圖解嚮量與解析幾何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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★解決嚮量在老師與學生內心的疙瘩。
　　★難道一定要用物理概念纔能學會數學嚮量嗎？
　　★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思？

　　本書是為瞭解決一段人對嚮量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入嚮量內積、外積概念，令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何，由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學？本書詳細說明數學及物理的嚮量曆史，認知到解析幾何根本不需要「嚮量」概念，就能夠推廣，隻是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理，而不是物理來說明數學。

　　作者之一多年來在求學與教學深受上述問題睏擾，因為用物理說明數學會導緻學生不理解、造成教學睏難。兩位作者都認為死背定義的數學學習，或說不清楚的數學，根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯，不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性，適當的途徑是研究這門學科的曆史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有睏惑，心理不再存在疙瘩，並瞭解在自然科學中，數學具有不可理喻的有效性。
 

領略經典著作的魅力：數學思維的深度拓展 這是一本緻力於深入探索數學基礎理論的專著，旨在為讀者提供一個堅實而全麵的知識體係。本書並非局限於單一的分支學科，而是橫跨代數、分析與幾何等多個核心領域，力求構建一個相互關聯、融會貫通的數學視野。 第一部分：基礎代數結構的深刻剖析 本書的開篇部分將聚焦於抽象代數的基礎，這是理解現代數學結構的關鍵。我們將詳細闡述群論的精妙之處，從群的定義、子群、陪集到同態與同構。不再停留在錶麵的操作，而是深入探究群作用的本質，特彆是通過例子來展示其在數論和幾何中的應用。例如，會用對映群（Symmetry Group）來解釋晶體結構和多麵體的對稱性，讓抽象的概念具體化。 緊接著，我們將轉嚮環與域的理論。讀者將係統學習環的定義、理想的概念及其與商環的關係。我們不僅會介紹交換環和域的基本性質，還會深入探討整環和唯一分解整環（UFD），並引入素理想和極大理想的概念。對於域的擴張，我們將詳細討論伽羅瓦理論的先驅思想，闡釋為什麼有些多項式方程可以用根式求解，而有些則不能，這將極大地拓寬讀者對“可解性”的理解。 此外，綫性代數作為貫穿全書的工具，將在這一部分得到重塑。我們摒棄單純的計算技巧，轉而強調嚮量空間、綫性變換的幾何意義。從有限維到無限維空間，從基的選擇到矩陣錶示的本質，我們將探討特徵值、特徵嚮量的深層含義，尤其關注它們如何揭示綫性係統的穩定性與動態特性。通過詳盡的例子，比如傅裏葉分析中的基變換，來展示綫性代數的普適性。 第二部分：分析學的嚴謹與直覺 分析學部分是本書的另一核心支柱，它要求思維的高度嚴謹性。我們將從實數係統的構造齣發，探討極限的概念，並通過 $epsilon-delta$ 語言建立起微積分的嚴格基礎。這不僅僅是迴顧高中或大學初級的知識，而是要深入理解序列和函數的收斂性，特彆是均勻收斂的重要性。 在微分學方麵，除瞭導數的定義，我們將重點討論中值定理、泰勒公式的推廣形式，以及函數的極值判定。更進一步，我們將引入變分法的基礎，探討泛函的極值問題，這對於物理學中的作用量原理至關重要。 積分學部分將超越黎曼積分的範疇，引入勒貝格積分。勒貝格測度論的建立，將極大地拓寬可積函數的範圍，並為概率論和泛函分析打下堅實基礎。我們會用直觀的圖示輔助理解測度的概念，並展示為何勒貝格積分在處理不規則函數時更具優勢。 復變函數論將作為分析學的延伸，介紹柯西-黎曼方程、解析函數的性質。泰勒級數和洛朗級數的展開，以及留數定理的應用，將成為解決復雜定積分和無窮級數求和的強大工具。通過柯西積分公式，讀者將體驗到復平麵上函數行為的驚人規律性。 第三部分：拓撲與微分幾何的幾何直覺 本書的後半部分將引導讀者進入更抽象的幾何世界，但著重於保持幾何直覺。拓撲學部分將從度量空間齣發，定義開集、閉集、緊緻性、連通性。我們將深入研究同胚的概念，理解形狀的內在屬性如何在連續形變下保持不變。同調論的初步介紹，將展示如何用代數工具來區分不同“洞”的拓撲空間。 微分幾何的引入，將是連接代數與幾何的橋梁。我們將研究麯綫和麯麵的局部性質，引入切嚮量、法嚮量的概念。麯率和撓率的計算將揭示空間彎麯的程度。更重要的是，我們將探討流形的概念，這是廣義相對論和現代幾何學的基石。流形上的張量分析，將是理解麯率張量等物理量的前提。 第四部分：代數與幾何的交匯點——矩陣理論的升華 雖然綫性代數在基礎部分已有涉及，但本書將以更高階的視角迴顧矩陣理論，並將其與幾何結構緊密結閤。我們將深入研究正規矩陣、奇異值分解（SVD）的幾何意義，理解SVD在數據壓縮和降維中的核心作用。對於二次型，我們將從二次麯麵（橢圓、雙麯麵等）的分類入手，展示正交變換如何將其化為標準形式。 此外，我們將討論矩陣李群和李代數，這是描述連續對稱性的強大框架。通過指數映射，我們將看到矩陣群如何與微分幾何中的切空間聯係起來，為理解連續運動和對稱性提供瞭統一的數學語言。 總結與展望 本書的最終目標，是培養讀者進行嚴謹的數學論證能力，同時不失對數學美感的直覺把握。每一章節的構建都力求邏輯的無縫銜接，使讀者能夠清晰地看到代數、分析與幾何是如何在現代數學體係中相互支撐、共同發展的。通過大量的例證和深入的思考題，讀者將能夠掌握處理復雜數學問題的核心技能。

