差和分與微積分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 微積分
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本書是楊維哲教授《資優微積分》課程講義的一部分。

　　本書隻有一個主題和一個想法，這個主題就是「差和分法」，而貫穿本書的一個想法就是「類推」。

　　內容除瞭微積分的復習及補充以外，最主要是階乘函數，從階乘數列推廣到階乘函數是「從離散到連續的類推」最重要的一個例子。

作者簡介

楊維哲

著名的數學學者及教育傢。在聯考時代曾擔任多次大學聯考闈場闈長。
緻力推廣颱語，並以颱語教授數學，讓人津津樂道。
把教書當成一門錶演藝術，上課方式隨性自由，自我風格強烈。

現職：國立颱灣大學數學係名譽教授
學曆：普林斯頓大學數學博士
經曆：國立颱灣大學數學係專任教授

好的，這是一份關於一本未提及“差和分與微積分”內容的圖書簡介，內容力求詳盡且自然流暢，不包含任何提及原書名的信息。 《邏輯之境：現代數學的基石與思維的構造》 內容簡介 本書深入探討瞭現代數學的哲學基礎、邏輯結構及其在跨學科領域中的應用。我們聚焦於數學理論的內在一緻性、公理化方法的發展曆程，以及這些抽象概念如何重塑我們對客觀世界的理解。這不是一部關於計算技巧的教科書，而是一場關於數學思維方式的深度探索。 第一部分：公理的起源與演繹的藝術 在本書的開篇，我們追溯瞭數學思想從古希臘幾何學到現代集閤論的演變。歐幾裏得的《幾何原本》不僅是幾何學的範本，更是一種嚴謹的演繹推理的典範。我們將詳細分析其公理體係的構建方式，並探討後來的數學傢如何質疑和拓展這些基礎。 我們探討瞭非歐幾何的齣現，這是人類理性邊界被拓展的裏程碑事件。雙麯幾何和橢圓幾何的發現，迫使數學傢重新審視“空間”和“直綫”的傳統定義，證明瞭僅僅依靠直覺是不足以構建完整數學體係的。這種對基礎的深刻反思，直接催生瞭對形式係統（Formal Systems）的嚴格要求。 隨後，本書將重點介紹邏輯學在數學中的核心地位。從萊布尼茨的“通用語言”夢想，到布爾代數對邏輯運算的代數化，再到弗雷格對數學語言進行徹底形式化的努力，我們清晰地勾勒齣數學如何逐步擺脫自然語言的模糊性，邁嚮純粹符號操作的階段。我們將詳細闡述命題演算和謂詞演算的基本規則，展示它們如何成為所有現代數學證明的骨架。 第二部分：無窮的悖論與集閤的構造 理解“無窮”是現代數學的核心挑戰之一。本書將避開簡單的計數方法，轉而深入研究十九世紀末期集閤論的革命性進展。康托爾關於不同“大小”無窮的發現，徹底顛覆瞭人們對無限概念的直覺認知。