從算術到代數之路─讓x噴齣，大放光明─(三版) pdf epub mobi txt 电子书下载 2025

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蔡聰明

圖書標籤:

算術
代數
數學學習
數學啟濛
解方程
數學思維
初中數學
數學方法
學習輔導
三版

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圖書描述

　　2012/1/18自由：颱大師大數學係教授新書讓數學變有趣〈點選可見相關閱讀〉

　　算術方法是：由已知的數據，透過四則運算，逐步計算，以求得答案。但是，每一步都要知道為何而算，以及算齣的數所代錶的意義。代數方法是：由目標切入，假設答案已經得到，就是x與 y，然後根據線索用方程式把它們捕捉住 (這是分析法)，再根據數係的運算律，做計算與推理，逐步抽絲剝繭，把x與 y求齣來 (這是綜閤法)。因此，代數是分析法與綜閤法的展現，也是一種結構性、係統性的抽象解題方法，甚具威力，並且擁有嚮上發展的無窮潛力。今日代數學的語言已經成為現代數學與科學的基石。從算術發展到代數是歷史的自然道路；反過來，從代數迴頭看算術卻是更上一層樓的洞察本質。我們也特別著重數學史與人文背景的鋪陳，一切概念、方法與理論都是人類在特定時空背景下所創造齣來的。這些就構成瞭本書的主題。

好的，這是一份根據您的要求撰寫的圖書簡介，內容聚焦於數學學習的旅程、思維的轉變，以及抽象概念的構建，但不提及您指定的書名或具體內容。開啓心智的數學之旅：從直觀理解到邏輯建構本書旨在提供一套係統而富有啓發性的學習路徑，引導讀者穿越數學概念的迷霧，深刻理解數學思維的本質。我們相信，數學並非僅是枯燥的公式堆砌，而是一門關於模式、結構與邏輯的藝術。本書將陪伴您，將那些看似遙遠的抽象概念，轉化為觸手可及的清晰洞察。第一部：打牢基石——量化世界的直觀基礎本部分著重於對“數”與“量”的原始理解進行係統梳理與深化。我們從最基礎的計數活動齣發，逐步引入對大小、順序和集閤的精確描述。這不是簡單的復習小學算術，而是深入探究這些基礎概念是如何構建起我們對世界進行量化描述的能力的。探索領域涵蓋：數的本質：探討自然數、整數乃至有理數的內涵。我們如何從離散的計數過渡到描述連續的度量？負數的引入對我們的思維疆界意味著什麼？運算的邏輯：不僅僅是熟練運用加減乘除，而是追溯這些基本運算的公理化基礎。為什麼乘法滿足交換律？分配律背後的幾何或集閤意義是什麼？度量與比例：如何通過比率、百分比和分數來比較和轉化不同的量級。理解比例關係在實際問題中的普適性，培養對尺度變化的敏感度。幾何的啓濛：引入基礎的幾何直觀，將抽象的形狀與具體的空間想象聯係起來。點、綫、麵如何構成我們對物理世界的建模？此階段的目標是確保讀者對基礎算術的理解達到“知其然，更知其所以然”的深度，為後續的抽象飛躍做好堅實的認知準備。第二部：概念的延展與抽象的萌芽——從具體到符號的過渡當直觀理解達到一定深度後，我們將引導讀者進入數學思維的關鍵轉摺點：從具體的實例轉嚮普遍的符號錶達。這是通往更高階數學學習的必經之路。關鍵主題聚焦：變量的誕生：引入“未知”與“待定”的概念。我們如何用一個通用的符號來代錶一個數值的集閤，而不是一個確定的數？探討變量在錶達普遍規律中的強大威力。方程的構建：方程不再是尋找一個隱藏數字的遊戲，而是描述數量間平衡和關係的數學陳述。學習如何準確地將一個實際情境（例如，資源的分配、速度與時間的關聯）轉化為精確的符號等式。函數關係的初探：揭示事物之間相互依賴的模式。一個輸入如何係統地産生一個輸齣？我們通過函數語言來描述這種動態關係，觀察變化率和依賴性。邏輯推理的初步運用：學習基本的演繹推理方法。如何從一組已知的條件（公理或已知事實）齣發，通過嚴密的步驟得齣必然的結論。這一階段的挑戰在於思維的靈活性——讀者需要學會暫時“放下”對具體數值的依賴，擁抱符號所蘊含的無限可能性。第三部：結構的力量——深入探索代數的世界本書的後半部分將全麵展開代數（Algebra）的宏大結構。代數的核心在於研究結構本身，而不是結構中所承載的具體數值。核心學習模塊：代數錶達式的運算與簡化：深入探討多項式、有理式等代數實體的運算規則。理解因式分解和展開的本質——這是代數操作中最核心的“重構”能力。方程組的求解：當多個變量相互製約時，我們如何高效地找到滿足所有條件的解集？係統地介紹代入法、加減消元法以及矩陣思想的雛形，強調解集的唯一性與存在性。二次方程的奧秘：二次方程是代數中一個裏程碑式的結構。我們不僅學習求解公式，更重要的是理解判彆式所揭示的解的性質（實數解、復數解），以及拋物綫圖像的幾何意義。數列與序列：探索離散變量下的數學結構。等差數列和等比數列揭示瞭增長和遞減的兩種基本模式。理解序列求和的技巧，是概率論和微積分的預備知識。超越實數域：適度引入復數概念，探討數字係統擴展的內在驅動力——為瞭解決某些看似簡單但超越現有工具的數學問題。這展示瞭數學的自我完善機製。結語：思維的拓寬與自信的建立本書的最終目標是培養讀者一種對數學的自信和探索欲。通過對算術基礎的深度挖掘和對代數結構的係統構建，讀者將不再是被動接受知識的接收者，而是能夠主動運用數學工具來分析、建模和解決復雜問題的思考者。我們所展示的“路”，是一條從具體到抽象、從直觀到嚴謹的認知進化之路，它將為讀者在未來接觸更深奧的數學分支（如微積分、綫性代數）時，提供無與倫比的思維準備。數學的優雅和力量，隻有在真正理解其內在邏輯時，纔會徹底展現。

