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#蔡聰明教授最新力作 #數學拾穗 #俯拾即數
#拾穗、拾貝…下一本是拾…
#生日過後就11歲瞭嗎？
#越看越聰明？！越玩越聰明？！
#畢達哥拉斯 #歐氏幾何 #音樂與數學 #費瑪最後定理
#醉月湖麵積 #消失的5瓶飲料在何處？#0.999…=1？

　　本書收集蔡聰明教授近幾年來在《數學傳播》與《科學月刊》上所寫的文章，再加上一些沒有發錶的，經過整理就成瞭本書。

　　全書分成三部分：算術與代數、數學傢的事蹟、歐氏幾何學。

　　找到一個觀點將一些數學的公式或定理統閤起來，這是數學的妙趣之一。

　　數學的疑惑一則
　　0.999…<1>

　　這個問題雖然微不足道，但在探討過程中可以幫忙澄清許多數學概念與方法，包括自然數係、數學歸納法、極限、實數係的完備性…

　　一個數學益智問題

　　假設一瓶飲料20元，2個瓶蓋可換1新瓶，4個無蓋空瓶也可換1新瓶，請問200元最多可以喝到幾瓶的飲料？

　　答：理論值為40瓶，而實際上總共可喝35瓶，消失的5瓶在何處？

　　薛西弗斯的巨石

　　費瑪最後定理，彷彿是希臘神話中薛西弗斯推動的大石頭，點燃瞭許多數學傢的雄心壯誌，結果都發現有漏洞，甚至證明是錯誤的，於是大石頭又滾迴原點。費瑪最後定理是何方神聖？為何這麼吸引人？

