從物理學切入的－綫性代數導論 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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綫性代數學基礎上的量子力學，它是主宰今日高科技的物理學之一。另一方麵，描述日常生活動態現象的運動方程式，絕大部分是綫性微分方程式，顯然直接和空間，變換或映射有密切關係的綫性代數學對物理學很重要。不過通常的綫性代數書籍, 幾乎較偏嚮數學，無形中使初學者有空洞和枯燥感, 甚至於不知其用途。

　　為避免陷入僵化、架構和相互關係模糊,以及失去發展過程的關連。本書於是盡量以畫圖說明，並闡述重要科學傢的創造或發明過程，其在曆史上的定位和交代清楚整體架構等方嚮努力。以交談方式一步一步地用分析法解例題，探究問題核心在那裏，過去有什麼演算招術，然後分析所得結果，可能時歸納結果。

《從物理學切入的——綫性代數導論》圖書簡介 導言：跨越學科的橋梁 本書旨在為讀者提供一個既紮實又直觀的綫性代數學習路徑。我們深知，對於許多初學者，特彆是那些對物理世界有著濃厚興趣的理工科學生而言，純粹的數學抽象往往難以建立起深刻的理解。因此，本書的獨特之處在於，它將物理學的直觀概念——如空間、運動、場和變換——作為理解綫性代數核心思想的基石。我們避免瞭傳統教科書的繁瑣和刻闆，力求通過物理學的視角，揭示綫性代數背後的幾何意義和實際應用價值。 第一部分：基礎的構建——嚮量與空間 本書的開篇聚焦於綫性代數最基本的元素：嚮量。在物理學中，嚮量是描述力的方嚮與大小，或描述空間中某一位置的自然工具。我們從三維歐幾裏得空間中的嚮量入手，引入嚮量的加法、數乘等基本運算。這些操作在物理中對應著力的疊加和尺度的縮放，直觀易懂。 1. 嚮量的幾何直觀： 我們詳細闡述瞭嚮量的“箭頭”錶示法，並將其與物理學中的位移、速度和加速度等概念聯係起來。讀者將學會如何用嚮量來描述物理係統中的狀態。 2. 綫性組閤與張成空間： 這一部分是理解更高維度空間的基礎。通過物理實例，如在二維平麵上用兩個不共綫的嚮量錶示所有點，我們引入瞭綫性組閤的概念。張成空間（Span）被解釋為由一組嚮量所能“覆蓋”的所有點集閤，這在描述物理場域或係統的所有可能狀態時至關重要。 3. 綫性無關性與基： 綫性無關性被定義為一組嚮量集閤中不存在冗餘信息的能力。我們通過“最小錶示”的物理需求來解釋基（Basis）的重要性——一套最精簡、最有效的嚮量集閤，能夠唯一地描述整個空間。例如，笛卡爾坐標係中的 $(mathbf{i}, mathbf{j}, mathbf{k})$ 就是三維空間的一個標準物理基。 4. 維度與坐標係： 維度的概念不再是抽象的數字，而是空間自由度的度量。我們探討瞭不同基底下的坐標錶示，並展示瞭如何通過基底變換來轉換我們對同一物理現象的描述，這為後續的矩陣變換打下鋪墊。 第二部分：核心工具——矩陣與綫性變換 如果說嚮量描述瞭空間中的“點”或“量”，那麼矩陣則描述瞭空間中發生的“動作”或“變化”。這是綫性代數最具應用價值的部分，也是物理學中應用最為廣泛的領域。 1. 矩陣的本質：綫性變換： 我們明確指齣，矩陣的本質是對嚮量空間進行綫性變換（Linear Transformation）。我們將矩陣乘法解釋為一係列幾何操作的復閤：鏇轉、縮放、剪切、投影等。通過具體的二維和三維鏇轉矩陣的推導，讀者能直觀感受到矩陣如何操控空間結構。 2. 矩陣的運算與性質： 矩陣的加法、乘法、轉置等運算被賦予瞭物理意義。矩陣乘法不再是生硬的代數規則，而是變換的順序疊加。例如，先進行一次拉伸，再進行一次鏇轉，如何用矩陣的乘法錶示？ 3. 可逆性與逆矩陣： 一個變換是否可逆，取決於它是否丟失瞭信息。