難題剋星（19）二次函數、生活中立體圖形(國三下) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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《解析幾何的奧秘：從平麵到空間的高維探索》 捲首語： 我們生活的世界，充滿瞭各種形式和結構。從日齣日落的軌跡到摩天大樓的宏偉輪廓，再到宇宙星係的鏇轉模式，無不蘊含著數學的深刻規律。本書旨在帶領讀者穿越代數和幾何交織的迷人領域——解析幾何。我們將不再僅僅停留在歐幾裏得的純粹空間想象，而是藉助坐標係這把強有力的鑰匙，將幾何圖形轉化為代數方程，從而以更精確、更靈活的方式審視和操控空間結構。 第一章：坐標係的基石與基礎運算 本章將為後續的深入探索奠定堅實的基礎。我們從二維笛卡爾坐標係（直角坐標係）的構建講起，詳細闡述點的位置錶示、距離公式的推導及其幾何意義。理解瞭點與數對之間的對應關係，我們纔能有效地進行代數操作。 平麵上的點與嚮量： 如何用有序實數對 $(x, y)$ 唯一確定平麵上的點。引入嚮量的概念，探討嚮量的加減法、數乘運算，以及如何將幾何位移轉化為代數運算。 中點與重心： 深入探討綫段中點的坐標公式，並將其推廣到三角形、四邊形等更復雜圖形的重心計算中。這不僅是計算技巧，更是理解幾何平衡點的關鍵。 斜率與直綫方程的初步接觸： 斜率——衡量直綫陡峭程度的量化指標。我們將詳細分析斜率的幾何意義，並初步引入直綫的點斜式、斜截式，為後續的直綫方程族做鋪墊。 第二章：直綫——最基礎的幾何元素 直綫是解析幾何中最簡單、也是最核心的研究對象之一。本章將係統梳理所有形式的直綫方程及其相互關係。 直綫的標準錶達： 深入研究一般式 $Ax + By + C = 0$ 的普適性。探討係數 $A, B, C$ 如何直接反映直綫的位置和傾斜方嚮，以及如何通過參數變化理解直綫的族群。 平行與垂直的代數判據： 利用斜率或法嚮量的關係，精確判定兩條直綫是平行（斜率相等或法嚮量平行）還是垂直（斜率乘積為 $-1$ 或法嚮量點積為零）。 點到直綫的距離： 推導並應用點到直綫的最短距離公式。這個公式是優化問題和幾何逼近的基礎，它將點的位置信息與直綫的位置信息完美結閤。 直綫束與交點問題： 探討如何利用直綫束（通過兩已知直綫交點的直綫係）來簡化涉及交點的復雜問題，避免冗餘的聯立方程求解過程。 第三章：圓——封閉的完美麯綫 圓是具有高度對稱性的幾何圖形，它的代數描述簡潔而優雅。 圓的標準方程與一般方程： 從圓的定義齣發，推導以 $(h, k)$ 為圓心， $r$ 為半徑的標準方程 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$。理解一般方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 如何通過配方法還原為標準形式。 圓的位置關係： 分析兩個圓之間的相交、相切（內切與外切）、相離的條件，這些條件完全由圓心距與半徑和、半徑差進行比較來確定。 圓的切綫方程： 探討如何利用圓心與切點的垂直關係，或利用判彆式法（切綫與圓隻有一個交點）來求齣特定點或斜率已知的圓的切綫方程。 圓冪的概念與應用： 引入圓冪定理，理解一點到圓的“距離平方”的代數含義，並利用它來解決涉及相交圓係的問題。 第四章：圓錐麯綫的宏大敘事 本章是解析幾何的精髓所在，我們將從幾何母體——圓錐的截麵齣發，係統研究橢圓、雙麯綫和拋物綫這三大基本圓錐麯綫。 橢圓的性質與標準方程： 定義：兩焦點距離之和為常數。 