專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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博幼的幾何教材乃是藉由邏輯上的思考，來幫助學生從無到有建立起幾何學的概念，依照點 綫 麵 體的順序編輯而成，教材中的所有定理，都是由基本定義經過證明而得來，且每個定理都是建立在前一個定理之上，各章節之間相互連結，其內容環環相扣，一氣嗬成。

　　本書共分10章，教材中明列瞭國中範圍的111個定義、8個公理以及證明瞭157個定理，搭配約有80種題型、728個例題、564個習題以及曆年112個基測試題。凡是中學生所需要學習的幾何知識，在這套教材中全都找的到，而且都有詳細嚴謹的證明過程。
 

現代幾何學導論：從歐幾裏得到拓撲的思維之旅 作者： [此處可留空或填寫虛構作者名] 齣版社： [此處可留空或填寫虛構齣版社名] 版次： 初版 頁數： 約 680 頁 --- 內容概述： 本書旨在為讀者構建一個全麵而深入的現代幾何學知識體係，它並非僅僅關注平麵或立體圖形的計算，而是將幾何學視為一種研究空間、結構和變換的數學語言。本書的編寫遵循“由具體到抽象，由經典到前沿”的原則，旨在培養讀者嚴謹的邏輯思維和抽象概括能力。全書結構清晰，邏輯嚴密，尤其適閤具有一定微積分和綫性代數基礎，希望係統性掌握現代幾何學核心概念的理工科學生、研究生以及數學愛好者。 第一部分：歐氏幾何的深化與拓展 (約 220 頁) 本部分首先對歐幾裏得幾何進行瞭批判性的迴顧與重構，著重於其公理係統的嚴謹性，並引入更現代的分析工具來處理傳統問題。 第一章：歐氏幾何的公理基礎與非歐幾何的萌芽 公理係統的重審： 詳細分析希爾伯特公理體係，探討平行公設的獨立性。 射影幾何的引入： 介紹射影變換（投射變換）的性質，如交比不變性，為理解透視和空間關係奠定基礎。討論實射影平麵$mathbb{P}^2$的概念。 非歐幾何的起源： 重點介紹羅巴切夫斯基幾何（雙麯幾何）和黎曼幾何（橢圓幾何）的基本特徵，包括三角形內角和的性質。通過模型（如龐加萊圓盤模型）直觀展示非歐空間的內在一緻性。 第二章：解析幾何與代數幾何的橋梁 高維歐氏空間 ($mathbb{R}^n$)： 嚮量空間結構在幾何中的應用，內積、範數和距離的推廣。 二次型與二次麯麵： 利用矩陣對角化方法對橢圓、雙麯綫、拋物麵等進行分類，詳細分析主軸定理的應用。 仿射幾何： 討論保持直綫和平行性的變換，仿射空間的定義與性質，以及仿射不變量。 第三章：微分幾何入門：麯綫與麯麵的局部性質 平麵麯綫的微分幾何： 深入研究麯率（curvature）和撓率（torsion）的概念。使用自然參數化，推導弗雷內-塞爾謝（Frenet-Serret）公式，揭示空間麯綫的局部行為。 麯麵的基本形式： 引入第一基本形式（度量）、第二基本形式（麯率）和第三基本形式。詳細講解法麯率、主麯率和高斯麯率（Gaussian Curvature）的計算及其幾何意義。 第一、第二基本形式之間的關係： 重點闡述奇異點分類（橢圓點、雙麯點、拋物點、鞍點），以及Meusnier定理和Codazzi方程。 --- 第二部分：黎曼幾何與空間結構 (約 230 頁) 本部分是全書的理論核心，它將微分幾何的概念提升到流形（Manifold）的抽象層次，是現代物理學（如廣義相對論）和高維幾何學的基礎。 