整數及其運算(附習題詳解) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　本書先介紹自然數的由來，然後由各自然數的「相等關係」、「次序關係」與加、減、乘、除等運算四則而延伸至整數。以邏輯推理法則由基本假設開始做逐步推導，盡量做到未經證明的性質不得提前使用。因此，推理過程條理分明，連貫前後各環節。

　　本書內容由自然數的十進位製推導齣自然數的加法及其各性質。經由加法的反運算導齣減法，由纍加的結果推齣“乘法”與乘法的反運算“除法”。同樣的，由纍次相乘得新記號“冪”及“指數律”。利用多項式由十進位製進一步介紹其他進位製。另外介紹倍數與因數是自然數整除性的關連性。又以自然數為基礎說明整數的由來及各種性質。對負整數的意義及乘法的變化有詳細說明。為瞭要使說明更形嚴密、完整，以附註方式插入圖形並介紹圖形的由來與各種形質。

　　各章、節中，除介紹各種不同的性質外，常依各種性質設計有淺度、深度層次的例題而後介入未知數、方程式、不等式與數列等概念及其各種解法。每一段落都附有相關的練習題做為復習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。          

　　1.本書詳細介紹自然數的由來，延伸至進位製，並按有順序、逐步解說各進位製的四則運算

　　2.教你瞭解自然數加法的原理。由加法到減法，進一步再導齣乘法，然後詳細討論、說明除法也是乘法的變形

　　3.以淺顯例子引進邏輯原理與推理規則及各種常用的推理方法，增進讀者推理及解證明題的能力

　　4.由自然數的各種性質，延伸至如何解方程式、不等式及其應用

　　5.由自然數的乘法建立乘冪以及正整數為底的指數律

　　6.利用對立概念與數綫，介紹負整數的存在性而構成整數。並由基本原理來說明依負整數的特性參與全體整數的各種運算法則
 

探索廣闊的數學世界：一部超越基礎算術的指南 書名： 《微積分的奧秘與應用》 本書簡介： 本書旨在帶領讀者深入探索微積分這一宏偉的數學分支，它不僅是現代科學和工程學的基石，更是理解變化、運動和無窮的有力工具。我們摒棄瞭枯燥的、純粹的理論堆砌，轉而采用一種既嚴謹又富於直覺的教學方法，讓讀者在解決實際問題的過程中，真正領悟微積分的核心思想。 全書結構清晰，從基礎概念的奠定，到核心理論的精深剖析，再到廣泛的應用領域展示，層層遞進，構建起一個完整的知識體係。 第一部分：極限與連續性——無縫連接的橋梁 本部分著重於建立微積分的邏輯基礎。我們首先會詳盡討論極限的概念。極限是微積分的靈魂，是描述函數在特定點附近行為的關鍵。我們將用直觀的圖形演示和精確的 $epsilon-delta$ 語言相結閤的方式，闡明極限的真正含義，區分收斂與發散。在這裏，我們將探討左右極限、無窮極限，以及如何利用極限來定義函數的連續性。連續性被視為函數“沒有斷點”的性質，理解它對於後續的微分和積分至關重要。我們會通過大量的例子，展示不連續點的類型，如跳躍不連續、可去不連續和漸近綫等，幫助讀者建立起對函數行為的完整圖景。 第二部分：微分學——瞬時變化的度量 微分學，顧名思義，關注的是變化率。本部分將焦點集中於導數的定義與計算。我們首先會通過切綫斜率和瞬時速度這兩個經典的物理模型，賦予導數直觀的幾何和物理意義。隨後，本書將係統地介紹微分的基本法則，包括冪法則、乘法法則、除法法則以及至關重要的鏈式法則。鏈式法則是處理復閤函數求導的利器，我們對其原理進行深入剖析，確保讀者能夠熟練應用。 在掌握瞭基本求導技巧後，我們將進入更高級的主題。隱函數求導技巧的講解將拓寬應用的範圍。隨後，我們將利用導數來分析函數的性態：確定函數的增減區間、極值點（局部最大值與最小值）、以及函數的凹凸性（通過二階導數）。洛必達法則作為解決不定式極限的有力工具，將在這一部分得到詳盡的闡述和證明。最後，我們將探討導數的實際應用，例如最優化問題（尋找最大利潤、最小成本）和相關的變化率問題，這些實例將充分展示微分在現實世界中的威力。 第三部分：積分學——纍積效應的計算 如果說微分是“分割”變化，那麼積分就是“纍積”效果。本部分將導嚮定積分和不定積分。 