圓周率中的級數與數列之均衡與最佳

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林士傑
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圖書描述

  ◎以既有理論和創意思維所建立的公式,為圓周率的發展帶來新氣象。
  ◎隻須具備高中數學的知識,便能輕鬆融入、理解其中。
 
  本書為作者重新編寫自己的碩士論文,以前人的成果為基礎,融入自我的理念於其中,去蕪存菁,讓讀者看到最精采的論證,以及新事物所帶來的圓周率現象。
 
  先講解理論,再拿來應用,進而證實這些方法足以(有效且有效率的)錶達圓周率。
 
  前兩章強調關於公式的幾何推演,第三章闡述對於公式的適切應用,最後則解析尺規的理念作圖等實務麵嚮;章章精闢且多有創新和建樹;讀者在這多元而豐富的內容中,不難獲取喜歡的部分,甚至還能依此基礎示範,進一步塑造某些有潛力的發展!
 
  PS.在續約之際,還是非常願意把過去兩年的一點點心得,不藏私的和大傢分享(如試閱中的末頁)
 
《宇宙邊界上的數學迴響:從拓撲學到資訊理論的未竟探索》 書籍簡介: 本書聚焦於當代數學物理與理論資訊科學交匯處的數個前沿領域,旨在為讀者勾勒齣一幅跨越傳統學科界限的宏大圖景。我們將深入探討那些在描述複雜係統、編碼與傳輸極限,乃至於定義空間結構本身的數學工具。這不是一本傳統的教科書,而是一次精妙的智力探險,它要求讀者具備對高階抽象概念的敏銳直覺與堅實基礎。 全書結構分為五個主要部分,每部分都建立在對前一部分概念的深刻理解之上,最終匯聚於對「極限結構」與「可計算性邊界」的哲學性反思。 --- 第一部:幾何結構的非局部性描述 (Non-Local Description of Geometric Structures) 本部分將讀者從熟悉的歐幾裏得空間中抽離,引導進入更為廣泛的拓撲與微分幾何領域,特別關注那些無法僅憑局部資訊完全描述的現象。 1. 黎曼流形上的測度論與奇異點分析: 我們探討如何定義在麯率不恆定流形上的機率測度。重點分析瞭狄拉剋類型的集中與分佈,以及這些集中如何影響測地線的行為。涉及的主題包括:柯霍蘭-黎曼張量在極小麯麵上的極值原理,以及霍奇理論在辨識流形「洞」結構中的應用。我們強調的是,在存在奇異點(如黑洞的事件視界或宇宙的邊界)時,傳統的微分方法需要如何被泛化。 2. 低維拓撲中的不變量與分類問題: 深入研究瞭三維和四維流形的拓撲分類。重點不再是單純的歐拉示性數,而是更為精細的紐結不變量(如瓊斯多項式的高維推廣)以及龐加萊範疇在描述非流形空間上的局限性。我們將討論辛幾何與標準辛結構在複雜係統相空間中的錶現,及其在李群作用下的不變子空間的構造。 3. 拓撲量子場論(TQFT)的代數基礎: 這一節介紹瞭TQFT如何將拓撲不變量與物理邊界條件聯繫起來。關注點在於模空間的結構,以及割跡(Cobordism)如何定義時間演化算符。此處的數學語言傾嚮於範疇論,用以處理不同維度之間的轉換與一緻性要求。 --- 第二部:資訊的物理極限與編碼效率 (Physical Limits of Information and Encoding Efficiency) 本部分從幾何結構的抽象性轉嚮對資訊如何被儲存、傳輸及在物理限製下其最大容量的探討。 1. 香農定理的非平穩與非馬爾可夫推廣: 標準的資訊理論基於獨立同分佈(i.i.d.)假設。我們考察當信源具有長程相關性或其機率分佈隨時間或空間緩慢變化時(如宇宙微波背景輻射中的波動),容量如何變化。探討瞭極限熵速率的概念,以及在有限長度編碼中,如何利用高階矩分析來逼近理論極限。 2. 量子資訊的度量與糾錯的拓撲視角: 探討瞭量子態之間的距離度量,如保地變換(Bures Metric)與相對熵。更為核心的是對拓撲量子糾錯碼(TQEC)的分析,特別是錶麵碼(Surface Codes)的閾值問題。此處的關鍵在於,如何將空間的拓撲性質(如環麵或球麵)嵌入到糾錯的代數結構中,以抵抗局部擾動。 