標準形式：$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（焦點在 $x$ 軸上）。深入分析長、短軸，離心率 $e$，以及焦點到頂點的距離關係 $c^2 = a^2 - b^2$。 弦的性質：探討橢圓中的中弦定理，以及切綫的幾何特性。 雙麯綫的特性與方程： 定義：兩焦點距離之差的絕對值為常數。 標準形式：$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$。理解虛軸和實軸的概念。 漸近綫：雙麯綫獨特的漸近綫，其斜率由 $pm frac{b}{a}$ 決定，揭示瞭雙麯綫無限延伸的趨勢。 等軸雙麯綫的特殊性。 拋物綫的光滑之美： 定義：到焦點距離等於到準綫距離的點的軌跡。 標準形式：$y^2 = 2px$（焦點在 $x$ 軸上）。重點分析焦距 $p$ 對拋物綫開口大小的影響。 拋物綫的焦點弦性質與反射定律的幾何詮釋。 第五章：二次麯綫的統一錶示與平移鏇轉 本章將展示所有圓錐麯綫（包括退化情況）的統一性，並解決坐標係對圖形錶示的依賴問題。 一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$： 介紹如何利用判彆式 $Delta = B^2 - 4AC$ 來區分麯綫的類型（橢圓型、拋物綫型或雙麯綫型）。 圖形的平移變換： 討論坐標平移對二次方程的影響。通過找到新坐標係下的原點（即圖形的中心），可以消除一次項 $Dx$ 和 $Ey$，簡化方程。 圖形的鏇轉變換與去耦： 探討當方程中齣現 $Bxy$ 項時，如何通過鏇轉坐標軸來消除交叉項，將麯綫轉化迴標準形式。詳細介紹鏇轉角的計算公式，這是解析幾何從二維過渡到三維思維的關鍵一步。 第六章：從平麵到三維——空間解析幾何的初步展望 雖然本書主要聚焦於平麵解析幾何，但本章將簡要介紹三維空間的擴展，為讀者未來學習空間解析幾何打下直觀基礎。 三維直角坐標係： 引入 $x, y, z$ 三個坐標軸和空間中的點 $(x, y, z)$ 的錶示法。 空間中的距離與中點： 簡單推廣平麵上的距離公式和中點公式到三維空間。 空間直綫與平麵的方程初探： 簡述空間直綫如何用方嚮嚮量和一點確定，以及平麵如何用法嚮量和一點確定。 結語： 解析幾何不僅僅是一套公式和計算方法，它是一種強大的思維工具，它使我們能夠用代數的確定性去描述幾何的直觀性。掌握瞭這些工具，讀者將能夠更深入地理解工程、物理乃至計算機圖形學中的空間問題。本書的終極目標，是讓讀者在麵對任何由直綫、圓或二次麯綫構成的復雜結構時，都能自信地拿起坐標係的“手術刀”，將其解剖、分析並重構。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這次買的這本「難題剋星（19）」真的讓我對數學教科書之外的輔助教材有瞭全新的認識。我女兒是今年國三，數學一直以來都是她的罩門，尤其是一些比較抽象的概念，常常聽老師講完還是霧煞煞。這次她們學校的老師有推薦這本書，我抱持著「試試看」的心情買瞭，沒想到效果比我預期的還要好上許多。 書的開頭處理二次函數的部分，真的不是那種枯燥的公式堆砌。它用瞭非常多貼近生活化的例子，例如學生們最常遇到的「投籃」問題，如何讓球能精準地進籃框，背後就是二次函數的拋物線軌跡。書裡把這個過程拆解成幾個步驟，從投球的高度、角度，到球在空中的飛行路徑，都一一對應到二次函數的幾個關鍵要素，像是頂點、對稱軸等等。我女兒以前對這些名詞都隻是死記，現在透過書裡的圖解和例子，她纔真正理解這些符號代錶的實際意義，像是「頂點」就是球飛行的最高點，而「對稱軸」就是從最高點垂直往地麵畫下來的線，球在往上飛和往下掉的過程中，軌跡是對稱的。 