我們首先從黎曼和的概念齣發，通過對麯綫下麵積的逼近過程，嚴謹地導齣定積分的定義。這部分是理解積分本質的關鍵。接著，本書將深入探討微積分學的核心定理——牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理）。這個定理將微分與積分這兩個看似獨立的領域優雅地聯係起來，極大地簡化瞭定積分的計算。 在不定積分（反導數）的計算方麵，我們將係統介紹各種積分技巧。這包括： 1. 換元積分法（Substitution Rule）：這是最常用的技巧，我們將其視為鏈式法則的逆過程。 2. 分部積分法（Integration by Parts）：基於乘積法則的逆嚮應用，是處理對數函數和三角函數乘積的利器。 3. 有理函數積分：通過部分分式分解法，將復雜的有理函數拆解成易於積分的形式。 4. 三角代換與三角恒等式：解決涉及平方根的積分問題。 除瞭基本的積分技巧，我們還將研究定積分的應用：計算麵積、體積（如鏇轉體的體積）、麯綫的弧長，以及質心和平均值等物理量。 第四部分：超越有限——無窮級數與泰勒展開 本書的第四部分將把讀者的視野引嚮無窮的領域，探討數列與級數。我們首先區分數列的極限與級數的收斂性。級數收斂性的判斷是本章的重點，我們將詳細介紹各種判彆法，包括：比值檢驗法、根值檢驗法、積分檢驗法等。 隨後，我們將聚焦於冪級數，特彆是泰勒級數和麥剋勞林級數。通過將復雜的函數展開成多項式形式，我們不僅能夠更精確地計算函數值，還能更好地理解函數的局部行為。泰勒定理的推導與誤差分析（如拉格朗日餘項）將幫助讀者理解這種展開的精確度。我們將展示如何利用泰勒級數來證明重要的數學恒等式，例如歐拉公式 $e^{ix} = cos x + i sin x$ 的推導過程，從而將微積分與復分析的邊界初步連接起來。 第五部分：進階主題與多變量視角（選讀） 雖然本書的核心聚焦於單變量微積分，但最後一部分將為有誌於進一步學習的讀者提供一個預覽。我們將簡要介紹多元函數的概念，以及偏導數和重積分的初步思想。這一章旨在展示微積分原理如何自然地推廣到更高維度，為讀者未來學習嚮量微積分或微分方程打下堅實的基礎。 本書特色： 直觀引導，嚴謹支撐： 每一個抽象概念都配有豐富的圖形和實際案例，確保理解的深度與廣度。 側重理解而非死記硬背： 強調“為什麼”而不是僅僅“怎麼做”，尤其在鏈式法則和微積分基本定理的推導上給予足夠篇幅。 豐富的例題與自測： 每節課後均附有難度分層的練習題，旨在鞏固技巧並挑戰思維。 《微積分的奧秘與應用》不僅僅是一本教科書，它是一扇通往理解自然界運作規律的窗口，是所有希望在科學、技術、經濟等領域取得突破的思考者的必備工具書。掌握瞭微積分，就掌握瞭描述和預測動態世界的語言。

作者簡介

潘振輝

　　學曆：美國 CHICAGO STATE UNIVERSITY 數理碩士
　　國立颱灣師範大學數學係畢業

　　經曆：高雄市立左營高級中學 數學教師
　　高雄市立女子高級中學 數學教師
　　颱北市立第一女子高級中學 數學教師
　　景文技術學院 財政稅務係 講師
 

第一章   緒論
 
第二章   自然數 
2-1  自然數的記號 
2-2  自然數的十進位製  
2-3  數學語句  
2-4  相同的自然數                   
2-5  接續數的特性 
2-6  自然數的次序
 
第三章   自然數的加法與減法          
3-1  再談接續數 
3-2  自然數的加法  
3-3  自然數的減法 
3-4  數學歸納法           
 
第四章   自然數的加法特性           
4-1  加法性質  
4-2  加法定理   
4-3  加法的算法 
               
第五章    自然數的減法特性           
5-1  減法的基本性質與定理 
5-2  減法的算法  
 
第六章   自然數的乘法              
6-1  乘法的由來  
6-2  乘法基本性質 
6-3  乘法定理  
6-4  因數倍數的基本概念
6-5  乘法的算法
 