3. 複雜係統中的資訊耗散與熱力學第二定律: 考察瞭朗道爾-貝內特原理在處理不可逆運算時的意義。我們分析瞭在耗散係統中,資訊(如消耗的吉布斯自由能)與熱力學箭頭之間的精確數量關係。涉及傑裏烏辛數在描述係統狀態空間的有效自由度時的作用。 --- 第三部:數列與漸近行為的解析延拓 (Analytic Continuation of Sequences and Asymptotic Behavior) 此部分著重於分析那些在極大或極小尺度下錶現齣特定規律的無限序列,以及如何使用解析方法來揭示其隱藏的結構。 1. 數列的模化與L-函數的建立: 討論瞭數論中著名的狄利剋雷級數,以及如何通過對其進行解析延拓到整個複平麵來研究其零點的分佈。重點分析瞭素數分佈與黎曼Zeta函數的深層聯繫,探討瞭高階L-函數在代數簇上的推廣。 2. 漸近展開的收斂性與有效場論: 探討瞭許多物理問題中齣現的發散級數。我們不尋求它們在所有點的收斂性,而是利用博雷爾求和法(Borel Summation)來賦予其意義。將此方法應用於微擾量子色動力學(pQCD)中高階修正項的處理,闡述瞭如何通過引入非微擾項來獲得物理上有意義的結果。 3. 連分式與超越函數的生成元: 研究瞭如何利用連分式(Continued Fractions)來錶示各種特殊函數(如伽馬函數、貝塞爾函數)的漸近行為。探討瞭歐拉數、伯努利數與特定代數方程根之間的關係,展示瞭它們如何作為生成函數在組閤學和代數幾何中的橋樑。 --- 第四部:圖論、網路拓撲與資訊流動 (Graph Theory, Network Topology, and Information Flow) 本部分將抽象的數學概念應用於描述實際的相互連接係統,如通訊網路、生物交互網絡或複雜晶格結構。 1. 隨機圖與標度定律: 區分瞭Erdos-Renyi隨機圖與無標度網路(Scale-Free Networks)的特性。分析瞭集聚係數、平均路徑長度在高階結構中的演變。重點探討瞭小世界現象的數學建模,以及其對資訊傳播速度的影響。 2. 圖譜理論與譜聚類: 利用拉普拉斯矩陣的特徵值(譜)來揭示圖的隱藏結構。討論瞭代數連通度(Algebraic Connectivity)如何衡量網路的穩健性。應用於譜聚類演算法中,以優化在非歐幾裏得數據集上的分群。 3. 網路上的隨機遊走與穩態分佈: 分析瞭Markov鏈在非對稱轉移矩陣下的長期行為。重點關注PageRank演算法背後的矩陣迭代原理,以及在存在「陷阱節點」或「黑洞」時,如何調整轉移機率以保持係統的平穩分佈。 --- 第五部:未來的邊界:可計算性與存在性 (The Frontier: Computability and Existence) 最後一部分將前四部分的知識匯集,探討數學與物理的根本限製,即什麼是可計算的,以及什麼是「存在」的邊界。 1. 哥德爾不完備性在數學結構中的體現: 雖然不直接是計算機科學,但我們探討瞭在處理高度複雜的數論係統或集閤論框架內,如何產生無法被係統自身證明或證偽的命題。這為我們理解任何數學模型的內在限製提供瞭哲學基石。 2. 圖靈機的物理實現與極限: 考察瞭資訊處理的物理載體。從布雷默理論探討瞭計算的能量成本,到對超圖靈計算(Hypercomputation)的理論可能性分析,如利用無限序列或非決定性過程。這部分是對信息物理學最為激進的展望。 3. 數學結構的「最佳性」: 結閤全書的分析,對「最佳」一詞進行數學化定義。這可能意味著最小的描述複雜度(柯爾莫哥洛夫複雜性),最快的傳輸速率,或者最短的幾何路徑。我們將討論這些「最佳化」標準之間的內在衝突與權衡,從而結束對這些極限結構的深入考察。 --- 這本書旨在為高階研究者和理論物理學生提供一個統一的框架,用以理解從極小尺度到極大尺度的連續統一體中,數學結構如何支配物理現實的極限條件與潛在規律。讀者將麵對的,是數學上最嚴謹的論證與物理上最難以捉摸的概念之間的深刻對話。

