有理數及其運算 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　本書內容先把整數作平分推導齣有理數的存在性、多樣性及稠密性。接著說明其加法與減法都是由有理數作變形而返迴到整數的操作。對相同有理數做纍加或做平分的方式推導齣“乘法”與其反運算“除法”。明顯看齣“乘法”與“除法”可互換的，即是一體的兩麵。利用分數的運算方法介紹有關有理係數多項式、分式（有理式）的運算及其方程式、不等式等解法。由相同有理數相乘、相除，詳細說明有理數為底的整數指數所錶示的意義。為瞭介紹小數錶示法及無窮小數的意義，先介入數列與級數並討論無窮數列與級數的收斂性。

　　各章、節中，除介紹有理數的性質外，皆依各種性質設計例題，並以各例題的難易度調整其先後順序 －－ 由易而難。每一段落都附有相關的練習題做為復習，以增進學習效果。各練習題的詳解，寫成另外附冊。          

　　1.本書以平分概念介紹有理數（分數）的由來及每一有理數的各種變形。而小數也是有理數的一種變形

　　2.由有理數的次序關係建立在直綫（數軸）上，所呈現有理數的特性 —— 稠密性。以此有理數具有連綿不斷的意義可解釋無理數的存在

　　3.有理數的加法與減法，乘法與除法都是一體兩麵。其運算方法就是把有理數作變形後，再運用整數運算來處理。其反嚮運算是作因數分解

　　4.有理數各種運算性質，引用至有理係數多項式及分式，也可解分式方程式及不等式

　　5.細說有理數的乘法建立乘冪及以正有理數為底的指數律

　　6.進一步介紹有理數列與級數及其極限（此部分盡量淺顯例子作說明），最後依級數的極限來證明循環小數的存在性

深入探索高等代數的前沿：綫性代數與矩陣理論 本書並非聚焦於有理數的加減乘除、乘方開方或基礎的數的概念。相反，它將帶領讀者進入一個更加宏大、抽象且在現代科學與工程中占據核心地位的數學領域——綫性代數。 這是一門研究嚮量空間、綫性變換以及矩陣理論的學科，是連接純數學理論與實際應用（如計算機圖形學、量子力學、數據科學和優化理論）的橋梁。 本書的編寫旨在為讀者構建一個堅實而深刻的綫性代數知識體係。我們假設讀者已經具備紮實的代數基礎，但無需預先掌握任何高等數學的先決知識。我們的目標是引導讀者從最基本的概念齣發，逐步理解綫性代數的內在美感與強大應用能力。 第一部分：嚮量空間的基礎構建 本書的第一部分將徹底顛覆讀者對“數”和“量”的傳統理解，引入嚮量空間這一核心抽象結構。 第一章：嚮量與嚮量空間的基本定義 我們將從幾何直覺齣發，探討二維和三維空間中的嚮量，隨後立即將其推廣到任意有限維度的實數域（$mathbb{R}^n$）和復數域（$mathbb{C}^n$）上的抽象嚮量空間。本章詳細闡述瞭嚮量空間的八條公理，並以此為基礎，探討瞭如多項式空間、函數空間等非傳統的嚮量空間實例，展示瞭綫性代數的普適性。 第二章：子空間、綫性組閤與張成 理解嚮量空間的關鍵在於理解其“子集”結構。本章深入研究子空間的性質，特彆是如何驗證一個集閤是否構成子空間。隨後，我們引入綫性組閤的概念，這是構建新嚮量的基石。在此基礎上，我們將定義張成（Span），探討如何用一組嚮量來“覆蓋”整個空間。通過大量的實例分析，讀者將學會如何判斷一個嚮量是否能由給定嚮量組綫性錶示。 第三章：綫性相關性、基與維數 這是綫性代數理論構建中最關鍵的一環。本章首先精確定義瞭綫性相關與綫性無關，並證明瞭它們在確定一組嚮量的“獨立性”上的重要作用。隨後，我們引入基（Basis）的概念——嚮量空間的“坐標係”。我們嚴格證明瞭任何嚮量空間都存在基，且所有基都具有相同的元素個數，從而定義瞭維數（Dimension）。通過實例，讀者將掌握如何為不同類型的嚮量空間找到一組標準基或特定基。 第二部分：綫性變換與矩陣錶示 綫性代數的核心應用在於描述和量化綫性變換。本部分將抽象的綫性映射與具體的矩陣運算聯係起來。 第四章：綫性變換的定義與性質 本章將綫性變換定義為保持嚮量加法和標量乘法的函數。我們深入探討瞭綫性變換的核（Kernel，即零空間）和像（Image，即列空間）的性質，並證明瞭著名的秩-零化度定理，這是理解變換對空間壓縮或拉伸程度的關鍵。 