如果一個變換將兩個不同的點映射到同一個點（即信息丟失），那麼它就是不可逆的。逆矩陣（Inverse Matrix）則代錶著“撤銷”或“恢復”原始狀態的操作，在解耦物理方程時極為關鍵。 4. 矩陣的秩與零空間： 矩陣的秩（Rank）描述瞭變換後空間的維度，即變換保留瞭多少“有效自由度”。零空間（Null Space）則包含所有被變換映射到原點（零嚮量）的嚮量，這在解決齊次綫性方程組時對應著係統中的“自由解”或“零模態”。 第三部分：深層結構——特徵值與特徵嚮量 特徵值和特徵嚮量是理解綫性係統穩定性和動態行為的鑰匙。在物理學中，它們往往對應著係統最本質、最穩定的行為模式。 1. 尋找不變的方嚮： 我們將特徵嚮量定義為那些在經過某個綫性變換後，方嚮保持不變的嚮量。它們代錶瞭該變換下的“主軸”。特徵值則描述瞭沿著這些主軸方嚮的伸縮因子。 2. 物理應用的直觀解釋： 振動分析： 在機械振動中，特徵嚮量對應於係統的固有振型（Normal Modes），而特徵值則對應於這些振動的固有頻率的平方。 主成分分析（PCA）： 在數據分析中，特徵嚮量指嚮數據方差最大的方嚮，幫助我們找到描述係統變化的最主要維度。 3. 對角化與相似變換： 通過找到一組恰當的基底（即特徵嚮量作為新基底），可以將復雜的變換矩陣對角化。對角化後的矩陣操作極其簡單，它揭示瞭係統在最本質坐標係下的簡單行為。我們探討瞭相似變換如何保持係統的核心物理性質不變。 第四部分：廣義空間——內積與正交性 前三部分主要關注於如何描述空間和變換，本部分則引入瞭度量工具——內積，從而構建起歐幾裏得幾何的嚴謹結構。 1. 內積的定義與幾何意義： 內積（點積）被引入為衡量兩個嚮量“相似度”或“投影”的工具。我們將其與物理學中的功（Work）聯係起來，即一個力在位移方嚮上的分量。 2. 正交性與投影： 兩個嚮量正交意味著它們相互“獨立”，沒有任何方嚮上的重疊。在物理學中，這對應於相互垂直的力或相互獨立的分量。正交投影則允許我們將任意嚮量分解到一組正交基的分量上，這在傅裏葉分析等領域至關重要。 3. 格拉姆-施密特正交化： 我們提供瞭一種係統的方法，將任意一組基底轉化為一組標準化的正交基底。這使得對復雜空間的分析和計算變得更加簡潔和魯棒。 4. 正交矩陣： 正交矩陣代錶的是保持長度和角度不變的變換，即純粹的鏇轉和反射。它們在描述剛體運動和量子力學中的酉變換（Unitary Transformations）中占據核心地位。 結語：通往更深層次的物理與數學 本書通過緊密的物理圖像與嚴謹的數學推導相結閤，旨在讓讀者不僅“知道”綫性代數如何計算，更能“理解”它在描述客觀世界中的深刻含義。掌握瞭這些工具，讀者將能夠更有效地應對從量子力學中的態空間描述、經典力學中的拉格朗日方程、到電磁學中的場論等諸多物理領域中遇到的矩陣問題。綫性代數不再是抽象的代數遊戲，而是理解宇宙運行規律的必備語言。

作者簡介

林清涼

　　1931年生於颱灣高雄縣，1954年畢業於颱灣大學物理係，1966年獲日本東京大學物理學博士。

　　曾在該校及美國麻省州立大學Amherst分校和史丹福大學擔任研究員及訪問學者，專研原子核結構、核反應及和介子交換流的功能。曾任颱灣大學物理係係主任，任內和同仁積極革新並且奠定自由、民主的學術和行政基礎，以及良好的研究環境，同時和瀋君山教授排除一切障礙執行目前所謂的「通識教育」課程。

　　目前為颱大物理係兼任教授。

序

第一章 導言和基礎觀念
(I) 導言
(II) 基礎觀念
☆ 習題和解答
☆ 第一章摘要
☆ 參考文獻和註解   

第二章 綫性空間與其基底、維度和座標
(I) 物理嚮量與其空間、基底、維度和座標
(II) 代數嚮量與其空間、基底、維度和座標
☆ 習題和解答
☆ 第二章摘要
☆ 參考文獻和註解

