楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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資優專傢楊維哲教授專為高中生編寫之數學資優教材
　　◆獨特楊氏風格教學法
　　◆強調內容深度與廣度，講究觀念理解與活用
　　◆與理化觀念相結閤，具多元化學習效能

　　本書主要內容：
　　初中代數的復習
　　餘數定理
　　對稱式
　　實係數方程式之實根
　　方程式之復數根
　　導來式與根本定理
　　遞迴與點算
　　嚮量與定準
　　指數與對數
　　機率

好的，這裏有一份關於不包含《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》內容的圖書簡介，內容詳盡，力求自然流暢： --- 《經典數學思想與方法探析：從基礎到前沿的思維進階》 圖書簡介 本書並非聚焦於特定高中階段的課程教材或講義，而是緻力於為所有對數學思維、邏輯構建與解決問題策略抱有濃厚興趣的讀者，提供一套宏大而深入的數學思想圖景。它旨在超越特定知識點的羅列，深入探討支撐數學大廈的那些核心的、具有普適性的思維工具和方法論。 核心主題：數學的“骨架”與“靈魂” 本書的結構圍繞數學學科中幾個關鍵的、貫穿始終的思維範式展開。我們相信，真正的數學能力並非源於對公式的死記硬背，而是對這些底層邏輯的深刻理解和靈活運用。 第一篇章：邏輯的基石與論證的藝術 本篇深入剖析瞭數學推理的本質。我們將從最基礎的命題邏輯和謂詞邏輯入手，探討演繹推理、歸納推理和反證法等核心論證工具的運用場景和哲學基礎。讀者將學習如何識彆邏輯謬誤，如何構建嚴謹而無懈可擊的數學證明。 重點內容解析： 我們不會停留在高中代數中的具體方程求解，而是探討“為什麼”某些證明結構是有效的。例如，在處理集閤論的某些概念時，我們將詳細演示如何使用皮亞諾公理或集閤論公理（如ZFC的概述）來建立起整個數學體係的可靠性基礎。此處側重於抽象的邏輯框架，而非具體函數或數列的計算技巧。 第二篇章：抽象化的力量——結構與模式的識彆 數學的偉大之處在於其抽象能力。本篇將帶領讀者領略從具體實例中提煉齣普適結構的過程。我們將聚焦於抽象代數（不涉及具體環論或域論的詳細計算，而是側重於概念引入）和綫性代數的幾何直覺。 嚮量空間的概念導入： 我們將討論什麼是“空間”，什麼是“基”與“維度”，並強調這些概念在不同領域（如信號處理、物理學）中的映射關係。這部分將側重於概念的幾何理解，例如，如何通過綫性變換來理解矩陣的本質，而不是側重於計算行列式或求逆矩陣的繁瑣步驟。 群論的初步思想： 介紹對稱性與不變性，講解群（Group）作為一種描述變換的代數結構所蘊含的深刻意義，例如在晶體學或密碼學中的應用前景。 第三篇章：分析的視野——極限、連續性與無窮的處理 本篇將探討微積分背後的嚴格分析基礎，但視角將更為宏觀和概念化，避免陷入對特定函數的求導或積分運算。 極限的epsilon-delta定義： 詳細闡述這個定義如何確保“無窮小”和“無窮大”概念的嚴格性，這是數學分析的真正起點。我們將探討收斂性和發散性的判據，側重於理論證明而非數值逼近。 拓撲思想的萌芽： 引入開集、閉集等基本拓撲概念，以理解連續性在更一般的度量空間中的推廣意義。這有助於讀者建立對函數行為的整體性認識。 第四篇章：離散世界的秩序——組閤學與圖論的思維 現代數學和計算機科學日益依賴於處理有限結構和網絡關係。本篇聚焦於計數原理的精妙運用以及圖論這一強大建模工具。 生成函數（Generating Functions）的魔力： 這部分將展示如何利用冪級數這一代數工具來解決復雜的計數問題，如劃分問題或遞推關係求解。重點在於如何構建和解釋生成函數，而不是深陷於復雜的級數運算。 圖論的應用模型： 探討如何將現實世界的問題（如路綫規劃、網絡連接）抽象為圖結構，並介紹如歐拉路徑、哈密頓迴路等經典問題的求解思路，強調建模過程的創造性。 第五篇章：問題的解決策略與數學建模 本篇是本書實踐性的總結，側重於“如何思考”而非“計算什麼”。我們將係統梳理一套行之有效的解題流程。 問題分解與簡化： 學習如何將復雜問題拆解為可管理的小塊，並利用降維、特例分析等手段來獲取洞察。 反嚮工程與直覺培養： 探討如何從期望的結論反推所需條件，並介紹如何通過構造反例（Counterexamples）來檢驗猜想的普遍性。 讀者定位 本書麵嚮的是對數學懷有探索精神的群體——可能是正在準備高等數學學習的優秀高中生，對數學基礎理論有興趣的大學生，或是希望迴顧和深化數學思維框架的專業人士。它要求讀者具備紮實的初等代數基礎，但並不依賴於對高等微積分或抽象代數特定章節的預先掌握。通過閱讀本書，讀者將能建立起一個更加全麵、結構化的數學知識體係，提升其在任何定量領域中解決復雜問題的能力。 ---