第四章：光滑流形基礎 拓撲空間迴顧： 快速復習開集、閉集、緊緻性、連通性等拓撲概念。 光滑流形的嚴格定義： 介紹坐標圖冊（Atlas）、轉移函數（Transition Maps）的平滑性要求。討論常見的流形實例，如球麵 $S^n$、環麵 $T^n$ 和射影空間 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$。 張量場與微分形式： 定義切空間 $T_pM$ 和餘切空間 $T^_pM$。引入協變、反變張量，以及 $k$ 階微分形式 $(Omega^k(M))$ 的概念，並詳細推導楔積（Wedge Product）。 第五章：連接、測地綫與麯率的推廣 仿射聯絡 (Affine Connection)： 引入平行移動的概念，建立協變導數（Covariant Derivative）的結構，闡述 Levi-Civita 聯絡的唯一性（基於黎曼度量）。 測地綫方程： 利用變分法推導測地綫（最短路徑的推廣）的微分方程，即黎曼測地綫方程，並分析其在彎麯空間中的物理意義。 麯率張量的構建： 詳細推導黎曼麯率張量（Riemann Curvature Tensor $R^a{}_{bcd}$），解釋其對流形彎麯程度的描述。引入裏奇張量（Ricci Tensor）和斯卡拉麯率（Scalar Curvature）。 第六章：整體幾何性質與同調理論初探 指數映射（Exponential Map）： 在局部研究流形上的距離，並定義測地球（Geodesic Balls）。 黎曼流形上的積分理論： 推廣 Stokes 定理到高維流形上，即廣義 Stokes 定理：$int_M domega = int_{partial M} omega$。 幾何與拓撲的關聯： 初步介紹拓撲不變量（如歐拉示性數）與幾何量（如高斯-博內定理）之間的深刻聯係。 --- 第三部分：幾何學的現代分支與應用 (約 180 頁) 本部分探討瞭現代數學中幾何學與其他領域的交叉點，特彆是代數拓撲和辛幾何。 第七章：拓撲學基礎與幾何的保持性 同胚與拓撲空間： 嚴格定義拓撲空間，討論連續函數的性質，引入度量空間的概念。 基本群（Fundamental Group）： 介紹如何利用環路來區分空間，計算圓周 $S^1$ 的基本群 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$。 同調群簡介： 簡要介紹奇異同調理論（Singular Homology），展示其在區分高維流形方麵比基本群更強大的能力。 第八章：辛幾何與可積係統 相空間與辛流形： 介紹辛結構——一個閉閤、非退化的 2-形式 $omega$。辛流形的定義及其在經典力學中的重要性。 泊鬆括號與哈密頓場： 闡述辛結構如何自然地誘導齣泊鬆括號，以及哈密頓嚮量場在辛流形上的演化。 李群與李代數（幾何視角）： 將李群視為具有光滑結構的群，並引入李代數作為其在單位元處的切空間，探討李括號的幾何解釋。 總結與展望 全書最終強調，現代幾何學已超越瞭視覺的直觀性，成為研究空間結構、對稱性和變換的強大數學框架。本書提供的工具集不僅是理解經典物理和工程學的基石，更是探索現代物理學（如弦論、廣義相對論）和高級數學理論的必備階梯。學習者將掌握從度量、麯率到拓撲的完整幾何思維鏈條。 附錄： 常用幾何名詞中英對照錶；關鍵定理證明概要。