作者簡介

吳作樂

　　學曆 國立颱灣大學數學係學士
　　美國哥倫比亞大學數理統計博士
　　經曆 長榮大學資訊管理係教授   
　　數位內容創作學程主任
　　國傢太空中心主任    
　　國際宇宙航行學院 (International Academy of Astronautics) 院士
　　宏遠育成科技股份有限公司總經理
　　工研院電通所副所長
　　美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
　　美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員

吳秉翰

　　學曆 輔仁大學應用數學學士
 

前言

第1章　疑惑與曆史
1-1 嚮量常見的疑惑　
1-2 數學與物理的關係　
1-3 數學的曆史　
1-4 太多新的定義　
1-5 嚮量的教學順序令人睏惑　

第2章　傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平麵座標　
2-2 平麵座標係的直綫方程式(1)：由來　
2-3 平麵座標係的直綫方程式(2)：斜截式　
2-4 平麵座標係的直綫方程式(3)：點斜式、截距式　
2-5 平麵座標係的直綫方程式(4)：兩點式　
2-6 平麵座標係的直綫方程式(5)：參數式　
2-7 空間座標係的平麵方程式(1)：由來　
2-8 空間座標係的平麵方程式(2)：錶示方法　
2-9 空間座標係的直綫方程式　
2-10 平麵座標係的兩直綫夾角　
2-11 空間座標係的兩直綫夾角　
2-12 平麵座標係、空間座標係的距離問題　
2-13 平麵座標係的點到綫的距離(1)：畢氏定理　
2-14 平麵座標係的點到綫的距離(2)：三角函數　
2-15 平麵座標係的點到綫的距離(3)：參數式　
2-16 空間座標係的點到綫的距離、兩平行綫的距離　
2-17 空間座標係的點到麵的距離　
2-18 各個平行情況的距離　
2-19 空間座標係的兩歪斜綫的距離　
2-20 空間座標係的兩平麵相交直綫方程式　
2-21 空間座標係的兩平麵夾角　
2-22 整閤此章的數學式　
2-23 參數式的起源：拋物綫　

第3章　行列式
3-1 解聯立方程式：兩變數　
3-2 解聯立方程組：三變數　
3-3 行列式的運算(1)：二階　
3-4 行列式的運算(2)：三階　
3-5 剋拉碼行列式求平麵方程式　
3-6 二階行列式與麵積關係　
3-7 三階行列式與體積關係　
3-8 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形麵積(1)　
3-9 變形的二階行列式（測量員公式）求多邊形麵積(2)　

第4章　高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1)：兩變數　
4-2 加減消去法與列運算(2)：三變數　
4-3 高斯列運算求平麵方程式　

第5章　嚮量在物理的意義
5-1 嚮量在物理的意義　
5-2 功與內積　
5-3 力矩與外積　
5-4 嚮量的定義　
5-5 嚮量的基礎計算(1)　
5-6 嚮量的基礎計算(2)　
5-7 嚮量的基礎計算(3)　
5-8 正射影與正射影長　
5-9 嚮量與藝術：投影幾何　
5-10 嚮量數學式總結　

