離散數學(三版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

• 離散數學
• 數學
• 計算機科學
• 算法
• 邏輯
• 集閤論
• 圖論
• 組閤數學
• 數學基礎
• 高等教育

本書特色

　　在第三版中，我們補充瞭不少新的內容：例如，在每一章章末，我們增加瞭近年研究所入學試題為習題並附上詳解。針對部份章節 ，我們加強瞭相關解釋與範例說明。

組閤數學基礎與應用 本書旨在係統而深入地探討組閤數學的核心概念、方法與經典模型，為讀者構建堅實的理論基礎，並展示其在計算機科學、運籌學、概率論及離散結構分析中的廣泛應用。 第一部分：計數原理與生成函數 第一章：計數學的基石 本章伊始，我們將對計數學的基本工具進行迴顧與深化。重點闡述容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）的理論推導及其在解決復雜集閤計數問題上的高效性，包括錯排問題的精確解法。隨後，對鴿巢原理（Pigeonhole Principle）進行推廣，從基本的有限情況推廣到更具結構性的無限情景分析，並輔以大量與圖論、數論相關的實例。 第二章：排列、組閤及其推廣 本章細緻剖析排列與組閤的定義，區分有重與無重情況下的計算公式。著重介紹二項式係數的性質，包括範德濛恒等式（Vandermonde's Identity）的證明及其組閤意義的闡釋。此外，我們將引入多項式係數和多重集排列組閤的概念，為後續討論非負整數解問題打下基礎。特彆是對Stirling數（第一類和第二類）的遞歸關係、生成函數形式及其在劃分問題中的應用進行詳細討論。 第三章：生成函數——數列的代數錶達 生成函數是組閤數學中最為強大的工具之一。本章首先介紹普通生成函數（Ordinary Generating Functions, OGF）的構造方法，並深入探討如何利用生成函數來求解綫性遞推關係，特彆是求解常係數齊次與非齊次綫性遞推關係的封閉形式解。隨後，引入指數生成函數（Exponential Generating Functions, EGF）及其在處理帶有標簽的排列和序列問題中的獨特優勢。本章的難點部分將集中在處理涉及無窮乘積和無窮和的技巧，如對數導數和拉普拉斯變換在生成函數中的應用。 第二部分：圖論——離散結構的幾何錶示 第四章：圖論基礎與連通性 本章構建圖論的理論框架。從最基本的圖的定義、錶示（鄰接矩陣、關聯矩陣）齣發，係統介紹各種特殊圖類，如完全圖、二分圖、正則圖。著重分析圖的連通性概念，包括路徑、環、割點、橋的存在性判定及其在網絡可靠性分析中的意義。對於無嚮圖，將詳細探討歐拉路徑和哈密頓迴路的充要條件（如Ore定理、Dirac定理）的證明與應用。 第五章：樹結構及其算法 樹作為一種特殊的無環連通圖，在數據結構和網絡拓撲中占有核心地位。本章首先定義樹的性質，並討論生成樹的存在性。重點介紹構造最小生成樹（Minimum Spanning Tree, MST）的經典算法：Prim算法和Kruskal算法，並從算法復雜度角度進行分析。隨後，探討樹的遍曆（先序、中序、後序）及其在錶達式求值中的應用。 第六章：圖的染色與平麵圖 本章探討圖的代數不變量。圖的染色問題是組閤優化中的經典難題，本章將詳細介紹四色定理的曆史背景，並重點討論圖的色多項式（Chromatic Polynomial）的計算方法（如刪除-收縮法），以及如何利用色多項式來判定圖是否為k-可著色。平麵圖部分，將引入歐拉公式（Euler's Formula）及其推論，並討論庫拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）及其在判斷圖是否為平麵圖時的實際應用。 第三部分：代數結構與編碼理論 第七章：群論基礎在組閤學中的應用 本章引入抽象代數的基本概念，如群、子群、同態與同構。重點關注置換群（Symmetric Group $S_n$）的概念，以及伯恩賽德引理（Burnside's Lemma）的精確錶述與證明。該引理是解決周期性計數問題的關鍵，我們將通過實際例子（如項鏈計數、塗色計數）展示如何將抽象的群作用轉化為具體的計數公式。 第八章：組閤設計與有限域 本章介紹組閤設計（Combinatorial Designs）的基礎理論，特彆是平衡不完全區組設計（BIBD）的定義、參數和構造方法。著重分析平衡性、完備性等性質。隨後，引入有限域（Galois Fields, GF($p^k$)）的概念及其在構造正交陣列（Orthogonal Arrays）和平衡設計中的作用。 第九章：編碼理論簡介 將組閤學的計數思想應用於信息論領域。本章介紹分組碼的基本概念，如碼字、距離、最小距離。重點討論漢明碼（Hamming Codes）的構造原理和糾錯能力，以及它如何利用有限域上的綫性代數結構來實現可靠的信息傳輸。本章旨在展示離散結構在解決實際工程問題中的精確性。 第四章：遞歸關係與離散概率 第十章：高階綫性遞推關係的高級解法 本章迴歸遞推關係，但著眼於更復雜的情況。深入探討常係數綫性遞推關係在特徵方程根為重根時的解法，以及如何利用母函數法處理非齊次項為多項式或指數函數的遞推關係。最後，介紹求解非綫性遞推關係（如Catalan數相關的二次遞推）的技巧。 第十一章：離散概率與隨機過程初步 本章將組閤數學與概率論相結閤。首先復習條件概率、貝葉斯公式在離散事件上的應用。重點分析隨機變量的期望、方差的組閤學計算方法。對於馬爾可夫鏈（Markov Chains），本章將介紹其轉移矩陣的性質，並討論穩態分布的存在性及其在係統穩定性分析中的應用，強調穩態分布的組閤意義。 附錄：常見組閤數錶與進階閱讀推薦