作者簡介

財團法人博幼社會福利基金會

　　博幼基金會課輔理念

　　秉持「不能讓窮孩子落入永遠的貧睏」的理念，博幼基金會自92年成立以來，在董事長李傢同的帶領之下，為弱勢傢庭的孩子提供免費的課業輔導，以提昇其學習成就，使其不因傢境影響而中斷學習。更期待孩子未來能靠自己的能力改善傢庭狀況。

　　博幼目前在南投縣埔裏鎮、信義鄉；颱中市沙鹿區；新竹縣竹東鎮、尖石鄉、橫山鄉、五峰鄉；雲林縣口湖鄉、四湖鄉；屏東縣潮州鎮、來義鄉；澎湖縣湖西鄉；宜蘭綫大同鄉等地區，每週一至週五，每天為二韆多位弱勢傢庭的孩子提供2~3小時免費的課業輔導。未來將繼續朝其他偏遠地區去，為有課輔需求的弱勢傢庭提供服務。
 

第九章 麵積周長與體積
9.1 節 多邊形麵積
定義9.1-1 單位麵積
定義9.1-2 麵積
定義9.1-3 等麵積圖形（等積形）
定理9.1-1 長方形（矩形）麵積定理
定理9.1-2 正方形麵積定理
定理9.1-3 平行四邊形麵積定理
定理9.1-4 三角形麵積定理
定理9.1-5 三角形邊長與麵積定理
（海龍公式）
定理9.1-6 梯形麵積定理
習題9.1
9.2 節 正多邊形與圓形的麵積及周長
定義9.2-1 正多邊形
定理9.2-1 正多邊形外接圓定理
定理9.2-2 正多邊形內切圓定理
定義9.2-2 正多邊形的中心
定義 9.2-3 正多邊形的半徑（頂心距）
定義 9.2-4 正多邊形的中心角
定義 9.2-5 正多邊形的邊心距
定理 9.2-3 正多邊形麵積定理
定理 9.2-4 正多邊形相似定理
定理 9.2-5 正多邊形周長比定理
定義 9.2-6 圓周率
定理 9.2-6 圓周比定理
定理 9.2-7 圓周長定理
定理 9.2-8 圓弧長定理
定理 9.2-9 圓麵積定理
定理 9.2-10 扇形麵積定理
定理 9.2-11 圓麵積比定理
習題9.2
9.3 節 立體的錶麵積與體積
定義9.3-1 多麵體
定義9.3-2 立方體
定義9.3-3 單位體積
定義9.3-4 多麵體的體積
定理9.3-1 立方體錶麵積定理
定理9.3-2 立方體體積定理
定義9.3-5 長立方體（長方體）
定理9.3-3 長立方體的錶麵積定理
定理9.3-4 長立方體的體積定理
定義9.3-6 多角柱體
定理9.3-5 多角柱體的錶麵積定理
定理9.3-6 多角柱體的體積定理
定義9.3-7 正圓柱體
定理9.3-7 正圓柱體的錶麵積定理
定理9.3-8 正圓柱的體積定理
定義9.3-8 角錐體
定義9.3-9 直圓錐體
習題9.3
本章重點
曆年基測題目

第十章 平麵座標
10.1 節 直角座標
定義10.1-1 數綫與點座標
定義10.1-2 直角座標平麵與平麵上之
點座標
定義10.1-3 象限
習題10.1
定理10.2-1 座標平麵上兩點距離公式
定理10.2-2 數綫上的分點公式
定理10.2-3 數綫上的中點公式
定理10.2-4 座標平麵上的分點公式
定理10.2-5 座標平麵上的中點公式
定理10.2-6 座標平麵上三角形的
重心公式
習題10.2
本章重點
曆年基測題目

 

序

　　因為工作和教會的服事，常需要接觸中學生，指導他們的課業，因為求學時期的資料早已遺失，記憶也已淡忘瞭，因此一切都得重頭來過，還記得剛開始重新接觸國中幾何時，心中立即浮現一個疑問：現在的教材為何變得如此簡化？

　　我發現我們現在的幾何教科書一開始就教作圖，比方說，教小孩如何平分一個角。我問我的學生，你怎麼知道這樣做就可以平分一個角?他的迴答是，他把那個圖剪下來，然後按照平分綫來對摺，這樣就可以證明角已經被平分瞭。

　　我對這件事情極感難過，因為角平分綫的原理是根據三角形全等證明而來。我小的時候絕對先學三角形全等，然後再學角平分綫，我們當然不是把那個角剪下來，然後再對摺，我們是根據三角形全等的原理，可以證明我們所做的角平分綫是正確的。

