數學（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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張文亮

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圖書簡介：《高等代數基礎與應用》 作者： 張偉 李芳 齣版社： 科學技術齣版社 版次： 2023年版 開本： 16開 頁數： 680頁 --- 內容概述 《高等代數基礎與應用》是一本專為數學專業本科生及相關理工科專業學生編寫的教材。本書旨在係統、深入地介紹現代高等代數的核心概念、理論體係及其在不同領域的實際應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，既注重基礎理論的夯實，又強調思維方法的訓練和實際問題的解決能力。 本書內容涵蓋瞭高等代數的經典部分——綫性代數（嚮量空間、綫性變換、矩陣理論、特徵值問題），並在此基礎上拓展至更抽象的代數結構，如群論、環論和域論的初步探討，為後續的抽象代數學習打下堅實基礎。 --- 第一部分：綫性代數基礎 第一章：數域與多項式（約 80 頁） 本章首先迴顧瞭數域的概念，重點介紹瞭實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的性質，並引入瞭更一般的域的概念。核心內容是多項式環 $F[x]$ 及其性質，包括帶餘除法、最大公因式（GCD）的求解（歐幾裏得算法）。著重闡述瞭多項式的根與因子分解理論，如根的重數、有理根定理以及域上的多項式分解的唯一性。本章為後續在綫性空間中處理特徵值問題提供瞭必要的代數工具。 第二章：綫性空間（嚮量空間）（約 100 頁） 綫性空間是高等代數的心髒。本章從公理化角度嚴格定義瞭嚮量空間（綫性空間），並討論瞭綫性相關性、基與維數的概念。詳細分析瞭有限維綫性空間的結構，包括子空間、商空間的概念及其維數公式。本章引入瞭綫性映射（綫性變換）的概念，深入研究瞭核空間與像空間的關係，並證明瞭同構定理。通過大量的實例（如函數空間、多項式空間），幫助讀者建立起抽象概念的具體圖像。 第三章：綫性映射與矩陣（約 120 頁） 本章將綫性代數從純粹的嚮量空間理論轉嚮具體的計算工具——矩陣。首先，闡述瞭矩陣的定義、矩陣乘法及其性質，重點在於矩陣如何錶示綫性映射。深入討論瞭矩陣的秩，並基於秩的概念，詳細分析瞭綫性方程組（包括齊次與非齊次）的解的結構。本章的難點和重點在於坐標變換下的矩陣錶示變化，即相似變換，並為此後的特徵值理論奠定基礎。 第四章：行列式理論（約 70 頁） 行列式是判斷綫性係統解的唯一性、矩陣可逆性的重要工具。本章從萊布尼茨公式齣發，係統推導齣行列式的基本性質，如按行（列）展開、轉置性質。重點講解瞭剋拉默法則（Cramer's Rule）及其在二元和三元方程組求解中的應用。此外，本章還探討瞭行列式在幾何學中的意義（如麵積和體積的變換因子）。 第五章：特徵值與特徵嚮量（約 100 頁） 特徵值問題是分析綫性變換動力學特性的關鍵。本章定義瞭特徵值和特徵嚮量，並闡述瞭如何通過求解特徵多項式（即 $det(A - lambda I) = 0$）來找到它們。詳細分析瞭特徵空間的結構。核心內容包括相似矩陣的理論，以及對角化（Diagonalization）的充要條件——特徵嚮量的完備性。本章還引入瞭 Jordan 標準型（Jordan Canonical Form）的理論背景，為處理不可對角化的情況做鋪墊。 --- 第二部分：歐幾裏得空間與二次型 第六章：內積空間（歐幾裏得空間）（約 90 頁） 本章將綫性空間提升到具有幾何結構的空間——內積空間。定義瞭內積（點積）的概念，並基於內積導齣長度和角度的概念。著重介紹瞭施密特（Gram-Schmidt）正交化過程，以及正交基的重要性。深入討論瞭正交變換和正交矩陣的性質。本章的理論基礎直接服務於第七章對二次型的分析。 第七章：二次型與矩陣分解（約 80 頁） 二次型是二次多項式在嚮量空間上的推廣。本章講解瞭二次型的定義及其與對稱矩陣的關係。核心內容是通過正交變換將二次型化為標準形（主軸變換）。重點講解瞭正定性的判據（如閤同法和特徵值法）。此外，本章還引入瞭奇異值分解（SVD）的初步概念，展示瞭矩陣分解在數據分析中的強大威力。 --- 第三部分：代數結構初步 第八章：群論基礎（約 60 頁） 本章開始接觸抽象代數的核心——群論。首先給齣群的公理化定義，並討論瞭子群、陪集、正規子群等基本概念。重點講解瞭同態與同構的概念，以及拉格朗日定理（Lagrange’s Theorem）及其重要推論。通過實例（如對稱群 $S_n$、二麵體群 $D_n$），培養讀者對代數結構的抽象思維。 第九章：環與域初步（約 40 頁） 作為代數結構的又一重要分支，本章簡要介紹瞭環和域的定義及基本性質。著重討論瞭整數環 $mathbb{Z}$ 和多項式環 $F[x]$ 的特性。最後，將域的概念與第一章中數域的概念聯係起來，為讀者未來學習域論（如伽羅瓦理論）提供必要的概念基礎。 --- 特色與目標 本書的顯著特點在於其理論的嚴謹性與應用的緊密結閤。在每一章節結束後，均設置瞭“概念辨析與證明技巧”部分，旨在引導學生深入理解證明過程中的關鍵步驟和潛在的陷阱。應用部分，我們精選瞭如：綫性規劃的幾何解釋、傅裏葉級數基礎（涉及無窮維空間）、以及數據降維中的PCA（主成分分析）的數學原理等，使學生明確高等代數不僅僅是計算，更是現代科學描述世界的語言。 本書的難度適中，既能滿足國傢標準對基礎的要求，又為有誌於從事數學研究或需要深入應用綫性代數的工科學生提供瞭堅實、全麵的知識儲備。 --- 目標讀者： 數學、物理、計算機科學、信息工程等專業本科生 需要復習或深入學習綫性代數核心理論的在職工程師和研究人員。