Chapter 1 排列、組閤與應用
Chapter 2 機率論與應用
Chapter 3 集閤與排容原理
Chapter 4 關係、函數與有序集
Chapter 5 復雜度符號與數列和
Chapter 6 遞迴式與求解
Chapter 7 生成函數與應用
Chapter 8 邏輯與推論
Chapter 9 正規形式與邏輯設計
Chapter 10 圖論基礎
Chapter 11 圖論應用
Chapter 12 自動機與正規語言
Chapter 13 數論基礎
Chapter 14 數論應用
Chapter 15 代數與應用

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數論是離散數學中一個相對獨立的但又極其重要的分支。關於整除性、同餘、素數、歐幾裏得算法、擴展歐幾裏得算法等等，這些概念和算法在密碼學、編碼理論等領域有著不可替代的作用。我對書中關於模運算和同餘方程的講解印象深刻，它們是理解很多數論定理的基礎。特彆是歐幾裏得算法，其簡潔高效的設計讓我贊嘆不已，而擴展歐幾裏得算法在求解綫性同餘方程和計算乘法逆元方麵的應用，更是讓我看到瞭數學理論的強大實際價值。這本書對數論部分的介紹，既有理論的深度，也有算法的實踐性。

评分☆☆☆☆☆

關於關係代數和數據庫理論的初步介紹，雖然隻是離散數學的一個應用方嚮，但它讓我看到瞭離散數學在信息技術領域扮演的關鍵角色。書中通過介紹關係模型、SQL查詢語言的基本原理，以及如何用集閤論和關係代數來描述數據庫操作，讓我對如何將數學概念應用於實際的數據庫設計和管理有瞭初步的認識。這部分內容讓我更加體會到，離散數學不僅僅是抽象的數學概念，更是構建現代計算機科學理論體係的重要基石。它將理論與實踐巧妙地結閤起來，讓我對未來學習數據庫和相關技術充滿瞭期待。

评分☆☆☆☆☆

最近終於下定決心，開始啃《離散數學(三版)》這塊硬骨頭。說實話，拿到書的那一刻，沉甸甸的質感就讓我感受到瞭它的厚重。作為一名計算機專業的學生，離散數學簡直就是繞不開的坎，之前的版本也曾嘗試過，但總覺得抓不住重點，或者說，理解起來總是雲裏霧裏。這次入手瞭三版，聽說內容更新瞭不少，也更貼閤當前的教學需求，抱著一種“這次一定要拿下”的決心，我開始瞭我的閱讀之旅。 翻開第一章，關於集閤論的基礎概念，我迴憶起高中時期對集閤的初步認識，但這裏麵的嚴謹程度和引入的邏輯符號，立刻讓我感覺到瞭學術的深度。特彆是那些關於關係的性質，比如自反性、對稱性、傳遞性，以及它們組閤起來形成的等價關係和偏序關係，剛開始真的有點燒腦。書裏給的例子很多，從簡單的數字集閤到更抽象的概念，我一遍遍地讀，一邊在筆記本上畫著關係圖，試圖將那些符號和定義內化。印象深刻的是一個關於“可達性”的例子，它在圖論中有著廣泛的應用，理解瞭它，後麵圖論部分的很多概念就變得順理成章瞭。

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總而言之，《離散數學(三版)》是一本內容豐富、邏輯嚴謹、理論與實踐相結閤的優秀教材。它不僅為我打下瞭堅實的離散數學基礎，更重要的是，培養瞭我嚴謹的數學思維和解決問題的能力。雖然在學習過程中遇到瞭一些挑戰，但正是這些挑戰，讓我對離散數學這門學科有瞭更深刻的認識和更濃厚的興趣。我堅信，這本書將是我未來學習計算機科學過程中一份寶貴的財富。它不僅僅是一本教科書，更是一本幫助我理解世界運行規律的啓濛讀物。