著者信息

作者簡介

蔡聰明

　　一生在臺大數學係從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他 (她) 們普遍對數學是麵目可憎的刻闆印象。

圖書目錄

鸚鵡螺數學叢書總序
序言
作者簡介
數學傢人名對照錶
第 0 章正逆兩類算術問題
第 1 章神奇奧妙的x
第 2 章代數的謎題
第 3 章有理數係與運算律
第 4 章姑媽的秘密
第 5 章還原之大法
第 6 章運動現象的問題
第 7 章雞兔同籠問題
第 8 章一次方程式
第 9 章實數係與運算律
第 10 章畢達哥拉斯定理
第 11 章一元二次方程式
第 12 章坐標係:數與形本是一傢
第 13 章二次函數的極值
第 14 章三次與四次方程式
第 15 章我如何成為一位數學傢？
第 16 章代數學根本定理
第 17 章一個統閤的觀點
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習題解答
索引

圖書序言

ISBN：9789571473758
規格：平裝 / 416頁 / 15 x 21 x 2.08 cm / 普通級 / 單色印刷 / 再版
齣版地：颱灣

本書分類：專業/教科書/政府齣版品> 文史哲類> 哲學> 西方哲學

圖書試讀

序

代數就是錘鍊一套捕捉神秘未知x的妙法！

　　甲、本書讀者的對象

　　本書的主題是初階的代數學，我們很用心地呈現，從算術的四則應用問題，如何脫胎換骨成為代數學的過程，並且講述一點兒方程式論。我們也注重代數學的歷史發展過程以及人文的背景。

　　本書適閤小學六年級到中學階段的學生研讀。對於一位小六生，本書可以陪伴他（她）從小學平順地走過國中與高中。本書也很適閤一位國中生研讀，因為在「數學成熟度 (mathematical maturity)」較高之下，一麵可以快速地複習小學數學，一麵可以更有效率且愉快地學習代數學。

　　代數是算術的抽象化與推廣。在思想方法上，它是算術的更上一層樓。我們要實地走一趟從算術到代數之路，體驗代數的生長過程。這一趟的提升過程非常珍貴，可以讓我們筋強眼亮。

　　對於算術四則應用題，算術的解法如手工藝，代數解法如機器文明。手工藝雖然比較簡陋，但是充滿巧思妙想，是小學生鍛練思考的好題材。

　　從數學發展史來看，由具體的小學算術轉變到中學的抽象代數，是最關鍵的一步，也是許多學生感到睏惑的地方。代數幾乎是每個學子首次遭遇到的抽象數學。麵對這個關鍵階梯：若能夠順利跳上去，則往後數學的學習差不多就順利瞭；若適應不良，則會變成不喜歡數學，甚至討厭數學，數學變成夢魘。本書的目標就是要幫助初學者剋服這個難關，快樂地學習代數，有效地掌握代數方法。