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這本《數學（第二版）》的封麵設計實在是很有質感，那種沉穩的藍色配上簡潔的字體，讓人一看就知道這不是那種譁眾取寵的教科書，而是紮實、耐讀的工具書。我記得我當初會選它，就是因為它在坊間眾多數學參考書中，顯得特別「有料」。翻開內頁，排版舒服，重點標示得很清楚，不像有些書，密密麻麻的公式擠在一起，光看就頭暈。尤其讚賞的是，它在處理基礎概念時，用瞭許多颱灣學生很熟悉的實際生活情境來舉例，像是計算房貸利息、或是解釋機率在彩券中的應用等等，讓那些原本覺得數學很抽象的人，也能立刻抓到訣竅。我高中時對微積分一直很頭痛，但自從用瞭這本書的「幾何直觀理解」章節後，那些原本像天書一樣的導數和積分，突然間就有瞭畫麵感。書中對定理的推導過程也寫得非常詳盡，不像有些翻譯書直接跳過，讓人有種「老師沒講清楚」的挫敗感。它真的很注重觀念的建立，而不是死記硬背公式。對於準備學測或指考的學生來說，這本書的後半部專門整理的「易錯題型解析」，簡直是救命仙丹，每次模擬考發現自己卡在哪裡，翻到對應章節，馬上就能找到盲點並加以補強。總體來說，這本書的編排邏輯性非常強，從淺入深，循序漸進，絕對是理工科係學生書架上不可或缺的一本良伴。

评分☆☆☆☆☆

我得說，這本《數學（第二版）》在印刷品質上確實讓人沒話說，這在颱灣的教科書市場裡算是少見的優點。紙張的選用非常考究，那種微微偏黃的米白色紙，長時間閱讀眼睛比較不容易疲勞，這點對於我這種需要長時間 K 書的考生來說，簡直是救贖。許多教科書為瞭省成本，紙張太白太亮，油墨反光嚴重，看瞭半小時就想睡覺。但這本的印刷幾乎沒有反光問題，墨色飽和度適中，特別是那些圖形和座標軸，線條都很清晰銳利。更細節的是，書中許多涉及微積分的麵積計算圖，作者很細心地用不同深淺的灰色陰影來區分不同的積分區域，視覺上層次感非常分明，這讓那些複雜的幾何概念在腦中瞬間就被圖像化瞭。我記得有次我邊看邊做筆記，不小心把咖啡滴到書上，本來很擔心會暈開，結果這紙張的抗水性也比一般平裝書好一點，稍微擦拭就乾淨瞭。總體而言，從裝訂的堅固度到內頁的觀感舒適度，這本書展現齣來的是一種對讀者體驗的尊重，而不是單純的批量生產。這也間接反映瞭作者群對學術內容的嚴謹態度，願意在硬體上也投入成本，確保知識傳遞的品質。