再來，關於書中所提到的「生活中立體圖形」的應用，更是讓我驚喜連連。我女兒對幾何圖形的概念一直比較模糊，尤其在處理立體圖形的錶麵積和體積計算時，常常會混淆。這本書卻別齣心裁地將這些概念與日常生活中的物品連結，像是計算圓柱體的體積，就用瞭「罐頭」的例子，而計算球體的錶麵積，則是用「橘子」來比喻。書中詳細地解釋瞭如何從實際物品的尺寸，轉換成幾何圖形的參數，再套用公式進行計算。更棒的是，它還示範瞭這些計算在現實生活中的用途，比如建築師如何計算鋼筋用量，或是蛋糕師傅如何估算食材用量，讓她覺得這些數學不再隻是紙上談兵，而是有實際價值的應用。 我女兒特別提到，書裡麵有一個單元是「數學解密」，利用生活中常見的物品，例如「水塔」、「煙囪」，來介紹其幾何形狀，並進一步探討其麵積和體積計算的原理。她覺得這種從「看得到」的東西去反推「算得齣」的過程，比單純背公式更容易理解和記憶。書中還穿插瞭一些小測驗和思考題，鼓勵她們自己動手畫圖、計算，甚至找齣更多生活中的立體圖形。這種互動式的學習方式，讓她覺得學習數學變得更有趣，也更有成就感。 總而言之，這本「難題剋星（19）」是一本非常優秀的數學輔助教材。它巧妙地將抽象的二次函數和立體圖形概念，與生活化的情境巧妙結閤，讓學生們能夠輕鬆理解、深入記憶。我女兒錶示，自從看瞭這本書之後，她對數學的恐懼感大大降低，甚至開始主動去尋找生活中的數學應用。我認為這本書對於提升國三學生的數學學習興趣和能力，絕對有著不可小覷的幫助，我會強力推薦給其他傢長。

评分☆☆☆☆☆

我真的必須大力推薦這本「難題剋星（19）」，我兒子今年國三下，數學一直是他的罩門，尤其是二次函數和立體圖形這兩個單元，每次考試下來，總是可以讓我頭痛不已。學校老師推薦瞭這本課外書，我一開始抱持著姑且一試的心情，沒想到效果之好，真的讓我齣乎意料。 這本書對於二次函數的講解，真的非常獨特。它不是一味地丟公式，而是從生活中常見的現象齣發，例如「投籃」、「噴泉」、「拋物線的橋樑」等等，用非常生動的圖像和例子，引導讀者去理解二次函數的圖形特徵。我兒子以前看到「y=ax²+bx+c」這種形式就頭暈，但是書裡用瞭「溜滑梯」、「雲霄飛車」的軌跡來比喻，讓他瞬間就抓到瞭拋物線的概念，也更容易理解開口方嚮、頂點位置以及對稱軸的意義。書裡還透過一些實際的測量和計算，示範如何從生活中的現象反推齣二次函數的方程式，這讓原本抽象的數學變得具體可感。 接下來書裡關於「生活中立體圖形」的介紹，更是讓我印象深刻。我兒子之前對於立體圖形的錶麵積和體積計算，總是死記硬背，記瞭又忘。這本書卻很巧妙地將這些圖形與日常生活中的物品做連結，像是「冰淇淋的甜筒」（圓錐）、「水塔」（圓柱）、「籃球」（球體），並從這些實際物品的結構，去講解它們對應的幾何圖形，以及如何計算它們的錶麵積和體積。書裡還會舉例說明這些計算在現實生活中的應用，例如建築設計、包裝設計等等，讓孩子們明白數學的實用性。 我兒子特別喜歡書中的一個單元，叫做「數學探險傢」。這個單元會提供一些生活中常見的物品或現象，引導孩子們思考它們背後的數學原理，例如為什麼彎麯的道路能讓車子更平穩地通過，或是建築物的某些結構為何需要採用特定的幾何形狀。透過這種引導式的提問和分析，他不僅學到瞭知識，更培養瞭主動思考和解決問題的能力。他現在走在路上，都會開始留意周遭的建築物和物品，試圖從數學的角度去理解它們。 總而言之，這本「難題剋星（19）」不僅是一本數學教科書的輔助讀物，更像是一本啟發孩子們對數學產生興趣的「生活數學指南」。它將原本看似艱澀的二次函數和立體圖形，巧妙地融入到我們日常生活中，讓學習變得輕鬆有趣，而且充滿瞭實用性。我兒子用瞭這本書之後，對數學的信心大增，學習態度也更加積極。我強烈推薦這本書給所有傢長，尤其是正在為國三數學煩惱的同學們，這本書絕對能幫助你們打開數學學習的新視野！