我們將細緻解析良序（Well-ordering）、良基（Well-founded）以及超限歸納法（Transfinite Induction）的構造性論證，說明這些工具如何使數學傢能夠有條不紊地處理無限集閤。 然而，集閤論的強大也帶來瞭深刻的悖論。羅素悖論的齣現，如同黑天鵝事件，暴露瞭樸素集閤論的內在矛盾。我們不會簡單羅列這些悖論，而是將重點放在數學傢為應對危機所做的努力上。這部分將詳細分析三種主要的應對策略： 1. 類型論（Theory of Types）： 考察懷特海和羅素如何通過限製集閤的構造規則來規避自我指涉的陷阱。 2. 公理化集閤論（Axiomatic Set Theory）： 重點介紹策梅洛-弗蘭剋爾集閤論（ZFC）的公理體係，闡釋每一個公理（如分離公理、替換公理、外延公理）在保證係統穩定性和錶達力方麵的獨特作用。 3. 形式主義的局限： 討論哥德爾不完備性定理對形式化數學哲學的根本性衝擊，揭示任何足夠強大的形式係統都必然包含不可判定的命題。 第三部分：結構、關係與抽象的統一 現代數學的強大在於其強大的抽象能力，即將看似無關的領域通過共同的結構聯係起來。本書的第三部分轉嚮代數結構和拓撲學的視角，展示“關係”如何比“對象”本身更為重要。 我們將引入抽象代數的基本概念，重點不在於計算，而在於理解結構。群（Group）、環（Ring）和域（Field）不再僅僅是數係的推廣，而是研究對稱性、守恒性和變換規律的框架。例如，我們將通過伽羅瓦理論的視角，探討群論如何迴答瞭五次及以上方程是否存在根式解的根本問題。 緊接著，我們探索拓撲學，即研究空間在連續形變下保持不變的性質的學科。我們關注的是“連通性”、“緊緻性”和“同胚”的概念，這些概念允許我們將幾何直覺抽象化為純粹的關係網絡。例如，莫比烏斯帶和剋萊因瓶的分析，將展示拓撲學如何揭示我們日常幾何認知背後的深層結構。 第四部分：邏輯與現實的交匯 在全書的收尾，我們將探討數學邏輯在當代科學，特彆是計算機科學和物理學中的應用。我們將討論可計算性理論（Computability Theory）與圖靈機模型的關係，探究“什麼是可計算的”這一問題的哲學和技術意義。這種對計算本質的探究，是理解現代信息時代底層邏輯的關鍵。 最後，本書將迴顧數學作為一種人類活動的本質：它究竟是一種發現的活動，揭示瞭客觀存在於宇宙中的真理；還是一種發明的創造，是人類心智構建的、具有內在美感的完美結構。通過對數學史上關鍵爭論（如直覺主義與邏輯主義的對立）的梳理，我們試圖引導讀者形成自己對數學本質的深刻認識。 目標讀者 本書適閤對數學哲學、邏輯基礎、抽象結構有濃厚興趣的讀者。無需深厚的計算背景，但要求具備清晰的邏輯思維能力和對抽象概念的接受度。它旨在為那些希望理解數學“為什麼如此”而非僅僅“如何計算”的人提供一個堅實的思想地圖。

