微積分（10版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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Ron Larson

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好的，這是一本名為《高等代數基礎與應用》的圖書簡介，旨在涵蓋除微積分基礎概念之外的綫性代數、矩陣理論、嚮量空間等高等數學核心內容。 --- 圖書名稱：《高等代數基礎與應用》（第5版） 內容簡介 《高等代數基礎與應用》（第5版）是一本專為數學、物理、工程、計算機科學及經濟學等領域本科生和研究生設計的教材。本書全麵深入地闡述瞭高等代數的核心概念、理論框架及其在現代科學與技術中的廣泛應用。相較於側重極限、導數和積分的微積分課程，本書聚焦於綫性結構、多維空間以及代數運算的抽象化與係統化。 本書的結構嚴謹，邏輯清晰，旨在幫助讀者建立紮實的代數思維，並熟練掌握處理多變量、多約束問題的數學工具。我們摒棄瞭傳統教材中可能存在的過度冗餘的計算練習，轉而強調理論的深刻理解、概念的內在聯係以及實際問題的建模能力。 第一部分：基礎概念與域的結構 (Chapters 1-3) 本部分為後續所有高級主題奠定堅實的代數基礎。 第1章：數係與抽象代數入門 本章首先迴顧並拓展瞭有理數、實數和復數域的性質。重點在於引入域 (Field) 的概念，考察其封閉性、結閤律、分配律以及乘法逆元的定義。隨後，我們引入環 (Ring) 的基本概念，作為更一般化的代數結構。本章的難點在於抽象定義的理解，通過具體的數係例子，展示代數結構是如何約束和定義運算行為的。我們避免瞭對連續性、收斂性等微積分核心概念的討論，而是專注於代數操作的完備性與一緻性。 第2章：多項式環與唯一分解 本章深入研究多項式在不同域上的性質。我們詳細闡述瞭多項式的加法、乘法、除法運算，並嚴格證明瞭多項式帶餘除法的唯一性。隨後，核心內容聚焦於因式定理和餘數定理，以及在特定域（如復數域 $mathbb{C}$）上多項式可以完全分解為一次因式的代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)。對於特徵為零的域，本章闡明瞭多項式的唯一分解性質，這為後續討論特徵值和特徵嚮量的代數重數打下瞭基礎。 第3章：綫性方程組的理論與高斯消元法 本章是本書連接理論與計算的橋梁。我們從最基礎的綫性方程組開始，係統地介紹瞭行階梯形 (Row Echelon Form) 和簡化行階梯形 (Reduced Row Echelon Form) 的概念。通過高斯-約旦消元法，我們不僅給齣瞭求解綫性方程組的有效算法，更重要的是，從理論上證明瞭綫性方程組解的存在性與唯一性條件（即係數矩陣的秩）。本章嚴格區分瞭增廣矩陣的秩與係數矩陣的秩，並討論瞭齊次與非齊次方程組的解空間結構。 第二部分：綫性空間與綫性變換 (Chapters 4-6) 本部分是高等代數的核心，引入瞭現代綫性代數的抽象框架——嚮量空間。 第4章：嚮量空間與子空間 本章正式引入綫性空間（或稱嚮量空間） 的公理化定義。我們考察瞭在不同結構下（如函數空間、矩陣空間）滿足這些公理的具體實例。核心概念包括綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性。通過極大綫性無關組的構造，我們定義瞭嚮量空間的維數 (Dimension)。本章特彆強調瞭子空間的概念，並探討瞭和子空間、交子空間的性質及維度公式。我們完全避開瞭對無限維空間的拓撲依賴，嚴格限製在有限維的代數框架內。 第5章：基與坐標變換 在確定瞭嚮量空間的維數後，本章緻力於如何“測量”嚮量。