第三章 綫性變換
(I) 變換 (transformation) ？
(II) 綫性變換算符f^ 的矩陣錶示與其例題
☆ 習題和解答
☆ 第三章摘要
☆ 參考文獻和註解

第四章 矩陣
(I) 矩陣定義及常用矩陣
(II) 矩陣的基礎代數運算
(III) 矩陣秩數 (rank of matrix)
(IV) 逆矩陣 (inverse of matrix)   
☆ 習題和解答
☆ 第四章摘要
☆ 參考文獻和註解

第五章 本徵值與本徵嚮量
(I) 本徵 (elgen 或 characteristic) 名稱來源
(II) 矩陣與微分算符的本徵值與本徵嚮量
☆ 習題和解答
☆ 第五章摘要
☆ 參考文獻和註解

附　錄

评分☆☆☆☆☆

我一直以來都對那些能夠將看似晦澀的知識變得通俗易懂的書籍情有獨鍾，尤其是那些能夠賦予抽象概念以具象化意義的著作。《從物理學切入的－綫性代數導論》這個書名，毫不誇張地說，瞬間就抓住瞭我的注意力。作為一名對物理學抱有濃厚興趣，但又在學習綫性代數時屢屢碰壁的讀者，我深切地體會到瞭數學抽象性帶來的學習障礙。很多時候，枯燥的符號和嚴謹的邏輯推導，並不能點燃我對知識的渴望，反而讓我感到沮喪。因此，當我知道有一本書試圖通過物理學的視角來解讀綫性代數時，我感到異常興奮。我迫切地希望這本書能夠提供一種全新的學習路徑，一種能夠將我從純粹的符號世界中解放齣來的路徑。我設想，書中可能會用力的閤成與分解來解釋嚮量的加法，用坐標係的變換來引入矩陣的意義，甚至用簡諧振動的數學模型來闡述特徵值與特徵嚮量的概念。我期望通過這些物理學的類比和直觀的解釋，能夠建立起我對綫性代數各個概念的深刻理解，不再僅僅是機械地記憶公式，而是能夠真正地“理解”它們在物理世界中的對應關係。我希望這本書能夠成為我探索更深層次物理學理論的堅實基礎，讓我在麵對復雜的物理模型時，能夠更加自信和得心應手。我期待它能夠讓我領略到數學之美，以及它在構建我們對宇宙認識過程中的核心作用。

评分☆☆☆☆☆

我之所以對這本書充滿期待，是因為它恰好觸及瞭我學習綫性代數時的核心睏惑。我曾經嘗試過閱讀一些傳統的綫性代數教材，但那些高度抽象的符號和嚴謹的邏輯證明，常常讓我感到力不從心，學習的過程也顯得枯燥乏味。我深切地感受到，如果不能將數學概念與直觀的物理世界聯係起來，那麼學習就很難深入，更難以産生持久的興趣。因此，當我看到《從物理學切入的－綫性代數導論》這個標題時，我立刻被吸引住瞭。我猜測，這本書很可能會從物理學的基本概念齣發，例如速度、加速度、力等嚮量的概念，來引入嚮量空間和綫性變換。我期待書中能夠用物理學的例子來闡釋矩陣的運算，比如描述一個物體經曆一係列物理變換（如鏇轉、平移）後其狀態的變化。更令我興奮的是，我希望書中能夠用物理學的語言來解釋“特徵值”和“特徵嚮量”的含義，例如，在振動分析中，特徵值可能代錶係統的固有頻率，而特徵嚮量則描述瞭相應的振動模式。這種將抽象的數學概念與具體的物理現象相結閤的方式，對我來說，是最有效的學習途徑。我希望通過閱讀這本書，我能夠真正理解綫性代數的核心思想，擺脫對數學公式的恐懼，並能夠將所學知識靈活地應用於解決實際的物理問題。這本書的齣現，讓我看到瞭將綫性代數“學懂”的希望。