　　音樂與數學

　　數學的抽象讓人怯步，但音樂與數學卻有密切的關連。

　　畢達哥拉斯發現兩音的和諧與弦長成簡單整數比有關。畢氏音階是如何定齣呢？怎麼用數學解釋泛音之謎呢？

　　從畢氏學派的夢想到歐氏幾何的誕生

　　在數學史上，歐氏幾何是第一個公理化的知識係統，由定義與公理齣發，推導齣一係列的定理。

　　然而，公理是怎麼得來的呢？為什麼要選取這樣的公理？

　　幾何的五閤一定理

　　畢氏定理堪稱為「四最定理」：「證明」與「名稱」最多，「最美麗」的公式之一，也是基礎數學中「應用最廣泛」的定理，畢氏定理更是幾何學的核心。

　　本書證明五個幾何定理是等價的：(1)畢氏定理　(2)畢氏逆定理　(3)三角形的餘弦定律　(4)圓內接四邊形的餘弦定律　(5)托勒密定理

　　數學公式或定理都不是孤立的，而是處在知識網中的某一個連結點上，要透過推理、類推、歸納、推廣、特殊化等的方法論來編織成知識網。

　　這個知識網要不斷地錘煉、更新、整閤、延拓，以作為吸納新知的根據地，就像蜘蛛結網捕捉獵物一般。

　　比起孤立地背記一個公式，一次學習一堆相關的公式不但更有趣，而且還可收到事半功倍的效果。

　　支離破碎的知識隻是背記的負擔，隻有連貫的知識纔能得到真實的理解與瞭悟之樂。
 

《數海拾遺：現代數學的廣袤疆域與深邃思想》 導言：追尋數學之美的永恒旅程 數學，這門古老而常新的學科，是人類理性思維的結晶，也是理解宇宙運行規律的基石。從畢達哥拉斯的神秘和諧到牛頓的微積分革命，再到哥德爾的邏輯不完備性，數學的演進史就是一部人類認知邊界不斷拓寬的史詩。然而，在浩瀚的數學知識海洋中，總有新的島嶼等待探索，新的理論體係等待構建。《數海拾遺：現代數學的廣袤疆域與深邃思想》並非對任何既有著作的重復或摘要，而是一次對當代數學前沿與核心概念的深度透視與係統梳理。本書旨在引導讀者穿越經典壁壘，進入二十世紀至今數學研究的活躍地帶，領略那些塑造瞭當代科學與技術的關鍵思想。 第一部分：代數結構的深層拓撲 本捲聚焦於抽象代數在現代科學中的應用與深化，特彆是群論、環論和域論的非傳統視角。我們首先將探討範疇論（Category Theory）作為一種“超越代數”的語言如何統一瞭拓撲學、代數幾何乃至邏輯學的核心概念。範疇論不再僅僅關注集閤間的映射，而是研究結構之間的關係，揭示瞭數學不同分支之間潛在的同構性。 接著，我們將深入研究非交換幾何（Noncommutative Geometry）。不同於經典的微分幾何建立在光滑函數環的交換性假設之上，非交換幾何探索瞭函數環不再是交換代數時的空間結構。這不僅為量子力學中的不確定性原理提供瞭深刻的代數解釋框架，也為弦理論中的某些幾何構造提供瞭關鍵工具。本書將詳細剖析格羅滕迪剋（Grothendieck）的拓撲斯（Topos Theory），將其視為一個更廣義的“空間”概念，它模糊瞭集閤論與幾何學的界限，為處理不確定性和依賴性結構提供瞭新的代數基礎。 第二部分：拓撲學的邊界與流形上的分析 拓撲學是研究空間在連續形變下保持不變性質的學問。本書將重點考察微分拓撲（Differential Topology）與代數拓撲（Algebraic Topology）的交匯點。我們將詳細解析龐加萊猜想的最終證明及其所依賴的裏奇流（Ricci Flow）技術，這不僅僅是三維流形分類的勝利，更是熱力學方程在幾何學中應用的典範。 在分析方麵，本書超越瞭傳統傅立葉分析的範疇，深入探討調和分析（Harmonic Analysis）在更高維度和更復雜空間上的推廣。重點將放在粗糙度理論（Rough Path Theory）上，它解決瞭經典微積分在處理路徑依賴的隨機微分方程（如布朗運動）時的不確定性問題，為金融數學和復雜係統建模提供瞭更穩健的數學工具。此外，對辛幾何（Symplectic Geometry）的闡述，將展示其如何在保守係統的哈密頓力學中扮演核心角色，並連接到低維拓撲和規範場論。 第三部分：數論的現代視野與算術幾何 數論，素有“數學女王”之稱，在二十世紀迎來瞭驚人的發展，與代數幾何的深度融閤催生瞭算術幾何（Arithmetic Geometry）這一宏偉分支。本書將帶領讀者領略這一領域的精妙。 我們將係統梳理橢圓麯綫（Elliptic Curves）的性質，它們不僅是費馬大定理證明的核心，也是現代密碼學（如橢圓麯綫加密ECC）的基石。討論將聚焦於模形式（Modular Forms）與橢圓麯綫之間的深刻聯係——榖山-誌村猜想（現為模定理）。 更進一步，本書將介紹朗蘭茲綱領（Langlands Program）的宏偉願景。該綱領試圖在數論的伽羅瓦錶示與自守形式（廣義的傅立葉分析）之間建立起一套完整的對應關係。這被認為是統一現代數學各分支的“大統一理論”之一。我們將簡要介紹其在局部域上的初步成果，並探討其對黎曼猜想研究的潛在啓示。 第四部分：計算、信息與離散數學的崛起 隨著計算機時代的到來，數學的關注點不再僅僅是連續體，離散結構和信息處理能力變得同等重要。本捲著重探討計算復雜性理論（Computational Complexity Theory）與信息論的數學基礎。 我們將詳細分析P與NP問題的狀態，理解為什麼解決這一問題不僅是計算科學的突破，更是對數學存在性證明本質的深刻拷問。本書將闡述量子計算的數學模型，包括希爾伯特空間作為計算狀態空間的應用，以及量子算法（如Shor算法）對經典數論結構的潛在顛覆性影響。 最後，我們將探討圖論（Graph Theory）在網絡科學中的應用，從隨機圖理論到網絡拓撲優化，展示離散數學如何成為理解復雜社會、生物和物理網絡結構的關鍵。 結論：麵嚮未來的數學展望 《數海拾遺》試圖提供一幅二十世紀以來數學發展的高清全景圖。它展示瞭數學傢們如何利用抽象工具來解決最具體的問題，又如何從最具體的現象中提煉齣最普適的結構。本書的最終目的，是激發讀者對數學內在美學和無盡可能性的敬畏，認識到數學不僅是工具，更是人類智慧探索實在邊界的終極語言。它預示著，未來的數學突破很可能發生在這些看似分離的領域——代數、拓撲、數論與信息論——的深度交叉點上。

作者簡介

蔡聰明

　　一生在颱大數學係從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。

　　平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。

　　雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。

　　衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他（她）們普遍對數學是麵目可憎的刻闆印象。

 

评分☆☆☆☆☆

拿到《數學拾穗》這本書，我的第一感覺是它充滿瞭“驚喜”。我原本以為，數學類的書籍，尤其是書名如此“古樸”的，內容會偏嚮於嚴謹的理論推導和復雜的公式演算，但這本《數學拾穗》卻完全顛覆瞭我的認知。它更像是一位睿智的長者，用一種溫和而充滿魅力的語言，娓娓道來關於數學的種種奇妙之處。書中的例子信手拈來，卻又都蘊含著深刻的數學思想。我印象最深的是書中關於“對稱性”的章節，作者並沒有停留在錶麵現象的描述，而是深入剖析瞭對稱性在自然界、藝術以及數學本身中的普遍存在和重要意義。我從來沒有想過，一個如此抽象的概念，竟然能夠如此直觀地與我們的生活産生連接。此外，書中還穿插瞭一些數學史上的有趣故事，那些數學傢們為瞭解決某個問題而付齣的心血和取得的成就，讀起來比任何偵探小說都來得引人入勝。這本書讓我明白瞭，學習數學，不僅僅是記憶公式和解題技巧，更重要的是理解數學背後的邏輯和思維方式。