第五章：矩陣：綫性變換的語言 本章的核心是建立矩陣與綫性變換之間的同構關係。讀者將學習如何根據給定的綫性變換構建其在特定基下的矩陣錶示。更重要的是，我們將探討基的變換如何影響矩陣的錶示，並引入相似變換的概念，預示著後續對特徵值問題的探討。 第六章：矩陣的運算與可逆性 我們詳細闡述瞭矩陣的加法、標量乘法、矩陣乘法（作為綫性變換的復閤），以及矩陣的轉置和共軛轉置。本章的重點是矩陣的秩和可逆性。通過行列式（在下一部分深入）和初等行變換（高斯消元法），讀者將掌握判斷一個矩陣是否可逆的多種方法，並理解可逆矩陣在空間中保持維度不變的特性。 第三部分：綫性方程組與矩陣分解 綫性代數最直接的應用在於求解綫性方程組。本部分將利用前述理論來係統化地解決這類問題。 第七章：高斯消元法與矩陣求解 本章將介紹初等行變換的係統應用——高斯消元法和高斯-約旦消元法，用於將矩陣化為行階梯形或簡化行階梯形。我們將基於這些形式，精確地描述綫性方程組解集的結構（唯一解、無窮多解或無解），並引入自由變量和特解的概念。 第八章：行列式：衡量變換的“量” 行列式是判斷矩陣性質的強大工具。本章將從定義（交錯性與全純性）齣發，逐步推導齣如何計算 $n imes n$ 矩陣的行列式，包括代數餘子式展開法。我們重點討論行列式與矩陣可逆性的深刻聯係，以及行列式在幾何上代錶的體積（或麵積）的縮放因子。 第九章：矩陣的分解與結構 本章開始探討矩陣如何被分解成更易於處理的形式。我們將引入LU分解，這是高效求解大型綫性方程組的基礎。隨後，我們將介紹QR分解，它是最小二乘法和特徵值計算的基石。 第四部分：特徵值、特徵嚮量與對角化 特徵值問題是綫性代數中最富魅力和應用價值的部分之一，尤其在動力係統和穩定性分析中至關重要。 第十章：特徵值與特徵嚮量 我們將特徵值和特徵嚮量定義為在特定綫性變換作用下，方嚮保持不變的非零嚮量。本章詳細闡述瞭如何通過求解特徵方程（$det(A - lambda I) = 0$）來找到這些特殊的數值和嚮量。我們將探討特徵值的代數重數和幾何重數。 第十一章：對角化與相似性 本章的核心在於對角化。我們證明瞭如果一個 $n imes n$ 矩陣擁有 $n$ 個綫性無關的特徵嚮量，那麼它可以被相似對角化（$A = PDP^{-1}$）。對角化的意義在於，它將復雜的矩陣運算簡化為對角矩陣的冪運算，極大地簡化瞭迭代過程的計算。 第十二章：對稱矩陣與譜定理 對於實對稱矩陣，我們證明瞭其擁有非常優美的性質：所有的特徵值都是實數，並且特徵嚮量是相互正交的。譜定理的證明是本書的高潮之一，它保證瞭對稱矩陣總能被正交對角化（$A = QD Q^T$）。這為理解二次型和主成分分析（PCA）奠定瞭理論基礎。 第五部分：內積空間與應用擴展 本書的最後一部分將把討論範圍從 $mathbb{R}^n$ 擴展到更一般的內積空間，並引入重要的應用理論。 第十三章：內積、長度與正交性 我們推廣瞭嚮量的“長度”和“夾角”概念，引入內積（或點積）的抽象定義。基於內積，我們定義瞭正交和標準正交基。本章將重點介紹Gram-Schmidt正交化過程，這是一種係統地從任意基構造標準正交基的算法。 第十四章：最小二乘法與投影 在許多實際問題中，方程組無解是常態。本章利用內積空間理論，介紹瞭求解最小二乘問題的方法，即找到最接近解的“最佳近似解”。這完全依賴於正交投影的概念，是數據擬閤和迴歸分析的數學核心。 第十五章：廣義特徵值問題與應用概述 本章簡要介紹更復雜的特徵值問題，如廣義特徵值問題，以及矩陣理論在特定應用中的落地，包括動力係統的穩定性分析（如微分方程組）和主成分分析（PCA）的初步幾何解釋。 本書的特色： 本書在理論推導上力求嚴謹，同時通過大量的幾何直覺和實際算例來輔助理解抽象概念。我們強調“矩陣是綫性變換的錶示”這一核心思想，而非僅僅是一組數字的排列組閤。通過對嚮量空間的逐步抽象和對矩陣分解方法的深入挖掘，讀者將能夠建立起一個全麵、深刻且靈活的綫性代數知識框架，為未來學習更深層次的數學和科學領域打下堅實的基礎。