评分☆☆☆☆☆

在我看來，一本好的教材，不僅僅是知識的傳遞者，更是學習者與知識之間橋梁的搭建者。而《從物理學切入的－綫性代數導論》這本書，從書名上就給我一種與眾不同的感覺。我一直覺得，很多抽象的數學概念，如果能夠用物理世界的直觀例子來解釋，學習起來會事半功倍。許多人在學習綫性代數時，會因為其抽象性而感到睏惑，甚至望而卻步。而這本書“從物理學切入”的定位，正是我所需要的。我設想，書中可能會用經典力學中的嚮量來解釋嚮量空間，用坐標係的鏇轉、縮放來引入矩陣的幾何意義，甚至可能用量子力學中的波函數或狀態嚮量來解釋更復雜的概念。我希望這本書能夠幫助我建立起清晰的物理直覺，讓我能夠“看到”那些抽象的數學對象在物理世界中的對應關係。例如，當提到“綫性變換”時，我希望書中能提供一個具體的物理場景，比如描述一個光學透鏡對光綫的摺射，或者一個彈簧對施加力的響應，來展示這種變換的綫性特性。當我看到“特徵值”和“特徵嚮量”時，我希望書中能解釋它們在物理係統中的具體含義，比如它們是否代錶瞭係統的穩定模式、固有頻率或者能量級？我期待這本書能夠讓我真正理解綫性代數是如何成為描述物理世界 fundamental language 的一部分，並且能夠培養我運用綫性代數解決物理問題的能力。

评分☆☆☆☆☆

拿到這本書的時候，我首先被它的內容所吸引。標題中“從物理學切入”這幾個字，恰好點中瞭我學習綫性代數時的痛點。我一直覺得，很多數學學科，尤其是像綫性代數這樣偏嚮抽象的，如果能夠與我們熟悉的物理世界建立起聯係，學習起來會變得更加容易和有趣。過去的學習經曆告訴我，單純的符號演算和邏輯證明，往往難以建立起直觀的認識，也很難激發深入學習的動力。我希望這本書能夠打破這種局麵，它是否能夠用物理學的概念來解釋綫性代數的本質？比如，嚮量是不是就可以理解成各種物理量，如力、速度、位移？矩陣是不是就可以看作是描述物理係統狀態變化或者變換的工具？書中會不會涉及牛頓力學中的矢量分析，例如描述物體運動的軌跡和受力情況？或者，它會以更前沿的物理學領域，如量子力學中的狀態空間和算符，來引入綫性代數的概念？我特彆期待它能解釋清楚“綫性”這個詞的物理意義，是什麼使得物理係統的描述符閤綫性規律？以及“代數”在物理學中扮演的角色。我希望這本書能夠為我提供一個全新的視角，讓我能夠從物理學的直覺齣發，去理解那些看似高冷的數學概念，從而更好地運用綫性代數來解決實際的物理問題。我希望這本書不僅僅是講解知識，更能點燃我對科學探索的熱情，讓我感受到數學與物理世界之間深刻而迷人的聯係。

评分☆☆☆☆☆

我一直以來都對那些能夠打破學科界限，將不同領域的知識融會貫通的書籍情有獨鍾。當我看到《從物理學切入的－綫性代數導論》這本書時，我的眼前一亮。一直以來，我總覺得綫性代數是一門非常抽象的學科，雖然知道它在各個科學領域有著廣泛的應用，但缺乏一個直觀的理解方式，使得學習過程顯得有些睏難。而“從物理學切入”的副標題，則為我提供瞭一個全新的視角。我非常好奇，這本書會如何用物理學的語言來闡釋綫性代數的概念？例如，嚮量是否會被類比為物理世界中的力、速度或位移？矩陣又是否會被用來描述物理係統的狀態轉移或變換？我期望書中能夠提供一些生動的物理場景，比如用經典力學中的粒子運動軌跡來解釋嚮量的閤成與分解，或者用電路分析中的節點電壓法來展示矩陣方程的求解過程。更讓我期待的是，書中是否會涉及一些更具挑戰性的物理概念，比如用量子力學中的態嚮量來解釋嚮量空間，或者用波動方程的解來引入特徵值和特徵嚮量的概念？我希望通過這本書，能夠建立起對綫性代數概念的直觀理解，將那些抽象的數學符號轉化為可感知的物理圖像，從而更深入地理解綫性代數在現代科學技術中的重要作用。這本書對我而言，不僅僅是一本關於綫性代數的教材，更是一扇通往物理世界深層奧秘的大門。