　　乙、線索與未知的聯繫

　　代數是「已知」與「未知」之間的對話：一個問題含有未知數，而問題又提供我們恰到好處的已知線索（過與不及都不好）。我們要循著線索建立方程式，再解方程式，以求齣未知數，這就像獵人循著獵物的足跡找到獵物。因此代數是「未知的藝術」(the art of the unknown)，這是一種「大術」(the great art)、一種「可解決的藝術」(the art of soluble)。

　　丙、符號與抽象

　　代數學的主要特色是：抽象化、符號化，並且利用整體數係的運算律（公理化），結構性地來解決問題。

　　抽象化、符號化與公理化是代數能夠提供給我們的最佳訓練。綜閤起來說就是：錘鍊抓住本質功夫以及有係統地探求未知的方法。

　　打個比方來說：算術把玩的是具體的數；而代數所舞弄的東西，除瞭具體的數之外，還增加文字符號與式子，例如a, b, x, y, 2x+3y, ax+b=c等等。用經濟學的術語來做比喻，算術把玩的是具體的錢，而代數所操作的東西，除瞭具體的錢，更增加瞭支票與信用卡。

　　將日常的數量語言化為符號，用符號代錶數，這是很重要的一步，相當於用支票或信用卡來代錶錢一樣。這是種抽象的錢，但更具有威力。

　　學會代數就好像會使用某種魔術語言。

　　丁、提高數學的成熟度

　　學習代數的另一個重要意涵，就是熟悉數學的普遍語言：從未知數x到方程式f(x)=0，再從變數x與y到函數y=f(x)，這些都是數學與科學不可或缺的論述語言，少瞭它們，數學與科學簡直就寸步難行，因為大自然喜歡把她的秘密隱藏在函數或方程式之中。我們可以說有x與y纔有現代數學！

　　代數除瞭可以「吾道一以貫之」地解決所有的算術問題，更重要的是它打開我們的眼界，並且開拓齣一個寬廣的數學新天地。代數把我們提升到更高的知識水準(higher intellectual level)，增強思想的內功，為往後探索高等數學奠基。

　　學習古代大師的偉大思想，熟悉一個觀念與方法的發展過程，瞭解一門學問的內容、意義和方法，這些都讓人樂在其中。

　　法國數學傢達朗貝爾(D^Alembert, 1717-1783)說得好：Algebra is generous, she often gives more than is asked of her.代數是慷慨的，她總是要求得少，但是給得多。

　　戊、本書的緣由：我跟中小學的數學淵源

　　從2005年至今，我在臺大參與師資培育的教育學程計劃。這是要培育大學生成為中學教師的資格訓練。我負責數學科，講授「國高中數學教材、教法與實習」這門課。我也到過各地的中學演講，以及實地觀摩數學的教學，並且給予講評。

　　其次，我不得不提到，促成本書誕生最重要的三個人，他們都是我的學習典範。首先，時間迴到古早，小學我在竹山國校五、六年級時(1958-1959)，數學的重心是算術四則應用問題，那時恩師劉義德老師給瞭我真正的數學啟濛。他的優秀教學，讓我隻要聽過他的清晰講解或作個圖解，我就懂瞭，真正享受到數學的樂趣，至今永難忘懷。

　　接著是我的恩師楊維哲教授，在他高明而誨人不倦的指導下，把我帶入數學的堂奧，真正品嘗到數學的妙趣與美麗，甚至聞到數學的香味。在2008學年度，他邀我到臺北市立濱江國中，參與他的數學資優教學計畫，讓我帶領國一的資優班（加上一些資優的小六生）以及寒假數學營，讓我首次有瞭對小六到國一生的實地觀察與教學經驗。

　　又從2009年開始，福田文教基金會董事長兼竹山欣榮紀念圖書館的館長高瑞錚律師，邀我和楊教授，參與每年舉辦一次的欣榮紀念圖書館國中小數學能力比賽的工作，以及比賽後帶領數學研習營。高先生為臺灣社會的公益作無私的奉獻，人格高尚，學養豐富，是我所尊敬的對象。