评分☆☆☆☆☆

我兒子今年升上國三下，數學一直是讓他非常頭痛的科目，特別是二次函數和立體圖形的部分，每次上完課迴傢，總是一臉迷惘。學校老師推薦瞭這本「難題剋星（19）」，我抱著死馬當活馬醫的心態買瞭，結果真的讓我大大驚喜！ 書裡介紹二次函數的部分，完全顛覆瞭我兒子對這個單元的刻闆印象。它不是一味地從公式著手，而是從生活中我們隨處可見的現象開始，例如「投籃時球的飛行軌跡」、「噴泉的水柱」、「山丘的弧度」等等，用非常生動的圖解和比喻，引導孩子們去理解二次函數的圖像特徵。我兒子以前對「拋物線」這個詞感到很陌生，但書裡用「溜滑梯」、「雲霄飛車」來比喻，讓他立刻就抓到瞭它的概念，也更容易理解「頂點」、「對稱軸」這些看似抽象的名詞。書裡還提供瞭很多實際測量和計算的例子，幫助孩子們從生活情境中反推齣二次函數的方程式，這讓數學變得不再遙不可及。 而關於「生活中立體圖形」的部分，更是讓我兒子覺得驚豔。他以前對圓柱、圓錐、球體的錶麵積和體積計算，總是記不住公式，也搞不清楚這些公式的意義。這本書卻非常巧妙地將這些圖形與日常生活中的物品連結，像是「冰淇淋甜筒」對應圓錐，「水塔」對應圓柱，「籃球」對應球體。書中會引導孩子們觀察這些物品的實際形狀，然後再講解如何從這些形狀計算齣它們的錶麵積和體積。更重要的是，書裡還舉例說明這些計算在實際生活中的應用，例如建築師如何估算材料用量，或是烘焙師如何計算蛋糕的尺寸，讓孩子們深刻體會到數學的實用性。 我兒子特別提到，書裡有一個「數學解密」單元，會提齣一些生活中的情境，例如「為什麼橋樑需要設計成麯線形狀？」、「如何計算一個水瓶的容量？」等等，然後引導孩子們運用所學的二次函數和立體圖形知識去分析和解答。這種互動式的學習方式，讓他覺得學習數學不再隻是單純的記憶和計算，而是能夠幫助他解決實際問題。他現在走在路上，都會開始留意周圍的建築物和物品，試圖從數學的角度去思考。 總之，這本「難題剋星（19）」真是一本非常優秀的數學輔助教材。它將原本可能讓國三學生感到頭痛的二次函數和立體圖形，用非常貼近生活、有趣且易於理解的方式呈現。我兒子用瞭這本書之後，對數學的信心明顯提升，學習態度也變得更積極。我真心推薦給所有傢長，尤其是正在為國三數學感到煩惱的孩子們，這本書絕對能幫助你們打開數學學習的新天地！

评分☆☆☆☆☆

身為一個陪讀的傢長，我真的必須為這本「難題剋星（19）」讚聲！我的兒子今年是國三下，數學課本上的內容對他來說，就像是天書一樣，尤其是二次函數和立體圖形的部分，每次上完課迴傢，我都隻能看到他一臉茫然。學校老師有推薦這本書，我當時抱持著「死馬當活馬醫」的心情買迴傢，結果齣乎意料的好！ 書裡麵談到二次函數的部分，真的不是那種乾巴巴的數學解釋。它用瞭很多很生活化的例子，像是「籃球的飛行軌跡」、「拋物線的橋樑」，甚至是一些遊戲中的道具發射軌跡，都拿來做比喻。它不像課本那樣直接給公式，而是先讓孩子們從這些具體的圖像去感受，什麼是開口嚮上、開口嚮下，頂點在哪裡，然後再慢慢帶入公式，讓你理解公式背後的意義。我兒子以前聽到「頂點座標」就頭痛，現在書裡用「跳高選手跳到最高點」來比喻，他一下子就懂瞭，原來頂點就是那個最高點，後麵再帶入公式計算，感覺就沒那麼難瞭。 至於書裡介紹的「生活中立體圖形」，更是讓我兒子大開眼界。他以前對圓柱、圓錐、球體這些圖形，隻記得一些公式，但不知道它們實際長什麼樣子，也不知道為什麼要計算它們的錶麵積和體積。這本書卻很巧妙地將這些圖形跟日常生活中的物品結閤，像是「冰淇淋甜筒」就是圓錐，「水塔」就是圓柱，「氣球」就是球體。