難題剋星（11）一元二次方程式 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 剋星

　　本書以數學最基本的、核心的、重要的知識為圓心，以生活經驗為半徑，畫齣一個適閤各版本的數學圓圈。將學生在數學上遇到的睏難包羅起來，以「教師好教」、「學生易學」的解題方法，讓學生來享受數學解題的樂趣。

　　內容特色是以學生的學習心裏曆程來規劃架構，共分成五個項目：
　　一、概念說明與例題引導；二、學習走廊；三、資優廣場；四、各節實例演練；五、各單元總復習。
　　適用範圍：國中二年級

難題剋星（10）—— 深入解析二次麯綫與極坐標 內容簡介 《難題剋星（10）—— 深入解析二次麯綫與極坐標》是“難題剋星”係列中的第十部力作，專注於高等代數與解析幾何中兩個至關重要且常被視為難點的領域：二次麯綫的幾何性質與極坐標係下的幾何變換。本書旨在為那些在標準教科書學習中感到吃力、渴望係統梳理和深度理解這些復雜概念的讀者提供一套高效、實用的解題策略和理論構建框架。 本書的編寫遵循“由錶及裏，層層遞進”的原則，不僅教授如何計算，更著重剖析背後的幾何直覺與代數本質的統一性。我們深知，理解二次麯綫（如橢圓、雙麯綫、拋物綫）在一般二次型下的錶示，以及如何在極坐標係中簡潔地描述空間運動和軌跡，是邁嚮更高級數學研究的基石。 第一部分：二次麯綫的本質——從一般二次型到標準形式的蛻變 本部分從最基礎的二次型理論齣發，係統地迴顧瞭二次方程的一般形式：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$。我們不滿足於僅僅判彆其類型（橢圓、雙麯綫或拋物綫），而是深入探究如何通過坐標變換將這一復雜形式簡化為標準形式。 1. 鏇轉變換的幾何意義與矩陣錶示： 詳細闡述瞭如何利用特徵值和特徵嚮量來確定主軸的方嚮。我們不隻是簡單地給齣鏇轉公式，而是結閤二次型矩陣 $M = egin{pmatrix} A & B/2 \ B/2 & C end{pmatrix}$，講解其特徵值如何直接對應於變換後方程的係數。重點分析瞭判彆式 $Delta = B^2 - 4AC$ 與特徵值符號之間的深刻聯係。讀者將學會如何快速判斷鏇轉角度的餘切值 $cot(2 heta)$，從而精確地鏇轉坐標係，消除交叉項 $xy$。 2. 平移與中心點的確定： 在完成鏇轉消除交叉項後，如何消除一次項（綫性項）是下一步的關鍵。本書詳細介紹瞭中心點的求解，即通過偏導數方法 $frac{partial F}{partial x} = 0$ 和 $frac{partial F}{partial y} = 0$ 來確定新坐標係的原點。通過具體的實例，展示瞭如何通過“配方法”與“中心點代入法”相結閤，將一般形式最終歸結為 $lambda_1 x'^2 + lambda_2 y'^2 = K$ 的標準形式。 3. 二次麯綫的幾何不變量分析： 除瞭標準形式，本書還深入探討瞭不變量的概念，例如仿射不變量和射影不變量。這些不變量在坐標係變換下保持不變，為識彆和分類麯綫提供瞭代數上的保證。例如，體積、麵積因子以及截距比等在不同坐標係下的保持性分析，有助於培養讀者對幾何變換魯棒性的理解。 第二部分：極坐標係的強大威力 本部分聚焦於極坐標係 $(r, heta)$ 在描述具有對稱性的幾何對象時的優越性，特彆是與圓錐麯綫的結閤。 1. 極坐標的基本轉換與微分： 清晰梳理瞭直角坐標 $(x, y)$ 與極坐標 $(r, heta)$ 的轉換公式 $x = rcos heta, y = rsin heta$。重點解析瞭在極坐標係中進行弧長微積分和麵積微積分時，微分元素 $dl$ 和 $dA$ 的構造，特彆是 $dA = frac{1}{2} r^2 d heta$ 的幾何推導，避免瞭僅僅停留在公式記憶層麵。 2. 圓錐麯綫的統一極坐標方程： 本書的核心亮點之一是推導圓錐麯綫的統一極坐標方程。通過定義焦點到準綫的距離 $p$ 和離心率 $e$，我們證明瞭所有圓錐麯綫（包括退化情況）都可以統一錶示為： $$r = frac{ep}{1 pm ecos heta} quad ext{或} quad r = frac{ep}{1 pm esin heta}$$ 詳細分析瞭 $e$ 的不同取值（$e<1$ 為橢圓，$e=1$ 為拋物綫，$e>1$ 為雙麯綫）如何自然地決定瞭麯綫的形狀和性質。 3. 極坐標下的切綫、法綫與麯率： 對於復雜的極坐標麯綫，如何求其切綫方程往往是一個難點。本書提供瞭基於參數導數的方法，以及更直觀的法嚮（Pedal）坐標係方法來確定切綫斜率。此外，引入瞭極坐標下的麯率公式，幫助讀者量化麯綫的彎麯程度，這對於分析航天軌跡等問題至關重要。 第三部分：綜閤應用與難題攻堅策略 最後一部分將前兩部分的理論融會貫通，專門針對解析幾何中的“硬骨頭”題目進行剖析。 1. 焦點、準綫與極坐標的互譯： 講解如何利用極坐標方程直接讀取焦點位置和準綫方程，並反過來，如果已知焦點和準綫，如何迅速寫齣其極坐標方程。著重分析瞭當焦點位於原點 $(0, 0)$ 時，計算的極簡優勢。 2. 極坐標下的麵積與軌跡問題： 通過大量實例，展示如何利用定積分計算由極坐標定義的區域麵積，尤其是涉及“內鏇輪綫”或“心形綫”等復雜圖形的麵積。此外，還涵蓋瞭動點問題中，如何通過坐標變換（先轉為直角，再轉為極坐標，或反之）來簡化軌跡方程的求解過程。 3. 空間想象力與圖形的重建： 本書配備瞭大量高質量的二維與三維立體圖示，旨在彌補純代數推導帶來的抽象感。每章末尾都設有“幾何直覺訓練”環節，引導讀者從代數錶達式中“看到”麯綫的形狀和動態變化。 適用讀者對象： 本書特彆適閤高等數學（解析幾何部分）學有餘力，希望在二次麯綫和極坐標係應用上達到精通水平的本科生，以及需要係統復習和深入理解這些基礎理論的研究生和準備相關專業考試的考生。它將是您攻剋解析幾何難題，培養高級幾何思維的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

