高等微積分（一版三刷） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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現代分析的基石：深入探索極限、連續性與可微性的世界 本書是一部麵嚮高等數學專業本科生、研究生及相關理工科領域研究人員的經典教材。它旨在為讀者構建起紮實、嚴謹的數學分析基礎，是理解微積分從幾何直觀嚮分析理論升華的關鍵橋梁。全書的敘述風格清晰、邏輯嚴密，注重概念的精確定義、定理的嚴格證明以及思想方法的係統闡述。 第一部分：預備知識與實數係統基礎 在正式進入分析學的殿堂之前，本書首先迴顧並係統地構建瞭分析學賴以生存的基石——實數係統。我們不再將實數視為“可以畫在數軸上的點”，而是從集閤論的公理齣發，對其進行構造性的描述。 第一章 集閤與邏輯：分析的語言 本章首先迴顧瞭集閤的基本運算、函數及其性質（如單射、滿射、雙射）。重點在於介紹邏輯推理的方法，包括直接證明、反證法、數學歸納法等，為後續的理論推導打下堅實的邏輯基礎。分析學的嚴謹性首先體現在對證明過程的精確把控上。 第二章 實數係的完備性 這是全書的靈魂之一。本書詳細闡述瞭有理數係的拓撲結構與局限性，並引入瞭實數的構造（通常采用戴德金分割或柯西序列的等價類來定義）。核心內容聚焦於實數係的完備性公理，即確界原理（或稱有界性定理）。我們將深入探討它在數學分析中的核心地位，並演示如何利用完備性公理證明許多看似基礎的性質，例如閉區間套定理、裏奇-海涅定理（Bolzano-Weierstrass 定理的初級形式）等。 第三章 序列的極限 本章將“無窮過程”的操作轉化為精確的數學語言。我們定義瞭數列的極限 $(epsilon-N$ 語言)，並對極限的性質進行瞭詳盡的討論，包括極限的唯一性、加減乘除運算的極限法則。特彆地，我們詳細分析瞭單調有界定理——該定理是完備性公理在序列上的直接應用，是許多重要結論的源泉。同時，本章也引入瞭柯西序列的概念，並探討瞭其在判斷收斂性時的重要作用。 第二部分：函數與連續性——拓撲的初步接觸 在確立瞭極限的概念後，本書將焦點轉嚮更具實用性的函數。本部分是連接“點集收斂”到“函數性質”的關鍵。 第四章 函數的極限 本章將極限的概念從序列推廣到函數。我們定義瞭函數在某點處的極限 $(epsilon-delta$ 語言)，並嚴格證明瞭極限存在的充要條件。這裏，對 $epsilon-delta$ 語言的掌握是學習後續所有連續性和微分學的基礎。我們詳細分析瞭極限的保序性、復閤函數的極限法則，並首次引入瞭無窮極限和側極限的概念。 第五章 連續性 連續性是分析學的核心概念之一。本書提供瞭函數在一點連續和在區間上連續的嚴格定義。通過將函數極限與點列收斂相結閤，我們推導齣瞭連續函數的諸多重要性質，例如： 1. 有界性定理：在閉區間上連續的函數是有界的。 2. 極值定理：在閉區間上連續的函數必能取到其最大值和最小值。 3. 介值定理：連續函數的值域保持區間性。 此外，本章對一緻連續性進行瞭深入探討，區分瞭逐點收斂與一緻收斂在函數空間中的微妙差異，並證明瞭在緊緻集上的連續函數必一緻連續。 第六章 一緻收斂性與函數序列 本章將分析的工具從常數函數推廣到函數序列。我們詳細比較瞭逐點收斂和一緻收斂的本質區彆，並著重論證瞭一緻收斂的“好性”： 極限函數是連續的（若原序列函數都連續）。 極限與積分可以交換順序（在接下來的章節中討論）。 極限與微分可以交換順序（在微分學部分討論）。 我們運用Weierstrass M-檢驗法等工具，來判定函數序列的一緻收斂性，為冪級數的收斂性研究鋪平道路。 第三部分：微分學——瞬時變化率的精確描述 微分學研究的是函數在局部上的變化規律，是物理學和工程學應用最廣泛的部分。 第七章 導數的概念與計算 本章從斜率的直觀概念齣發，給齣瞭導數的嚴格定義，即函數在某點處的增量比的極限。我們係統推導瞭所有基本的求導法則（和、差、積、商、反函數、復閤函數——鏈式法則）。本章的重點在於理解導數作為局部綫性逼近的本質。 第八章 微分中值定理 這是微分學的核心理論體係。本書詳細證明並應用瞭三大中值定理： 1. 費馬引理：極值點處的導數為零的必要條件。 2. 羅爾定理：用於連接零點與導數的橋梁。 3. 拉格朗日中值定理：平均變化率等於瞬時變化率的精確錶述。 基於這些定理，我們推導瞭洛必達法則，用於處理 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式極限，並利用導數的符號來判斷函數的單調性和凸凹性。 第九章 泰勒公式與冪級數 本章將微分學成果推嚮高潮。我們嚴格推導瞭泰勒定理，特彆是帶有拉格朗日餘項和佩亞諾餘項的形式，揭示瞭函數如何被多項式精確逼近。基於泰勒公式，我們引入瞭冪級數的概念，討論瞭它們的收斂半徑和收斂域。通過與指數函數、三角函數等基本函數的關聯，讀者將看到一個強大的分析工具如何從簡單的導數運算中湧現齣來。 第四部分：積分學——纍積與麵積的量化 積分學是分析學的另一大支柱，它處理的是“整體的纍積效應”。 第十章 Riemann 積分 本章對定積分進行瞭嚴格的定義。我們從黎曼上和與黎曼下和的概念齣發，定義瞭可積性。本書詳盡討論瞭可積函數的性質：連續函數一定可積，單調函數也一定可積。我們還探討瞭積分的綫性、保序性以及積分的估算不等式。重點在於理解為什麼這個定義是必要的，以及它在計算上的局限性。 第十一章 微積分基本定理 這是連接微分學和積分學的“基本橋梁”。本書通過嚴格的證明闡述瞭微積分的牛頓-萊布尼茨公式，揭示瞭求導與積分的互逆關係。隨後，我們討論瞭變上限積分函數的性質，並證明瞭該函數是可導的，其導數即被積函數本身（牛頓公式的微分形式）。 第十二章 不定積分與積分技巧 本章是計算技巧的匯集。我們將復習和係統化各種積分技巧，包括湊微分法、換元法以及分部積分法的係統應用。此外，我們也會介紹有理函數、三角函數有理式等特殊類型函數的積分方法，為後續學習更高級的積分理論（如勒貝格積分）打下計算基礎。 全書在概念的層層遞進、邏輯的環環相扣中，力求展現數學分析的內在美感與嚴謹性，確保讀者不僅學會“如何計算”，更能理解“為何如此”。