第6章　嚮量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積　
6-2 嚮量與平麵上的直綫方程式關係　
6-3 數學的平麵方程式係數與外積(1)：解析幾何方法　
6-4 數學的平麵方程式係數與外積(2)：法嚮量與力矩　
6-5 數學的平麵方程式係數與外積(3)：法嚮量怎麼求　
6-6 利用嚮量求平麵上點到綫的距離　
6-7 利用嚮量求空間中點到平麵的距離　
6-8 利用嚮量錶示傾斜程度（斜率）　
6-9 嚮量與柯西不等式(1)：如何證明　
6-10 嚮量與柯西不等式(2)：柯西不等式與配方法的關係　
6-11 嚮量與柯西不等式(3)：如何記憶　
6-12 利用嚮量與二階行列式，求平麵座標係的三角形麵積　
6-13 利用嚮量與三階行列式，求平麵座標係三角形麵積、及兩嚮量張齣的平行四邊形麵積　
6-14 利用嚮量與二階行列式，求空間座標係的三角形麵積、及兩嚮量張齣的平行四邊形麵積　
6-15 空間座標係的「兩嚮量張齣的平行四邊形麵積值」等於「兩嚮量外積後的公垂嚮量長度值」　
6-16 三角錐體積與行列式(1)：拉格朗日　
6-17 三角椎體積與行列式(2)：嚮量方法　
6-18 空間座標係的三嚮量張齣平行六麵體體積　
6-19 空間座標係的點到綫的距離(1)　
6-20 空間座標係的點到綫的距離(2)　
6-21 歪斜綫的嚮量討論(1)　
6-22 歪斜綫的嚮量討論(2)　
6-23 三垂綫定理的討論　
6-24 嚮量方法證明畢氏定理、三角不等式　
6-25 傳統解析幾何的分點公式與嚮量的三點共綫定理　
6-26 計算三角形重心　
6-27 計算三角形內心(1)：嚮量方法　
6-28 計算三角形內心(2)：傳統解析幾何　
6-29 外心、垂心的嚮量性質　
6-30 兩麵角與兩平麵交綫的嚮量求法　
6-31 二度空間的角平分綫與三度空間的角平分麵　
6-32 三度空間的角平分綫　

第7章　嚮量從物理到數學，再迴到物理
7-1 物理數學傢與數學物理傢　
7-2 嚮量對數學的意義　
7-3 數學與物理互相幫助

第8章　矩陣
8.1 動畫的由來(1)　
8-2 動畫的由來(2)　
8-3 動畫的由來(3)　
8.4 矩陣的由來　
8-5 矩陣的運算(1)：二階矩陣PART1　
8-6 矩陣的運算(2)：二階矩陣PART2　
8-7 矩陣的運算(3)：二階矩陣PART3　
8-8 矩陣的運算(4)：三階矩陣　
8-9 矩陣的運算(5)：二階矩陣的反矩陣的由來　
8-10 矩陣的運算(6)：三階矩陣的反矩陣的由來與記法　
8-11 矩陣的應用(1)：轉移矩陣的概念　
8-12 矩陣的應用(2)：如何求轉移矩陣　
8-13 矩陣的應用(3)：血型的轉移矩陣
　
第9章　總結
9-1 相關曆史　
9-2 結論　

附錄
附錄1.為什麼負負得正呢？　
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣？　
附錄3.配方法與雙重配方法　
附錄4.相關聯結

前言

　　本書是針對高中生學習「嚮量」時，産生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入嚮量內積、外積的概念，造成學生極大的睏惑，並誤以為僅能經由功、力矩的概念，纔能推導齣嚮量的內積與外積，這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是：

　　1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念，就沒有「內積」和「外積」嗎？

　　2. 沒有「內積」和「外積」，就不能將解析幾何，由二度空間推廣到三度空間嗎？

　　3. 為什麼會用物理概念來推論數學，不是說數學是科學的語言嗎？

　　有鑑於此，作者從曆史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「嚮量」的概念，就能夠推廣至三度空間，隻是相當繁瑣而己。誠然物理學傢創造瞭嚮量的概念，並啓發瞭數學傢。換句話說，物理為瞭正確描述力學現象，建立一套數學語言，而後由數學傢接手，建構瞭嚮量分析、綫性代數，及希爾伯特空間（Hilbert Space），也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導緻兩者關係的混亂，誤會數學需要物理，事實上數學不需藉助外力，本身就可說明清楚，也就是自圓其說。

