基礎離散數學（第五版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

☆☆☆☆☆

黃中彥

圖書標籤:

• 離散數學
• 數學基礎
• 高等教育
• 教材
• 第五版
• 計算機科學
• 邏輯學
• 集閤論
• 圖論
• 算法

深入理解現代科學的基石：《高等代數與綫性代數解析》 一部麵嚮理工科、計算機科學及數學專業學生的權威性教材 本書旨在為讀者提供一個堅實且深入的數學基礎，特彆聚焦於高等代數（Abstract Algebra）和綫性代數（Linear Algebra）這兩大現代科學與工程領域不可或缺的核心分支。我們深刻認識到，無論是進行前沿的理論研究，還是解決復雜的實際工程問題，對嚮量空間、矩陣理論、群、環與域的深刻理解都是至關重要的先決條件。 全書結構與內容深度： 《高等代數與綫性代數解析》的設計理念是平衡理論的嚴謹性與應用的直觀性。全書分為四個主要部分，層層遞進，確保讀者能夠構建起完整的知識體係。 --- 第一部分：綫性代數的基石與應用（The Foundations of Linear Algebra） 本部分專注於構建讀者對嚮量空間這一抽象結構的直觀認識，並深入探討其運算和變換的性質。 第一章：嚮量空間與子空間 核心概念辨析： 詳細闡述數域 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 上的嚮量空間定義，區分其與初等綫性代數中“嚮量”概念的本質區彆。 綫性相關性與基： 嚴格定義綫性無關組、生成集和基的概念。通過實例對比有限維與無限維空間中基的選擇與構造。 子空間結構： 深度剖析子空間的定義、交集與和空間。重點介紹零空間（Null Space）、列空間（Column Space）和行空間（Row Space）的內在聯係及其在求解綫性方程組中的決定性作用。 維度定理的證明與意義： 不僅給齣維度公式，更側重於證明過程，加深對“自由度”的理解。 第二章：綫性變換與矩陣錶示 綫性映射的性質： 探討綫性映射的核（Kernel）和像（Image），並嚴格證明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 矩陣的本質： 將矩陣視為綫性變換在特定基下的坐標錶示。詳細論述基變換如何影響矩陣的錶示，為後續的相似性理論打下基礎。 初等矩陣與初等行變換： 深入解析初等行變換的代數意義，證明任何矩陣都可以通過初等矩陣的乘積來錶示，從而係統地掌握高斯消元法的理論依據。 第三章：行列式理論的深化 行列式的代數定義： 從多綫性函數和置換的符號齣發，給齣行列式的嚴謹定義，而非僅僅停留在代數公式的計算層麵。 性質的係統推導： 基於多綫性性，係統推導齣行列式關於行（列）的性質，包括比例性、反對稱性等。 剋萊姆法則（Cramer's Rule）的解析： 證明剋萊姆法則，並討論其在計算中的局限性與理論價值。 伴隨矩陣與逆矩陣的構造： 利用代數餘子式構造伴隨矩陣，並從代數角度導齣逆矩陣的求解方法。 第四章：特徵值、特徵嚮量與相似性 特徵值的確定： 詳細討論特徵多項式、特徵空間的概念。 對角化理論： 深入探討矩陣可對角化的充分必要條件——特徵嚮量的綫性無關性。重點分析代數重數與幾何重數的關係。 相似矩陣的性質： 闡明相似矩陣具有相同的特徵值、行列式、跡和秩等不變量。 若爾當標準形（Jordan Canonical Form）： 針對不可對角化的矩陣，係統介紹若爾當塊的構造原理和若爾當標準型的唯一性，這是研究綫性動力學係統的關鍵。 第五章：內積空間與正交性 內積的引入： 定義內積，並推廣到任意維度空間，介紹施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）。 正交基與正交投影： 詳細闡述施密特正交化過程（Gram-Schmidt Process）的每一步幾何意義，理解正交基在坐標錶示中的優越性。 對稱矩陣理論： 證明譜定理（Spectral Theorem），闡述實對稱矩陣總可以正交對角化的重要結論及其在二次型分析中的應用。 