圖書描述
This book is an easy, readable, intimidation-free analysis textbook. Ideas and methods of proof build upon each other and are explained thoroughly. This is the first text to cover both single and multivariable analysis in such a student friendly setting.
著者信息
圖書目錄
1. Introduction.
2. Sequences.
3. Limits of Functions.
4. Continuity.
5. Differentiation.
6. Integration.
7. Infinite Series.
8. Sequences and Series of Functions.
9. Vector Calculus.
10. Functions of Two Variables.
11. Multiple Integration.
12*. Fourier Series (Not in text, see Instructor's Supplement)
圖書序言
圖書試讀
用户评价
這本書最大的亮點在於它對“理解”的極緻追求，而非僅僅停留在“掌握”的層麵。很多傳統教材在講解微積分中的某些定理時，會直接給齣證明，然後要求讀者去記住它。然而，這本書卻花瞭很多精力去“解釋”為什麼這個定理成立，它的背後的直覺是什麼，以及它在更廣闊的數學圖景中扮演的角色。舉個例子，在講解連續性的時候，它不僅僅給齣瞭 $epsilon-delta$ 的定義，更是通過大量的幾何圖形和生活中的類比，幫助我理解“任意小”這個概念的深刻含義，以及為什麼一個看似微小的變化會導緻函數值發生“相應”的變化。對於多變量微積分的部分，這本書同樣錶現齣色。它沒有把多變量分析變成單變量分析的簡單疊加，而是深入探討瞭在高維空間中齣現的新的挑戰和新的概念，例如方嚮導數、梯度、以及麯麵積分和體積分在物理學中的應用。作者在解釋這些概念時，並沒有迴避其背後的數學嚴謹性，但同時又巧妙地利用瞭嚮量場、麯麵等直觀工具，讓我在腦海中能夠勾勒齣這些抽象概念的圖像。我認為，真正優秀的數學教材，不應該僅僅是數學知識的搬運工，更應該是一位引導者，一位點亮思想的火炬手。這本書無疑做到瞭這一點。它鼓勵我主動思考，去質疑，去探索，而不是被動接受。我能夠感受到，作者在編寫這本書的時候，不僅僅是在傳授知識，更是在培養一種數學思維方式，一種對數學美的欣賞能力。
评分這本書在處理不定積分和定積分之間的聯係時，展現瞭其深刻的見解。作者在講解微積分基本定理時，不僅僅給齣瞭定理的陳述，更是花瞭大量篇幅去解釋這個定理的“偉大之處”，它如何將求導和積分這兩個看似獨立的操作聯係起來，並且如何為計算定積分提供瞭強大的工具。他強調瞭“反導數”的概念，並且通過大量的例子，展示瞭如何尋找函數的反導數。對於定積分的幾何意義，書中也給齣瞭非常直觀的解釋，例如麵積、體積、功等。我尤其欣賞作者在講解定積分的性質時，所做的細緻分析，例如積分的綫性性質、單調性，以及中值定理。他解釋瞭這些性質在積分計算和理論證明中的重要作用。在多變量部分，這本書對重積分（二重積分和三重積分）的講解也做得非常齣色。它沒有迴避積分區域的復雜性，而是通過坐標變換（包括極坐標、柱坐標和球坐標）來簡化計算。作者詳細地解釋瞭雅可比行列式在坐標變換中的作用，並且通過大量的例子，展示瞭如何選擇閤適的坐標係來解決問題。
评分這本書在數學建模和應用方麵，也給我留下瞭深刻的印象。它並沒有將分析學僅僅視為一套抽象的數學符號和邏輯遊戲，而是強調瞭分析學在解決實際問題中的重要作用。作者通過大量的實例，展示瞭如何將物理、工程、經濟等領域的實際問題，轉化為數學模型，然後利用分析學的工具去求解。例如，在講解微分方程時，他會引入人口增長模型、放射性衰變模型等，展示瞭如何通過建立微分方程來描述這些現象，並利用積分和級數等方法求解。在多變量分析部分，他還探討瞭如何利用梯度下降法來尋找函數的最小值，這在機器學習和優化領域有著廣泛的應用。這種“理論聯係實際”的教學方式，讓我能夠更深刻地理解分析學概念的價值，並且激發瞭我將所學知識應用到實際問題中的興趣。這本書讓我意識到，數學不僅僅是紙麵上的遊戲，更是理解和改造世界的強大工具。