Chapter １　復習微積
　　A1　微積分學根本定理
　　　　A1.1　微導
　　　　A1.2　（定）積分
　　　　A1.3　根本定理
　　A2　由導函數看原函數
　　　　A2.1　函數的單調性
　　　　A2.2　平均變化率定理
　　　　A2.3　凸函數
　　　　A2.4　函數的高階的行為
　　A3　微導與反微導
　　　　A3.1　基本的運算原理
　　　　A3.2　公式集閤
　　A4　瑕積分
　　　　A4.1　無界區域的瑕積分
　　　　A4.2　無界函數的瑕積分

Chapter ２　差和分法
　　B1　和分
　　　　B1.1　疊閤原理
　　　　B1.2　重和分原理
　　　　B1.3　有窮數列的和分
　　　　B1.4　Lebesgue型的想法：頻度觀
　　B2　從差分算子談起
　　　　B2.1　數列
　　　　B2.2　差分算子與和分算子
　　　　B2.3　不定和分定理
　　　　B2.4　比分冪分法
　　B3　差和分計算法
　　　　B3.1　差分算子的性質
　　　　B3.2　多項式數列與排列數列
　　　　B3.3　Stirling係數
　　　　B3.4　負數次數的排列數列
　　　　B3.5　高階差分
　　　　B3.6　單體和
　　B4　數列的增減與極值
　　　　B4.1　極值
　　　　B4.2　數列的增減
　　　　B4.3　局部極值
　　B5　Newton的差分展開公式
　　　　B5.1　插值原理
　　　　B5.2　疊閤原理
　　　　B5.3　Lagrange公式
　　　　B5.4　Newton的逐步割近法
　　　　B5.5　Vandermonde
　　　　B5.6　Newton展開公式的證明
　　B6　泛指數數列
　　　　B6.1　指數數列的差分
　　　　B6.2　泛指數數列：指數數列與多項式數列的結閤
　　　　B6.3　三角數列的差分
　　B7　級數
　　　　B7.1　級數之收斂
　　　　B7.2　正項級數
　　　　B7.3　Raabe-Gauss檢驗法
　　　　B7.4　交錯級數
　　　　B7.5　瑕積分與瑕和分的比較
　　B8　冪級數
　　　　B8.1　冪級數收斂半徑
　　　　B8.2　d’Alembert
　　　　B8.3　Cauchy
　　　　B8.4　Hadamard與Abel
　　　　B8.5　冪級數定義初等函數
　　B9　階乘數列
　　　　B9.1　無限乘積
　　　　B9.2　Euler乘積
　　　　B9.3　Stirling公式

Chapter ３　差分方程
　　C1　差分方程
　　　　C1.1　差分方程的意義
　　　　C1.2　差分方程的産生
　　C2　差方演化
　　　　C2.1　演化的觀點
　　　　C2.2　一維半瀑＝蜘網
　　C3　穩定性與歧支
　　　　C3.1　一維半瀑固定點之穩定性
　　　　C3.2　一族演化的歧支
　　C4　高階差方

Chapter ４　綫性差分方程
　　D1　一階綫性齊次差分方程
　　　　D1.1　不定常性的解釋
　　　　D1.2　離散與連續之類推
　　　　D1.3　階乘函數
　　　　D1.4　恰當性
　　D2　一階綫性不齊次方程
　　　　D2.1　常數變化法
　　　　D2.2　本值與末值觀點
　　　　D2.3　中介值觀點
　　　　D2.4　疊閤原理
　　D3　二階的常係數綫性差分方程
　　　　D3.1　齊次方程的解空間
　　　　D3.2　不齊次的情形
　　　　D3.3　Heaviside算子方法
　　D4　二階綫性差分方程
　　　　D4.1　二階齊次綫性恰當差分方程
　　　　D4.2　二階綫性差分方程：常數變化法
　　D5　二階綫性差方的Casorati方法
　　　　D5.1　Casorati定準
　　　　D5.2　Green觀點
　　　　D5.3　Sturm-Liouville固有值問題
　　D6　Mikusinski算子
　　　　D6.1　數列空間的代數
　　　　D6.2　生成函數：基本運算與列錶
　　　　D6.3　Mikusinski算子
　　　　D6.4　綫性差方的算子解法
　　D7　其他綫性差分方程
　　　　D7.1　Riccati型非綫性一階方程
　　　　D7.2　聯立綫性常係數高階差分方程

Chapter ５　Euler的遺産點滴
　　E1　指數對數與圓函數
　　　　E1.1　素樸的定義
　　　　E1.2　積分與微分方程定義法
　　　　E1.3　圓函數
　　E2　階乘函數
　　　　E2.1　實階乘函數的刻劃
　　　　E2.2　倍幅公式
　　　　E2.3　無窮乘積定義法
　　　　E2.4　一個弱的質數分佈定理
　　E3　Beta函數
　　　　E3.1　補充：Laplace變換
　　　　E3.2　Beta函數
　　　　E3.3　Dirichlet的積分
　　E4　E-M求和法
　　　　E4.1　形式的想法
　　　　E4.2　冪方和函數
　　　　E4.3　主公式
　　E5　非整階的微積分
　　　　E5.1　任意正階的積分
　　　　E5.2　任意正階的微導
　　　　E5.3　一般的指數定律
　　　　E5.4　Leibniz定律
　　　　E5.5　應用
　　　　E5.6　Gr?nwald的定義

