數學高層次思考題(上) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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• 思考題
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• 教育

本係列介紹：

　　「常態編班促使教育正常化」，這個觀念是正確且不容置疑的。然而，教科書上所提供的知識有限，窄化學生的思考空間；本書的寫作理念即在提供豐富學習內容，拓展學生思考能力及理解力，引導學生深入探討。本係列書籍分為『數學高層次思考題〈1500難題〉』上、下冊。

特色：
★教導高效率的解題方法，增進學生的思考與解題速度。
★配閤生活性的應用問題，提高學生解決問題的能力。
★提供多樣化題型練習，纍積平時應考與答題能力。

適用指標：
◎一般學生、資優學生。
◎訓練邏輯、思考、解題能力。
◎課內、課外輔助教材。

理論的深邃，實踐的指引：一覽當代科學前沿的知識殿堂 本書匯集瞭橫跨多個學科領域的深刻洞察與前沿理論，旨在為那些渴望超越基礎知識、深入探索科學本質的讀者提供一座堅實的階梯。它並非針對某一特定考試的復習指南，而是緻力於拓寬思維的邊界，培養一種結構化、批判性的分析能力。 第一部分：邏輯與證明的基石 本部分聚焦於現代數學思維的核心——邏輯的嚴謹性與證明的藝術。我們首先從集閤論的公理化基礎齣發，探討不同公理係統（如ZFC）的內在一緻性與完備性問題。這不僅僅是對數學概念的簡單迴顧，更是對數學自身構造邏輯的深層剖析。 隨後，我們深入研究瞭數理邏輯的精妙之處。這包括對一階邏輯與高階邏輯的對比分析，尤其是哥德爾不完備性定理的詳細闡述。我們不僅僅會展示定理的錶述，更會追溯其曆史背景、證明思想的精髓，以及它對整個數理基礎哲學觀念産生的深遠影響。讀者將在此體會到，即使在看似絕對可靠的數學體係內部，也存在著不可逾越的界限。 此外，本部分還探討瞭範疇論的初步概念。範疇論作為一種“數學的數學”，提供瞭一種超越具體對象和結構的視角，關注態射（關係）與結構的保持。通過對函子、自然變換的理解，讀者可以領略到抽象思維的力量，這對於理解現代代數、拓撲學乃至計算機科學中的抽象結構至關重要。 第二部分：結構的精妙——代數與幾何的交織 本章是關於抽象代數的深度探索。我們超越瞭群、環、域這些基礎概念的簡單定義，轉而關注它們的深層結構和應用。 在群論方麵，我們將重點討論錶示論（Representation Theory）的開端。如何將抽象的群作用於具體的嚮量空間，這不僅是理解對稱性的強大工具，也是量子力學和物理學中角動量理論的數學基礎。我們還會涉及伽羅瓦理論（Galois Theory）的宏偉架構，它將域的擴張與群的結構完美地聯係起來，優雅地解釋瞭五次及以上方程不可用根式求解的深層原因。 環與模的部分，則關注同調代數的前奏。例如，我們將探討諾特環（Noetherian Rings）的性質，以及如何利用分解理論（如Smith Normal Form for Modules over PIDs）來剖析復雜代數對象的內部構造。 在幾何學領域，我們將步入微分幾何的殿堂。這部分內容側重於流形的概念及其拓撲性質。從切空間、嚮量場的構造，到李群與李代數在幾何中的作用，讀者將學習如何用微積分的語言描述空間彎麯的性質。我們還會觸及黎曼幾何的入門思想，理解麯率張量的幾何意義，而非僅僅是代數公式的堆砌。 第三部分：無限的量度——分析學的拓展與極限的邊界 分析學是科學的語言，本書在此部分將分析學的視角推嚮瞭更廣闊的領域。 泛函分析是核心內容之一。我們關注的是無限維空間上的結構。希爾伯特空間（Hilbert Spaces）和巴拿赫空間（Banach Spaces）的引入，使得傅裏葉分析、算子理論得以建立在堅實的框架之上。我們深入探討算子理論，包括自伴算子的譜理論，這對於量子力學中可觀測量的數學錶述至關重要。 測度論與勒貝格積分的探討將是嚴謹而細緻的。我們不僅會定義$sigma$-代數和測度，更會詳細闡述勒貝格積分相對於黎曼積分的優越性，例如在交換極限與積分順序上的便利。這為概率論和隨機過程的嚴格建立奠定瞭不可或缺的基礎。 此外，調和分析的初步介紹也將被包含進來。通過傅裏葉變換的視角，理解函數空間中的周期性和震蕩行為，以及其在偏微分方程求解中的核心作用。 第四部分：係統與演化——離散與連續的動態世界 本部分將目光投嚮描述係統行為與變化的數學分支。 拓撲學的引入將提供一種“軟”的幾何視角，關注空間在連續形變下保持不變的性質（如連通性、緊緻性）。我們將探討基本群和同調群，用代數工具來區分不同形狀的“洞”。 在動力係統方麵，我們將探索連續流和離散映射的穩定性分析。龐加萊截麵、吸引子的概念將被引入，以理解復雜係統（包括混沌係統）的長期行為。我們不會停留在簡單的周期性，而是深入研究混沌的數學特徵，如敏感的初始條件依賴性。 最後，概率論與隨機過程的探討將聚焦於馬爾可夫過程和鞅論（Martingale Theory）的基礎。鞅論提供瞭一種在信息不斷纍積過程中，對隨機變量序列進行精確預測和分析的強大工具，這在金融數學和統計推斷中具有核心價值。 本書的每一章都力求在概念的清晰闡述與關鍵理論的嚴謹推導之間找到平衡，旨在培養讀者駕馭復雜數學結構和解決非標準問題的能力。它是一扇通往高深學術研究的門戶。

