數學女孩秘密筆記：嚮量篇 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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　　日本齣版協會貢獻奬得主──結城浩！

　　什麼東西靜止不動，加速度卻非０？
　　解開嚮量的大小、方嚮、角度與加速度！

　　為什麼人站在地上
　　不會因為重力而陷入地麵？

　　在三維空間中，確定一條直綫的方嚮，就能決定平麵的方嚮；
　　在三維空間中，確定一條直綫的方嚮，再點齣一個點的位置，便能得到一個平麵！
　　從嚮量到內積、平麵方程式，再到球麵方程式！

　　學習基礎力學、等價與相等、內積的運算、嚮量的平均
　　掌握嚮量與函數空間、切綫方程式的關係
　　馬上開竅，輕鬆解題！

名人推薦

　　前師範大學數學係教授兼主任  洪萬生  審訂
 

探索數字的殿堂：代數與幾何的交匯點 一部深入淺齣、引領讀者領略數學核心魅力的著作 本書並非聚焦於任何特定主題的“篇章”，而是旨在為廣大學習者，特彆是那些渴望跨越純粹計算，真正理解數學概念內在邏輯與美感的讀者，構建一座堅實的橋梁。我們將避開嚮量空間的特定探討，轉而將目光投嚮數學更為廣闊的基石——代數結構與幾何直覺的深刻融閤。 第一部分：無形之網——代數結構的嚴謹構建 本捲首先著眼於代數運算的本質，探究其背後的公理體係與形式邏輯。我們不會局限於高中階段對數字和基本方程的操作，而是深入到抽象代數（Abstract Algebra）的入門概念，但會以極其直觀的方式呈現。 1. 群論的初探：對稱性的語言 群（Group）是現代數學的基石之一。本書將以曆史的視角，從早期對對稱性（如鏇轉、反射）的觀察齣發，引齣群的四個基本公理：封閉性、結閤律、單位元和逆元。我們將通過具體的例子，如整數加法群、可逆矩陣集閤，以及一個看似簡單的拼圖遊戲的重新排列，來闡釋這些抽象概念的實際意義。讀者將學會如何“閱讀”一個代數結構，識彆其不變性和轉換規則。我們強調的是，群論不僅僅是關於數字的，更是關於“變換”和“不變性”的哲學。 2. 環與域：算術的基石重塑 在理解瞭群的單操作結構後，我們將引入第二個操作，構建環（Ring）的概念。環是同時具備加法群結構和特定乘法結構的代數對象。我們將詳細分析交換環、整環，並最終過渡到域（Field）。域是允許除法的環，是微積分和綫性代數等高等數學得以順利開展的必要土壤。重點在於區分不同結構之間的能力限製——例如，為什麼在整數環中我們無法保證所有非零元素都有乘法逆元，而在有理數域中則可以。這種“限製”的探索，是理解數學精確性的關鍵。 3. 多項式代數：變量的魔力 多項式不僅僅是代入數值的錶達式，它們構成瞭重要的代數結構——多項式環。我們將探討多項式的因式分解，理解它們如何揭示隱藏在方程背後的根。更重要的是，我們將探討多項式的代數性質如何影響其幾何圖像的形態，例如，多項式的根對應於函數圖像與X軸的交點，而其導數則與圖像的斜率和極值點息息相關。這裏是代數與幾何開始交織的第一個重要節點。 第二部分：空間的洞察——幾何思維的深化 在代數基礎構建穩固之後，我們將把注意力轉嚮空間和形狀的本質描述，但這裏的幾何，超越瞭歐幾裏得平麵與立體幾何的範疇。 4. 坐標係的演變與空間的映射 本書將審視坐標係的曆史發展，從笛卡爾坐標係到參數方程，以及不同維度空間的概念。我們關注的核心是如何用代數語言描述幾何對象，反之亦然。例如，拋物綫、橢圓和雙麯綫在笛卡爾坐標係下可以被簡潔地錶示為二元二次方程，這本身就是代數與幾何和諧統一的體現。我們將探討坐標變換對圖形描述的影響，並引入更抽象的視角來看待“距離”和“角度”的定義，為後續拓撲學的思考打下基礎。 5. 歐氏幾何的嚴謹性與非歐幾何的啓示 我們將迴顧歐幾裏得幾何的五大公設，特彆是第五公設（平行公設）的深刻曆史地位。然後，我們將通過思想實驗，介紹黎曼幾何和雙麯幾何的雛形，這並非為瞭復雜的計算，而是為瞭拓寬讀者的心智邊界：空間本身並非一成不變的背景，其內在屬性（如麯率）可以通過代數規則來描述和定義。這種對“什麼是空間”的哲學性追問，是數學思維成熟的標誌。 6. 拓撲學的溫柔觸感：不變的性質 在本書的幾何部分，拓撲學將作為終極工具齣現。我們將介紹拓撲學的核心概念——連續變形（拉伸、扭麯，但不撕裂或粘貼）。在這個框架下，咖啡杯和甜甜圈（環麵）在本質上是等價的。我們將探討連通性、緊緻性等拓撲性質，它們提供瞭一種比度量幾何（歐氏幾何）更為本質的、對形狀的分類方式。理解拓撲學，意味著理解哪些幾何特徵是“堅固的”，不會因微小的擾動而改變。 結語：數學之美的統一性 全書的敘述風格力求清晰、邏輯嚴密，同時富含啓發性。我們緻力於展示：代數結構是描述事物關係和變換的精確工具，而幾何直覺則是賦予這些工具以形態和意義的想象力。通過對群、環、域的結構分析，以及對空間描述方式的演變探索，讀者將建立起一套統一的數學世界觀，明白數學的各個分支是如何相互支撐，共同構建起我們所知的數字與空間的宏偉殿堂。本書的目標是培養讀者用更深層次的眼光去審視數學問題，欣賞其形式之美與邏輯之嚴。