　　作者在本書所要釐清的重點是：

　　1. 高中數學使用嚮量學習三度空間內容，是因為比傳統方法簡潔，而非必要，這個重點應該讓學生清楚知道，並讓學生知道數學不該存在破綻，一門演繹邏輯的科目，不該被誤解為歸納邏輯。

　　2. 本書依實際發生過的曆史進展過程詳加說明，徹底去除學生因課本的陳述方式，所産生的曆史錯亂與睏惑感，如：柯西不等式、行列式、參數式。為瞭解決這種問題，本書將不屬於嚮量範疇的內容移除，以免學生誤會一定要先會嚮量纔能學會那些內容，並瞭解傳統解析幾何就足以推導，但較為繁瑣，必須知道不用藉助嚮量也可以推導。

　　3. 點齣數學與物理之間的關係，數學是物理的語言，數學可以和物理緊密相關，也可能亳不相關。然而有趣的是，錶麵上和物理不相關的數學，竟然常常被物理學傢或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學傢Eugene Wigner有名的論述：「在自然科學中，數學不可理喻的有效性。」原文是：「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。

　　4. 瞭解內積、外積在數學、物理兩方的關係，而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」，其運算動作都稱為「內積」；數學「平麵方程式係數」會對應到物理的「力矩」，其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式，大抵如下述：內積直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。外積用公垂嚮量解釋外積，或直接用物理來定義，硬套用到數學，不一定解釋。本書詳細說明嚮量在數學及物理的曆史發展，並說明數學支撐物理。

　　5. 認識嚮量是基礎數學和基礎物理的交界點之一，高中數學從物理應用切入三度空間的數學，導緻許多學生産生睏惑。雖然數學和物理有錯綜復雜的關係，但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言，而物理是建構在歸納邏輯的自然科學，隻是用數學語言來錶達，物理與數學兩者高度相關，但不相同。作者將所有産生睏惑的原因全麵清理，期望學生或教師們終能理解。

　　6. 如果不說明清楚嚮量概念的原由，將失去一次可以說明數學與物理之間的關係（另一次是拋物綫的內容）。而數學與物理之間的關係，實際上是數學支撐物理，而不是物理來說明數學。如果不瞭解兩者關係，使得有一部分的人將數學當作物理，也就是誤會數學公式如同物理公式一般，會隨著時代被修正，也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。

　　作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢，而非死背定義。現行教科書用嚮量作為定理來說明解析幾何，也就是用物理概念強迫學生學嚮量，再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義，若要死背公式（內積）來硬套數學題目，必然會令學習者相當睏惑。

　　但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣，所以也不希望完全走迴原本的老路，最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積，用公垂嚮量來說明外積，避開物理概念的硬套，纔能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來，為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明瞭物理為什麼需要創造嚮量與內積、外積。

　　作者之一多年來，在求學與教學深受上述問題睏擾，因為用物理說明數學會導緻學生不理解、造成教學睏難。作者認為死背定義的數學學習方式，或說不清楚的數學，根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯，不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將嚮量産生的疑惑納入討論，希望學生不再有睏惑，心裏不再存在疙瘩。

　　本書詳述瞭非常多的細節部分，但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」，想要快速解除睏惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9，至於細節部分可以斟酌跳過。

　　「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構，那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過，例如愛因斯坦的重力理論與狄拉剋的電子理論。」

　　徐一鴻，華裔美國物理學傢

　　本書雖經多次修訂，缺點與錯誤在所難免，歡迎各界批評指正，得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者，作者信箱praxismathwu@gmail.com

1-2 數學與物理的關係
 
數學與物理的關係，這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起迴答。很多學生對於幾何證明的題目太多，感到有疑問，為什麼要練習那麼大量的幾何證明？幾何證明固然可以學習邏輯，但基礎概念理解後其他僅是練習，為什麼有那麼多題目？因為中世紀的僧侶，因戰爭避世，並肩負傳承知識，認為「上帝就是幾何學傢（God is Geometer）」、「宇宙的建築師（Architect of the Universe）」，所以僧侶研究幾何問題産生大量的證明；同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎，故大量練習幾何證明（歐式幾何），更成為近代教科書的內容。
 
僧侶為什麼要研究數學？因為在西方的文化，理性占文化很大一部分，並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學傢—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則，有些已經理解成為瞭經驗，有些是由這些組閤成為新的經驗，但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為瞭解神創造世界的原理。
 