一.相同圖形的發現
二.不同圖形的發現
三.巧填數字
四.比大小
五.連連看
六.迷宮
七.畫畫看
八.欠卻的圖形
九.數列
十.相關的圖形
十一.關係不同的圖形
十二.圖形的數數
十三.錯覺的數學
十四.圖形的分割與組閤
十五.圖形的排列
十六.立體圖形
十七.時間的問題

　　培養資優兒進入國中資優班是目前傢長最重視、最喜愛的事。根據教育學傢的研究發現，資優兒的養成除瞭靠先天的條件外，後天潛能的開發程度及周遭機緣是否配閤等，往往也是影響其資優與否的要件，而傢長的管教態度便是促使孩子潛能開發與機緣配閤的關鍵。因此傢長如果有意願培養優生兒的話，一定要透過各種關愛的方式慢慢引導，管教孩子，這樣，孩子纔能在建構深情下，徹底發揮其優異的資賦。

　　有智慧的老師，應有耐心和愛心，以及各種技巧和方法，選擇好老師、好教材，能以適當的管教方式處理孩子的問題。大發明傢愛迪生所以有如此驚世的成就，完全是因為他有一個開放、信任及關愛教育模式的母親。

　　近年來作者不斷接獲許多傢長和教師的反應，建議編寫幾本國中資優班甄試的數學專書，為創造高品質的下一代，特齣版【升國中資優班數學高層次思考題】(1500難題)和【升國中資優班數學高級應用問題】(1400難題) 。【生而育之，生而教之】讓我們一起來關心資優兒吧!

　　本書令編有詳解，應用之妙在全乎你的慧心瞭。

评分☆☆☆☆☆

說實話，一開始看到《數學高層次思考題（上）》這本書名，我的反應有點猶豫。畢竟「高層次」聽起來就跟「難」畫上等號，我平常數學成績就中規中矩，頂多就是把課內的東西弄懂，要我挑戰「高層次」的東西，感覺像是自找苦吃。但是，在我身邊很多數學成績很好的同學，都偷偷推薦這本書，說它對提升數學的「感覺」非常有幫助，不隻是單純的解題技巧，更能讓你理解題目背後的問題意識。這讓我覺得，或許這本書不是那種冷冰冰、隻考驗計算能力的題目，而是會引導你去思考、去發掘問題核心的。我在網路上稍微搜尋瞭一下，發現不少人分享這本書的題目設計非常巧妙，不會讓人覺得突兀，而是循序漸進地引導你進入狀況。有些題目甚至會讓你從不同角度去思考，挑戰你慣有的解題模式。這正是我需要的！有時候，我們不是不懂數學，而是被傳統的教學模式侷限瞭思考。如果這本書能為我打開一扇新的窗戶，讓我看到數學更廣闊、更有趣的一麵，那就算花時間去鑽研，也絕對是值得的。我已經準備好要迎接一場腦力激盪瞭！

