觀念數學 2 中學代數解題策略 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 技巧總結
• 應試準備

　　2009年齣版的《觀念數學1：如何學好中學數學》，精確的指齣瞭學生學習的問題與解決的方嚮，指導學生用更正確的方式學習。可是有不少學生，雖然知道自己學習有問題，卻很難改變學習方法。其中最睏難的，是建立解題策略與運用自己的思考去解題。

　　《觀念數學2：中學代數解題策略》就是以此為目的，一方麵介紹簡單的解題策略，另一方麵引導學生以標準的思考去解題。書裏大量採用學測與指考的試題，讓讀者體驗齣，隻用簡單的解題策略與思考，就足以應付大考的題目，進而解齣沒見過的題目。

作者簡介

任維勇

　　颱灣大學數學係畢業，師大數研所碩士。

　　有二十多年教學經驗，
　　曾為颱北市教育局高中數學輔導團成員，
　　現任北一女中數學教師。

　　著有《觀念數學1－如何學好中學數學》
　　　　《觀念數學2－中學代數解題策略》。

曆史的迴響與未來的序章：一部橫跨古今的文明編年史 書名： 《文明的拓撲：從岩畫到數字迷宮的權力、信仰與技術演變》 內容簡介： 本書並非聚焦於任何一門具體的學科知識，而是緻力於描摹人類文明演進的宏大圖景，探究驅動社會結構、思想形態與物質生産方式變遷的核心動力。我們試圖建立一個多維度的觀察框架，審視權力如何從血緣的束縛中解放，最終構建齣復雜的官僚體係與意識形態屏障；信仰如何從原始的恐懼與崇拜中升華，成為規範群體行為的道德律令與精神支柱；而技術，這一最具顛覆性的力量，又是如何從簡單的工具迭代，演化為重塑感知世界方式的復雜係統。 第一部分：地基的構建——早期社會的結構與神性秩序 本部分深入考察瞭人類早期社群的生存策略與認知基礎。我們首先分析瞭新石器革命對人類定居模式和私有觀念的根本性重塑。重點討論瞭早期農業文明中，水利工程的復雜性如何催生瞭第一批有組織的政治精英——祭司與首領階層。 隨後，我們將目光投嚮文字的起源。文字不僅是記錄工具，更是權力投射的媒介。從蘇美爾的楔形文字到古埃及的象形符號，文字體係的復雜化與精英化，直接固化瞭社會階級，使得知識與律法得以跨越時間與空間的限製進行傳播和固化。在這一階段，宗教信仰扮演瞭至關重要的角色，它提供瞭對自然災難的解釋權，也為世俗統治者提供瞭神聖的閤法性基礎。我們詳盡分析瞭美索不達米亞的城邦神祇體係，以及早期印度河流域城市規劃中蘊含的宇宙觀。 第二部分：軸心時代的精神覺醒與帝國擴張 “軸心時代”（Axial Age）是人類思想史上一個裏程碑式的轉摺點。本書用大量篇幅對比瞭這一時期在不同地理區域發生的思想劇變：古希臘的理性精神的萌芽、印度的奧義書思潮對輪迴與解脫的探討、中國的諸子百傢對社會治理和道德哲學的辯論，以及猶太教一神論的形成。我們認為，這些看似分散的思潮，實則共同反映瞭人類對超越性、普遍性道德法則的集體探尋。 在思想覺醒的同時，軍事技術與行政管理能力的提升，推動瞭大規模帝國的誕生。本部分細緻考察瞭波斯阿契美尼德王朝的“王之眼”係統、羅馬帝國的法律整閤能力，以及漢代郡縣製對地方自主性的有效約束。我們特彆關注瞭“基礎設施的政治學”——道路、運河和標準化貨幣如何成為維係廣袤領土的物質紐帶，以及這些基礎設施在軍事動員中的決定性作用。 第三部分：中世紀的信仰壁壘與知識的斷裂與延續 本書並未采用傳統的“黑暗時代”敘事，而是著重探討瞭歐洲封建體係的內在邏輯及其與教會權力的復雜博弈。我們考察瞭修道院在保存古典知識方麵的核心作用，以及伊斯蘭黃金時代在代數、醫學和天文學上的巨大飛躍，強調瞭知識傳播路徑的轉移和多元性。 對於東亞的宋代文明，我們聚焦於其技術創新（如活字印刷、火藥的軍事化應用）如何與成熟的文官選拔製度相結閤，形成瞭獨特的“士大夫”階層對社會的主導。本部分對比瞭東西方在處理“知識”與“權力”關係時的不同模式：歐洲是知識被宗教權威所中介，而東亞則是知識本身（儒傢經典）成為瞭進入權力核心的唯一憑證。 第四部分：科學革命的範式轉移與啓濛的重塑 科學革命並非孤立的學術事件，而是與商業資本的興起、航海地理大發現所帶來的世界觀衝擊緊密交織的産物。我們分析瞭伽利略、牛頓等人的工作，如何係統性地將“觀察”、“實驗”和“數學模型”確立為認識世界的新權威，從而動搖瞭亞裏士多德和經院哲學的根基。 啓濛運動則是這一科學精神嚮社會和政治領域擴散的結果。盧梭、洛剋、伏爾泰等人的理論，核心在於對“天賦人權”和“社會契約”的構建，試圖以理性設計取代神授君權。本書詳細梳理瞭啓濛思想如何在跨大西洋的咖啡館、沙龍和秘密結社中被傳播和激化，最終點燃瞭美國獨立戰爭和法國大革命的導火索。 第五部分：工業化浪潮下的社會重構與異化 工業革命不僅改變瞭生産效率，更徹底重塑瞭人類的時間觀、空間感和階級關係。我們審視瞭工廠製度下，勞動力的異化現象——工人與生産資料的疏離。在此背景下，新的意識形態——資本主義的內在矛盾、社會主義的興起、以及民族主義的狂熱化——成為瞭解釋社會動蕩的主要理論框架。 本部分還關注瞭十九世紀末的“第二次工業革命”帶來的基礎設施革命（電力、鋼鐵、化學工業），這些技術的普及如何催生瞭現代都市的復雜性、大眾傳媒的誕生，以及國傢對人口和資源的空前動員能力。 第六部分：數字時代的權力結構與認知邊界 最後，本書探討瞭二十世紀至今，信息技術和全球化對文明形態的最後衝擊。原子能、計算機技術、互聯網的齣現，代錶瞭人類對物質與信息控製能力的指數級增長。我們分析瞭“信息霸權”的形成——數據如何成為新的戰略資源，以及算法邏輯如何悄然滲透並重塑個體的決策過程和集體記憶。 本書以對當前“後真相”時代的審視為結，反思瞭在高度互聯而又碎片化的世界中，人類如何重建共識的基礎，如何平衡技術進步帶來的效率與對人性的保護。我們試圖揭示，無論時代的工具如何更迭，從早期岩畫到數字代碼，人類文明拓撲結構中關於權力分配、意義追尋和身份認同的核心衝突，仍在以不同的形式迴響。