作者簡介

楊維哲

　　著名的數學學者及教育傢。在聯考時代曾擔任多次大學聯考闈場闈長。
　　緻力推廣颱語，並以颱語教授數學，讓人津津樂道。
　　把教書當成一門錶演藝術，上課方式隨性自由，自我風格強烈。

　　現職：國立颱灣大學數學係名譽教授
　　學曆：普林斯頓大學數學博士
　　經曆：國立颱灣大學數學係專任教授/係主任

第零章   初中代數的復習
二次方程式
虛根
聯立一次方程的定準法
幾個常用的公式
帶餘除法原理

第一章   餘數定理
體上的多項式
帶餘除法
質因式分解
餘數定理
共軛原理
有理函數的分項分式
因式定理與方程式

第二章   對稱式
奇函數與偶函數
交錯式與對稱式
輪換式
Vieta 與Pascal 定理
Newton 定理
Vieta 定理的應用
諸根之初等變換
較高等的變換
自逆方程

第三章   實係數方程式之實根
實函數之連續性
笛卡爾符號律
勘根法（Horner） 

第四章   方程式之復根
復數之絕對值與輻角
Euler 的虛指數函數
DeMoivre 公式與割圓方程式
Cardano 方法
四次方程式
規矩的割圓

第五章   導來式與根本定理
微導
Taylor 展式
極限
麯綫的漸近綫
導數的意義
平均變化率定理
Sturm 定理
根本定理之證明
附錄一   李白飛：代數學的故事
附錄二   M.Kac：我如何成為一位數學傢？(蔡聰明譯)

第六章   遞迴與點算
歸納與遞迴
乘法原理：排列
除(乘)法原理：組閤
引申
Pascal 二項式定理
差和分法基本定理
一種鏡射原則

第七章   嚮量與定準
Gibbs 的算術
內外積的幾何意義
定準：置換的奇偶性
定準式的雜題
方陣與定準的乘法
餘逆與消去
滑移與扣消

第八章   指數與對數
分數指數
對數
對數概念的應用
指數函數的伸縮與平移
離散與連續
等比數列
利率

第九章   機率
頻度分布
分布之代錶值與參差度
Markov 與Chebyshev 不等式
兩變量記述統計
機率與頻度
條件機率
連續機率
資訊

習題簡答
記號索引與解說
索引

附錄一：代數學的故事
     
朋友，你學過代數吧！那麼，請你說說看，代數學在學些什麼？解方程式？對瞭！不過，也許你要說，那是「中學代數」嘛，人傢「大學代數」學的可是什麼「群」啦、「環」啦、「體」啦，一些玄而又玄的東西，哪裏是解方程式呢？不錯，群、環、體等抽象的代數係統，地卻是近世代數所研究的對象，不過當初引進這些觀念，莫不是為瞭要有係統地處理方程式問題。如果我們說，代數史就是解方程式的曆史，也不為過。現在讓我們來迴顧一下代數發展的曆史吧！
    
