圖書描述
從基本觀念到哲學探究，再到數學共同體相關的一般社會問題，本書揭開瞭空間和數的神秘麵紗的一角。讀這本書並不需要太多的預備知識，作者選擇的內容都是很普通的，詳細地討論以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，作者的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
著者信息
作者簡介
Timothy Gowers
為英國劍橋大學Rouse Ball數學教授、「數學界諾貝爾奬」菲爾奬（Fields Medal）獲奬者。
譯者簡介
劉熙
專業譯者
Timothy Gowers
為英國劍橋大學Rouse Ball數學教授、「數學界諾貝爾奬」菲爾奬（Fields Medal）獲奬者。
譯者簡介
劉熙
專業譯者
圖書目錄
圖片
鳴謝
前 言
第一章 模型
第二章 數與抽象
第三章 證明
第四章 極限與無窮
第五章 維度
第六章 幾何
第七章 估計與近似
第八章 常見問題
推薦閱讀書目
鳴謝
前 言
第一章 模型
第二章 數與抽象
第三章 證明
第四章 極限與無窮
第五章 維度
第六章 幾何
第七章 估計與近似
第八章 常見問題
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圖書序言
前言
20世紀初，偉大的數學傢大衛．希爾伯特（David Hilbert） 發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，甚麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為「完備的內積空間」。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂「內積空間」是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂「完備」是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道「嚮量空間」、「內積」、「柯西列」和「收斂」的定義。就拿其中一個舉例來說（ 這還並不是最長的一個） ：序列x1，x2，x3，⋯⋯若滿足對於任意正數ɛ，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數 p 和 q，xp 與 xq 間的距離不大於ɛ，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是甚麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑑於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達甚麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明甚麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論甚麼叫作「嚴格的證明」。這前三章是關於一般性的數學的。之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想像中所佔的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特．阿代爾（Gilbert Adair） 、麗貝卡．高爾斯（Rebecca Gowers）、埃米莉．高爾斯（Emily Gowers）、帕特裏剋．高爾斯（Patrick Gowers） 、喬書亞．卡茨（Joshua Katz）和埃德濛．托馬斯（Edmund Thomas） 閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些甚麼事情。
20世紀初，偉大的數學傢大衛．希爾伯特（David Hilbert） 發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一係列發現為一個嶄新的數學分支開啓瞭大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括瞭從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學傢。
那麼，甚麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為「完備的內積空間」。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中瞭解到，所謂「內積空間」是指配備瞭內積的嚮量空間，而所謂「完備」是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道「嚮量空間」、「內積」、「柯西列」和「收斂」的定義。就拿其中一個舉例來說（ 這還並不是最長的一個） ：序列x1，x2，x3，⋯⋯若滿足對於任意正數ɛ，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數 p 和 q，xp 與 xq 間的距離不大於ɛ，則稱這個序列為柯西列。
簡言之，如果你希望瞭解希爾伯特空間是甚麼，你就必須首先學習並且消化一係列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑑於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。
我沒有選擇用更聰明的辦法繞著這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開瞭兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎麯空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力錶明如何做到這一點。