评分☆☆☆☆☆

閱讀《數學拾穗》的過程，對我來說，就像是在經曆一場智慧的“探險”。我總是懷揣著對未知的好奇，渴望能夠窺探到數學世界那些隱藏的寶藏。而這本書，恰恰滿足瞭我的這種渴望。它沒有直接給我知識的“點”，而是以一種“綫”的方式，將零散的數學概念串聯起來，構建齣完整的知識圖譜。我尤其喜歡書中關於“邏輯的力量”的探討，作者通過一係列精妙的案例，展示瞭邏輯推理在數學以及日常生活中的重要作用。我從來沒有想過，一些看似微小的邏輯漏洞，竟然能夠導緻如此巨大的後果。這本書讓我深刻地認識到，嚴謹的邏輯思維，是解決一切問題的前提。它不僅僅是在傳授數學知識，更是在塑造一種思維的習慣，一種對事物真相的追尋。

评分☆☆☆☆☆

《數學拾穗》這本書，對我來說，更像是一本“哲學導論”，隻不過它探討的主題是數學。我一直認為，數學不僅僅是一門學科，它更是一種看待世界的方式，一種理解宇宙運行規律的語言。而這本書，恰恰是用一種非常“接地氣”的方式，嚮我展示瞭數學的這種哲學維度。書中關於“數的奧秘”的篇章，讓我對數字的本質有瞭更深刻的認識。作者從最基本的計數開始，一步步引導讀者去思考數字的起源、發展以及它們所代錶的意義。我從來沒有想過，我們日常使用的數字，竟然蘊含著如此豐富的曆史和哲學內涵。這本書讓我意識到，學習數學，其實也是在學習一種思維的深度，一種對概念的辨析，一種對邏輯的嚴謹。

评分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將復雜事物簡單化的作品懷有極大的敬意，而《數學拾穗》這本書，無疑就是這樣的典範。我曾幾何時，對一些看似“高冷”的數學概念望而卻步，但在這本書裏，我卻意外地找到瞭通往這些概念的“捷徑”。書中的講解方式，總是那麼循序漸進，引人入勝，讓我不知不覺中就理解瞭那些曾經讓我頭疼的問題。我特彆喜歡書中關於“概率的藝術”的討論，作者並沒有止步於枯燥的概率計算，而是深入淺齣地闡述瞭概率在日常生活中的應用，以及它背後所蘊含的隨機性和不確定性。讀完這一部分，我感覺自己對許多事情的看法都變得更加理性，也更加能夠接受生活中的不確定性。這本書讓我明白，學習數學，其實是一種能力的提升，一種思維的訓練，一種看透事物本質的智慧。

评分☆☆☆☆☆

《數學拾穗》這本書，對我而言，更像是一份“數學的地圖”，它為我指明瞭通往數學殿堂的清晰路徑，讓我不再迷失在概念的迷宮中。我一直覺得，數學是一座巍峨的山峰，而我，卻總是站在山腳下，仰望其雄姿，卻不知如何攀登。然而，這本書，卻以一種極其溫和而又充滿力量的方式，引領我一步步嚮上。書中關於“結構的和諧”的章節，讓我領略到瞭數學的“秩序美”。作者通過對各種數學結構的分析，展現瞭數學的內在統一性和規律性。我從來沒有想過，那些看似復雜的數學公式，竟然能夠構成如此和諧、如此優美的整體。這本書讓我明白，學習數學，不僅僅是為瞭解決問題，更是為瞭欣賞數學本身的美，為瞭感受數學所帶來的那種秩序和安寜。

评分☆☆☆☆☆

這本書的名字叫《數學拾穗》，光是這個名字就讓人心生遐想，似乎是一位經驗豐富的數學傢，在知識的海洋裏辛勤耕耘，偶爾拾起幾顆晶瑩剔透的“數學珍珠”，再將它們串聯成一本集子，與讀者分享。我拿到這本書的時候，內心是充滿期待的。封麵設計樸實無華，沒有花哨的圖案，隻有淡淡的墨香，仿佛一股清泉湧來，洗滌掉我平日裏被各種信息轟炸得有些疲憊的心靈。我翻開第一頁，映入眼簾的是一段引言，它沒有直接拋齣枯燥的公式，而是以一種詩意的筆觸，描繪瞭數學的魅力，如何滲透在宇宙萬物之中，如何成為我們理解世界的鑰匙。這種開篇方式立刻就抓住瞭我的眼球，讓我覺得這本書不僅僅是一本冰冷的學術著作，更是一本充滿人文關懷的智慧結晶。我迫不及待地想知道，作者究竟“拾”瞭哪些“穗”，又將如何為我揭示它們背後蘊含的深邃奧秘。我期待的不僅僅是知識的增長，更是一種思維的啓迪，一種對數學世界更深層次的理解和感悟。我想，讀完這本書，我的視野一定會被大大拓寬，我對數學的看法也會為之改變。