為什麼他們從數學切入，而不是從其他科目切入，如：物理、化學？因為科目本質性的不同，可以從幾個角度來討論原因。
 
1.齣錯修正的機率
 
數學是零修正，唯一需要修正的情形，僅是取有效位數産生的誤差，如：圓周率，微積分（200年來都沒變，且不需要改變）。
 
物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。
 
2.研究的方式
 
數學是演繹邏輯的學問。
 
物理、化學是經驗結果論（歸納邏輯）的科學，科技進步就會更改，如：拋物綫的軌跡、四大元素到現在週期錶。
 
3.由真實經驗假設最基礎的情形
 
數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。
 
如：1 + 1 = 2。再以此基礎來組閤定義新的數學式，且不需質疑與驗證。
 
並且數學進步可視作由小元件到大物品的組閤。
 
物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形，做為元件，因科技進步，觀察到在更大的情形不符閤，就必須修正。如：牛頓力學與愛因斯坦的相對論，或是要說明此方程式對於此情形是正確的，須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組閤，但須驗證，因為不清楚此半成品的理論是否正確，可能會導緻大物品的實驗産生錯誤；以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如：四大元素→週期錶→電子中子→誇剋→超弦理論。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的魅力在於它的抽象和邏輯，但這本書卻告訴我，數學同樣可以充滿美感和直覺。它用大量的精美插圖，將抽象的嚮量和解析幾何概念變得生動形象，仿佛擁有瞭生命。我特彆欣賞書中關於“嚮量場的”講解，它通過箭頭密布的圖形來描繪不同位置的嚮量，讓我直觀地理解瞭矢量場是如何描述物理量在空間中的分布和方嚮的，例如流體流動、電場等。它還講解瞭嚮量場的散度、鏇度等重要概念，並用圖示來展示它們的幾何意義，這對於理解一些物理現象至關重要。解析幾何部分同樣精彩，它不僅僅講解瞭經典的二次麯綫，還涉及到瞭更高階的麯綫和麯麵，以及如何用代數方法來分析它們的性質。我尤其喜歡書中關於“參數化錶示”的講解，它用一個“行走”的點來模擬麯綫的生成過程，讓我理解瞭參數在描述運動和軌跡中的作用，這在計算機圖形學和動畫製作中有著廣泛的應用。這本書的語言風格非常平實，沒有使用過多生僻的專業術語，即使是初學者也能夠輕鬆讀懂。它讓我覺得，數學不再是遙不可及的理論，而是能夠解決實際問題的強大工具。

评分☆☆☆☆☆

不得不說，這本書的排版和設計真的非常用心。當我拿到它的時候，就被封麵的設計吸引瞭。那種簡潔又不失科技感的風格，已經預示著裏麵內容的精彩。翻開書頁，首先映入眼簾的是大篇幅的插圖，而且不是那種簡單的示意圖，而是非常精緻、清晰，甚至可以說是藝術品級彆的插圖。它們準確地描繪瞭嚮量的加減運算、數乘、點乘、叉乘，以及在三維空間中的各種幾何關係，比如直綫與平麵的夾角，兩個平麵的夾角等等。我之前在很多其他教材上看到的圖，往往比較模糊或者過於簡化，很難讓人一下子抓住重點，而這本書裏的圖，每一筆都充滿瞭信息量。特彆是那些三維空間的圖形，竟然能夠如此清晰地展現齣來，讓我對空間的想象力得到瞭極大的提升。它不僅僅是“告訴”你公式，更是“展示”給你公式背後的幾何意義。例如，在講解嚮量點乘時，它通過將一個嚮量分解為平行於另一個嚮量的分量和垂直於另一個嚮量的分量，然後強調平行部分的貢獻，這比單純的公式 a · b = |a||b|cosθ 來得更加直觀和深刻。至於解析幾何部分，書中同樣采用瞭大量的圖示來解釋各種麯綫方程，比如二次麯綫的各種標準形式，如何通過配方法來化簡方程，以及如何從方程中識彆齣麯綫的中心、焦點、頂點等關鍵要素。我尤其贊賞書中對“參數方程”的講解，它用一個“行走”的點來模擬麯綫的生成過程，讓我一下子理解瞭參數在描述運動和軌跡中的作用。整本書的閱讀體驗非常流暢，圖文的結閤恰到好處，讓我在輕鬆愉悅的氛圍中學習到瞭復雜的數學知識。

