆☆☆☆☆

剛拿到這本書時，我還有些忐忑，畢竟“工程數學”這幾個字聽起來就讓人望而生畏。但是，《第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程》這本書徹底顛覆瞭我的認知。它不像我之前接觸過的很多教材那樣，上來就拋齣大量晦澀難懂的定義和定理，而是非常注重理論與實踐的結閤。 書中關於微分方程的講解，更是讓我印象深刻。它不僅僅是教你如何求解，更重要的是解釋瞭微分方程在現實世界中的應用。比如，它用非常生動的例子展示瞭如何用微分方程來模擬傳染病的傳播、預測人口增長、甚至分析電路的行為。這種“知其所以然”的學習方式，讓我對工程數學産生瞭濃厚的興趣，也讓我看到瞭它在各個領域的廣闊前景。 它對一些復雜問題的處理也十分細緻，例如在求解過程中，它會逐步分析每一步的邏輯，確保讀者不會因為某個環節的理解不清而卡住。書中的插圖和圖錶也起到瞭至關重要的作用，它們將抽象的概念形象化，讓我在學習過程中能夠更加直觀地理解。我特彆贊賞它在講解過程中，始終保持一種鼓勵和引導的姿態，讓我感覺學習過程並沒有那麼艱難，而是充滿探索的樂趣。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我之前對數學一直有點“恐懼癥”，尤其是涉及到工程數學這種聽起來就很高大上的領域，感覺自己肯定學不會。《第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程》這本書，用一種完全齣乎我意料的方式，化解瞭我的擔憂。它更像是一本“科普讀物”，用一種非常親切的語言，把我帶入瞭工程數學的世界。 書中的每一個章節，都仿佛是一次有趣的探索。它不是死闆地羅列公式，而是通過大量的實際案例，解釋瞭微積分和微分方程是如何解決現實世界中各種問題的。比如，書中用生動的例子講解瞭如何用微積分來計算拋物綫的軌跡，如何用微分方程來模擬熱量的傳導，這些都讓我覺得數學不再是枯燥的數字遊戲，而是解決問題的工具。 它對概念的解釋也非常到位，不會讓你産生“為什麼是這樣”的疑問。很多我以前怎麼也想不明白的理論，在這本書裏都得到瞭清晰的解釋。而且，它鼓勵讀者去思考，而不是死記硬背，這讓我真正地理解瞭數學的內涵，而不是停留在錶麵。這本書絕對是工程數學入門者的首選，它讓你在輕鬆愉快的氛圍中，掌握紮實的數學基礎。

评分☆☆☆☆☆

這本書，真的就像一個耐心的老師，把我從工程數學的迷宮中一步步地牽引齣來。《第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程》的優點太多瞭，讓我都不知道從何說起。最讓我驚喜的是，它在講解每一個知識點的時候，都非常注重邏輯的嚴謹性和推理的清晰性，讓我能夠理解每一個公式的由來和應用的場閤。 例如，在講到積分的意義時，它並沒有直接給齣定義，而是從麵積計算的睏境齣發，引導讀者一步步地走嚮定積分的概念，這個過程非常自然，也讓我對積分的理解更加深刻。對於微分方程，它也並非簡單地教授解題技巧，而是首先強調瞭建立數學模型的重要性，以及不同類型的微分方程所對應的實際問題，這讓我意識到，數學是用來描述和解決世界的。 我非常喜歡它在例題的選取上，既有基礎的鞏固練習，也有一些具有挑戰性的應用題，能夠幫助我檢驗學習成果，並且將理論知識轉化為實際操作能力。而且，書中的圖解和錶格也非常精煉，能夠直觀地展示一些抽象的概念，這對於我這種視覺型學習者來說，是莫大的幫助。總而言之，這是一本讓我能夠真正“上手”的工程數學教材，它讓我對這門學科的恐懼感蕩然無存，取而代之的是學習的樂趣和成就感。

评分☆☆☆☆☆

這本書簡直是我的救星！我之前對工程數學，尤其是微積分和微分方程，簡直是一頭霧水，感覺像在看天書。這次考試前，我抱著試試看的心態買瞭這本《第一次學工程數學就上手：微積分與微分方程》。翻開第一頁，我就被它的排版和語言風格吸引瞭。不是那種枯燥乏味的教科書，而是更像一位經驗豐富的老師，循循善誘地講解每一個概念。它沒有上來就堆砌公式和定理，而是從最基本的生活實例齣發，比如描述物體運動、計算麵積等等，讓我能很快理解微積分的意義。 它對導數的講解特彆透徹，我以前總覺得導數就是個求斜率的工具，這本書讓我明白它其實是描述變化率的，這在物理、經濟等很多領域都有著至關重要的應用。而且，書中的例子都非常貼近實際，比如如何利用微積分優化生産成本、分析股票波動等等，這些都讓我覺得工程數學不再是遙不可及的理論，而是解決實際問題的強大武器。 我尤其喜歡它對不定積分和定積分的闡述。書裏用瞭很多圖示來解釋積分的幾何意義，比如定積分就是麯綫下的麵積，這讓我一下子就豁然開朗。它還詳細講解瞭各種積分技巧，而且每種技巧都配有大量的例題，從簡單到復雜，讓我能夠一步步地掌握。最重要的是，它強調瞭理解概念的重要性，而不是死記硬背公式。這對於我這種容易混淆公式的讀者來說，簡直是福音。