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接著深入到邏輯部分，命題邏輯和謂詞邏輯是離散數學的基石，重要性不言而喻。書中的推理規則、證明方法，比如直接證明、反證法、數學歸納法，我都需要花大量的時間去消化和練習。特彆是數學歸納法，雖然聽起來簡單，但真正應用到證明復雜的命題時，常常會在基礎步驟或者歸納步驟上栽跟頭。我嘗試著做書後的習題，剛開始錯誤率很高，有時候是因為對定義的理解不夠透徹，有時候是因為邏輯思維不夠嚴謹。但是，每當我通過反復思考和查閱資料，終於攻剋一道難題時，那種成就感是無與倫比的。這本書在這方麵的講解，雖然一開始有些晦澀，但循序漸進，通過大量的例題演示，一點點地引導讀者建立起嚴謹的邏輯思維。

评分☆☆☆☆☆

關於遞歸和遞推關係的部分，是我在學習過程中感覺挑戰比較大的一個章節。雖然遞歸的思想在編程中非常常見，但要將其轉化為嚴謹的數學模型，並找到其通項公式，需要一定的技巧和耐心。書中有詳細講解如何將遞推關係轉化為遞歸關係，以及如何求解綫性常係數遞推關係。對於一些復雜的遞推關係，書本提供瞭多種求解方法，包括特徵方程法、母函數法等等。我花瞭很多時間來理解這些方法的推導過程，並通過大量的練習來鞏固。特彆是對於一些涉及Fibonacci數列和Catalan數的遞推關係，書中的講解非常透徹，讓我對這些重要的數列有瞭更深入的認識。

评分☆☆☆☆☆

對於初學者來說，離散數學的抽象性和嚴謹性是主要的學習難點。這本書的優點在於，它在保證嚴謹性的同時，盡可能地通過豐富的例題和圖示來降低理解門檻。很多時候，一個清晰的圖例比長篇大論的文字更能幫助我理解一個抽象的概念。而且，書後大量的習題，覆蓋瞭從基礎概念到綜閤應用的各個層麵，是檢驗學習成果和鞏固知識的絕佳途徑。我發現，很多時候，理解一個概念最好的方法就是不斷地去應用它，在解決問題的過程中，纔能真正地內化知識。

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接下來是關於關係和函數的章節，這部分內容與集閤論緊密相連，又進一步深化瞭對抽象結構的認識。除瞭之前提到的等價關係和偏序關係，書中還詳細介紹瞭函數的性質，如單射、滿射、雙射，以及函數的復閤。理解這些概念對於理解更復雜的數學模型和算法至關重要，比如在數據庫理論中，關係模型就建立在集閤論和關係代數的基礎上。書本在講解這些概念時，並沒有停留在理論層麵，而是通過與實際問題的聯係，例如用戶權限管理、數據分組等，來闡述其應用價值，這使得學習過程更加生動有趣。

评分☆☆☆☆☆

組閤數學是另一個讓我印象深刻的領域。排列、組閤、二項式定理、容斥原理……這些概念在解決計數問題時發揮著巨大的作用。我發現，很多看似復雜的問題，一旦套用到這些基本的組閤公式上，就能迎刃而解。書中的例子非常貼切，比如分配問題、抽樣問題等等，都讓我對這些抽象的公式有瞭更直觀的認識。然而，如何準確地判斷一個問題屬於哪種類型的計數問題，是需要大量練習纔能掌握的技巧。有時候，一個細微的詞語差異，就可能導緻計算方法的根本性改變。這本書在這方麵的訓練，是通過大量的變式題目來實現的，讓我不斷地在實踐中加深對概念的理解。

评分☆☆☆☆☆

圖論部分無疑是離散數學中最吸引我的章節之一。從最基礎的圖的定義、錶示方法（鄰接矩陣、鄰接錶），到各種特殊的圖（完全圖、二分圖、樹），再到圖的遍曆（DFS、BFS）、連通性、最短路徑算法（Dijkstra、Floyd）等等，內容非常豐富。我尤其喜歡書中關於樹的講解，無論是無根樹、有根樹還是森林，它們在數據結構和算法設計中的應用都非常廣泛。書中對各種圖算法的講解，都配有清晰的圖示和僞代碼，這讓我能夠很直觀地理解算法的執行過程。雖然算法本身需要一定的理解門檻，但書中的邏輯清晰，即使是像Kruskal和Prim這樣的最小生成樹算法，在書本的引導下，也能逐步掌握其精髓。