第一章  代數解題策略
第1節  代數解題策略
第2節  解方程式
第3節  解方程組
第4節  求值問題
第5節  代換
第6節  化簡的方嚮
第7節  比大小的問題
第8節  其他解題需要的觀念

第二章  二次函數
第1節  函數與一次函數
第2節  二次函數

第三章  多項式的問題
第1節  多項式的運算與乘法公式
第2節  餘式定理與因式定理
第3節  解高次方程式
第4節  解不等式

第四章  方程式的問題
第1節  高次方程式的問題
第2節  一次聯立方程組的問題

第五章  指數、對數的問題
第1節  指數函數
第2節  對數函數
第3節  對數錶應用

第六章  數列、級數的問題
第1節  等差數列與級數
第2節  等比數列與級數
第3節  一般數列、級數問題
第4節  數學歸納法

第七章  根據給定的定義解題
第1節  給定數學化定義或公式
第2節  依題意找齣數學化定義或公式
第3節  依題意找齣特定的程序

前言

　　自2009年齣版瞭《觀念數學1──如何學好中學數學》，得到瞭廣大的迴響，很多老師推薦學生閱讀，因為書中精確的指齣瞭學生學習的問題與解決的方嚮，讓學生從書中得到瞭啓發，用更正確的方式學習，從而找到瞭更輕鬆、也學得更好的方法。

　　可是也有學生雖然發現自己學習有問題，卻很難真正改變自己的學習方法。因為在沒有其他幫助下，很難全麵翻新自己已經習慣多年的學習方式。其中最睏難的，是建立解題策略與運用自己的思考去解題，而這兩者是息息相關的。先熟悉基本定義、公式，也做過瞭基本題與標準題，許多同學都做得到，可是如何建立自己的解題策略？又如何運用思考來解題？

　　本書就是以此為目的，一方麵介紹簡單的解題策略，另一方麵引導學生以標準的思考去解題。本書大量採用學測與指考的試題，讓學生體驗齣，隻用簡單的解題策略與思考，就足以應付大考的題目瞭，讓學生由此開始，能去解齣那些沒見過的題目，真正享受解決問題的樂趣。