　　以上的求學、教學與工作經驗，讓我對小學到國中的數學，有瞭深刻的體驗與思考。本書的寫作，就是把這些經驗寫下來，無窮多的因緣聚閤所生成的結果。

　　在此我要特別感謝劉義德老師、楊維哲教授以及高瑞錚律師。誠謹錶達感恩，並且誌記因緣。最後我要感謝月華，在寫作的過程中，她給予的容忍與任勞任怨，本書就獻給她。

用户评价

评分☆☆☆☆☆

這本書，簡直是數學學習的救星啊！我記得我以前學數學，特別是從國中開始接觸到那些符號、方程式，腦袋簡直是一團漿糊。加減乘除的簡單運算還行，但隻要一齣現那個「x」或「y」，我就開始心虛，覺得自己永遠也搞不懂這些抽象的東西。坊間很多參考書，講的內容都像是直接把課本的定義複製貼上，然後就期待你突然開竅。但這本不一樣，它真的很有耐心，從最基礎的算數概念，一步一步地帶你進入代數的世界。讀起來的感覺，就像是有個經驗豐富的老師在你旁邊，不是照本宣科，而是真的用生活化的例子，把那些原本看起來很「神秘」的代數規則，解釋得清清楚楚、明明白白。特別是對於那些跟我一樣，從小就對數學有點「恐懼」的讀者來說，這本書簡直是撥雲見日，讓人感覺「原來數學可以這麼好懂！」那種豁然開朗的感覺，真的非常棒。

评分☆☆☆☆☆

這套書的編排邏輯，簡直是教科書等級的精緻，但閱讀體驗卻比教科書親切一百倍。我注意到它在章節銜接上處理得非常細膩，從一個單元進入下一個單元時，總是有一個很平順的過渡，讓你感覺知識是一條流暢的河流，而不是一堆零散的積水潭。我以前遇到的很多數學書，經常是「這個單元講完瞭，下一單元就開始講完全不同的東西」，中間的橋樑常常斷裂。但這本《從算術到代數之路》，它很明確地告訴你，我們現在學的這個工具，是怎麼從前麵學的基礎上發展齣來的，這會讓學習者更有成就感，也更清楚自己學習的路徑。對於自學者來說，這種清晰的路線圖，簡直是救命的指南針，不用擔心自己會迷失在眾多公式和定義之中。

评分☆☆☆☆☆

說真的，現在市場上充斥著各種聲光效果十足的教材，但真正能靜下心來，把基礎打牢的書卻不多見。這本在三版時還能持續受到關注，絕對是因為它內容的「耐讀性」極高。它不是那種你翻完一次、學完就會束之高閣的書，我發現很多細節，可能第一次看沒完全領悟，但當我迴頭複習的時候，會發現之前忽略的某些註解或小提示，其實藏著大智慧。它鼓勵讀者多思考、多動筆，而不是被動地接受資訊。這種互動式的學習體驗，讓我覺得自己是真的在跟這本書「對話」，而不是單方麵地被餵食知識。對於想要真正建立起「數學思維模式」的人來說，這本書絕對是值得反覆咀嚼的經典之作。

评分☆☆☆☆☆

說真的，現在市麵上很多強調「輕鬆學」、「快速上手」的數學書，結果翻開一看，內容淺得跟什麼似的，根本沒什麼深度，學完馬上忘光。但這本《從算術到代數之路》，它的厲害之處就在於，它沒有跳過任何一個關鍵的轉摺點。它很紮實地把算術思維如何轉化為代數思維的過程給Show齣來。很多學生卡關的地方，都是因為對「未知數」的概念理解不夠透徹，或是對等號的意義有錯誤認知。這本書在這幾個核心概念上，花瞭相當多的篇幅去「磨」，用不同的角度去闡述，確保讀者真的吸收進去瞭。這種紮實的教學法，雖然過程可能不像某些書那麼「刺激」，但後勁十足，讓你打下的基礎非常穩固，未來學更進階的數學就不會像蓋沙堡一樣，一碰水就垮瞭。我個人覺得，這本書的作者對教學的熱忱跟理解力，絕對是頂尖的。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書最讚賞的一點，是它對「觀念釐清」的重視。你知道，很多時候我們學數學不是因為我們笨，而是因為我們被「誤導」瞭。可能是老師教得太快，也可能是課本的編排不夠人性化。這本書，它就像一個糾錯大師，專門針對學生最容易產生迷思的地方下手。比如說，關於負數的乘除，或是分配律的運用，它不會隻給一個公式，而是會追溯到算術裡麵的實際操作，然後再自然而然地推導到代數的符號規則。讀完之後，你就不隻是「會算」，而是「懂得為什麼要這樣算」。這種理解層次的提升，對於想要真正掌握數學語言的人來說，是無價的。書裡那些豐富的例子，有些甚至帶著一點點幽默感，讓我在閱讀的過程中，精神不會太過緊繃，這對長期學習者來說，是很重要的調劑。