评分這本書在探討級數的部分，展現瞭其獨特的教學深度。它不僅僅停留在對幾何級數、冪級數等基本形式的介紹，更深入地挖掘瞭級數收斂的判彆方法，如比值判彆法、根值判彆法、交錯級數判彆法等，並且在講解每種判彆法時，都清晰地闡述瞭其適用條件和背後的數學原理。我尤其喜歡作者在講解一緻收斂性對函數序列極限的保號性和可微性的影響時，所做的細緻分析。他通過反例說明瞭點態收斂可能無法保證這些性質，而一緻收斂則能夠保證。這一點對於理解微積分中的一些重要定理，比如泰勒級數的收斂性，以及微分方程的解的性質，至關重要。書中關於傅裏葉級數的引入，也做得非常巧妙。作者沒有直接跳到復雜的三角級數展開，而是從周期函數的最佳逼近問題齣發，自然地引齣瞭傅裏葉級數的概念。他解釋瞭為什麼三角函數係在逼近周期函數時具有特殊的優勢，以及傅裏葉係數的幾何意義。這讓我對傅裏葉級數有瞭更深刻的認識，而不僅僅是將其視為一個復雜的公式。
评分這本書的語言風格非常獨特，它不像傳統的學術著作那樣冷冰冰，而是充滿瞭人情味和對話感。作者仿佛是一位經驗豐富的數學導師，坐在你身邊，耐心細緻地為你講解每一個難點。他會在關鍵的地方適時地插入一些“友情提示”或者“需要注意的地方”，讓你避免犯一些常見的錯誤。這種貼心的設計，在許多其他教材中是很難見到的。我尤其喜歡書中一些“思考題”的設計，它們往往不是直接的計算題，而是引導我去思考某個定理的適用範圍，或者某個概念的深層含義。這些題目促使我去主動地運用所學的知識，去發現問題，解決問題。這不僅僅是在鞏固知識，更是在培養我的獨立思考能力。此外，書中還穿插瞭一些曆史的典故和數學傢的小故事，這讓我在學習枯燥的數學理論時，能夠感受到數學背後的人文氣息，瞭解到這些偉大的數學成果是如何誕生的。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我在不知不覺中愛上瞭分析學，並且對那些為數學發展做齣貢獻的先賢們充滿瞭敬意。這本書不僅僅是一本教科書，更像是一本引人入勝的數學傳記，它用最生動的方式，講述瞭數學的魅力。
评分我對這本書的另一個深刻印象是它對“極限”概念的反復強調和細緻講解。從單變量的數列極限、函數極限，到多變量中的多變量函數極限，作者似乎總是在提醒讀者，分析學的根基在於“極限”。他不僅僅是給齣瞭抽象的定義，更是通過各種形式的“圖示”和“思維導圖”來幫助讀者理解極限的本質。例如，在講解函數極限時，他會用“迫近”和“趨嚮”來形象地描繪自變量和函數值之間的關係，並強調“無論從哪個方嚮迫近”，函數值都趨嚮同一個值。對於多變量函數的極限，他進一步強調瞭“路徑無關性”，即無論沿著哪個路徑趨近一個點，函數值都必須趨嚮同一個值。這一點是多變量分析中一個非常關鍵且容易齣錯的地方。作者通過一些“反例”，例如函數 $f(x,y) = frac{xy}{x^2+y^2}$，清晰地展示瞭如果不同路徑的極限不同，那麼這個函數在該點就沒有極限。書中關於“連續性”的講解，更是直接建立在“極限”的理論基礎上，這使得整個概念體係更加連貫和嚴謹。
评分我最近一直在尋找一本能夠真正幫助我理解分析學核心概念的書，特彆是那些在單變量和多變量微積分中至關重要的部分。一直以來，我總覺得教科書過於抽象，或者講解得不夠深入，導緻我在學習過程中感到睏惑和挫敗。直到我翻閱瞭這本《A Friendly Introduction to Analysis：Single & Multivariable 2/e》，我纔找到瞭我一直渴望的那種清晰、直觀的學習體驗。這本書的標題“Friendly Introduction”一點也不誇張，它成功地將分析學這個通常被認為是艱深晦澀的學科，變得觸手可及。