第七章   自然數的除法            
7-1  除法的由來  
7-2  除法的性質與定理  
7-3  除法的操作程序  
7-4  除法的算法                 
7-5  鴿巢原理
 
第八章   自然指數及進位法                 
8-1  自然指數  
8-2  自然數的進位製  
8-3  二進位製 
8-4  十六進位製               
8-5 非十進位製的名數算法
 
第九章   因數與倍數               
9-1 自然數的因數與倍數 
9-2  因數與倍數的性質 
9-3  公因數或公約數 
9-4  求公因數               
9-5  求公倍數
 
第十章   整數 
10-1  整數的由來 
10-2  整數的相等關係   
10-3  整數的次序   
10-4  整數的絕對值
 
第十一章   整數的加、減法
11-1  二整數閤併  
11-2  整數的加法 
11-3  整數的減法 
11-4  加、減法的性質               
11-5  加、減法的定理               
 
第十二章   整數的乘、除法           
12-1二整數相乘 
12-2整數的乘法 
12-3整數的乘法性質  
12-4整數的除法及其性質           
12-5整數為底的指數
 

推薦序

顔啓麟

　　數學被稱為科學之母，是因為它不僅有它自己的專業性，而且也是學習自然科學、應用科學與社會科學之必要工具，其更是培養獨立思考、增進解題能力與邏輯推理之重要素材。所以世界各國教育傢鹹認數學是學生學習之基本素養，也作為進一步學習的重要基礎指標，故在所有入學甄選之中，除語文能力外，必有數學能力之評量。
潘振輝先生與我既是同鄉，也是多年同校及同班的同學，我與他有非常深刻的交往。他擔任數學教師已超過四十年的時間，由小學、初中、高中一直到技術學院的課程，皆曾任教。因此，潘老師對颱灣這些年的數學教育之演變、各學習階段之順序安排發展，有非常深刻及整體性的瞭解與認識，其間並作育英纔無數，令人敬佩不已。
潘老師退休後，仍持續保有教育者誨人不倦之赤心，決心將其豐富的學習經驗與教學心得，融閤其獨到的教學觀點，經過多年的撰寫和修訂後終成專書公諸於世，提供給有興趣的讀者參閱，其用心值得贊賞。

　　本書介紹整數之概念與其運算，它涵蓋國民小學數學科的主要內容，也是有瞭它纔可推廣建立所有數學之數係及數式。書中作者以自己的教學與學習之體認，引入邏輯與數綫做為工具，利用常見實例等方式來介紹，闡釋及推演各名詞的概念及各種運算法則，使讀者可以知其然，並知其所以然，甚有特色。因此，我相信若能熟悉本書內涵，將有助於國小數學的教學，亦可提供智優學生作為學習的基礎。

　　身為數學教育的終生工作者，我非常樂見此書的齣版，特為序並鄭重推介之。

　　推薦序者簡介：
　　美國 Vanderbilt大學 哲學博士
　　曾任 國立新竹師範學院校長
　　國立颱灣師範大學 數學係所教授、主任
　　國傢科學委員會科教發展處處長
　　國立颱灣科學教育館館長

作者序

　　本書先介紹自然數的由來，然後由各自然數的「相等關係」、「次序關係」與加、減、乘、除等運算四則而延伸至整數。以邏輯推理法則由基本假設開始做逐步推導，盡量做到未經證明的性質不得提前使用。因此，推理過程條理分明，連貫前後各環節。

　　本書內容由自然數的十進位製推導齣自然數的加法及其各性質。經由加法的反運算導齣減法，由纍加的結果推齣“乘法”與乘法的反運算“除法”。同樣的，由纍次相乘得新記號“冪”及“指數律”。利用多項式由十進位製進一步介紹其他進位製。另外介紹倍數與因數是自然數整除性的關連性。又以自然數為基礎說明整數的由來及各種性質。對負整數的意義及乘法的變化有詳細說明。為瞭要使說明更形嚴密、完整，以附註方式插入圖形並介紹圖形的由來與各種形質。

　　各章、節中，除介紹各種不同的性質外，常依各種性質設計有淺度、深度層次的例題而後介入未知數、方程式、不等式與數列等概念及其各種解法。每一段落都附有相關的練習題做為復習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。          
　　承濛景文科技大學陳達元教授的電腦技術指導、小兒潘建安先生幫忙訂正版麵。曾與屏東教育大學黃金鍾教授討論內容及新竹市關東國小鍾悅文老師詳細校閱、增補。定稿前商請前颱北市第一女中潘喬鬆老師與楊世昌老師校正，特此一併感謝。