Chapter ６　ε型微積分法
　　F1　差和分法概述
　　　　F1.1　等距採樣與數列
　　　　F1.2　差分格式
　　F2　差和分算法
　　　　F2.1　ε型的冪方函數
　　　　F2.2　離散的Maclaurin公式
　　F3　泛指數型的函數
　　　　F3.1　ε型的指數函數
　　　　F3.2　ε型的三角函數
　　　　F3.3　泛指數函數
　　F4　連續變數的差和分
　　　　F4.1　ε型瑕積分與反微導
　　　　F4.2　連續變數的差分方程式

Chapter ７　q型微積分法
　　G1　差和分：q型與 ε型
　　　　G1.1　擬似微積分學
　　　　G1.2　q型微導
　　　　G1.3　q型定積分
　　　　G1.4　q型反微導
　　G2　q型冪方函數
　　　　G2.1　q型的擬似整數
　　　　G2.2　q型的二項式函數
　　　　G2.3　q型單項式函數
　　　　G2.4　q型的二項係數
　　　　G2.5　綫性代數的補充
　　　　G2.6　q型的Taylor展開
　　G3　指數函數類
　　　　G3.1　q型的指數函數
　　　　G3.2　q型的三角函數
　　　　G3.3　二項式定理
　　　　G3.4　差方與連續的指數
　　　　G3.5　一個量子恆等式
　　G4　Euler以降
　　　　G4.1　Jacobi三重積恆等式
　　　　G4.2　三角數、四角數與五角數
　　　　G4.3　超幾何級數
　　　　G4.4　Heine具基超幾何函數
　　　　G4.5　擬似階乘數函數與擬似β函數
　　G5　應用到數論
　　　　G5.1　Ramanujan恆等式
　　　　G5.2　數論中的平方和
　　　　G5.3　數論中的三角數之和
　　G6　對稱的q型微積分
　　　　G6.1　對稱差分與對稱的擬似整數
　　　　G6.2　對稱的q型定積分
　　　　G6.3　對稱的q型反微導與瑕積分
　　　　G6.4　多項式函數

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哇！看到《差和分與微積分》這個書名，真的讓我躍躍欲試！我一直對數學裏的各種工具很著迷，尤其是那些能夠幫助我們理解變化和纍積的強大概念。《差和分》聽起來就很有意思，它是不是像一種“離散的微積分”？我一直覺得，有時候在現實世界裏，很多東西並不是連續變化的，可能就是一步一步、一格一格地纍加或者遞減，比如人口統計、經濟數據、甚至是股票市場的波動。如果這本書能教我如何用差和分來捕捉這些離散過程的規律，那簡直太棒瞭！ 我很好奇，它會不會講解一些實際的例子？比如，怎樣用差和分來預測下一季度的銷售額？或者分析一個簡單經濟模型中，某個政策變動對失業率的長期影響？然後，再把這些離散的工具和我們熟悉的連續的微積分聯係起來，這簡直是跨越瞭兩個數學世界的橋梁！我一直覺得，理解一個概念最好的方式就是看到它在現實生活中的應用，如果這本書能做到這一點，那它就不僅僅是一本教科書，而是一個解決實際問題的工具箱。我希望它能用清晰易懂的方式，把這些抽象的概念具象化，讓我這個不是數學科班齣身的人也能有所收獲。

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《差和分與微積分》這個書名，讓我立刻聯想到一些解決實際問題的數學方法。我工作上常常會接觸到一些時間序列數據，比如每月的銷售額、每季度的報錶，這些數據都是離散的。而“差和分”聽起來就非常適閤處理這類數據，或許它可以幫助我分析這些數據的趨勢、周期性，甚至預測未來的走嚮。然後，再和“微積分”聯係起來，我便開始暢想，這本書是否能夠引導我，如何將這些離散的分析工具，與更宏觀、更抽象的連續模型結閤起來？ 我特彆希望這本書能有實際應用的案例分析，比如如何用差分方法來建立一個簡單的經濟模型，然後用微積分的工具來分析這個模型的穩定性和長期行為。或者，在工程領域，如何利用差分方程來模擬一個物理係統的演變，再用微積分來求解這個係統的特定狀態。我期待這本書能讓我看到，數學不僅僅是紙麵上的公式和定理，更是解決現實世界問題的有力武器。如果它能讓我更好地理解如何從局部（差分）洞察全局（微積分），那這本書的價值就非同一般瞭。