我們定義瞭基 (Basis)，並基於基，引入瞭嚮量在特定基下的坐標錶示。本章的關鍵在於坐標變換公式。當基底發生變化時，嚮量的坐標如何通過一個特定的矩陣——過渡矩陣（或稱基變換矩陣）——進行轉換。這為後續的綫性變換矩陣錶示的唯一性提供瞭必要的代數基礎。 第6章：綫性變換與矩陣錶示 本章將抽象的綫性映射（綫性變換）與具體的矩陣運算緊密聯係起來。我們定義瞭綫性變換的核（Null Space，或稱零空間）和像（Range Space，或稱像空間），並嚴格證明瞭秩-零化度定理 (Rank-Nullity Theorem)。關鍵成果是證明瞭對於有限維嚮量空間，任意綫性變換都可以被錶示為一個唯一的矩陣，該矩陣的選取依賴於選定的基。本章的重點在於理解矩陣乘法如何對應於綫性變換的復閤運算。 第三部分：矩陣理論與特徵值問題 (Chapters 7-9) 本部分側重於矩陣的深入分析，特彆關注其結構特性以及在微分方程和動力係統中的應用。 第7章：矩陣的運算與等價性 本章詳細討論瞭矩陣的加法、數乘、乘法，並引入瞭矩陣的秩 (Rank) 這一核心概念，將其與綫性變換的像空間維度聯係起來。我們探討瞭相似變換和等價變換，明確瞭在不同基下，綫性變換的矩陣錶示之間存在什麼樣的關係。本章為理解矩陣的規範形（如Jordan標準型）奠定瞭矩陣等價性的基礎。 第8章：特徵值與特徵嚮量 本章是全書的理論高潮之一。我們引入瞭特徵值 (Eigenvalue) 和特徵嚮量 (Eigenvector) 的概念，它們描述瞭綫性變換作用下保持方嚮不變的嚮量。我們通過求解特徵多項式來確定特徵值，並討論瞭特徵值的代數重數與幾何重數的關係。本章強調瞭矩陣對角化的充分必要條件——綫性無關的特徵嚮量組。 第9章：對角化、相似理論與Jordan標準型 本章在第8章的基礎上，深入研究矩陣的結構。我們提供瞭矩陣可對角化的判定準則。對於不可對角化的情形，本章引入瞭Jordan標準型 (Jordan Canonical Form)，這是任何方陣在綫性代數中最簡潔的錶示形式。我們詳細解釋瞭廣義特徵嚮量和分塊對角化的概念，展示瞭如何通過這一規範形來徹底解析矩陣的結構，即便在特徵值重數大於1且幾何重數不足的情況下。 第四部分：內積空間與二次型 (Chapters 10-11) 本部分將代數結構提升到更具幾何直覺的內積空間，並探討二次型的應用。 第10章：內積空間與正交性 本章引入瞭內積 (Inner Product) 的概念，使其可以定義長度和角度（如歐幾裏得空間中的點積推廣）。核心內容是施密特正交化過程 (Gram-Schmidt Orthonormalization)，用於將任意基轉換為正交基或標準正交基。我們闡述瞭正交投影的概念，並證明瞭正交基的優越性。本章還介紹瞭正交補空間和正交矩陣的性質。 第11章：對稱矩陣與二次型 本章聚焦於內積空間在實數域上的重要應用。我們證明瞭實對稱矩陣具有實特徵值，並且總能被一個正交矩陣對角化（譜定理）。在此基礎上，我們研究二次型的矩陣錶示，並使用閤同變換將二次型化為最簡（對角）形式。我們討論瞭正定、負定等概念，這些在優化理論和物理穩定性分析中至關重要。 --- 本書特色與目標讀者 《高等代數基礎與應用》的撰寫完全基於代數結構和綫性空間的抽象理論，不涉及任何關於函數變化率、極限過程或積分纍積的微積分主題。本書旨在為讀者提供一個堅實、獨立的代數基礎，使他們能夠自如地駕馭多維空間中的綫性問題，為後續的泛函分析、數值方法和高級理論物理打下無懈可擊的代數基石。 本書適閤作為大學數學、物理、航空航天、電子工程、以及數據科學等專業學生兩年期高等代數課程的教材，或作為研究生入門的參考書。每章後附有大量精心設計的習題，旨在鞏固計算技能並激發理論洞察力。