第一章 基礎數學
第1 節 邏輯1
第2 節 三角函數 7
第3 節 集閤10
第4 節 函數 16
第5 節 可數集閤與不可數集閤30
第6 節 實數 35

第二章 測度空間
第1 節 測度空間 48
第2 節 測度空間的完備性68
第3 節 函數的極限與連續性 77
第4 節 集閤的連通性90
第5 節 均勻連續 101
第6 節 固定點106

第三章 函數的可微分
第1 節 可微分的定義 108
第2 節 可微分函數之和差積商與閤成 125
第3 節 切綫、切平麵與方嚮導數134
第4 節 均值定理145
第5 節 均值定理的應用和導函數的中間值定理153
第6 節 柯西均值定理159
第7 節 反函數定理與隱函數定理 171
第8 節 函數的極值190

第四章 無窮數列與無窮級數
第1 節 無窮數列 204
第2 節 無窮級數的基本性質 210
第3 節 級數的斂散性 214
第4 節 均勻收斂 233
第5 節 Arzela-Ascoli Theorem And
Stone-Weierstrass Theorem 263
第6 節 冪級數271

第五章 積分
第1 節 積分的定義與存在性286
第2 節 廣義積分304
第3 節 瑕積分的均勻收斂315
第4 節 Gamma Function And Beta Function 326
第5 節 特殊的定積分技巧337
第6 節 富立葉級數343
高等微積分題庫解答371

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這本書在語言風格上，也給我留下瞭深刻的印象。作者的文筆非常流暢，而且充滿瞭一種親切感，仿佛是一位經驗豐富的老師，正在耐心細緻地為我講解。他善於運用比喻和類比，將那些抽象的概念，形象地展現在我的腦海中。我曾經在其他教材上遇到過一些晦澀難懂的錶述，讀起來就像是在啃一本天書，但在這本書裏，我幾乎沒有遇到這種睏擾。作者總是能夠用最簡潔、最清晰的語言，把最復雜的數學思想錶達清楚。而且，他還會時不時地加入一些鼓勵和啓發性的語言，讓我覺得學習的道路雖然充滿挑戰，但也是充滿希望的。這種溫暖的語言風格，讓我覺得學習過程不再是孤獨的，而是有一個良師益友在指引我前進。

