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★解決向量在老師與學生內心的疙瘩。
　　★難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎？
　　★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思？

　　本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念，令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何，由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學？本書詳細說明數學及物理的向量歷史，認知到解析幾何根本不需要「向量」概念，就能夠推廣，只是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理，而不是物理來說明數學。

　　作者之一多年來在求學與教學深受上述問題困擾，因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。兩位作者都認為死背定義的數學學習，或說不清楚的數學，根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯，不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性，適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有困惑，心理不再存在疙瘩，並了解在自然科學中，數學具有不可理喻的有效性。
 

作者簡介

吳作樂

　　學歷 國立台灣大學數學系學士
　　美國哥倫比亞大學數理統計博士
　　經歷 長榮大學資訊管理系教授   
　　數位內容創作學程主任
　　國家太空中心主任    
　　國際宇宙航行學院 (International Academy of Astronautics) 院士
　　宏遠育成科技股份有限公司總經理
　　工研院電通所副所長
　　美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
　　美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員

吳秉翰

　　學歷 輔仁大學應用數學學士
 

前言

第1章　疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑　
1-2 數學與物理的關係　
1-3 數學的歷史　
1-4 太多新的定義　
1-5 向量的教學順序令人困惑　

第2章　傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標　
2-2 平面座標系的直線方程式(1)：由來　
2-3 平面座標系的直線方程式(2)：斜截式　
2-4 平面座標系的直線方程式(3)：點斜式、截距式　
2-5 平面座標系的直線方程式(4)：兩點式　
2-6 平面座標系的直線方程式(5)：參數式　
2-7 空間座標系的平面方程式(1)：由來　
2-8 空間座標系的平面方程式(2)：表示方法　
2-9 空間座標系的直線方程式　
2-10 平面座標系的兩直線夾角　
2-11 空間座標系的兩直線夾角　
2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題　
2-13 平面座標系的點到線的距離(1)：畢氏定理　
2-14 平面座標系的點到線的距離(2)：三角函數　
2-15 平面座標系的點到線的距離(3)：參數式　
2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離　
2-17 空間座標系的點到面的距離　
2-18 各個平行情況的距離　
2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離　
2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式　
2-21 空間座標系的兩平面夾角　
2-22 整合此章的數學式　
2-23 參數式的起源：拋物線　

第3章　行列式
3-1 解聯立方程式：兩變數　
3-2 解聯立方程組：三變數　
3-3 行列式的運算(1)：二階　
3-4 行列式的運算(2)：三階　
3-5 克拉碼行列式求平面方程式　
3-6 二階行列式與面積關係　
3-7 三階行列式與體積關係　
3-8 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(1)　
3-9 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形面積(2)　

第4章　高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1)：兩變數　
4-2 加減消去法與列運算(2)：三變數　
4-3 高斯列運算求平面方程式　

第5章　向量在物理的意義
5-1 向量在物理的意義　
5-2 功與內積　
5-3 力矩與外積　
5-4 向量的定義　
5-5 向量的基礎計算(1)　
5-6 向量的基礎計算(2)　
5-7 向量的基礎計算(3)　
5-8 正射影與正射影長　
5-9 向量與藝術：投影幾何　
5-10 向量數學式總結　