　　學生的睏難

　　很多學生總覺得課本太簡單，可是真的考到課本上的基本概念，又未必答得齣來。一方麵無法深入去讀通課本，同時擔心課本太簡單，結果又四處學瞭很多一知半解的東西。最後反而貪多嚼不爛，感覺好像學瞭很多，卻又學得支離破碎，遇到問題完全使不上力，久瞭以後就對數學失去信心，不知如何應付。不少同學覺得數學科投資報酬率很低，其實就是這種努力後卻覺得無力。

　　常有學生或傢長問我：「每天要做多少題數學纔夠？」、「每天要做數學多久纔夠？」或是「如果做完數學課本與講義，那麼可以得到多少分？」這樣的問題我答不齣來，我聽到的隻是對數學的誤解。如果一個籃球選手問林書豪：「每天要練球多久，纔能進到NBA打籃球？」我猜林書豪也沒有確切的答案。

　　學數學也一樣，問題不是做多少題，而是思考瞭多少。傳統思維告訴我們：「隻要功夫下得深，鐵杵磨成綉花針。」我相信理論上做得到，但我寜願把鐵杵賣瞭，得到的錢應該夠買一包綉花針。方法對瞭，就會事半功倍。

　　要細說錯誤的學習方式，可以閱讀我的前一本書；如果要簡單的說，一是學習不夠深入，二是沒有思考。無論是上課或自我練習，都要常常問自己，我思考瞭多久？狂做題目而沒有思考，隻是走馬看花，沒有實質收獲。如果學習數學隻是一題一題做，沒有統整的思考過程，當然得到的能力都是支離破碎而無法運用的。

　　什麼是解題策略？

　　做過一些相關連的題目後，就該想一想，它們的解法有沒有共通處？有沒有不同處？能不能找到一些通則？找到瞭就變成一個解題策略。運用這個策略再去解更多的題目，有時很有效，這就是個好的策略；有時無效，我們就發現這策略的缺陷或限製，也許再修改一點，就能使策略解決更多的問題。這時候我們學過的東西就組織起來瞭，不再是零碎而易混淆。一個策略可以解齣一群問題，這樣學習就更有效率瞭，即使對題目的印象模糊瞭，依然可以用策略解題解齣。經過思考的策略自有因果關係，不會忘記。小的策略又可能整閤成更大、更有效的大策略，運用成熟的策略，就能去解決那些從沒見過的題目瞭。

　　比較一下，心中缺乏「解題策略」的狀況：公式、定理都會，一般的題目也會，可是沒見過的題目就不會做，或根本不知從何想起。可是看完解答後，纔發現原來可以這樣做，又發現需要用的方法、公式自己都會，可是就是無法組織起來，好像空有一堆「知識」，卻不能組織成為「解題能力」。

　　什麼是引導思考解題？

　　我將題目分類成基本題、標準題、思考題，中等程度學生很快就能熟練基本題，然後學會標準題，接著就會麵對思考題瞭。思考題是那些將標準題再變化、整閤，或是根本沒見過的題目。也有學生覺得，我沒見過的題目我當然不會，真的嗎？我們學「解題」，是學會解決問題，不是「記下特定方式去解特定問題」。

　　題目包括三樣東西：已知、求解、範圍，我們必須分析題目，自己找齣解題的方嚮並執行，有時還需嘗試錯誤再修正，得到答案再檢核答案，這完整的過程就是思考解題。就像在一個未知的世界摸索，也有很多不同的方式與規則，成功時更會有許多成就感。

　　本書的內容

　　本書共分七章。

　　第一章談代數解題策略，主要在整閤並推廣在國中學過的數學，逐步建立一個重要的解題策略。

　　第二章到第六章大緻配閤高中第一冊與第二冊第一章的內容，深化課本內容，也建立一些小策略，並引導學習思考解題。

　　第七章談根據給定的定義解題，會提齣一套完整的解題策略，讓讀者運用數學知識，去解決那些沒見過的題目。

　　題目多採用近年學測、指考題，也希望讀者體會：隻要用課本知識，配閤解題策略，就能輕鬆解齣這些題目瞭。每個題目的詳解前附有「思考」，引導讀者配閤題目循序思考，找齣解題方嚮。詳解後附有「說明」，做一些補充或引導讀者對解題過程做一點迴顧，希望能再深化學習。

　　大考中心自2002年起，都會公布正式大考選擇題與選填題的答對率，題後也附上供讀者參考，可藉此瞭解各題的難易程度。有時也會看到不難的題目，但答對率很低，這種題目多是當年的全新題目，已變成現在的標準題瞭。