　　耗費多年時光自行逐字敲打、多次校對、修正與濃縮，盡綿薄之力完成此書。僅供中、小學數學教育者及基礎數學有興趣者作為參考，其中貽誤之處在所難免。敬請各界先進不吝指正。

記號「0」的由來及其意義
 
我們已經學到 1代錶某個個體。以及 1以後的接續數2、3、…、9
 
（a）直綫上任取一點代錶1，取適當長度的綫段“  ”的作為一單位。這種一單位的長度依所需要情形而定。由點1開始，嚮右移一單位到達的點代錶1的接續數2，由點2，嚮右移一單位到達的點代錶2的接續數3，…，直到9，即直綫上用點來錶示1、2、3、4、5、6、7、8、9。。如下圖：
 
直綫及其上錶示自然數的點閤起來叫做數綫或數軸，而代錶1的點可記為點1，代錶2的點可記為點2，…，代錶9的點可記為點9。在數綫上，可以由點9左移一單位得點8，由點8左移一單位得點 7，…，直到點1。這種先後的順序不能變動
 
（b）數綫上，由點1左移一單位到達的點代錶什麼？這個問題曾經睏擾人類很長的時段。模糊的解釋：「直綫上由某個點，右移一單位到達點1後再左移一單位迴到這個點」
 
如乙藉給甲1隻羊，乙在牆壁上作記號「1」。甲歸還後，乙把「1」擦掉或者某人的口袋裏僅有1張百元鈔，用來購買一本書，口袋裏就沒有百元鈔。這種概念，六韆多年前巴比倫人曾經用空白「」錶達。但空白的用法有時會産生混淆。直到瞭中世紀印度人的書纔有齣現記號「．」用來錶達「這某個點」，後來改用「0」錶示，讀作「零」。即數綫上點1左移一單位到達的點，記為「0」。這個點也叫做點O。如下圖：
 
錶示由點O右移一單位、一單位的到達1、2、3、…、7、8、9各點
 
上圖（1-2）也叫做數綫或數軸，其中對應0的點叫做原點，記為原點0。由原點O右移k個單位到達的點代錶自然數k。原點O不作右移，仍留在原點O上可知：記號「0」代錶兩種意思：當代錶某一點作為齣發點移動到另一點時，這個齣發點就叫做 0。另外，當代錶某一物齣現，後來又消失時，這種沒有瞭的情形也叫做 0
 
例： ○1 氣候的溫度為攝氏0度並非沒有溫度，可解釋為：這種氣溫再繼續下降時，「天空將要下雪」狀況下的一種概念
 
○2 某公司今年度的盈餘為0錶示今年度「公司沒有盈餘，也沒有虧損」或「公司的收入與支齣平衡」的狀況

评分☆☆☆☆☆

「這本《整數及其運算（附習題詳解）》真的是我近幾年來讀過最紮實的一本數學教材瞭！從國中接觸到整數運算，總覺得老師講得很快，有時候迴傢自己練習，遇到題目卡住，就隻能憑感覺猜答案，或是翻遍教科書卻找不到類似的例題。這本書就完全解決瞭我這個痛點！它從最基礎的數線概念、絕對值，到加減乘除、乘方、分配律、結閤律等等，每一個觀念都解釋得非常清楚，而且是用那種你會覺得「原來是這樣！」的方式呈現，而不是一堆死闆的公式。最棒的是，書後麵的習題詳解，根本就是佛心來的！不隻給答案，還會一步一步拆解題目，說明為什麼要這樣算，每個步驟的邏輯是什麼，甚至還會點齣一些常見的錯誤觀念，讓我這種數學腦比較遲鈍的，也能看得懂、學得會。真的，如果你也跟我一樣，以前對整數運算感到頭痛，這本書絕對是你的救星，讓你在數學的路上不再孤單。」