评分☆☆☆☆☆

我一直深信，知識的學習，尤其是一些偏嚮理論性的學科，如果能夠與我們所熟悉的現實世界建立起緊密的聯係，其學習效果將會大打摺扣。然而，在學習綫性代數的過程中，我卻屢屢遇到瓶頸。那些抽象的符號、嚴謹的定義，常常讓我感到無所適從，缺乏一個可以依靠的“抓手”。當我偶然間看到《從物理學切入的－綫性代數導論》這本書時，我仿佛看到瞭解決我學習睏境的曙光。“從物理學切入”——這幾個字，恰恰擊中瞭我內心深處的需求。我猜想，這本書很可能將綫性代數的概念，比如嚮量、矩陣、綫性變換等，與物理學中的具體現象聯係起來。我迫切希望書中能夠用物理學的直觀圖景來解釋這些抽象的概念，例如，用力的矢量疊加來解釋嚮量的加法，用物體的運動軌跡描述嚮量的變化，用坐標係的變換來引入矩陣的運算。我尤其期待書中能夠對“綫性”這一概念的物理意義進行深入的探討，比如，在物理係統中，什麼是“綫性”的？這種綫性關係又給我們帶來瞭哪些便利？此外，我對書中關於“特徵值”和“特徵嚮量”的物理學解釋充滿好奇，它們是否能夠用來描述物理係統的某種固有屬性，比如共振頻率，或者係統的穩定性？我希望這本書能夠幫助我建立起對綫性代數深刻而直觀的理解，不再僅僅是記憶和運算，而是能夠真正地“理解”數學背後的物理邏輯。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計就足夠吸引我瞭。那種低飽和度的藍，搭配著一點點金色的綫條勾勒齣復雜的幾何圖形，給人一種既嚴謹又充滿想象力的感覺。當我拿到書的時候，第一個念頭就是“這絕對不是一本枯燥的教材”。翻開目錄，看到“從物理學切入”這幾個字，我就知道我找到寶瞭。我一直覺得數學，尤其是抽象的綫性代數，如果能跟現實世界建立起聯係，那學習起來會事半功倍。很多時候，我們在課堂上學習那些公式和定理，雖然知道它們有用，但就是感覺離自己的生活很遠，甚至有點摸不著頭腦。而這本書，似乎正是為我這樣的讀者量身定做的。它承諾用物理學的直覺和視角來解讀綫性代數，這讓我非常期待。我很好奇，嚮量空間、矩陣運算，這些聽起來高冷的數學概念，在物理學傢眼裏會展現齣怎樣的姿態？是會像力和運動那樣直觀，還是像量子力學那樣充滿奇妙的悖論？書中會不會講解傅裏葉變換在信號處理中的應用，或者用張量來描述時空彎麯？這些都是我迫切想知道的。我希望這本書能提供清晰的物理圖像，幫助我理解那些數學上的抽象概念，不再僅僅是死記硬背公式，而是真正地“看到”數學在現實世界中的投影。我希望它能讓我體會到，綫性代數不僅僅是求解方程組的工具，更是理解物理世界運行規律的語言。我希望這本書能用生動的例子，比如描述粒子運動的軌跡，或者分析光學係統的成像原理，來展示綫性代數的力量。總之，這本書的氣質和它的內容預告都讓我充滿好奇和信心，迫不及待想要深入其中，探索物理學與綫性代數之間那奇妙的聯係，並藉此機會徹底擺脫我對綫性代數的“恐學癥”。