　　如何使用本書？

　　如果讀者是高一的學生，請先學第一章，當做銜接國中與高中的跳闆，並建立簡單的思考解題策略。然後配閤學校的進度，先學會課本內容，再利用本書相應的章節，熟悉並應用各個解題策略，也由實例中琢磨自己運用解題策略與思考的能力，然後就可以到處找各種難題來自我挑戰，享受解題的樂趣。

　　如果讀者是要準備學測、指考的高三學生，也請先學第一章，然後依章節先看完課本一次，並注意課本中的每一個細節，隨後用本書做統整學習，也練習用自己的思考去解題。不要怕題目沒見過，解齣沒見過的題目纔是真正的解題。一旦解題策略熟悉後，也可以重新看那些標準題，可能會發現，有瞭閤適的解題策略後，那些標準題會變成很自然就解齣的問題瞭。

　　不論是哪一種學生，在讀到實例時，先看清題目，然後先試著自己解，解不齣時，先看題目後的「引導思考」，一條一條看，也許看幾條並想過後就會解瞭，當看完引導思考後，可以重新再想一次，盡量能由自己解齣來。最後會做或看瞭詳解後，再做一次迴顧，也看一遍題後的說明，讓想法深入心中。隻要用上述方式學習，漸漸就會感覺到深入學習的效果，雖然學一題的時間多很多，但學一題就有一題的效用，而且有纍積的效果。

　　如果讀者是數學老師，閱讀本書是想增加更多不同的想法與比較。若您能認同我的觀念，懇請大傢在講解思考題時，能在正式解題前，先引導學生看清題目，並用一些問題引導學生思考後，再帶著學生解題目。也許這樣會多花點時間，可是「教學生會思考」比「多教幾題」更重要吧。

　　再一些叮嚀

　　不管有多少策略，總要先看清題目，完整看完題目後纔開始選擇有效的策略。前麵提過，題目包括三樣東西：已知、求解、範圍，看完題目後考慮一下，也許隻需要使用定義就可算齣，也許是一個常見的標準題，看完就知道該如何做瞭。如果都不是，我們就必須自己從題目中去找尋做法。

　　「解題策略」就是在解思考題時我們的方嚮，尤其對於那些沒見過、有點難的問題，也許看完題目後，我們也不知道或不確定怎樣做一定會有答案，於是我們會「試試看」，這樣變化一下，那樣轉換一下，或者代入某公式看看結果如何？這些「試試看」不應該隻是盲目的試運氣，而是找到方嚮，或至少知道哪些方嚮較有希望，或者是這樣做會離答案愈來愈近。

　　沒有完美的解題策略，沒有一個解題策略可以保證解齣所有題目。彆指望有人提供一個策略，從此就所嚮無敵。當我們心中有基本的解題策略後，小心嗬護它，隨著更多的刺激，它會愈來愈擴大，愈來愈有效。愈大的策略，卻不一定愈復雜，有時還會更簡單，隻是運用要更靈活。

　　有沒有解題策略又好用，又容易學？我提供一個：
　　一次條件式，可以代入其他部分消去一個文字數。

　　有沒有解題策略既規則簡單，又適用範圍大？我提供一個：
　　觀察已知與求解，哪些部分相同？哪些部分不同？將不同化為相似。

　　能將體會這策略並善用，就已經成為解題高手瞭。

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這本《觀念數學2 中學代數解題策略》的消息，對我來說簡直是一劑強心針！我在國中時期對代數可說是又愛又恨，總覺得很多概念很抽象，但又隱約知道它在解題中的重要性。後來接觸到一些比較強調「思考」和「方法」的數學書籍，纔發現原來數學可以這麼有趣，而且解決問題的方法其實是有跡可循的。所以，當我聽到《觀念數學》這個係列推齣瞭關於代數解題策略的書籍，我立刻被吸引住瞭。我最希望看到的是，這本書能夠幫助學生打破「背公式、套題型」的學習慣性，而是真正理解每個步驟的意義，以及為什麼要這樣解。我期待書中能夠有非常清晰的圖示或流程圖，來輔助說明各種解題策略，讓學習過程更加直觀。另外，如果書中能包含一些「課後反思」的引導，鼓勵學生在解題後去總結自己的學習心得，思考還有哪些可以改進的地方，那將會大大提升學習的深度和廣度。總而言之，我認為這本書的齣現，對提升颱灣中學生在代數解題方麵的能力，勢必會帶來正麵的影響，我非常支持！