 今日的代數學並不是無中生有，從天而降的，他是有其曆史淵源；抽象化和公理化的處理，並不是無謂的符號遊戲，而是為瞭要提煉和整理一些具體的成果，以期能應用於更廣的領域，這是我們所要特彆強調的。

二次方程式已解之

早在數韆年前，土巴比倫人和埃及人，即已著手於代數學的探索。雖然他們解決代數問題的方法，早已湮沒不彰，但是，很明顯的，從他們那高度發展的文明所帶來的種種成就，可以看齣他們對很多的代數技巧相當熟習。譬如說，規劃那些規模宏大的建築，處理浩瀚的天文資料，以及推算各種曆法等，在在都必須知道解一次和二次芳成的實際知識纔行。巴比倫人和埃及人的數學，具有一個共同特色，那就是「經驗主義」：一些計算法則，似乎都是由經驗得來。
 

评分☆☆☆☆☆

這本書的編排和內容設計，真的達到瞭一個相當高的水準。我本來以為“資優數學”的講義，會是一本充滿晦澀符號和繁復證明的書籍，但《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》卻給瞭我一個巨大的驚喜。作者楊維哲先生的語言風格非常親切，他仿佛一位經驗豐富的老師，耐心地引導著每一位讀者。我尤其欣賞書中對數學思想的滲透，它不僅僅是傳授知識，更是在培養我們分析問題、解決問題的能力。例如，在講解方程組的求解時，作者不僅介紹瞭代入法和消元法，還深入探討瞭矩陣在多維方程組求解中的應用，雖然對於高中生來說可能有點超前，但這種拓展性的講解，無疑會極大地開闊我們的視野，激發我們對更高層次數學的興趣。而且，書中對一些抽象的代數概念，比如復數，也進行瞭非常生動和形象的講解，讓我能夠理解復數的幾何意義，以及它在解決一些經典問題中的獨特優勢。

评分☆☆☆☆☆

對於這本書，我的感受真的非常復雜，但總體來說，絕對是贊譽有加。我嘗試過許多不同的代數教材，但很多都過於理論化，或者僅僅是羅列題型，讓人感覺枯燥乏味。然而，《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》卻完全不同。它以一種非常人性化的方式來呈現代數的世界，讓我感覺自己不再是孤軍奮戰，而是有一個循循善誘的老師在身邊指導。書中的邏輯結構設計得非常巧妙，從基礎的概念鋪墊，到復雜 theorems 的推導，再到實際應用的拓展，層層遞進，環環相扣。每一個章節都像是一個精心設計的環節，將知識點有機地串聯起來，讓我能夠清晰地看到代數知識體係的完整性。我特彆喜歡書中對一些核心概念的深入剖析，例如多項式，以及它們之間的運算關係，作者不僅給齣瞭定義和性質，還深入探討瞭多項式的因式分解，以及如何利用因式分解來簡化代數錶達式，甚至解決方程。這些講解，往往是我在其他教材中難以找到的深度。而且，書中的例題非常豐富，涵蓋瞭各種題型和難度，從基礎題到一些具有挑戰性的難題，應有盡有。更重要的是，這些例題的解析都非常詳細，能夠幫助我理解解題思路，而不是僅僅提供一個答案。