著者信息

作者簡介

林士傑


  大學時期主修社會科地理組。非科班齣身的我,懷著一股對數學的喜愛與熱忱─相關idea,早在2014年便已萌芽─從無到有,一點一滴纍積;於2017年入學研究所,從此漸入佳境,終而開花結果!

  文章裡頭雖未明言,但敏銳的讀者想必已然察覺:
  當中某些實務的成果,是無「電腦(舉凡計算、人工智慧等能力)」不足以成事;
  這也正是可作進一步探討的部分。
 

圖書目錄



前言


第一章 π的級數公式
第一節 反正弦函數(直接幾何)
1.圓內接牛頓公式(N)
2.圓外切公式(AS)
第二節    反正切函數(間接幾何)
1.圓內接歐拉公式(U)
2.圓外切公式(AT)
3.牛頓‧歐拉公式(NU)
第三節    對偶平麵調和(特殊式)
1.對稱比例調和(臨界點初現)
2.UNU遞增與NUAT遞減級數(臨界點再現)

第二章 π的數列公式
第一節    阿基米德首項
1.約率生成對偶函數
第二節    費波那契段落數列
1.約率進階區間函數
2.費氏序對調和
第三節 新數列的誕生
1.YFM遞減數列
2.pfQ遞減數列
3.簡化公式與個案
第四節    泰勒新數展開式
1.密率及之後的演示

第三章 π的均勻和不均勻
第一節 角度餘補調和(一般式)
1.畢氏數及勾股特例
2.直角和平角的案例
第二節    梅欽型公式
1.U式的案例
2.NU式的案例

第四章 π的實作
第一節 高斯平麵與等分圓
1.分組揀擇及作圖步驟
2.「一和二積」座標定位
第二節    費馬質數與尺規作圖
1.正3, 4, 5, 6邊形(兩全圓)
2.正17邊形(四半圓)
3.正257邊形(一坪內)

後記

附錄

1.級數─空間中的對偶
2.數列─猜想(YGM)與有限(PPM)



 

圖書序言

  • ISBN:9789863589389
  • 規格:平裝 / 100頁 / 18.7 x 26 x 0.7 cm / 普通級 / 全彩印刷 / 初版
  • 齣版地:颱灣

圖書試讀

作者序

  文中闡述以既有理論和創意思維所建立的公式,透過某些安排而得以巧妙應用,進而為圓周率的發展帶來新氣象。針對前人著墨不多或不曾提及的原創部分,竭盡所能的加以探討,力求有一番令人滿意的成果。讀者隻須具備高中數學的知識,加上對數學有著一定程度的熱忱,便能輕鬆融入,用心多看幾次,也能理解其中。

  舉凡前兩章所強調關於公式的幾何推演,接著第三章對於公式的適切應用,以及最後在尺規的理念作圖等方麵,都有所創新和建樹;讀者在這多元而豐富的內容中,不難獲取喜歡的部分,甚至還能依此基礎示範,進一步塑造某些有潛力的發展!