如果說這本書要嚮你傳達甚麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的睏難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明甚麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論甚麼叫作「嚴格的證明」。這前三章是關於一般性的數學的。之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學傢的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住瞭先前的內容。
讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集閤的圖片。我同樣避免瞭混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想像中所佔的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋瞭這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於嚮讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。
感謝剋雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特．阿代爾（Gilbert Adair） 、麗貝卡．高爾斯（Rebecca Gowers）、埃米莉．高爾斯（Emily Gowers）、帕特裏剋．高爾斯（Patrick Gowers） 、喬書亞．卡茨（Joshua Katz）和埃德濛．托馬斯（Edmund Thomas） 閱讀瞭本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專傢是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作齣瞭許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此瞭解一點點我整天都在做的是些甚麼事情。
圖書試讀
第一章 模型
扔石頭問題
風輕雲淡的一天，你站在水平地麵上，手裏拿著一塊石頭，想要扔得越遠越好。已知你能用多大的力氣扔齣去，那麼最重要的決策就是選擇石頭齣手時與地麵的夾角。如果夾角太小，那麼盡管石頭在水平方嚮的速度分量很大，也會很快落到地麵上，因而飛不齣太遠；反之，若夾角過大，石頭能在空中停留較久，但掠過的水平距離卻不遠。很明顯我們需要在這中間作一些權衡。
利用牛頓物理學和微積分的一些初步知識，可以計算得到最佳的摺中方案——石頭離手時應與地麵呈45度夾角。就這個問題而言，這基本上是最簡潔優美的答案瞭。同樣的計算還可以告訴我們石頭在空中的飛行軌跡是個拋物綫，甚至還能得齣脫手後在空中任意時刻的速度有多大。
看起來，科學與數學相結閤能夠使我們預測石塊飛齣去直至落地之前的一切行為。然而，隻有在我們作瞭許多的簡化假設之後纔能夠如此。其中最主要的假設是，作用在石頭上的隻有一種力，即地球的引力，而且這種力的大小及方嚮在各處總是一樣的。但實際上並非如此，因為它忽略瞭空氣阻力、地球自轉，也沒有計入月球的微弱引力，而且越到高處地球引力越小，在地球錶麵上「垂直嚮下」的方嚮也隨著具體位置的不同而逐漸變化。即使你能夠接受上述計算，45度角的結果也基於另一個隱含假設：石頭離手的初始速度與夾角無關。這也是不正確的：實際上夾角越小，人能使上的力氣越大。
上述這些缺陷的重要性各有不同，我們在計算和預測中應該採取怎樣的態度來對待這些偏差呢？把所有因素全部考慮在內進行計算固然是一種辦法，但還有一種遠為明智的辦法：首先決定你需要達到甚麼樣的精確度，然後用盡可能簡單的辦法達到它。如果經驗錶明一項簡化的假設隻會對結果産生微不足道的影響，那就應當採取這樣的假設。
例如，空氣阻力的影響相對來說是比較小的，因為石頭很小很硬，密度大。假如在齣手角度上有較大的誤差，那麼通過計入空氣阻力來將計算復雜化就沒有多大意義。如果一定要考慮進去的話，以下這條經驗法則就足矣：空氣阻力變大，則通過減小齣手角度來彌補。
扔石頭問題
風輕雲淡的一天，你站在水平地麵上，手裏拿著一塊石頭，想要扔得越遠越好。已知你能用多大的力氣扔齣去，那麼最重要的決策就是選擇石頭齣手時與地麵的夾角。如果夾角太小，那麼盡管石頭在水平方嚮的速度分量很大，也會很快落到地麵上，因而飛不齣太遠；反之，若夾角過大，石頭能在空中停留較久，但掠過的水平距離卻不遠。很明顯我們需要在這中間作一些權衡。
利用牛頓物理學和微積分的一些初步知識，可以計算得到最佳的摺中方案——石頭離手時應與地麵呈45度夾角。就這個問題而言，這基本上是最簡潔優美的答案瞭。同樣的計算還可以告訴我們石頭在空中的飛行軌跡是個拋物綫，甚至還能得齣脫手後在空中任意時刻的速度有多大。
看起來，科學與數學相結閤能夠使我們預測石塊飛齣去直至落地之前的一切行為。然而，隻有在我們作瞭許多的簡化假設之後纔能夠如此。其中最主要的假設是，作用在石頭上的隻有一種力，即地球的引力，而且這種力的大小及方嚮在各處總是一樣的。但實際上並非如此，因為它忽略瞭空氣阻力、地球自轉，也沒有計入月球的微弱引力，而且越到高處地球引力越小，在地球錶麵上「垂直嚮下」的方嚮也隨著具體位置的不同而逐漸變化。即使你能夠接受上述計算，45度角的結果也基於另一個隱含假設：石頭離手的初始速度與夾角無關。這也是不正確的：實際上夾角越小，人能使上的力氣越大。
上述這些缺陷的重要性各有不同，我們在計算和預測中應該採取怎樣的態度來對待這些偏差呢？把所有因素全部考慮在內進行計算固然是一種辦法，但還有一種遠為明智的辦法：首先決定你需要達到甚麼樣的精確度，然後用盡可能簡單的辦法達到它。如果經驗錶明一項簡化的假設隻會對結果産生微不足道的影響，那就應當採取這樣的假設。
例如，空氣阻力的影響相對來說是比較小的，因為石頭很小很硬，密度大。假如在齣手角度上有較大的誤差，那麼通過計入空氣阻力來將計算復雜化就沒有多大意義。如果一定要考慮進去的話，以下這條經驗法則就足矣：空氣阻力變大，則通過減小齣手角度來彌補。
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