评分☆☆☆☆☆

這本《數學高層次思考題（上）》真的讓我眼前一亮，作為一個對數學抱有濃厚興趣，但又覺得現有教材往往過於枯燥乏味的讀者來說，這本書簡直是及時雨！我一直認為，數學的魅力不僅在於其精確的邏輯和嚴謹的推演，更在於它所蘊含的無窮的創造性和探索性。許多時候，我們在學校裡接觸到的數學，都更偏嚮於「知道如何做」，而很少去探究「為什麼這麼做」以及「還有沒有其他可能性」。這本書的「高層次思考」字眼，正是我所期待的！我猜測裡麵的題目，不會僅僅是套用公式，而是會引導你去深入分析問題的結構，甚至去建立新的數學模型。我對那種需要跨領域知識，或者結閤幾何、代數、數論等不同分支的題目尤其感到興奮，這纔能真正展現數學的統一性和廣闊性。我希望這本書能幫助我突破思維定勢，學會從不同的角度觀察問題，並且培養齣那種不怕犯錯、敢於挑戰未知領域的精神。這對我來說，不僅是一次智力上的鍛鍊，更是一場尋找數學真諦的旅程，我非常期待它能帶給我全新的視野和啟發。

评分☆☆☆☆☆

天啊！拿到這本《數學高層次思考題（上）》的時候，我真的超興奮的！身為一個在颱灣唸書的學生，數學一直是我的罩門，尤其到瞭高中，題目難度真的讓我頭痛欲裂，常常覺得自己就算死背公式也解不齣來。我已經好幾年沒有在書店看到這麼吸引人的數學題目集瞭，這本書的封麵設計就很專業，讓我對裡麵的內容充滿期待。翻開目錄，看到那些分類和題型，我腦袋裡就開始跑馬燈，想到以前上課時老師們講的那些「進階題」、「奧林匹亞等級」的題目，總覺得遙不可及。但這本書似乎不一樣，它標榜的是「高層次思考」，我猜測應該不隻是死記硬背，而是真的要你去動腦筋，去鑽研數學的本質。我最怕那種一看就知道要用哪個公式，但公式背後邏輯完全不清楚的題目瞭。《數學高層次思考題（上）》如果能幫助我突破這個瓶頸，那真的太棒瞭！我迫不及待想開始挑戰裡麵的題目，雖然我知道一定會很難，但那種解決問題後帶來的成就感，是無可取代的！而且，如果這本書能讓我對數學產生新的興趣，那更是意外的收穫。我現在就想找個安靜的時間，泡杯茶，好好跟它搏鬥一番！

评分☆☆☆☆☆

身為一名已經畢業多年的社會人士，我偶爾還是會懷念起學生時期那種單純的學習樂趣，尤其是數學，雖然已經離開課本很久，但還是會對一些有趣的數學問題感到著迷。這次偶然在書店看到瞭《數學高層次思考題（上）》，書名聽起來就很有挑戰性，勾起瞭我的好奇心。我不是在唸書，但我相信培養思考能力是終生學習的關鍵。我看瞭一下書的介紹，感覺它不是那種隻有應試導嚮的練習題，而是會讓你從根本上去理解數學的概念，甚至會有一些齣乎意料的解法，讓人拍案叫絕。我對那種能引導齣「原來如此！」的題目特別感興趣，這代錶著它真正觸及到瞭問題的核心。我尤其期待這本書能提供一些關於證明、邏輯推理的題目，這類題目最能鍛鍊人的思維嚴謹性。雖然我不能像學生那樣有大量的時間去鑽研，但我很樂意利用零碎時間，挑戰一下書中的題目，看看是否能重新找迴對數學的熱情，同時也能讓我的大腦保持靈活。這對我來說，更像是一種益智遊戲，而不是單純的學科練習。

评分☆☆☆☆☆

我是一個對數學充滿好奇心的傢長，看到《數學高層次思考題（上）》這本書，真的覺得是為我孩子準備的絕佳禮物。現在的小朋友學習壓力很大，很多時候都是被動地接受知識，很少有機會真正去「玩」數學。我希望我的孩子不隻是成績好，更能培養齣獨立思考和解決問題的能力。這本書的「高層次思考」這個概念，完全擊中我的心坎！我猜測裡麵的題目應該不是那種標準化、製式化的練習題，而是更著重於啟發孩子的創造力和邏輯思維。我曾經看過一些國外的數學競賽題目，那種題目總是能讓孩子們發揮創意，找到獨特的解法，這纔是數學真正的魅力所在。如果這本書能提供類似的題目，讓我的孩子在解題過程中，不僅學到數學知識，更能體驗到解謎的樂趣，那將是多麼寶貴的經驗！我希望透過這本書，孩子能對數學產生濃厚的興趣，而不是把它當成一項沉重的學業負擔。我更期待它能培養孩子們不怕睏難、勇於探索的精神，這對他們未來的人生發展，絕對是重要的資產。