二次型與主軸定理： 利用特徵值和正交變換，將二次型化為標準形，從而分析二次麯綫和二次麯麵的幾何特性。 --- 第二部分：高等代數的核心結構（Abstract Algebra Essentials） 本部分從集閤論的嚴謹性齣發，構建代數結構的三大支柱：群、環和域。 第六章：群論基礎 代數結構公理化： 從二元運算的封閉性、結閤律、單位元和逆元四個公理嚴格定義群（Group）。 特殊群的探討： 深入分析整數加法群 $mathbb{Z}$、非零有理數乘法群 $mathbb{Q}^$、以及對稱群 $S_n$ 的性質。 子群與陪集： 討論子群的判定、循環群的結構。嚴格證明拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其推論。 正規子群與商群： 引入正規子群的概念，構建商群（Factor Group）的運算規則，這是理解結構分解的關鍵。 同態與同構： 證明第一同構定理（First Isomorphism Theorem），闡述結構保持映射的強大威力。 第七章：環論與理想 環的定義與例子： 從集閤、加法群、乘法運算三個層麵定義環，重點分析整數環 $mathbb{Z}$、多項式環 $F[x]$ 和矩陣環 $M_n(F)$ 的特性。 整環與域的區分： 討論零因子（Zero Divisors）的概念，定義整環（Integral Domain）並說明域是無零因子的交換環。 理想的結構： 定義理想（Ideal），探討主理想（Principal Ideal）和極大理想（Maximal Ideal）的概念。 商環的構造： 藉鑒群論中的商群概念，構造商環 $R/I$，並給齣環上的同構定理。 第八章：域與多項式 多項式環的性質： 重點分析在域 $F$ 上的多項式環 $F[x]$ 具有歐幾裏得整環的性質，可以進行帶餘除法。 因式分解理論： 引入不可約多項式（Irreducible Polynomials）的概念，探討其在多項式環中的作用，類比素數在整數環中的作用。 域的擴張（Field Extensions）： 介紹域擴張的基本概念，包括代數擴張和超越擴張。 有限域的構造： 探討如何利用不可約多項式在有限域上構造新的域，這是密碼學和編碼理論的理論基礎。 --- 第三部分：高級主題與專題 第九章：綫性代數在分析中的應用 矩陣的函數： 引入矩陣指數 $e^A$ 的定義（基於泰勒展開），並討論其在求解綫性常微分方程組 $frac{dx}{dt} = Ax$ 中的唯一解。 奇異值分解（SVD）： 詳細推導SVD的幾何意義和代數構造，闡述其在數據壓縮、主成分分析（PCA）中的核心地位。 僞逆與最小二乘解： 在不可逆矩陣情況下，利用SVD或摩爾-彭若斯（Moore-Penrose）僞逆求解超定（Overdetermined）或欠定（Underdetermined）綫性係統的最小二乘解。 第十章：群作用與應用 群作用的定義： 引入群在集閤上的作用，探討軌道（Orbit）和穩定子（Stabilizer）的概念。 伯恩賽德引理（Burnside's Lemma）： 利用群作用的計數原理，解決復雜的組閤計數問題（如項鏈染色問題）。 初識伽羅瓦理論（Galois Theory）的引言： 簡要介紹伽羅瓦群如何聯係域擴張和多項式的根的結構，為理解五次及以上方程不可解性提供代數框架。 本書的特色： 1. 嚴格的證明體係： 所有核心定理均提供詳細的、易於跟進的完整證明，強調“為什麼”而非僅僅“是什麼”。 2. 豐富的計算示例： 綫性代數部分配有大量的數值計算實例，確保讀者掌握從抽象理論到具體操作的過渡。 3. 理論的貫穿性： 明確展示綫性代數（矩陣、變換）與高等代數（群、環）的概念如何相互映射和統一，例如綫性空間是群作用的特例，矩陣群是抽象群的具體實例。 目標讀者： 本書是為數學、物理、電子信息、計算機科學、航空航天等專業本科高年級學生及研究生量身定製的參考書，也是需要對自身數學基礎進行係統性迴顧和提升的專業人士的理想選擇。掌握本書內容，意味著真正掌握瞭現代數學語言的精髓。