评分☆☆☆☆☆

這本書，就像一位循循善誘的老師，用最生動的方式，帶領我走進嚮量和解析幾何的奇妙世界。我之前對這些概念的理解，非常有限，常常是知其然不知其所以然。但這本書，通過它那精美的插圖和深入淺齣的講解，徹底改變瞭我的認知。我特彆喜歡書中關於“坐標係變換”的講解，它用直觀的圖示來展示坐標係的平移、鏇轉、縮放如何影響點的坐標和嚮量的分量，這讓我對坐標係在不同場景下的應用有瞭更深刻的理解。它還講解瞭如何通過坐標變換來簡化方程，例如將二次麯綫化為標準形式，這讓我看到瞭代數和幾何之間的緊密聯係。解析幾何部分同樣精彩，它不僅僅講解瞭二維平麵上的麯綫，還深入到瞭三維空間中的麯麵。我尤其喜歡書中關於“麯率”和“撓率”的講解，它用形象的比喻來描述麯綫和麯麵的彎麯程度和扭麯程度，這讓我對幾何對象的局部性質有瞭更深入的理解。書中的例子也足夠豐富，涵蓋瞭物理、工程、計算機圖形學等多個領域，這讓我看到瞭數學的廣泛應用前景，也激發瞭我進一步學習的動力。這本書的閱讀體驗非常愉快，它就像一位經驗豐富的數學導遊，帶領我領略數學世界的壯麗風光。

评分☆☆☆☆☆

自從讀瞭這本書，我感覺自己仿佛擁有瞭一雙“數學的眼睛”。它教會我如何從數學的角度去觀察和理解世界。書中的圖解，不僅僅是輔助理解的工具，更是數學思想的載體。我印象最深的是書中關於“嚮量投影”的講解，它通過光綫照射在物體上的影子來比喻嚮量在另一個嚮量上的投影，這個簡單的類比，讓我一下子就理解瞭嚮量投影的幾何意義，以及它在計算“在某個方嚮上的分量”時的作用。還有關於“嚮量內積”的解釋，它不僅僅是一個計算公式，更是衡量兩個嚮量“相似度”或者“相關性”的指標，這讓我在理解物理中的功、電場強度等概念時，有瞭更深刻的認識。解析幾何部分同樣令人驚艷。它不僅僅展示瞭各種麯綫和麯麵的形狀，更重要的是教會瞭我如何用代數方程來描述這些幾何對象的性質，以及如何通過方程的變化來預測幾何形狀的變化。我尤其喜歡書中關於“麯麵方程的分類”的講解，它通過對二次麯麵方程的判彆式分析，將它們分為橢球麵、雙麯麵、拋物麵等不同類型，這讓我對空間幾何有瞭更係統的認識。書中的例子也足夠豐富，涵蓋瞭物理、工程、計算機圖形學等多個領域，這讓我看到瞭數學的廣泛應用前景，也激發瞭我進一步學習的動力。這本書的閱讀體驗非常愉快，它就像一位經驗豐富的數學導遊，帶領我領略數學世界的壯麗風光。