评分☆☆☆☆☆

我發現這本書在細節處理上，真的是達到瞭令人贊嘆的地步。舉個例子，很多公式在第一次齣現時，都會有非常詳細的推導過程，並且會標注清楚每一步的依據，讓我可以清晰地追溯其來源。而且，書中還巧妙地運用瞭各種標記符號，比如加粗、斜體、不同顔色的文字等等，這些看似微小的細節，卻能有效地突齣重點，幫助我區分不同類型的概念和符號。我曾經遇到過一些教材，排版混亂，符號使用不規範，閱讀起來非常費力，但這本書完全沒有這個問題，它的排版清晰、邏輯分明，符號統一，這極大地降低瞭閱讀的門檻，讓我在學習過程中能夠更加專注於理解內容，而不是被排版所睏擾。另外，書中的一些插圖也非常精美，而且恰到好處地齣現在瞭講解某個概念的關鍵位置，能夠極大地幫助我們理解那些抽象的幾何圖形和函數圖像。這些精心的設計，都體現瞭作者和齣版方對於教學質量的極緻追求，讓閱讀體驗本身就成為一種享受。

评分☆☆☆☆☆

對於一本厚重的學術著作來說，保持一緻性和嚴謹性是其生命綫。《高等微積分》在這方麵做得令人稱道。在通讀過程中，我發現書中幾乎沒有齣現前後矛盾的錶述，也沒有發現任何低級的錯誤。每一個概念的定義，每一個定理的錶述，每一個公式的推導，都經過瞭嚴謹的審校。我曾經在閱讀其他教材時，經常會因為一些小錯誤而打斷學習的思路，甚至懷疑自己對概念的理解是否正確，但這本書在這方麵讓我非常安心。這種高質量的齣版，不僅是對讀者負責的錶現，更是對學術研究的尊重。它讓我能夠放心地將這本書作為我學習和研究的堅實基礎，而不必擔心其中隱藏的“陷阱”。這種對嚴謹性的極緻追求，絕對是值得所有讀者信賴的。

评分☆☆☆☆☆

這本書還有一個我非常欣賞的地方，就是它對數學證明的呈現方式。在數學領域，理解證明比記住結論更加重要。這本書在這方麵做得非常齣色。它在提供定理的同時，也給齣瞭相對完整和清晰的證明。而且，證明的步驟都安排得非常閤理，邏輯鏈條清晰，不會讓人感到突兀或者難以理解。作者在證明過程中，會特彆強調關鍵的步驟和思想，幫助我們理解“為什麼”要這樣做，而不是簡單地跟著符號走。我尤其喜歡那些包含“技巧性”證明的例子，它們能讓我們看到數學思維的精妙之處。即使有些證明比較復雜，作者也會盡量用文字進行解釋和引導，讓我能夠逐步理解，而不是望而卻步。這種對證明過程的重視，不僅幫助我掌握瞭具體的定理，更重要的是，它培養瞭我嚴謹的數學邏輯思維能力，讓我能夠自己去分析問題、解決問題。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，一本好的教科書，不應該僅僅是知識的搬運工，更應該是思想的啓迪者。在這方麵，《高等微積分》做得非常齣色。它不僅僅是枯燥的公式和定理的羅列，而是充滿瞭作者對數學的深刻理解和對教學的熱忱。在一些關鍵的章節，作者會穿插一些數學史的背景介紹，或者一些數學傢在探索這些概念時遇到的有趣故事。這些內容雖然不是考試的重點，但卻能夠極大地激發我們對數學的興趣，讓我們感受到數學的生命力，體會到它不僅僅是一門冰冷的學科，更是一門充滿智慧和創造力的學問。我尤其喜歡那些關於“為什麼”的探討，比如為什麼需要引入極限的概念？為什麼積分能夠衡量麵積？作者總是能夠以一種非常生動的方式，將這些抽象的數學思想，與現實世界中的問題聯係起來，讓我覺得學習高等微積分是有意義的，它能夠幫助我們理解和改造世界。這種“潤物細無聲”的引導，讓我覺得這本書不僅僅是在教我知識，更是在塑造我的數學思維方式。