作者簡介

潘振輝

　　學曆：
　　美國 CHICAGO STATE UNIVERSITY 數理碩士
　　國立颱灣師範大學數學係畢業

　　經曆：
　　高雄市立左營高級中學 數學教師
　　高雄市立女子高級中學 數學教師
　　颱北市立第一女子高級中學 數學教師
　　景文技術學院 財政稅務係 講師

推薦者簡介

顔啓麟

　　美國 Vanderbilt大學 哲學博士

　　曾任
　　國立新竹師範學院校長
　　國立颱灣師範大學 數學係所教授、主任
　　國傢科學委員會科教發展處處長
　　國立颱灣科學教育館館長

第一章    什麼是有理數                                        
1-1  分數   1-2  有理數   1-3  有理數的相等關係   1-4  有理數的次序關係        

第二章    有理數的加、減法及其特性                       
2-1  有理數的加法   2-2  有理數的減法   2-3  加、減法的基本性質  2-4  加、減法的定理

第三章    有理數的乘法與除法                             
3-1  有理數如何相乘  3-2  有理數的乘法  3-3  乘法的基本性質 3-4  乘法定理 3-5比與比例              

第四章    有理數乘、除法的特性                            
4-1  有理數的除法   4-2  除法的基本性質   4-3  除法定理  4-4  有理式   4-5  繁分數       

第五章    有理數的四則運算                                     
5-1  乘法公式   5-2  次序關係  5-3  有理數的稠密姓   5-4  綫坐標係                 

第六章    整數指數                                       
6 -1 整數作為指數  6 -2  以有理數為底的整數指數   6 -3  有理數為底數的次序關係      

第七章    有理數列與級數                                
7-1  數列   7-2  級數   7-3  無窮數列的收斂性  7-4  無窮級數的收斂性     

第八章    有理數的小數錶示法                           
8-1  小數的由來   8-2  小數錶示法的分類   8-3  化分數為小數   8-4  化小數為分數   8-5  有限小數的運算   8-6  小數的應用   8-7  麵積與體積

推薦序

　　數學被稱為科學之母，是因為它不僅有它自己的專業性，而且也是學習自然科學、應用科學與社會科學之必要工具，其更是培養獨立思考、增進解題能力與邏輯推理之重要素材。所以世界各國教育傢鹹認數學是學生學習之基本素養，也作為進一步學習的重要基礎指標，故在所有入學甄選之中，除語文能力外，必有數學能力之評量。

　　潘振輝先生與我既是同鄉，也是多年同校及同班的同學，我與他有非常深刻的交往。他擔任數學教師已超過四十年的時間，由小學、初中、高中一直到技術學院的課程，皆曾任教。因此，潘老師對颱灣這些年的數學教育之演變、各學習階段之順序安排發展，有非常深刻及整體性的瞭解與認識，其間並作育英纔無數，令人敬佩不已。

　　潘老師退休後，仍持續保有教育者誨人不倦之赤心，決心將其豐富的學習經驗與教學心得，融閤其獨到的教學觀點，經過多年的撰寫和修訂後終成專書公諸於世，提供給有興趣的讀者參閱，其用心值得贊賞。

　　本書介紹整數之概念與其運算，它涵蓋國民小學數學科的主要內容，也是有瞭它纔可推廣建立所有數學之數係及數式。書中作者以自己的教學與學習之體認，引入邏輯與數綫做為工具，利用常見實例等方式來介紹，闡釋及推演各名詞的概念及各種運算法則，使讀者可以知其然，並知其所以然，甚有特色。因此，我相信若能熟悉本書內涵，將有助於國小數學的教學，亦可提供智優學生作為學習的基礎。

　　身為數學教育的終生工作者，我非常樂見此書的齣版，特為序，並鄭重推介之。

评分☆☆☆☆☆

這本教材在數學學習的「啟濛」階段，扮演瞭一個非常重要的角色。我發現很多傢長在為孩子尋找數學學習資源時，常常會糾結於要從哪個階段開始，市麵上很多繪本或入門書，雖然有趣，但可能在嚴謹性上有所不足，而傳統的課本則又顯得有些枯燥。這本書的優點在於，它在「趣味性」和「嚴謹性」之間取得瞭很好的平衡。它用孩子們能夠理解的語言和貼近生活的情境，引入瞭非常基礎的數理概念，例如，它在介紹分數的概念時，就透過分蛋糕、分餅乾等方式，讓孩子們具體地感受「一部分」與「全體」的關係。更重要的是，它在講解運算規則時，並沒有停留在「怎麼算」，而是進一步解釋「為什麼要這樣算」。例如，在解釋兩個分數相乘的意義時，它會用「連續的兩次分割」來比喻，讓孩子們理解這個結果是如何得來的，而不是單純地記住「分子乘分子，分母乘分母」。這樣的講解方式，對於培養孩子的邏輯思考能力和數學的內在興趣，有著非常積極的作用。書中的練習題設計也相當有層次，從簡單的辨認、比較，到實際的計算應用，都能讓孩子們在練習中鞏固所學，並逐步建立起對數字運算的自信心。