评分☆☆☆☆☆

然而，客觀來說，這套書並非完美無瑕，尤其是對於已經具備一定微積分基礎的讀者而言，它或許顯得有些「冗長」。我個人是屬於那種「想快點看到高階應用」的類型，所以當我翻到介紹三角函數積分的章節時，那些詳盡到連每一步拆解都寫齣來的過程，說真的，讓我有點不耐煩。它太過於謹慎瞭，恨不得把讀者當成從未接觸過任何高等數學的學生來教導。如果你是資優生，或者之前在補習班已經被操練過一遍基本技巧，那麼這本書的前半部分（單變數部分）可能會讓你覺得拖遝。我記得有幾次，我跳著看，想直接看後麵的多變數微積分，結果發現，因為跳過瞭幾個關鍵的「橋接」部分，導緻在理解多重積分中的變數變換（Jacobian）時，產生瞭概念上的斷層。這說明瞭作者的設計邏輯其實是「強迫你打好地基」，不允許你偷工減料。所以，我的建議是，如果你是初學者，請務必老實地、一步一步地跟著它走；但如果你是複習者，你可能需要花點時間習慣它這種「慢工齣細活」的敘事節奏，或者直接利用它的索引功能，精準定位你需要加強的章節。

评分☆☆☆☆☆

從排版和視覺設計的角度來看，這第十版相較於早期的版本，進步是顯而易見的。在這個資訊爆炸的時代，一本教科書如果內容紮實但排版混亂，那簡直是種罪過。這本書的內文清晰度很高，字體選用適中，不會讓人有閱讀疲勞感。最讓我欣賞的是它對數學符號和圖形的處理：圖錶製作精良，線條分明，色彩運用得當但不花俏。舉例來說，在解釋偏導數時，書中會用三維空間的圖形來輔助理解，那些麯麵的繪製和座標軸的標示都做得非常到位，讓你一眼就能抓住「在某一點上沿著某個方嚮的變化率」的立體概念。更別提那豐富的附錄部分，它不僅僅是公式的堆砌，更像是一本小型的「數學工具箱」，裡麵包含瞭嚮量代數的快速迴顧、常見積分公式錶，甚至是關於複數在微積分中的初步應用。這種對細節的關注，是這本教科書能屹立不搖這麼多年，並且持續更新迭代的關鍵。它照顧到瞭讀者在不同學習階段可能產生的各種「小需求」。

评分☆☆☆☆☆

這本《微積分》（第十版），說實在話，我剛拿到手的時候，內心是有些忐忑的。畢竟，微積分這門學問，對理工科的學生來說，簡直就是一道繞不開的「天險」，而這第十版，厚得像磚頭一樣，光是翻閱目錄，就覺得頭皮發麻。不過，實際開始啃讀後，纔發現它對基礎概念的闡述，那種細膩程度，簡直是教科書裡的「神隊友」。特別是對於極限和連續性的介紹，作者並沒有一開始就丟齣那些抽象難懂的 $epsilon-delta$ 定義，而是循序漸進，用生活化的例子，例如火車的進站、水龍頭的齣水速度變化，慢慢引導讀者進入那個嚴謹的數學世界。我記得最清楚的是，以前我學導數的時候，總是死記硬背求導公式，對其幾何意義模糊不清。但這本書不同，它花瞭大量的篇幅去解釋斜率如何與瞬時變化率銜接，圖形的切線如何定義瞭導數的本質。那種「豁然開朗」的感覺，比我後來自己摸索齣來的理解要深刻得多。坦白說，如果你是第一次接觸微積分，或者想重新鞏固高中數學基礎，這本書的「入門體驗」絕對是業界頂尖的，它讓我覺得，原來數學不隻是枯燥的符號堆砌，而是一種描述世界運作的優雅語言。

评分☆☆☆☆☆

總體來說，如果你在尋找一本能夠陪伴你度過整個大學微積分學習生涯，並且未來還能作為工具書長期保留的教材，那麼這本《微積分》（第十版）絕對是值得投資的。它不是那種追求「新穎」或「花俏」的入門讀物，而是一本厚重、可靠、且經過時間考驗的「百科全書」級別的教材。它的深度和廣度，足以應付從基礎微積分到部分高等微積分的課程需求，而且它建立起來的數學思維框架，對未來學習微分方程、複變函數乃至更深入的數學領域都有著基礎性的指導作用。雖然價格不便宜，但考慮到它能提供的學習效益和知識的全麵性，我認為這筆投資是非常劃算的。我身邊很多畢業多年的學長姐，他們的書架上都還留著這套書，當他們遇到工作上的複雜計算難題時，還是會習慣性地翻開它來查找最初的定義和推導過程。這就證明瞭它的生命力所在——它賣的不僅僅是知識，更是一種長期的學習夥伴關係。

评分☆☆☆☆☆

說到這本經典教材的實戰應用層麵，那真的是讓我這個工程科的學生大開眼界。我們都知道，微積分的厲害之處在於「變動量」的處理，但光有理論，在麵對真實世界的複雜係統時，還是會顯得力不從心。這本書的例題設計，比起坊間其他版本，簡直是「有料」太多瞭。它不隻是停留在計算麵積和體積這種基礎題型，而是大量的引入瞭物理學、經濟學乃至生物學中的實際問題。舉個例子，在講述級數收斂性時，書中穿插瞭一個關於「放射性物質衰變速度」的模型建構，以及如何利用泰勒展開式來近似計算某種債券的價值變動，這些內容在其他隻強調純數學推導的書裡幾乎看不到。這讓我體會到，微積分其實是所有理工學科的「內功心法」。而且，書中的習題難度分級非常明確，從基礎暖身到需要花費一整個下午纔能解開的挑戰題都有。特別要稱讚的是，它對「證明」的處理方式，既保持瞭數學的嚴謹性，又不會讓讀者感覺像是在啃石頭，它會引導你思考證明背後的「直覺動機」，而不是死闆地要求你複製步驟。這對我們未來要進行研究的人來說，是無價的訓練。