评分☆☆☆☆☆

這本書，就像一幅精美的數學畫捲，徐徐展開在我眼前。我之前一直覺得嚮量和解析幾何是兩個獨立且相對枯燥的數學分支，但這本書卻巧妙地將它們融閤在一起，展現齣它們之間深刻的內在聯係。書中的插圖，堪稱教科書級彆的藝術品，它們用最直觀的方式解釋瞭最抽象的數學概念。例如，在講解嚮量的鏇轉時，書中用箭頭在二維平麵上圍繞原點鏇轉的動畫效果圖來展示，這比單純的公式錶達要生動得多。它還講解瞭如何用復數來錶示鏇轉和縮放，這是一種非常優雅的數學工具，讓我看到瞭數學的簡潔和力量。解析幾何部分同樣齣色，它不僅僅講解瞭二維平麵上的麯綫，還深入到瞭三維空間中的麯麵。我尤其喜歡書中關於“麯麵相交”的講解，它通過不同麯麵方程的聯立求解，來展示它們交綫的形狀，比如直綫、橢圓、拋物綫等等，這讓我對空間幾何有瞭更直觀的認識。書中還涉及到瞭“仿射變換”和“射影變換”等更高級的概念，並用圖示來解釋它們的幾何意義，這讓我對計算機圖形學中的幾何變換有瞭更深的理解。這本書的寫作風格非常清晰流暢，語言簡潔易懂，即使是初學者也能夠輕鬆入門。它不僅僅是知識的傳授，更重要的是激發瞭讀者對數學的興趣和探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺，就像是打開瞭一扇通往數學殿堂的神秘大門。我一直對那些高深的數學理論感到敬畏，但又無從下手。直到我遇到瞭這本書，它用一種非常“接地氣”的方式，將嚮量和解析幾何的精髓呈現給我。它的插圖設計真的太齣色瞭，每一張圖都經過瞭深思熟慮，不僅僅是為瞭美觀，更是為瞭準確地傳達數學信息。我尤其喜歡書中對“多綫性代數”的基礎概念的講解，比如張量，它用箭頭組閤以及更復雜的網格狀結構來錶示，讓我對高階張量的概念有瞭初步的認識。它還講解瞭張量的收縮運算，並通過一些簡單的例子展示瞭它在物理學和工程學中的應用。解析幾何部分也同樣精彩，它不僅僅講解瞭經典的二次麯綫，還涉及到瞭更高次的麯綫，比如三次麯綫，以及如何用代數方法來分析它們的性質。書中還花瞭相當大的篇幅來講解“微分幾何”的基礎，比如麯麵的法嚮量、切平麵，以及麯率等等，這些概念讓我對光滑麯麵的局部性質有瞭更深入的理解。我常常會花很多時間去研究書中的圖，反復體會它們所蘊含的數學意義。它讓我明白，很多復雜的數學概念，都可以通過可視化和直觀的類比來理解。這本書的語言風格也非常平易近人，沒有使用過多生僻的專業術語，即使是初學者也能夠輕鬆讀懂。它讓我對數學産生瞭濃厚的興趣，並且開始主動去探究更多相關的知識。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，在翻閱這本書之前，我對“嚮量”和“解析幾何”的印象，還停留在中學時期的模糊記憶中，覺得它們是枯燥乏味的。但這本書，像一股清流，徹底改變瞭我的看法。它最讓我贊賞的一點是，它能夠將那些看似非常抽象的數學概念，用極其形象和貼切的比喻來解釋。比如，講解嚮量的外積時，它用瞭“力矩”的概念，通過鏇轉的杠杆來展示外積的方嚮和大小，這瞬間就讓我理解瞭為什麼外積的結果是一個垂直於兩個嚮量的嚮量。還有在講解解析幾何中的“麯率”時，它用瞭汽車在彎道上行駛的例子，來比喻麯綫的彎麯程度，讓我一下子就明白瞭麯率的物理意義。更重要的是，這本書的例子非常豐富，而且大多來源於實際生活或者工程領域。比如，它講解如何用嚮量來計算射擊的落點，如何用解析幾何來描述天體的軌道，如何用矩陣來處理圖像的縮放和鏇轉等等。這些例子讓我看到瞭數學的實用價值，也讓我覺得學習這些知識是有意義的。我特彆喜歡書中關於“復嚮量”和“復數在幾何中的應用”的章節，它用復數的鏇轉和縮放來錶示幾何變換，這是一種非常巧妙且高效的方法，讓我看到瞭數學不同分支之間的融會貫通。這本書的閱讀體驗非常棒，它就像一位經驗豐富的嚮導，耐心地帶領著我穿梭於數學的世界，讓我感受到數學的嚴謹之美和它強大的解釋力。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺，就像是拿到瞭一把能夠解鎖數學迷宮的鑰匙。我之前學習數學的時候，常常會覺得像是在走迷宮，繞來繞去，很多概念都理解不透。但這本書，用它那獨特的“圖解”方式，為我指明瞭方嚮。我特彆喜歡它對嚮量空間的講解，它不僅僅給齣定義，而是通過各種嚮量組閤在一起形成的“區域”，來形象地展示嚮量空間的“範圍”和“維度”。這種可視化讓我一下子就明白瞭為什麼說一個嚮量空間可以被一組基嚮量“張成”。還有在講解綫性變換時，書中用箭頭如何被拉伸、鏇轉、剪切來展示矩陣的作用，這讓我對抽象的矩陣運算有瞭更直觀的理解，不再是簡單的數字乘法，而是對空間進行的一種“操作”。解析幾何部分也是一樣，我印象深刻的是它對“二次型”的講解，它通過將二次型與橢圓、雙麯綫、拋物綫等二次麯綫聯係起來，讓我看到代數錶達式和幾何形狀之間的緊密關係。它甚至還講解瞭如何在三維空間中通過二次麯麵的方程來識彆它們的類型，比如橢球麵、雙麯拋物麵等等，這些在現實生活中都有很多的應用，比如建築設計、天體運動模擬等等。這本書的優點在於，它不僅僅是介紹數學概念，更重要的是教會你如何“思考”數學，如何用幾何直覺去輔助代數運算，反之亦然。它鼓勵讀者去動手畫圖，去嘗試不同的參數組閤，去觀察結果的變化，這種主動學習的方式讓我覺得更有參與感，也更容易將知識內化。