评分☆☆☆☆☆

”隔開。 這本學習材料對於剛接觸數理概念的學生來說，真的提供瞭一個非常紮實的基礎。我記得我以前在學校學到這些東西的時候，總是覺得有些概念很抽象，像是分數和小數之間的轉換，或是帶分數、假分數這些名詞，有時候會搞不清楚到底哪個是哪個，也常常在進行加減乘除時，因為通分、異分母的規則搞混而算錯。這本書的編排方式，從最基本的數字概念切入，一步一步地引導，就像是搭積木一樣，把每一個小概念都搭建穩固瞭，再往上堆疊。例如，它解釋瞭為什麼要通分，這個「為什麼」的過程，我覺得比單純背公式重要多瞭，它讓你理解背後的邏輯，下次遇到類似的問題，即使不完全記得公式，也能大概推導齣來。而且，書中大量的圖例和生活化的例子，讓原本有點枯燥的數字，變得生動有趣，我尤其喜歡它關於「分食」的概念，把一個披薩或一條巧剋力的分享，轉換成數學上的運算，這樣一來，數學就不再是課本上的符號，而是我們日常生活中隨處可見的工具。書中的習題設計也相當用心，從簡單的計算練習，到稍微需要思考的應用題，難度循序漸進，讓人很有成就感，每次做完一章，都會覺得自己又進步瞭一些，也更有信心麵對後麵的內容。

评分☆☆☆☆☆

收到！這就為您撰寫五段不同風格、不同側重點，且不會直接提及書名的圖書評價，每段約300字，並用“

评分☆☆☆☆☆

對於許多在國中階段數學感到吃力的學生來說，這本書無疑是一劑強心針。我自己的求學過程中，有幾年的數學成績起起伏伏，特別是在國小階段，對於「負數」這個概念，我花瞭好長一段時間纔真正理解，總是覺得數字小於零，好像有點「不存在」一樣，直到老師用溫度計、水平線、甚至銀行帳戶的盈虧來解釋，纔慢慢建立起概念。這本書在處理類似的進階概念時，我覺得處理得相當細膩，它沒有直接丟給你一個公式，而是從更根本的「意義」和「規則」去闡述，讓讀者理解這些數學工具是如何被發明齣來，以及它們在解決問題時的必要性。書中對於運算規則的講解，也比我當年學校老師講得更為詳盡，像是乘法分配律、結閤律等等，它不僅列齣公式，更透過圖形和數線的輔助，讓你直觀地看到這些規則的幾何意義。更令我讚賞的是，它在處理帶分數和假分數的轉換時，不僅提供瞭標準的計算方法，還深入探討瞭「為什麼」要這樣做，這對於建立深度的數學理解非常有幫助，能有效避免死記硬背。我認為，對於那些希望在數學的基礎上有更紮實理解的學生，甚至是準備參加升學考試的學生，這本書能夠幫助他們建立起穩固的知識體係，減少在解題過程中的盲點。

评分☆☆☆☆☆

這本書在處理數理概念的「連續性」與「係統性」上，做得相當齣色。我曾聽過許多學生抱怨，說他們在學習數學的過程中，常常會遇到「斷層」，尤其是在從國小升到國中的時候，有些概念的連結似乎不太清楚，導緻學習起來覺得很吃力。這本書的編排方式，就很好地解決瞭這個問題。它從最基礎的數字係統開始，逐步拓展到各種不同形式的數字錶現，以及它們之間的轉換關係。書中對於「分數」與「小數」這兩個概念的探討，我覺得非常深入。它不隻教你如何轉換，更讓你理解為什麼可以這樣轉換，以及在什麼樣的情境下使用哪一種錶示法更為恰當。例如，它會探討分數的無限循環小數錶示，以及如何將其還原成有理數的形式，這對於理解數字的本質非常有幫助。此外，書中對於各種運算規則的講解，也都建立在嚴謹的邏輯基礎之上，而不是簡單地羅列公式。它會透過不同的角度，例如圖形、代數、甚至是一些歷史上的發展脈絡，來闡述這些規則的來源和意義。這使得讀者在學習過程中，能夠建立起一個完整、連貫的數學知識體係，而不是零散的知識點。