评分☆☆☆☆☆

我對這本書的期待，源於一次深刻的學習體驗。我曾多次嘗試學習綫性代數，但總是感到力不從心。那些抽象的概念，如嚮量空間、綫性變換、特徵值等，對我來說就像是漂浮在空中的雲，難以捉摸，更談不上融會貫通。傳統的綫性代數教材，雖然嚴謹，但缺乏直觀的物理圖像，導緻我在學習過程中總是感覺“知其然，不知其所以然”。然而，當我在書店裏看到《從物理學切入的－綫性代數導論》這本書時，我仿佛看到瞭一盞指路的明燈。我堅信，物理學是描述和理解世界最基礎的語言之一，而綫性代數又是物理學中不可或缺的數學工具。因此，以物理學的視角來學習綫性代數，必然能夠賦予這些抽象概念以鮮活的生命力。我設想，書中可能會用嚮量來描述物體在空間中的位置、速度、力等物理量，用矩陣來錶示各種物理變換，例如剛體的鏇轉、伸縮，或者描述電場、磁場的變化。我更期待書中能夠用物理學的直覺來解釋諸如“綫性空間”的意義，它是否對應著某種物理現象的疊加性？“特徵值”和“特徵嚮量”是否能夠用來描述係統的固有屬性，比如物體的振動模式或能量級彆？我希望這本書能夠幫助我建立起清晰的物理圖像，讓我在麵對復雜的數學公式時，不再感到迷茫，而是能夠將其與直觀的物理現象聯係起來，從而加深理解，提升學習效率。我渴望這本書能為我開啓一扇全新的大門，讓我真正領略到綫性代數在物理世界中的強大力量和無窮魅力。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計本身就傳達瞭一種嚴謹而又富有探索精神的氣質，那種深邃的藍色背景，搭配著精巧的幾何綫條，讓我立刻聯想到宇宙的奧秘和物理學的深邃。當我在書店翻開這本書，看到“從物理學切入”這幾個字時，我的內心湧起一股強烈的共鳴。我一直認為，數學的抽象性是其學習的最大障礙，而物理學作為一門與現實世界緊密相連的學科，其直觀性和應用性恰好能夠彌補數學的不足。我非常好奇，這本書將如何運用物理學的直覺來解讀綫性代數？是否會用力的矢量分析來解釋嚮量的運算？用坐標係的變換來引入矩陣的意義？或者，會不會涉及更復雜的物理概念，例如利用量子力學中的態疊加原理來解釋嚮量空間的綫性性質？我期待書中能夠提供清晰的物理模型，幫助我理解那些抽象的數學概念，例如“綫性無關”的物理意義，是否意味著描述的物理自由度是獨立的？“矩陣的秩”又與物理係統的可控性或觀測性有何關聯？我希望這本書能夠幫助我建立起一套基於物理直覺的綫性代數思維框架，讓我在學習過程中不再是死記硬背公式，而是能夠真正地理解數學背後的物理原理。我期待這本書能夠成為我探索物理學世界更深層次奧秘的敲門磚，讓我能夠更加自如地運用綫性代數這一強大的數學工具。

评分☆☆☆☆☆

我買這本書的初衷，其實是源於一次偶然的靈感。當時我在讀一篇關於機器學習的文章，裏麵頻繁齣現“嚮量”、“矩陣”、“特徵值”這些詞匯，雖然我大概知道它們的意思，但在理解算法的深層原理時，總感覺隔瞭一層紗。我嘗試去翻閱一些傳統的綫性代數教材，但那些密集的符號和嚴謹的證明，讓我望而卻步，很快就失去瞭興趣。我需要的不是一個純粹的數學證明過程，而是一個能夠讓我理解“為什麼”的視角。當我看到這本書的標題時，那種“從物理學切入”的字樣，簡直就像是黑暗中的一道曙光。我立刻聯想到，物理學本身就是一個不斷用數學工具來描述和理解自然規律的學科。從牛頓力學的矢量分析，到量子力學的希爾伯特空間，綫性代數的影子無處不在。我猜想，這本書很可能就是將這些物理學的直觀理解，巧妙地轉化為綫性代數的概念。我非常期待它能用物理學的語言來解釋諸如“綫性變換”的幾何意義，比如鏇轉、縮放、剪切，以及“矩陣乘法”的物理含義，可能是在描述連續的物理過程。我希望書中能有關於“特徵值和特徵嚮量”的物理學解釋，比如在振動理論中，特徵值可能代錶瞭係統的固有頻率，而特徵嚮量代錶瞭相應的振動模式。這種與物理直覺的結閤，對我來說，是理解抽象數學概念最有效的方式。我希望這本書能教會我如何用物理的眼光去審視和運用綫性代數，讓我在學習機器學習或者其他需要用到綫性代數的領域時，能夠更加遊刃有餘，而不是僅僅停留在錶麵。這本書的齣現，讓我覺得我多年的“綫性代數睏惑”終於有瞭解決的希望。