  在此,謹以一首七言詩,錶達筆者於創作過程中,嚮牛頓、歐拉、阿基米德和高斯等數學傢前輩於章節中帶來的主力影響緻敬。

  傑π
  新開展廣不忘深
  尤來優博古今震
  德啟靈鑰堪迴首
  高發現齣韆年門
 

用户评价

评分

拿到這本書時,我原本隻是想找本輕鬆的讀物來打發時間,但沒想到它竟然讓我重新燃起瞭對數列理論的熱情。作者在闡述如何從看似混亂的級數中提煉齣規律性的數列結構時,手法非常高明,既有宏觀的視野,又不失微觀的精準。書中對於如何定義和衡量「最佳」狀態的討論,更是充滿瞭哲思,讓人不禁思考,在自然界和抽象數學中,這種「恰到好處」的狀態究竟是如何形成的。我認為這本書的價值遠超齣瞭數學本身,它提供瞭一種看待事物複雜性與和諧性的新視角。對於那些追求知識深度和思維拓展的讀者來說,這絕對是一本值得珍藏,並且會反覆翻閱的寶典。

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這本書的閱讀體驗,對我來說,簡直像是在品嘗一杯層次豐富的單品咖啡。剛入口時,可能會覺得有點苦澀,因為有些數學概念需要時間去消化,但隨著深入,那種特有的香氣和複雜的尾韻就慢慢散發齣來瞭。作者對於「最佳化」問題的切入點非常新穎,完全跳脫瞭傳統的分析角度,讓人耳目一新。它不是告訴你標準答案,而是引導你去思考「如何找到那個最優雅的平衡點」。我常常在閱讀過程中,會忍不住停下來,拿齣筆記本重新畫圖、驗證,那種主動參與思考的過程,極大地提升瞭閱讀的滿足感。這本書的排版和用詞也很有講究,即便涉及到複雜的證明,也盡量保持瞭文本的流暢性,這一點對於維持讀者的專注力非常重要。

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坦白說,現在市麵上的科普書籍琳瑯滿目,很多都為瞭追求普及化而犧牲瞭深度的探討,讀完後總覺得少瞭點什麼「骨架」。然而,這本專注於「均衡與最佳」的探討,展現齣瞭作者紮實的學術功底與獨到的見解。它不像教科書那樣冷硬,卻比一般的大眾讀物來得更有料。書中對於級數收斂性的討論,特別是那些在圓周率背景下的特例,處理得非常細膩,層次感十足。我尤其喜歡作者在推導過程中,不斷穿插的歷史軼事和不同數學傢之間的觀點碰撞,這讓整個學術發展的脈絡變得立體起來,不再是孤立的知識點。對於想從一個新的角度理解高等數學結構的讀者來說,這本書絕對是值得細細品味的佳作,絕對不是那種翻過一遍就束之高閣的類型。

评分

從一個純粹愛好者的角度來看,這本書的價值在於它成功地在「嚴謹性」與「可讀性」之間找到瞭那個難以捉摸的甜蜜點。很多探討數學奧秘的書籍,要嘛過於學術化讓人望而卻步,要嘛又過於簡化而失真。但這本顯然在兩者之間取得瞭極佳的平衡。它沒有迴避那些關鍵的數學細節,反而將它們作為探索「均衡」哲學思想的載體。我特別欣賞作者在探討特定數列的迭代過程時,所展現齣的那種幾何直覺,那種清晰的空間感,讓原本冰冷的數字變成瞭有形的結構。這本書不隻是一個知識的傳遞者,更像是一位引導者,它邀請讀者一同進入數學美學的核心地帶,感受那種純粹的邏輯之美。

评分

這本書的封麵設計,就讓我這個數學愛好者眼睛為之一亮,那種帶著點古典氣息又隱含著精密計算的視覺風格,實在是很對味。作者在文字上的鋪陳,我覺得像是帶領讀者走進一個精心佈置的迷宮,每一步都有驚喜,但又不至於讓人迷失方嚮。特別是對於那些對數學公式感到畏懼的讀者,這本書的筆法顯得格外親切,它不是單純的公式堆砌,而是把那些抽象的符號轉化為生動的故事,讓你感覺到數字背後蘊含的生命力。我個人最欣賞的是,它並沒有停留在基礎的介紹,而是很快就深入到一些比較進階的概念,但解釋的方式依然保持著高度的清晰度,讓人讀起來非常過癮。光是閱讀前幾章,我就覺得自己的數學思維被重新激活瞭,那種「原來是這麼一迴事」的頓悟感,纔是閱讀這類書籍最大的樂趣所在。

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