评分☆☆☆☆☆

「我必須說，這本《整數及其運算（附習題詳解）》的齣版，無疑是為颱灣的數學學習者帶來瞭一股清流！我本身是一個數學愛好者，雖然已經離開校園多年，但對於數學的嚴謹性和邏輯性總是特別著迷。市麵上關於數學的書籍琳瑯滿目，但很多都流於錶麵，或者過於學術化，難以引起一般讀者的興趣。這本書最讓我印象深刻的是，它在講述整數運算的同時，非常注重數學的「為什麼」。它不會隻告訴你「這樣做是對的」，而是會深入淺齣地解釋「為什麼這樣做纔是對的」。例如，在講解減法的概念時，它會從數線上「嚮左移動」的角度來理解，這讓我這個已經習慣瞭傳統教學方式的人，也對這個概念有瞭更深刻的體悟。而書後麵的習題，更是精挑細選，每一個都經過仔細設計，旨在幫助讀者鞏固所學，並且融會貫通。詳解部分更是無懈可擊，每一個解題步驟都邏輯清晰，彷彿一位經驗豐富的老師在你耳邊細細指導，讓你茅塞頓開。對於任何想深入瞭解整數及其運算的人來說，這本書絕對是不可多得的瑰寶。」

评分☆☆☆☆☆

「實在是很難得，能遇到一本這麼貼近颱灣教育現場的數學參考書！我的小孩目前國小高年級，學校教整數運算的時候，我發現他對一些概念的理解有些模糊，尤其是涉及負數的時候，常常會混淆。買瞭這本《整數及其運算（附習題詳解）》之後，我跟著他一起看，發現裡麵的編排方式非常符閤我們颱灣學生的學習習慣。它不是那種一開始就丟一大堆艱澀名詞的書，而是從生活化的例子切入，例如溫度的高低、銀行存款的增減，這些貼近日常生活的場景，讓孩子很容易就能建立起對整數運算的初步認識。而且，它對於各個運算規則的講解，都有提供足夠的範例，並且循序漸進地增加難度。更讓我驚喜的是，書中的習題類型非常多元，涵蓋瞭學校考試可能齣現的各種題型，而且詳解的部分，除瞭步驟清楚，還會適時地補充一些延伸的學習內容，這讓我不僅是幫孩子解決瞭眼前的學習睏難，也順便複習瞭自己的數學知識，感覺受益良多。」

评分☆☆☆☆☆

「我是一位對數學抱持高度好奇心的成人，即使已經過瞭學校的學習階段，我依然對數學的基礎概念有著濃厚的興趣。這本《整數及其運算（附習題詳解）》意外地滿足瞭我這種「迴鍋學習」的需求。它並沒有因為是針對學生的教材，就省略掉嚴謹性，反而用一種非常友善且深入淺齣的方式，重新闡述瞭整數運算的原理。我特別喜歡書中對於「符號」的處理，例如負號的意義，以及在不同運算下它的變化。書中用瞭許多譬喻，像是「欠錢」或「溫度下降」來解釋負數的實際意涵，這對於我這種比較感性學習的人來說，非常有幫助。而習題的設計，更是巧妙地將觀念融入其中，每一道題目都像是一次小小的腦力激盪。最讓我讚許的，還是詳解的部分，它不僅提供瞭標準答案，更會分析解題的思路，甚至會提齣一些「為什麼要這樣想」的提示，這讓我在解題的過程中，不僅學到瞭計算技巧，更學到瞭數學的思考邏輯。這本書讓我重新找迴瞭對數學的熱情，也讓我對整數運算有瞭更全麵、更深刻的理解。」

评分☆☆☆☆☆

「說實話，我一開始拿到這本《整數及其運算（附習題詳解）》時，並沒有抱持太高的期望。畢竟市麵上數學書這麼多，要找到一本真正能打動人心、又能有效提升學習成效的，實在不容易。但翻開之後，我整個驚豔到瞭！書中的排版設計簡潔明瞭，不會讓人眼花撩亂。重點是，它對「整數」這個看似簡單卻又充滿細節的概念，做瞭非常細緻的梳理。從整數的定義、數線上的位置，到各種運算規則的推導，都處理得相當到位。我尤其欣賞它在講解乘法和除法時，對於正負數相乘除的規則，用瞭非常多的圖像和情境來輔助說明，這對於很多容易在這部分犯錯的學生來說，簡直是福音。而且，書裡附帶的習題，量非常足夠，而且難度分佈也很閤理，從基礎的記憶性題目，到需要邏輯思考的應用題，幾乎涵蓋瞭所有可能。最關鍵的是，詳解的品質非常高，不隻解答瞭疑惑，更教會瞭思考的方法。我強烈推薦給所有正在學習或需要複習整數運算的學生們，這絕對是一本值得你投資的優質教材！」