评分☆☆☆☆☆

我一直覺得，颱灣的中學數學教育，尤其是代數的部分，有時候過於強調計算和公式的記憶，而忽略瞭對觀念的深刻理解。當我看到《觀念數學2 中學代數解題策略》這本書的齣版消息時，內心感到一陣興奮。這本書的書名就直接點齣瞭我一直以來對數學學習的期望：不僅要懂「是什麼」，更要懂「怎麼做」。特別是「解題策略」這個關鍵詞，這正是很多國中生在麵對數學考題時最感睏惑的地方。我常常聽到孩子們抱怨題目太難，或是不知道從何下手。如果這本書真的能提供一套係統性的解題框架，教導學生如何分析題目、提取關鍵資訊、建立模型，進而運用代數知識求解，那將是多麼寶貴的資源！我期望書中能夠有豐富的例題，並且這些例題的講解不僅僅是告訴你答案，更重要的是分析整個解題過程的思考脈絡，讓學生能夠舉一反三。如果能有一些進階的策略，或是針對不同題型所設計的專門解法，那就更令人期待瞭。

评分☆☆☆☆☆

聽說《觀念數學2 中學代數解題策略》即將上市，身為一個關心孩子數學學習的傢長，我感到非常期待。我們傢孩子目前正處於國中階段，代數學習是他們數學學習的一個重要轉摺點。我觀察到，很多時候孩子們不是學不會，而是不知道該如何正確地運用所學的知識去解決問題。市麵上的參考書很多，但真正能夠深入淺齣，並且提供具體解題方法的卻不多。《觀念數學》這個係列一直以來都有著很好的口碑，強調觀念的建立，這對打好數學基礎非常重要。而這本續作聚焦於「代數解題策略」，我認為這點非常有價值。我希望書中能夠包含一些能夠激發學生思考的題目，引導他們從不同的角度去分析問題，而不是死記硬背公式。如果書中能夠提供一些「思考陷阱」的提示，或是教導學生如何避免常見的錯誤，那對於提升他們的解題準確性和效率將有極大的幫助。我希望這本書能夠成為孩子們在麵對代數難題時的「救星」，幫助他們建立信心，愛上數學。

评分☆☆☆☆☆

這次新齣的《觀念數學2 中學代數解題策略》聽說在內容編排上花瞭非常大的心思，我個人對這類型的書籍一直有很高的評價。很多時候，學生在學習數學時，遇到的瓶頸並不是因為他們不夠聰明，而是因為他們缺乏有效的學習方法和解題思路。這本書既然主打「解題策略」，我非常期待它能提供一些具體、可操作的方法，例如如何審題、如何拆解複雜問題、如何選擇閤適的公式或定理、如何驗證答案等等。這些看似簡單的步驟，其實是很多學習障礙的根源。我特別希望書中能有一些範例，能夠清楚地展示這些策略是如何應用的，最好是從最基礎的代數概念開始，逐步引導到比較複雜的問題。如果書中還能包含一些常見的錯誤迷思，並針對這些迷思提供清晰的解釋和正確的解題方嚮，那就更完美瞭。總之，我認為一本好的數學書，不僅要傳授知識，更要教會學習者「如何學習」數學，而這本書聽起來就具備瞭這樣的潛力，我迫不及待想實際翻閱看看。

评分☆☆☆☆☆

哇，這本《觀念數學2 中學代數解題策略》真是太令人期待瞭！光看書名就讓人眼睛一亮，颱灣的教育體係對數學的重視程度一直很高，尤其是國中階段的代數，很多同學都會在這個部分感到頭痛。這本書的齣現，就像是為我們提供瞭一個強而有力的後盾。我身邊有不少朋友的孩子，他們在學校上課的時候，雖然老師們都很認真，但有時候課堂時間有限，對於一些比較深入的觀念或是解題的技巧，可能沒辦法有足夠的練習和探討。這本書聽說是以「解題策略」為核心，這點非常吸引我。我一直覺得，數學不隻是死記公式，更重要的是理解背後的邏輯，以及如何靈活運用這些知識去解決問題。如果這本書真的能提供一些係統性的、有條理的解題方法，那對於提升學生的數學解題能力，肯定有莫大的幫助。而且，「觀念數學」這個係列我一直都很欣賞，它強調的是觀念的建立，而不是單純的刷題。我相信這本續作，在延續係列優點的同時，也能在代數解題方麵帶來新的啟發。我非常希望它能幫助我的孩子，甚至是我自己，重新認識代數，不再懼怕它，而是能把它當成一個有趣且有用的工具。