评分☆☆☆☆☆

這本第五版在組閤學的章節處理上，個人覺得是「中規中矩，安全穩健」。它涵蓋瞭排列組閤、鴿籠原理、生成函數等所有基礎知識點，幾乎沒有遺漏任何一個標準課綱會考的範圍。作者在處理這些計數問題時，習慣性地會先給齣一個非常正式的定理陳述，然後再搭配一到兩個範例。這種風格的好處是，你學到的永遠是標準解法；壞處則是，當你遇到那種「看起來像排列組閤，但又有點像圖論著色問題」的變形題時，光靠書上的例子可能不夠靈活變通。我記得有次在做課後習題，有一題關於在特定限製下分配物品，我套用瞭書上學到的容斥原理，但答案總是差一點點。後來纔發現，是題目隱含瞭一個額外的限製，這個限製在書上的基礎範例裡頭沒有被特別點齣。所以，我會建議讀者，在讀完這個部分後，一定要多做考古題，用實戰經驗去補足書本「標準化」帶來的僵硬感。

评分☆☆☆☆☆

說到編排的風格，這本第五版相較於更早的版本，在符號一緻性上做得更好瞭，這是值得肯定的進步。過去不同章節間符號有時會齣現混用（例如，有的地方用 $E$ 錶示邊，有的地方用 $e$），新版在這方麵統一瞭標準，閱讀起來順暢許多。不過，作為一本工具書，它的「可攜帶性」就稍微差瞭一點點，畢竟內容紮實，書本本身蠻厚的，帶去圖書館或咖啡廳溫習時，負擔不小。另外，對於那些對數學證明有恐懼心理的讀者，這本書的結構雖然嚴謹，但對於「如何開始寫證明」的指導性敘述較為簡略。它假設你已經具備一定的數學邏輯基礎，直接切入核心證明。因此，如果你的邏輯訓練還在摸索階段，可能建議先找一本專門講述「數學寫作與邏輯」的入門書，建立起基本框架後，再迴頭啃這本厚重的經典，效果會事半功倍，否則容易在密集的證明中迷失方嚮。

评分☆☆☆☆☆

我特別欣賞這本書在演算法分析這一塊的處理方式。雖然離散數學的核心通常圍繞在圖論和組閤學上，但第五版對於計算複雜度跟遞迴關係的章節著墨頗深，這點對於計算機科學背景的學生來說，簡直是福音。書中對於大O記法的介紹非常到位，不是敷衍帶過，而是真的帶領讀者一步步去分析不同遞迴結構的成長麯線。舉例來說，關於主定理（Master Theorem）的推導過程，書上寫得非常清楚，圖錶輔助也足夠，讓我這個當年被遞迴搞得灰頭土臉的人，重新找迴瞭一點信心。唯一的缺憾是，或許因為是較新的版本，它在某些極為前沿的應用，例如量子計算對應的離散結構，著墨就相對較少，但這或許是定位問題，畢竟它還是以「基礎」為名。總之，如果你是資工或電機的學生，這本書的演算法相關章節絕對是你的救贖，比坊間很多專門講演算法的書還來得紮實。

评分☆☆☆☆☆

這本《離散數學》的第五版，坦白說，光是封麵設計就給人一種相當紮實、有點傳統的感覺，不像現在有些教科書弄得花花綠綠的。書本的排版非常工整，字體選用也是那種很耐看的黑體，閱讀起來眼睛不會太吃力。不過，對於初學者來說，剛翻開前幾章節，可能會覺得內容稍微有點「硬核」。像是集閤論和邏輯的部分，雖然定義都很精確，但少瞭些生活化的例子來做輔助。我記得我第一次接觸這些概念時，光是理解量詞的否定、或是一些證明方法，就得花上好一番功夫。這本書的優點在於，它的定義和定理都是標準的數學語言，非常嚴謹，對於想往後繼續深造、需要準備研究所考試的同學來說，絕對是本值得收藏的參考書。但是，如果是為瞭應付基礎課期中考，學生可能需要搭配老師額外的補充講義，或者自己多找一些網路資源來補足那種「情境化」的解說。整體來說，它像是位經驗豐富的老師，直接給你最核心的知識，但得你自己去消化那些味道。

评分☆☆☆☆☆

從學術傳承的角度來看，這套書的優點在於其龐大的練習題庫。據說這一版又更新、擴充瞭不少題目，而且最棒的是，它還區分瞭基礎練習、中階應用和進階挑戰。對於老師來說，這簡直是齣作業和試捲的寶庫；對於學生而言，更是自我檢視學習成效的最佳工具。我個人對後麵的圖論章節印象特別深刻，那裡的習題設計得非常精妙，將歐拉路徑、漢米爾頓迴路、最小生成樹等概念，透過不同情境的圖形結構來呈現，讓你真正體會到圖論的「廣泛性」。不過，這本書的例題解答（如果有的話，有些颱灣的版本習慣不附詳解）相對較少，這對於自學的朋友可能是一個不小的挫摺。你可能需要花大量時間去鑽研那些證明過程，纔能確認自己是否真的理解瞭「為什麼是這個答案」，而不是單純套用瞭公式。它要求讀者具備獨立思考和除錯的能力。