　　學幾何，其目的不是在於學有關於幾何的證明，而是要學會如何閤乎邏輯地證明一個定理。現在我們的考試都不考證明題，所以學生其實是搞不清楚什麼叫做證明的。

　　我在成功中學唸幾何的時候，我記得非常清楚，我的老師一開始就強調幾何不可以做實驗，必須講證明。以後，我深深感覺到當年老師給我有關於幾何的教育，一輩子受用。現在我在教電子綫路，我們當然可以做實驗，但是如果要解釋某一個電壓往上升，或者電流往下降，都必須要很閤乎邏輯地證明電壓一定會往上升，或者電流一定會往下降，而不能做個實驗瞭事。

　　因此我在教學上，特彆重視基本定理的證明，發現學生一旦理解瞭定理的證明過程，即使沒有背公式，在解題時也能夠一步步的推算齣正確答案。從此，學生在學習上不再是背數學，而是以理解的方式學習。

　　當第一次見到由博幼基金會所編輯的幾何教材時，即認定它就是學生學習幾何所需要的一套教材。為何如此說呢？因為博幼的這套教材乃是藉由邏輯上的思考，來幫助學生從無到有建立起幾何學的概念，教材中的所有定理，都是由基本定義經過證明而得來；博幼教材是依照「點 綫 麵 體」的順序編輯而成，每個定理都是建立在前一個定理之上，各章節之間相互連結，其內容環環相扣，一氣嗬成。本套教材共分10章，分為四本書齣版，教材中明列瞭國中範圍的111個定義、8個公理以及證明瞭157個定理，凡是中學生所需要學習的幾何知識，在這套教材中全都找的到，而且都有詳細嚴謹的證明過程。

　　仔細看完本書，發現本書中的每一章節都是根據以下三個步驟來進行：
　　第一、基礎的基本定義介紹。
　　第二、利用基本定義來證明定理。
　　第三、將定理應用在幾何例題上。

　　為瞭建立學生學習的信心，每章節例題的編排方式都是由淺入深，等學生熟悉基本的題型之後，這纔導入綜閤的題型，並在每單元的最後引導學生作本章節內容的重點整理歸納，最後再加入曆屆基測考題來增強本教材的實用性。(全書約有80種題型、728個例題、564個習題以及曆年112個基測試題。)

　　因此，在學習上，學生可藉著博幼幾何教材清楚知道每個定理的由來，再以這些定理為基礎，解決各定理所延伸之種種題型，博幼的幾何教材絕對是最適閤中學生學習的一套工具。

　　我敢說，博幼基金會的這一本幾何教科書是目前最完整的幾何教科書，其中有很多基本的教材，也有很難的教材，老師可以從中選擇教材來教。對於聰明的和不太聰明的孩子，這本書都適用。
 

评分☆☆☆☆☆

我是一位補習班老師，長期以來，我在教學過程中遇到的最大挑戰之一，就是如何幫助學生建立紮實的幾何基礎。許多學生在接觸到高中或大學的數學時，發現自己對幾何的理解非常薄弱，這往往是影響他們後續學習錶現的關鍵因素。因此，我一直在尋找一本能夠真正幫助學生打好幾何基礎的教材。《專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版）》這個書名，就直接點齣瞭它的核心價值。我尤其關注其在「基礎」方麵的闡述是否足夠深入且係統化。我希望這本書能夠打破傳統教材的窠臼，用更生動、更具啟發性的方式，去講解那些看似枯燥的幾何原理。例如，在講解點、線、麵、角等基本概念時，是否能夠提供更豐富的視覺化輔助，或者透過互動式的學習方式，讓學生能夠親身去感受和理解這些抽象的概念。同時，我非常重視教材的邏輯性和連貫性，希望它能夠清晰地展示不同幾何概念之間的關聯，讓學生能夠建立起一個完整、有架構的幾何知識體係。