评分☆☆☆☆☆

《數學拾穗》這本書，絕對是我近年來讀過的最令人耳目一新的數學讀物。它巧妙地避開瞭枯燥的“乾貨”堆砌，而是將復雜的數學概念，通過生動有趣的敘述和富有啓發性的案例，一點點滲透到讀者的腦海中。我尤其喜歡書中對於“模式識彆”的探討，作者通過一係列引人入勝的例子，展示瞭數學傢們如何從看似混亂的數據中，提煉齣規律，並利用這些規律解決問題。這不僅僅是關於數學的技巧，更是一種解決問題的思維方式，一種觀察世界、分析世界的全新視角。讀完這一部分，我感覺自己好像擁有瞭一雙“數學的眼睛”，能夠更加敏銳地捕捉到生活中那些被忽略的細節，並從中發現隱藏的秩序。這本書沒有強迫我記住大量的公式，而是引導我去思考，去探索，去感受數學的魅力。我發現，原來學習數學，也可以是一場充滿樂趣的冒險，一場與未知智慧的對話。

评分☆☆☆☆☆

我總是覺得，數學，特彆是那些抽象的數學概念，對於大部分人來說，是遙不可及的，仿佛隻有經過專業訓練的人纔能窺其門徑。然而，《數學拾穗》這本書，卻以一種齣人意料的親切感，打破瞭這種隔閡。它沒有使用晦澀難懂的術語，而是用一種平易近人的語言，將那些深邃的數學思想，如同涓涓細流般，悄悄地注入我的心中。我記得書中有一個關於“無限”的章節，作者通過幾個簡單而又富有想象力的故事，讓我對這個看似虛無縹緲的概念有瞭全新的認識。從不同角度的解讀，從古老哲學到現代科學，都讓我對“無限”這一概念産生瞭由衷的敬畏。這本書不僅僅是傳授知識，更是在塑造一種思維，一種對事物本質的探求，一種對未知的好奇。我感覺自己不再是被動地接受信息，而是主動地去思考，去聯想，去構建屬於自己的數學理解。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學是一種抽象的藝術，它不像繪畫或音樂那樣直觀地觸動感官，它的美往往隱藏在邏輯的嚴謹和結構的精巧之中。而《數學拾穗》這本書，恰恰是用一種極其生動、甚至可以說是富有故事性的方式，將那些深藏的數學之美展現在我眼前。我記得書中有一個章節，講述瞭數學傢們如何一步步攻剋看似不可能的難題，那過程中的掙紮、頓悟、喜悅，都被作者描繪得栩栩如生，仿佛我身臨其境，與那些偉大的頭腦一同經曆著智慧的碰撞。更讓我驚喜的是，書中並非隻關注那些高深的理論，它還巧妙地將數學原理融入到日常生活的方方麵麵，比如從一碗水的波動中看到波的傳播規律，從街頭巷尾的概率現象中窺探隨機的本質。這種“潤物細無聲”的講解方式，讓我覺得數學不再是高高在上的學科，而是觸手可及的，是我們生活中不可或缺的一部分。這本書讓我開始重新審視那些曾經被我忽略的細節，發現原來它們都隱藏著數學的蹤跡，都訴說著數學的語言。我甚至開始在生活中主動尋找那些數學的“珍珠”，並試著用書中的方法去理解它們。

评分☆☆☆☆☆

《數學拾穗》這本書，對我而言，就像是一場意外的發現，一次心靈的洗禮。我一直以為，數學就是冷冰冰的數字和公式，是考試分數背後的一道道門檻。但這本書，用它獨特的視角，徹底改變瞭我的看法。它沒有直接給我答案，而是提齣問題，引導我去思考，去探索。書中關於“圖形的語言”的論述，讓我驚嘆於幾何圖形的豐富內涵，那些看似簡單的綫條和角度，竟然能夠承載如此深邃的數學思想。作者用生動形象的比喻，將抽象的幾何概念變得具象化，讓我仿佛置身於一個充滿智慧的數學樂園。我開始在生活中尋找那些幾何圖形的痕跡，從建築物的結構到花草的紋理，都讓我看到瞭數學的影子。這本書讓我明白，數學並非隻存在於書本和教室，它滲透在世界的每一個角落，等待著我們去發現，去欣賞。