评分☆☆☆☆☆

這本《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》實在是太棒瞭！我本來對代數一直有點畏懼，總覺得它抽象難懂，公式一大堆，但自從我開始研讀這本書，我的看法徹底改變瞭。作者楊維哲先生用一種極其清晰、循序漸進的方式，將代數的每一個概念都剖析得淋灕盡緻。一開始，我以為資優數學講義會很難，擔心自己跟不上，結果這本書從最基礎的概念講起，就像搭積木一樣，一步步往上建構，讓我能夠紮實地掌握每一個知識點。尤其是一些我之前一直睏惑的抽象概念，比如函數的概念，以及它在代數方程中的應用，作者通過生動的例子和圖示，讓我瞬間豁然開朗。書中對代數方程的解法，從一元一次方程到更復雜的多元方程，都進行瞭詳盡的講解，並且提供瞭大量的練習題，讓我能夠反復練習，鞏固所學。最讓我驚喜的是，書中不僅僅是羅列公式和解題技巧，更注重培養我們對代數思想的理解。它引導我們去思考為什麼會有這樣的公式，它的邏輯是什麼，以及它在解決實際問題中的應用。這種深入的探究，讓我不再是被動地記憶，而是主動地去理解和運用。讀完這本書，我感覺自己對代數的掌握程度有瞭質的飛躍，再遇到相關的題目，我不再感到迷茫，而是能夠自信地運用所學知識去解決。

评分☆☆☆☆☆

閱讀《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》是一次非常充實和 rewarding 的經曆。我之前總覺得代數很難，很多概念都像雲裏霧裏，但這本書卻以一種非常清晰、邏輯性強的方式，將代數的世界展現在我麵前。作者的講解風格非常到位，他能夠恰當地把握知識點的難度，既不顯得過於簡單，又不至於讓人望而卻步。我印象特彆深刻的是關於不等式組的講解，作者不僅講解瞭如何求解不等式組，還深入探討瞭不等式組所代錶的區域，以及如何利用這個區域來尋找最優解，這讓我看到瞭代數在優化問題中的應用。而且，書中還提供瞭許多引導性的思考題，這些題目能夠激發我的獨立思考能力，讓我主動去探索數學的奧秘。總的來說，這本書不僅幫助我掌握瞭代數的知識，更重要的是，它培養瞭我對數學的興趣和熱愛，讓我覺得學習代數是一件充滿樂趣的事情。

评分☆☆☆☆☆

這本書簡直是為我量身定做的！我一直在尋找一本能夠真正幫助我深入理解代數的教材，《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》就是我夢寐以求的那一本。作者的講解方式非常深入，他不僅僅是告訴你“怎麼做”，更重要的是告訴你“為什麼這麼做”。例如，在講解多項式的性質時，作者會深入分析多項式的各項係數對函數圖像的影響，以及多項式的根的分布規律，這些講解讓我對多項式有瞭全新的認識。書中還提供瞭許多有挑戰性的題目，這些題目不僅考驗我的解題技巧，更考驗我的邏輯思維能力和創新能力。通過解決這些題目，我不僅鞏固瞭所學的知識，更提升瞭自己的數學素養。我尤其欣賞書中對一些高級代數概念的引入，比如矩陣，作者用一種非常直觀和易於理解的方式，將其與綫性方程組聯係起來，讓我看到瞭代數在更高層麵的應用潛力。

评分☆☆☆☆☆

對於這本書，我隻能用“震撼”來形容我的感受。我一直認為代數是高中數學中比較枯燥乏味的部分，但《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》徹底顛覆瞭我的認知。作者楊維哲先生的功力深厚，他能夠將復雜的代數概念，用極其清晰、生動、富有洞察力的方式呈現齣來。我特彆喜歡書中對函數方程部分的講解，作者不僅僅是講解瞭各種類型的函數方程，更深入地探討瞭它們的性質和解法，以及它們在描述自然界和工程領域中的普遍應用。例如，書中對指數增長和衰減模型，以及周期性函數在模擬波動現象中的應用，都進行瞭非常精彩的講解，讓我看到瞭代數知識的強大生命力。而且，書中的習題設計也非常有梯度，從基礎的鞏固性練習，到一些需要深度思考的綜閤題，能夠有效地提升我的解題能力和思維能力。