第6章　向量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積　
6-2 向量與平面上的直線方程式關係　
6-3 數學的平面方程式係數與外積(1)：解析幾何方法　
6-4 數學的平面方程式係數與外積(2)：法向量與力矩　
6-5 數學的平面方程式係數與外積(3)：法向量怎麼求　
6-6 利用向量求平面上點到線的距離　
6-7 利用向量求空間中點到平面的距離　
6-8 利用向量表示傾斜程度（斜率）　
6-9 向量與柯西不等式(1)：如何證明　
6-10 向量與柯西不等式(2)：柯西不等式與配方法的關係　
6-11 向量與柯西不等式(3)：如何記憶　
6-12 利用向量與二階行列式，求平面座標系的三角形面積　
6-13 利用向量與三階行列式，求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　
6-14 利用向量與二階行列式，求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積　
6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」　
6-16 三角錐體積與行列式(1)：拉格朗日　
6-17 三角椎體積與行列式(2)：向量方法　
6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積　
6-19 空間座標系的點到線的距離(1)　
6-20 空間座標系的點到線的距離(2)　
6-21 歪斜線的向量討論(1)　
6-22 歪斜線的向量討論(2)　
6-23 三垂線定理的討論　
6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式　
6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理　
6-26 計算三角形重心　
6-27 計算三角形內心(1)：向量方法　
6-28 計算三角形內心(2)：傳統解析幾何　
6-29 外心、垂心的向量性質　
6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法　
6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面　
6-32 三度空間的角平分線　

第7章　向量從物理到數學，再回到物理
7-1 物理數學家與數學物理家　
7-2 向量對數學的意義　
7-3 數學與物理互相幫助

第8章　矩陣
8.1 動畫的由來(1)　
8-2 動畫的由來(2)　
8-3 動畫的由來(3)　
8.4 矩陣的由來　
8-5 矩陣的運算(1)：二階矩陣PART1　
8-6 矩陣的運算(2)：二階矩陣PART2　
8-7 矩陣的運算(3)：二階矩陣PART3　
8-8 矩陣的運算(4)：三階矩陣　
8-9 矩陣的運算(5)：二階矩陣的反矩陣的由來　
8-10 矩陣的運算(6)：三階矩陣的反矩陣的由來與記法　
8-11 矩陣的應用(1)：轉移矩陣的概念　
8-12 矩陣的應用(2)：如何求轉移矩陣　
8-13 矩陣的應用(3)：血型的轉移矩陣
　
第9章　總結
9-1 相關歷史　
9-2 結論　

附錄
附錄1.為什麼負負得正呢？　
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣？　
附錄3.配方法與雙重配方法　
附錄4.相關聯結

1-2 數學與物理的關係
 
數學與物理的關係，這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多，感到有疑問，為什麼要練習那麼大量的幾何證明？幾何證明固然可以學習邏輯，但基礎概念理解後其他僅是練習，為什麼有那麼多題目？因為中世紀的僧侶，因戰爭避世，並肩負傳承知識，認為「上帝就是幾何學家（God is Geometer）」、「宇宙的建築師（Architect of the Universe）」，所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明；同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎，故大量練習幾何證明（歐式幾何），更成為近代教科書的內容。
 
僧侶為什麼要研究數學？因為在西方的文化，理性占文化很大一部分，並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學家—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則，有些已經理解成為了經驗，有些是由這些組合成為新的經驗，但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為了解神創造世界的原理。
 
為什麼他們從數學切入，而不是從其他科目切入，如：物理、化學？因為科目本質性的不同，可以從幾個角度來討論原因。
 
1.出錯修正的機率
 
數學是零修正，唯一需要修正的情形，僅是取有效位數產生的誤差，如：圓周率，微積分（200年來都沒變，且不需要改變）。
 
物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。
 
2.研究的方式
 
數學是演繹邏輯的學問。
 
物理、化學是經驗結果論（歸納邏輯）的科學，科技進步就會更改，如：拋物線的軌跡、四大元素到現在週期表。
 
3.由真實經驗假設最基礎的情形
 
數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。
 
如：1 + 1 = 2。再以此基礎來組合定義新的數學式，且不需質疑與驗證。
 
並且數學進步可視作由小元件到大物品的組合。
 
物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形，做為元件，因科技進步，觀察到在更大的情形不符合，就必須修正。如：牛頓力學與愛因斯坦的相對論，或是要說明此方程式對於此情形是正確的，須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組合，但須驗證，因為不清楚此半成品的理論是否正確，可能會導致大物品的實驗產生錯誤；以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如：四大元素→週期表→電子中子→夸克→超弦理論。

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