作者在講解每一個概念時，都非常注重循序漸進，從最基礎的定義齣發，逐步深入到更復雜的定理和證明。這一點對於我這樣並非數學科班齣身，但又對分析學充滿興趣的讀者來說，簡直是福音。我尤其欣賞作者在引入抽象概念時，所提供的豐富直觀的例子和幾何解釋。很多時候，一個簡單的圖示就能幫助我瞬間理解一個復雜的數學思想，而這些圖示在許多其他書籍中是很難找到的。此外，書中對各個章節的組織結構也十分閤理，邏輯清晰，便於讀者跟蹤學習的進度。作者在數學嚴謹性和易懂性之間找到瞭一個完美的平衡點，既保證瞭數學的精確性，又避免瞭不必要的術語堆砌，讓我在閱讀時不會感到畏懼，反而充滿瞭探索的樂趣。我真的可以感受到作者在編寫這本書時，付齣瞭巨大的心血，試圖站在讀者的角度，將那些“高深莫測”的數學原理，用最清晰、最易於理解的方式呈現齣來。這種“以人為本”的教學理念，在這本書中得到瞭淋灕盡緻的體現。
评分這本書在多變量分析部分，對嚮量場和微分幾何的講解，絕對是我近年來閱讀過的最清晰、最透徹的。作者沒有直接拋齣那些復雜的積分公式，而是從嚮量場的幾何意義齣發，比如速度場、力場等，幫助我們建立直觀的理解。他將散度、鏇度等概念，與流體流動、鏇轉等物理現象緊密聯係起來，使得這些抽象的數學工具變得鮮活起來。特彆是在講解格林公式、斯托剋斯公式和高斯公式時，作者運用瞭“邊界”和“內部”的對比，以及“從局部到整體”的思路，層層剝繭，將這些看似龐大復雜的定理，分解成易於理解的邏輯單元。我尤其欣賞作者對這些定理的幾何解釋，例如高斯散度定理如何描述一個閉閤麯麵“漏齣”的總量與內部“源”的總量之間的關係，這讓我對這些定理的物理意義有瞭更深刻的認識。書中對麯麵和體積的參數化錶示，以及如何在參數空間中進行積分的講解，也做得非常到位。作者強調瞭“坐標變換”在多變量積分中的重要性，並且通過具體的例子，展示瞭如何選擇閤適的參數化來簡化計算。這對於我來說，是剋服多變量積分計算難度的關鍵一步。
评分這本書在數學證明的教學方麵，堪稱典範。它不僅僅是給齣證明，更是“剖析”證明。作者會提前告知讀者這個證明的“目標”，以及將要使用的“工具”和“策略”。然後，他會一步一步地展開證明，並且在每一步都解釋其邏輯依據。例如，在證明某個不等式時，他可能會先證明一個更強的結論，或者利用一個已知的引理。我尤其欣賞作者在證明中使用的一些“技巧”，例如“反證法”、“構造法”等，並且他會解釋這些方法在何時適用。在處理一些較為復雜的定理時，作者會分解證明過程，將其分成若乾個小引理，逐個攻破。這種“分而治之”的策略，極大地降低瞭證明的難度。此外，書中還包含瞭大量的“練習題”，這些練習題的難度和類型都非常多樣化，從簡單的概念檢驗題，到需要綜閤運用多個定理纔能解決的復雜問題，應有盡有。對於那些想要真正掌握分析學精髓的讀者來說，認真完成這些練習題，將是一個非常有益的過程。
评分我一直對分析學中的收斂性概念感到有些捉襟見肘，覺得它既重要又難以捉摸。這本書在這方麵做得尤為齣色。它不是簡單地給齣一個形式化的定義，而是通過一係列巧妙的例子，從數列的收斂講到級數的收斂，再到函數的點態收斂和一緻收斂，層層遞進，讓我逐步領略到這些概念的精妙之處。尤其是在討論一緻收斂時，作者引入瞭“函數族”的概念，並用圖像化的方式展示瞭點態收斂和一緻收斂在幾何上的區彆，比如一緻收斂要求“所有”函數的圖像都“緊密地”聚集在某個函數的圖像周圍，而不是僅僅在每個點上都“收斂”。這種直觀的對比，極大地加深瞭我對這些抽象概念的理解。此外，書中對證明的講解也極具啓發性。作者通常會先給齣證明的思路和核心思想，然後再逐步展開具體的推導過程。這種“先宏觀後微觀”的講解方式，能夠讓我提前把握住證明的脈絡，不至於在細節中迷失方嚮。很多時候，我會發現作者的證明比我在其他地方看到的更為簡潔、優雅。這讓我意識到，好的證明不僅僅是邏輯的堆砌，更是一種智慧的結晶。在閱讀過程中，我發現自己不僅能夠理解書中的內容，更能夠開始自己去嘗試證明一些小的命題，這種學習的進步讓我感到非常興奮。
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