评分☆☆☆☆☆

這本書的練習題設計，簡直是學習者福音中的福音！我一直相信，數學的學習離不開大量的練習，但練習題的質量和難度至關重要。這本書在這方麵做得非常到位。它提供的習題，既有鞏固基本概念和計算能力的“例行訓練”，也有挑戰思維、激發探索欲望的“深度思考題”。每一章的習題都嚴格對應瞭該章的知識點，而且數量適中，不會讓人覺得題海戰術的疲憊，但又足夠讓你將所學知識融會貫通。更難得的是，很多習題的設置都非常有“巧思”，它們往往不是簡單的套用公式，而是需要你對概念有深刻的理解，並能靈活運用所學知識來解決。我尤其喜歡那些需要綜閤運用多章知識的題目，它們能幫助我建立起學科整體的聯係，看到知識點的“網狀結構”，而不是孤立的點。此外，書中對於一些比較難的習題，還會給齣提示或者解題思路，這對於我們這些還在摸索階段的學習者來說，無疑是巨大的幫助。它不是直接給齣答案，而是引導我們思考，這比直接看答案更有價值。我常常在做完練習後，感覺自己對某個概念的理解又上瞭一個颱階，這種成就感是學習的最大動力。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學學習的最終目的是為瞭解決實際問題。而這本書在這方麵，也展現齣瞭它獨特的價值。雖然它是一本理論性很強的教材，但作者卻在書中巧妙地融入瞭許多與實際應用相關的案例。這些案例並不隻是簡單的“應用題”，而是深入地展示瞭高等微積分的概念和方法，是如何在物理學、工程學、經濟學等領域發揮巨大作用的。我通過這些案例，不僅加深瞭對數學知識的理解，更重要的是，我看到瞭數學的“力量”，它能夠幫助我們解釋和改造現實世界。這讓我覺得，我所學的知識是有價值的，是有意義的。這種理論與實踐的結閤，讓我對學習高等微積分的動力更加充足，也更加堅定瞭我未來在相關領域深入發展的決心。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿好奇心的讀者，我一直在尋找一本能夠真正點燃我對高等微積分興趣的書籍。讀完這本《高等微積分》之後，我可以說，它絕對是我近期最滿意的一本教材。它不僅僅是知識的傳遞，更是一種學習方法的引導，一種思維方式的啓發。我尤其欣賞它在引入新概念時，所展現齣的那種“詩意”和“美感”。作者並非冷冰冰地陳述定義，而是會從一個更宏觀的角度，講述這個概念的齣現是如何解決數學上的難題，或者如何揭示瞭自然界更深層次的規律。我經常在閱讀過程中，會有一種“豁然開朗”的感覺，仿佛是打開瞭一扇新的窗戶，看到瞭一個全新的數學世界。這種對數學“美”的呈現，讓我對這門學科産生瞭前所未有的熱愛。它不再是死記硬背的公式，而是充滿智慧和創造力的探索過程。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀實在是很討喜，沉甸甸的，紙張的觸感也很不錯，那種略帶磨砂的質感，拿在手裏就有種安心和厚重感，感覺像是承載瞭知識的重量。封麵設計雖然簡潔，但那種低調的藍色和銀色的字體組閤，透著一股嚴謹又不失優雅的氣質，不像很多現代教材那樣花裏鬍哨，反而更容易讓人專注於內容本身。我一直覺得，一本好的教材，光是外觀就應該傳遞齣一種“值得信賴”的信號，而這本《高等微積分》無疑做到瞭這一點。書脊上的燙金字體清晰可見，即使放在書架上，隨便一瞥也能認齣它的名字，這點對於我這種經常需要查找資料的人來說，簡直是福音。打開書頁，那種淡淡的油墨香味撲鼻而來，瞬間勾起瞭我當年在圖書館埋頭苦讀的迴憶，仿佛迴到瞭那個充滿求知欲的青春年代。印刷質量也相當齣色，字跡清晰，排版閤理，即使長時間閱讀也不會感到眼睛疲勞。頁邊距的設計也很人性化，留下瞭足夠的空間，方便我隨時隨地寫下自己的思考、疑問，或是將一些重要的公式、定理標注齣來，這對於構建自己的知識體係來說，實在是太重要瞭。總而言之，從拿到書的那一刻起，它就給瞭我一種非常積極的“初體驗”，這種對細節的打磨，讓人深切感受到齣版方和作者在製作這本書時傾注的心血。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，學習一門學科，尤其是像高等微積分這樣抽象而復雜的領域，一個清晰、有條理的學習路徑是至關重要的。而這本書在這方麵做得相當齣色。它並沒有一開始就拋齣大量艱深的定義和定理，而是循序漸進，從最基礎的概念開始，逐步深入。每一章的邏輯都銜接得非常緊密，仿佛是一條精心鋪設的道路，引導讀者一步一步地攀登知識的高峰。在講解某個概念時，作者會先給齣直觀的解釋，然後引入嚴格的數學定義，並用一係列精心設計的例子來佐證。這些例子不僅僅是枯燥的計算，很多都包含瞭深刻的幾何或物理意義，能夠幫助我們建立起對抽象概念的具象理解。我特彆喜歡它在引入新概念時，總是會先迴顧之前學過的相關知識，將它們巧妙地聯係起來，讓我不會有“斷層”的感覺，反而有一種知識層層疊加、不斷擴展的成就感。而且，書中對某些關鍵定理的證明，也處理得恰到好處，既保持瞭數學的嚴謹性，又盡量避免瞭不必要的復雜化，讓學習者能夠理解證明的思路和邏輯，而不是被繁瑣的符號所淹沒。這種“由淺入深，循序漸進”的學習體驗，對於提升學習效率和鞏固知識的理解，起到瞭事半功倍的作用。