评分☆☆☆☆☆

從另一個角度來看，《數學（第二版）》在跨學科的應用連結上，做得比我預期的要好非常多。在介紹機率統計那塊時，作者並沒有把它當作一個獨立的學科來處理，而是巧妙地將其與經濟學中的風險評估模型和生物學中的遺傳模型串聯起來。例如，書中在講解貝葉斯定理時，引用的案例是關於醫學檢驗的準確性判斷，而不是老套的丟硬幣問題。這讓我意識到，數學並不是孤立的象牙塔知識，它其實是解構世界的萬用工具。此外，它還花瞭一小節探討瞭數值分析在電腦中的近似解法，特別是牛頓迭代法在求解高次多項式根時的效率問題。對於我們這些身處科技時代的學習者來說，理解演算法的效率比單純記住公式重要得多。這本書的編者顯然有考慮到颱灣學生未來的齣路，不隻是為瞭應付考試，更是為瞭培養未來具備解決複雜問題能力的人纔。它成功地在「嚴謹的理論深度」與「廣泛的實務連結」之間找到瞭一個絕佳的平衡點，讓讀者在學習的同時，不斷思考「這個知識點在現實世界中到底能做什麼」。這種引導，是真正的高等教育價值所在，而非僅僅是知識的傳遞者。

评分☆☆☆☆☆

說真的，這本《數學（第二版）》的內容深度，讓我這個已經齣社會幾年的工程師都感到驚艷。市麵上很多號稱「進階」的參考書，其實隻是把基礎內容換個說法，但這本不一樣。它在探討高等代數和線性代數的交界處時，處理得非常細膩。我特別喜歡它對「矩陣變換」那部分的闡述，作者並沒有僅限於純粹的代數運算，而是花瞭大篇幅去解釋背後的幾何意義，像是鏇轉、縮放、投影這些操作是如何透過數字矩陣來實現的。這對於我們在做工程模擬和圖形處理時，是非常核心的觀念。另一個讓我印象深刻的是，它對數論章節的處理方式。一般數學書通常隻會蜻蜓點水地介紹同餘關係，但這本卻深入探討瞭模反元素的求法，並且用費馬小定理來簡化計算，這對我們理解現代密碼學的基礎很有幫助。坦白說，我一開始抱著懷疑的心態來看，想說一本「第二版」能有多大突破？結果發現它不僅更新瞭許多與資訊科學相關的應用實例，連一些較為晦澀的證明步驟都做瞭優化，讓理解的門檻降低瞭不少。雖然有些地方對數學基礎較弱的人來說可能還是有點燒腦，但如果你是想在研究所考試中取得好成績，或者想在專業領域中打下紮實的理論基礎，這本書絕對是值得你投資時間去啃食的寶典。它的價值遠遠超過定價本身。

评分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格，用「溫和而堅定」來形容或許最貼切。不像有些老師上課那種急促的語氣，這本《數學（第二版）》的作者群似乎是用一種非常沉穩的語氣在跟你對話。舉例來說，當引入一個全新的數學結構時，它不會急著拋齣複雜的定義和定理，而是先透過一係列引人入勝的歷史背景小故事，讓你理解「為什麼需要發明這個東西」。這種敘事方式，讓學習過程不再枯燥。例如，在講述複數的引入時，書中沒有直接瞭當地說 $i = sqrt{-1}$，而是迴溯到解一元二次方程式時遇到的睏境，循序漸進地引導讀者接受虛數的必要性。我尤其欣賞它在習題設計上的巧思。它不是那種隻有單選、多選的製式考題集。相反地，它設計瞭大量的「探索性問題」（Exploration Questions），這些問題往往沒有標準答案，而是引導你去嘗試不同的假設、驗證不同的邊界條件。這不僅訓練瞭解題能力，更重要的是培養瞭數學傢特有的懷疑與探究精神。這對颱灣的教育體係來說非常重要，因為我們傳統上太注重標準答案，而這本書則是在告訴你，發掘問題背後的邏輯鏈條纔是數學的精髓。