评分☆☆☆☆☆

這本《圖解嚮量與解析幾何》給我帶來的震撼，不僅僅是知識層麵的，更多的是思維方式的轉變。我一直以為數學是屬於少數天纔的領域，而我這種普通人很難企及。但這本書的齣現，徹底顛覆瞭我的看法。它沒有一開始就拋齣大量的公式和定理，而是從最基礎的嚮量概念入手，用非常形象生動的圖畫來解釋。比如，它解釋嚮量的模長時，就畫齣一個箭頭，然後用尺子量齣箭頭的長度，告訴我這就是嚮量的大小。當它講解嚮量的平行和垂直時，也是用相互平行的箭頭和相互垂直的箭頭來演示，直觀得不行。更讓我驚喜的是，書中對於解析幾何部分的講解，也同樣注重可視化。那些在坐標係中描繪的拋物綫、橢圓、雙麯綫，我第一次感覺到它們不再是冰冷的數學公式，而是具有優美麯綫的幾何圖形。它教會我如何通過方程來“看見”這些圖形的形態，以及它們與方程係數之間的微妙聯係。我尤其欣賞書中關於“軌跡方程”的講解，它通過一個點在平麵上運動形成的路徑來引齣方程，讓我理解瞭代數方程是如何描述幾何運動的。這對我來說，是一種全新的視角，以前我總覺得幾何和代數是兩個獨立的學科，而這本書卻將它們完美地融閤在一起，讓我看到瞭它們之間深刻的內在聯係。書中的每一個插圖都經過精心設計，不僅僅是為瞭美觀，更是為瞭準確地傳達數學信息。我常常會停下來，仔細端倪那些圖，想象著箭頭在空間中移動，想象著點在坐標係中描繪齣優美的麯綫。這種“看”數學的方式，讓我對它産生瞭濃厚的興趣，也讓我更加自信地去探索數學的奧秘。

评分☆☆☆☆☆

這本書，我斷斷續續地翻瞭有一段時間瞭，尤其是那些充滿著各種箭頭和坐標係的插圖，給我的感覺就像是在探索一個全新的宇宙。一開始，我隻是抱著瞭解一下“嚮量”和“解析幾何”這兩個概念的好奇心，但讀著讀著，我發現自己被深深地吸引住瞭。那些抽象的數學符號，通過書中的圖示，變得鮮活起來，仿佛擁有瞭生命。例如，書中對嚮量加法的解釋，不僅僅是簡單的數值相加，而是用箭頭首尾相接的方式直觀地展現瞭位移的閤成，這讓我對“閤力”之類的概念有瞭更深刻的理解。還有那些在二維和三維空間中描繪的直綫、平麵和麯麵，每一條綫、每一個麵都仿佛承載著豐富的數學信息，通過解析幾何的方法，我學會瞭如何用代數語言來描述這些幾何圖形的性質，例如直綫方程的斜截式、點斜式，以及圓的方程，這些都讓我覺得數學不再是枯燥的符號堆砌，而是理解世界的一種強大工具。我特彆喜歡書中關於投影的講解，通過光綫照射在物體上的影子來類比嚮量在另一個嚮量上的投影，這種形象的比喻一下子就讓那些看似復雜的數學運算變得清晰易懂。書中的例子也非常貼切，很多都是我平時生活中能遇到的情境，比如在導航中如何計算兩點之間的距離和方嚮，或者在工程設計中如何確定物體的受力情況。雖然我不是數學專業齣身，但這本書的圖文並茂確實幫我剋服瞭對數學的畏懼感，讓我覺得即便是復雜的數學概念，隻要有好的引導，也能夠被理解和掌握。它就像一位耐心的老師，循序漸進地帶領我走進嚮量和解析幾何的世界，讓我感受到瞭數學之美和它在解決實際問題中的巨大潛力。我甚至開始嘗試自己去繪製一些簡單的嚮量圖，用解析幾何的知識去推導一些簡單的幾何關係，這讓我獲得瞭一種前所未有的成就感。