書中會引導孩子們去觀察這些物品的形狀，然後再講解如何計算它們的錶麵積和體積。我兒子以前對「錶麵積」這個概念很模糊，現在書裡用「包裝紙」的比喻，他說，原來計算錶麵積就是算我需要多少紙纔能把這個東西完全包起來，這樣一來，他對於公式的理解就更深入瞭。 書中還有一個我兒子非常喜歡的單元，叫做「數學偵探」。裡麵會提供一些生活中的情境，例如從高處丟下的物品，它的墜落軌跡是什麼樣的數學麯線？或是建築物的屋頂，大概是哪一種立體圖形？然後引導孩子們去分析和解答。我兒子以前覺得數學很無聊，就是背公式、做練習題。但這個單元讓他發現，原來數學就在我們身邊，而且可以幫助我們解釋很多生活中的現象。他現在走在路上，都會開始注意周圍的建築物或物品，然後試著去判斷它們的數學特性，這是我以前從來沒想過的。 總的來說，這本「難題剋星（19）」真的非常適閤國三的學生。它把原本枯燥的數學概念，用非常貼近生活的方式呈現，讓學習變得有趣、有意義。我兒子用瞭這本書之後，對數學的態度有瞭很大的轉變，不再像以前那樣排斥，甚至會主動去翻閱。我真心推薦這本書給所有正在為國三數學苦惱的傢長和同學們，它絕對是幫助孩子們剋服數學難題的得力助手！

评分☆☆☆☆☆

這本書我真的是推到不能再推瞭！我大兒子這次國三下，數學真的是他最頭痛的科目，尤其是二次函數那些圖像的變化、頂點座標的求法，每次考完試都說看不懂。這次學校老師推薦瞭這本「難題剋星（19）二次函數、生活中立體圖形」，說裡麵有很多貼近生活的例子，我當時還半信半疑，想說畢竟是課外書，能幫到多少？結果齣乎意料的好！ 開頭有幾頁在講二次函數的圖形，一開始是用一種「畫畫」的方式來引導，什麼叫拋物線，什麼時候開口嚮上、嚮下，哪個是頂點，真的就是把抽象的公式變成瞭具體的畫麵。我兒子以前學的時候就覺得一堆數字在那裡轉來轉去，沒什麼感覺。但是書裡用瞭好多跟「溜滑梯」、「投籃」、「噴泉」這些他每天都看得到、玩得到的東西來比喻，他看著看著就突然「啊！原來是這樣！」的感覺。還有那個判別式，以前對他來說就是個無敵難記的符號，現在書裡把它跟「根」的個數連結起來，還用「射箭」的比喻，說射中靶心（x軸）有幾支箭，就代錶有幾個根，這個說法他覺得超好懂的。 再來是書裡關於立體圖形的部分，更是讓我驚豔。我兒子之前對什麼圓錐、圓柱、球體的錶麵積、體積公式，總是死背硬記，記瞭又忘。這本「難題剋星」竟然把這些立體圖形跟我們傢裡的「蛋糕」、「水塔」、「皮球」連結在一起。比如算圓柱的體積，就是把蛋糕切開，想像成一層一層的小方塊堆起來，這個概念他瞬間就明白瞭。還有算錶麵積，書裡就用「包裝紙」的概念，讓你計算需要多少紙纔能把東西包起來，感覺非常實用。 我兒子最喜歡的部分是書裡有一個「生活偵探」的單元，專門講解如何在日常生活中「找到」二次函數和立體圖形。他之前都覺得數學就是課本裡的數字遊戲，跟現實生活一點關係都沒有。這本書卻用瞭很多圖片，像是從高處丟球的軌跡、橋樑的弧度、建築物的外形，甚至連路邊的噴水池，都用簡單易懂的方式分析它的數學原理。他現在走在路上，都會突然指著一個東西問我：「媽媽，那個建築物是不是一個圓錐啊？」或是「你看那個坡道，是不是一個二次函數的樣子？」這種主動去觀察和思考的轉變，真的讓我覺得這本書太有價值瞭！ 總之，這本「難題剋星（19）」真的是我兒子的救星！它不隻把數學概念講得清楚，還用各種生動有趣的方式，讓他覺得數學不再是遙不可及的學科，而是存在於我們身邊、可以解決生活難題的好工具。我真心推薦給所有正在為瞭國三數學煩惱的傢長和同學們，尤其是對二次函數和立體圖形感到頭痛的，這本書絕對能讓你「豁然開朗」！我兒子最近數學的信心大增，連帶著其他科目的學習也都更有動力瞭，這真的是意想不到的收穫。