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看到《差和分與微積分》的書名，我腦海裏立刻浮現齣一些關於數據分析和建模的場景。在我看來，“差和分”就像是偵探手中的放大鏡，能夠仔細觀察事物細微的、離散的變化；而“微積分”則像是一個超級計算器，能夠將這些細微的變化纍積起來，給齣全局的、連續的結論。我一直覺得，學習數學最有趣的地方，就在於理解不同的工具是如何協同工作的。 我非常好奇，這本書會不會從離散的視角齣發，深入淺齣地介紹差分方程的求解方法，以及它們在現實問題中的應用？比如，如何用差分方程來描述人口增長、疾病傳播或者金融市場的動態？然後，它又將如何平滑地過渡到微積分的世界，解釋連續變量的導數和積分是如何作為差分方法的極限情況齣現的？我希望這本書能夠幫助我建立起一個更完整的數學思維框架，讓我明白，我們所觀察到的世界，既有離散的一麵，也有連續的一麵，而這些數學工具，正是連接這兩者的橋梁。如果這本書能讓我更深刻地理解“變化”這個概念，無論是離散的還是連續的，那它就是一本非常值得閱讀的書。

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這本書名《差和分與微積分》勾起瞭我很多關於學習數學的往事。我記得當年學微積分的時候，常常被那些無窮小、無窮大的概念搞得頭暈，雖然知道它能解決很多復雜問題，但總覺得有點“空中樓閣”的感覺。而“差和分”這個詞，聽起來就接地氣多瞭，好像是直接從實際測量和計算中來的。我在想，這本書會不會從一個更直觀、更基礎的角度來引入微積分的概念？是不是先通過觀察離散數據的變化，然後慢慢過渡到連續函數的導數和積分？ 我特彆期待它能解釋清楚“差”和“和”這兩個字背後的數學意義。是像我們平時算賬一樣，一個一個地減去或者加上？如果是這樣，那它應該非常適閤那些喜歡動手計算、喜歡看到具體數字變化的讀者。而且，它會不會舉一些曆史上的例子，講講數學傢們是如何一步步從差分方程發展到微積分的？瞭解背景故事，往往能幫助我更好地理解一個概念的精髓。我希望這本書能讓我對微積分有一個全新的認識，不再是那個遙不可及的數學高峰，而是觸手可及的學習旅程。

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“差和分與微積分”這個書名，聽起來就像是數學工具箱裏最基礎也最重要的兩件寶貝。我猜這本書大概是想把這兩個看似獨立但又緊密相連的概念，用一種係統性的方式呈現齣來。我一直覺得，很多看似復雜的數學模型，背後其實都有著簡單樸素的原理。差分，不就是對事物變化的“一步之遙”的觀察嗎？而積分，不就是對這些“一步一步”纍積起來的總和的概括嗎？ 我很好奇，這本書會不會從差分方程的視角切入，然後巧妙地引齣微積分的概念？比如，用一個簡單的數列遞推關係，來展示如何用極限的思想來逼近連續函數的導數。再者，它會不會講解如何通過“求和”的技巧，來理解定積分的幾何意義？我希望這本書能夠打破我過去那種“微積分就是微分和積分”的刻闆印象，讓我看到它們之間內在的邏輯聯係和遞進關係。這本書如果能幫助我理解，如何在離散世界和連續世界之間自由穿梭，那將是極大的收獲。