评分☆☆☆☆☆

坦白說，我曾經對代數充滿瞭畏懼，總覺得它是一個由無數公式和符號組成的迷宮。但《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》就像一盞明燈，照亮瞭我通往代數理解的道路。作者的講解方式非常獨特，他善於運用比喻和類比，將抽象的數學概念具象化，讓我能夠輕鬆地理解。例如，在講解對數運算時，作者並沒有直接給齣復雜的公式，而是從指數運算齣發，引導我一步步理解對數的本質。書中還提供瞭大量的實例，讓我能夠看到代數在實際生活中的應用，比如在金融、工程、物理等領域。這極大地增強瞭我學習代數的興趣和動力。我尤其喜歡書中對代數恒等式和方程根的深入探討，作者不僅講解瞭如何應用這些知識，更重要的是，他引導我去思考這些知識的數學意義和邏輯基礎，讓我能夠真正地理解代數，而不是死記硬背。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我拿到這本《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》的時候，內心是充滿期待又有些許忐忑的。畢竟“資優數學”這幾個字，聽起來就不是尋常的難度。然而，翻開書頁的那一刻，我的擔憂就煙消雲散瞭。作者的敘述風格非常獨特，他並沒有直接跳入深奧的理論，而是用一種引人入勝的方式，將讀者帶入代數的奇妙世界。就拿函數這一章節來說，我之前對函數的理解僅僅停留在y=f(x)的層麵，而這本書讓我看到瞭函數的更深層含義，它不僅僅是一個數學工具，更是一種描述關係、揭示規律的語言。書中對於函數性質的探討，比如單調性、奇偶性、周期性等等，都進行瞭非常透徹的講解，並且用瞭很多形象的比喻和圖示，讓我能夠直觀地理解這些抽象的概念。還有對不等式的講解，作者不僅講解瞭基本的解法，還深入探討瞭不等式的性質及其在解決實際問題中的應用，讓我看到瞭代數在解決現實世界問題時的強大力量。我尤其喜歡書中那些“拓展思考”或者“深入探究”的部分，它們往往會引導我去思考一些更深層次的問題，激發我的好奇心，讓我對代數産生更濃厚的興趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，學習數學的關鍵在於理解其背後的邏輯和思想。《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》完美地詮釋瞭這一點。這本書沒有給我一種“硬塞”知識的感覺，而是循序漸進地引導我進入代數的殿堂。我印象特彆深刻的是關於多項式恒等式和因式定理的講解。作者沒有僅僅給齣定理的結論，而是詳細地展示瞭這些定理是如何被推導齣來的，以及它們在簡化代數錶達式和求解方程時所起到的關鍵作用。書中提供的練習題，也很有針對性，能夠幫助我鞏固對這些概念的理解。此外，對於方程的根的性質，書中也進行瞭非常深入的探討，例如韋達定理，以及它如何幫助我們快速求解方程的根，而無需直接去解齣方程本身。這些技巧性的講解，不僅提高瞭我的解題效率，更讓我體會到瞭數學的精妙之處。總的來說，這本書讓我感覺到，代數不再是枯燥的符號遊戲，而是一種強大的思維工具。

评分☆☆☆☆☆

閱讀《楊維哲高中資優數學講義之二：代數(二版)》是一次令人愉悅的學習經曆。我之前對代數的一些概念，比如根式運算，常常感到頭疼，總是在計算中齣錯。但這本書的講解，讓我徹底剋服瞭這個難題。作者在講解根式運算時，不僅詳細列齣瞭各種運算規則，還深入解釋瞭這些規則的由來，以及它們背後的數學原理。例如，對於分數指數的理解，作者用通俗易懂的方式，將其與根式運算聯係起來，讓我能夠更深刻地理解為什麼會有那樣的公式。而且，書中還提供瞭大量針對性的練習題，讓我能夠反復練習，熟練掌握各種根式運算的技巧。除瞭根式運算，書中對指數函數和對數函數也進行瞭非常精彩的講解。作者沒有停留在簡單的定義和性質，而是深入探討瞭它們之間的關係，以及它們在描述指數增長和衰減現象中的重要作用。通過書中大量的實例，我看到瞭指數函數和對數函數是如何被應用於實際問題，比如人口增長、復利計算等等，這讓我對代數的實用性有瞭更深的認識。