评分☆☆☆☆☆

身為一個對數學充滿熱情，但有時會覺得教科書內容過於死闆的學習者，我對《專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版）》充滿瞭期待。我總是覺得，學習幾何不應該隻是記憶公式和定理，更應該是培養一種空間想像能力和邏輯推理能力。我希望這本書能夠用一種更活潑、更有趣的方式來呈現幾何學的魅力。例如，透過一些歷史故事，介紹幾何學的發展歷程，或是結閤一些趣味性的謎題，讓我在解決問題的過程中，不知不覺地掌握幾何概念。我特別在意的是，書中的講解是否能夠深入淺齣，用通俗易懂的語言去解釋那些複雜的幾何原理，並且能夠提供足夠多的圖示和範例，幫助我理解抽象的概念。此外，我希望這本書的練習題能夠設計得非常多元化，不僅有基礎的計算題，也包含一些需要思考和創新的應用題，讓我能夠在不斷的練習中，加深對幾何知識的理解，並且培養解決實際問題的能力。

评分☆☆☆☆☆

我對這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版）》抱有高度的興趣，尤其是「2版」這個標示，讓我聯想到它可能已經經過瞭市場的檢驗和修正，內容會更加完善。我本身並非數學科班齣身，但因為工作上的需要，常常會接觸到一些需要幾何概念的場閤，例如在繪製設計圖、分析空間關係等方麵。過去，我總是依賴一些零散的網路資源或者簡單的參考書籍，但總覺得學得不夠深入，遇到一些較為複雜的問題時，還是會感到力不從心。這本書的名稱很吸引我，它強調「打好基礎」，這正是我所需要的。我期望這本書的編排能夠非常條理清晰，從最基礎的幾何元素開始，逐步引導讀者進入更複雜的定理和應用。我希望它的語言能夠簡潔明瞭，避免過於專業的術語，或者能夠對術語進行詳細的解釋，讓像我這樣非數學專業背景的讀者也能夠輕鬆理解。如果書中能包含一些實用性的案例分析，那就更棒瞭，這樣我纔能將學到的知識應用到實際工作或生活中。

评分☆☆☆☆☆

說真的，我以前數學成績不算頂尖，尤其是在幾何這一塊，總是讓我頭痛不已。每次看到那些複雜的圖形和符號，就覺得腦袋一片空白。這次會注意到這本《專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版）》，主要是因為聽說它的內容編寫很紮實，而且特別針對有心想要把幾何基礎打好的人。我最怕的就是那種，一看就讓人望之卻步的課本，動輒就是一大堆定理、證明，讓人還沒開始學就先產生瞭畏懼心理。我希望這本書能夠用更貼近生活、更有趣的方式來引導學習，例如透過一些生活中的實際例子，來解釋幾何概念是如何應用的，這樣不僅能夠幫助我們理解，也能激發學習的興趣。另外，我也很關注它的練習題設計，希望題目能夠由淺入深，從最基本的觀念驗證，到逐步挑戰一些應用題，讓我在練習中能夠不斷地鞏固所學，並且發現自己的不足之處。我很期待這本書能夠成為我幾何學習路上的好夥伴，幫助我剋服對數學的恐懼，真正愛上幾何。

评分☆☆☆☆☆

哇，這本書的封麵設計就讓人眼睛一亮，色彩繽紛又不失專業感，擺在書架上絕對是目光焦點。我之前接觸過幾本國外翻譯的幾何學教材，總覺得在某些概念的闡述上，總是有那麼點「隔靴搔癢」的感覺，可能礙於翻譯的限製，或者原書的編寫就比較偏嚮學術導嚮，對於像我這種想要穩固基礎的讀者來說，有時候讀起來真的會有點吃力。這次看到《專門用來打好幾何基礎的數學課本4（2版）》推齣，我真的抱著很大的期待。我特別在意的是，這本書在編排上是否能夠循序漸進，從最基本、最核心的概念開始，一層一層地堆疊上去，而不是一次性丟齣太多複雜的定義和定理。畢竟，打地基是最重要的，如果地基不穩，蓋再高的樓也會有倒塌的風險。我希望這本書能夠像一位經驗豐富的老師，能夠細心地引導我，讓我真正理解每個幾何圖形的特性、定理的由來，以及它們之間的關聯。而不是死記硬背那些公式，卻不知道它們從何而來，用在哪裡。希望這本書真的能做到「專門」二字，把幾何最精華、最基礎的部分，用最清晰、最易懂的方式呈現齣來。