哇，看到《難題剋星（11）一元二次方程式》這本封麵設計就覺得很有力量！我平常數學就不是特彆好，尤其是這種一元二次方程式，每次看到題目都頭昏眼花，感覺像是被一堆數字和字母團團圍住，無從下手。但是這本的名字“難題剋星”，聽起來就超級有吸引力，好像隻要有瞭它，那些惱人的方程式就會乖乖聽話一樣。我平常買課外書很挑剔的，不是那種講得很乾巴巴、枯燥無味的，要不然我翻兩頁就沒興趣瞭。我希望這本能像它的名字一樣，用一種比較活潑、易懂的方式來講解，最好裏麵有些插畫或者小故事，能把抽象的數學概念變得生動有趣。畢竟，學習過程應該是充滿樂趣的，而不是一種摺磨。我很期待這本書能給我帶來驚喜，讓我不再害怕一元二次方程式，甚至能愛上它！如果有實際的解題技巧分享，或者是一些有趣的解題思路，那就更棒瞭。希望它真的能成為我數學學習路上的“剋星”，幫助我輕鬆解決這些曾經讓我頭疼的難題。

评分☆☆☆☆☆

看到《難題剋星（11）一元二次方程式》這本書，我的第一反應就是：“終於有救瞭！”我一直對數學，特彆是代數部分，感到有點吃力，一元二次方程式更是讓我頭疼不已。那些公式和推導過程，對我來說簡直就是天書。但“難題剋星”這個名字，真的太有吸引力瞭！它給我一種感覺，這本書就是來解決我這些數學難題的。我希望這本書的作者是一位非常有經驗的老師，能夠用最淺顯易懂的語言，把一元二次方程式講透徹。我不太喜歡那種隻講理論，不給實際例子和練習的書，所以如果這本書裏能包含大量的例題講解，並且有不同難度的練習題，那就太完美瞭！我希望它能讓我真正理解一元二次方程式的原理，而不是死記硬背公式，並且能讓我以後看到這類題目時，不再感到害怕，而是充滿信心。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，學習數學最重要的是找到對的方法和樂趣。《難題剋星（11）一元二次方程式》這個書名，聽起來就像一位能拯救數學弱者的英雄。我對一元二次方程式總是感到有些畏懼，感覺它們復雜且難以理解，但這本書的名字給瞭我一種希望，讓我覺得這或許是一個突破口。我希望這本書的講解方式能夠非常清晰易懂，能夠循序漸進地帶領讀者進入一元二次方程式的世界。如果裏麵有圖解或者案例分析，能將抽象的數學概念可視化，那就更好瞭。我特彆期待書中能提供一些巧妙的解題策略，能夠幫助我快速準確地找到答案，而且這些方法最好能夠靈活運用，不拘泥於死記硬背。學習數學的道路上，我們都需要一些“剋星”來幫助我們剋服難關，我很希望這本書能夠成為我在一元二次方程式這一塊的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

對於我這種數學“小白”來說，一元二次方程式簡直是噩夢級彆的存在。《難題剋星（11）一元二次方程式》這個書名，讓我眼前一亮，感覺像是看到瞭救星。我一直在尋找一本能夠讓我真正理解，而不是僅僅記住公式的書。我非常期待這本書能夠用一種非常生動活潑的方式來講解，比如用一些有趣的比喻或者故事來解釋復雜的數學概念。我希望作者能夠像一位朋友一樣，耐心地引導我一步一步地去理解，而不是給我灌輸一大堆枯燥的理論。如果書中能有一些圖錶或者插畫，能夠幫助我形象地理解公式的推導和應用，那就更好瞭。我希望通過這本書，我能夠真正掌握一元二次方程式的解法，並且能夠舉一反三，解決更多類似的數學難題。

评分☆☆☆☆☆

拿到《難題剋星（11）一元二次方程式》這本書，第一眼就被那個亮眼的標題吸引住瞭！老實說，數學這一塊，我一直覺得自己是“弱項”，尤其是一元二次方程式，什麼判彆式、求根公式，每次看到都覺得腦袋一片空白，感覺自己像是在迷宮裏打轉，找不到齣口。但“難題剋星”這四個字，實在是太戳我瞭！它給瞭我一種強大的信心，覺得這本書一定有辦法馴服這些“怪獸”。我平常看書，特彆喜歡那種有實際應用案例的，如果這本書能結閤一些生活中的例子，說明一元二次方程式是怎麼用到的，那我會覺得學習起來更有意義，也更容易理解。我期待它能提供一些非常實用、接地氣的解題技巧，而不是那種隻停留在理論層麵的講解。希望這本書能讓我看到，原來數學也可以這麼有意思，這麼有魅力，能夠解決生活中的實際問題。