作者簡介

結城浩

　　1963年生。寫作有關程式語言、設計模式、密碼、數學等領域的入門書。最新著作是「數學女孩係列」以及「數學女孩秘密筆記係列」。是一個最喜歡巴哈「賦格藝術」作品的新教基督徒。著作包括2011《數學女孩：費馬最後定理》，2012《數學女孩：哥德爾不完備定理》，2013《數學女孩：隨機演算法》、2014《數學女孩：伽羅瓦理論》（世茂齣版）等。

　　www.hyuki.com/

譯者簡介

陳朕疆

　　自由譯者。大學念生命科學、碩士念財務管理，對各領域的知識都很好奇。

　　在日本留學時有感於日本齣版業的蓬勃，希望能把好書介紹給更多人認識，而有瞭成為譯者的想法，歡迎批評指教。email: czj.kyoto@gmail.com
 

獻給你iii
序章ix

第1章助我一臂之力1
1.1 我的房間1
1.2 站在地麵上的人3
1.3 力6
1.4 等速度直綫運動13
1.5 人有兩隻腳15
1.6 「力」是什麼？ 16
1.7 用綫吊掛重物18
1.8 力的相加26
1.9 張力的相加27
第1 章的問題36

第2章無數相同的箭號41
2.1 在圖書室41
2.2 「相等」的定義46
2.3 彎彎的嚮量49
2.4 無數相同的箭號53
2.5 繪製嚮量60
2.6 「等價」與「相等」的定義68
2.7 月曆70
2.8 嚮量74
第2 章的問題80

第3章嚮量的乘法85
3.1 我的房間85
3.2 cos 91
3.3 思考內積的定義100
3.4 影子的方嚮102
3.5 內積的定義104
3.6 看起來像乘法嗎？ 107
3.7 交換律與內積108
3.8 分配律與內積110
3.9 結閤律與內積111
3.10 具體的例子119
第3 章的問題127

第4章看透圖形的本質131
4.1 在圖書室131
4.2 作圖幫助思考137
4.3 嚮量的內積142
4.4 直綫的參數式152
4.5 求切綫160
4.6 米爾迦165
4.7 函數空間166
第4 章的問題180

第5章嚮量的平均183
5.1 我的房間183
5.2 嚮量186
5.3 嚮量的平均190
5.4 為什麼可以這樣算197
5.5 m:n 的內分點204
5.6 由梨的疑問215
5.7 證明220
第5 章的問題225

尾聲229
解答235
獻給想要深入思考的你271
後記283
索引287
 

序

　　嘿，你在哪裏？
　　我看著腳下說。
　　嘿，你往哪裏去？
　　我看嚮遠方說。
　　加速度與力，使嚮量現身；
　　平移與鏇轉，使嚮量舞動；
　　方嚮與大小，使嚮量成形。
　　時而相加、時而相減、時而相乘。
　　嘿，你在哪裏？
　　我？我就在這裏。
　　嘿，你往哪裏去？
　　我？我無所不往
　　不論前往何處，都和你一起。
　　不論前往何方，都與我一起。
　　讓我們啓程尋找嚮量吧。
 

1.1    我的房間

由梨：「哥哥！由梨想到一個很有趣的東西喔！」

我：「什麼啊？這麼突然。」

我的錶妹由梨是國中生，她常跑到我的房間找我玩，一起研究如何解開她帶來的數學謎題。

由梨：「有沒有哪個東西是『靜止不動，加速度卻不是0』呢？」

我：「靜止不動，加速度卻不是0？」

由梨：「快告訴我！」

我：「這個嘛……的確是有這種東西啦。」

由梨：「果然沒錯！」

我：「舉例來說，當我們把球直直往上拋，球一開始會嚮上移動，但速度越來越慢。在往上的速度消失的那一瞬間，球靜止不動，下一秒便開始下落。」

由梨：「嗯嗯。」

我：「不過，這顆球的加速度不是0。地球在這顆球上施加瞭重力，這股力量使球産生加速度。之前我不是有提過嗎？力會産生加速度*。」

由梨：「沒錯。」

我：「地球重力造成的加速度稱作g。當然，g不等於0。雖然球的速度一直在改變，但加速度不會變，因為地球的重力不會隨時間改變。」

由梨：「原來是這樣啊……」

我：「所以，就算加速度不是0，物體也可能靜止不動，雖然這現象隻會齣現一瞬間。」

由梨：「嗯……」

我：「但如果物體『一直』保持靜止，就錶示它的速度一直是0。既然速度都沒變，那麼加速度當然也是0囉。」

由梨：「這樣不是很奇怪嗎？」

我：「由梨有什麼想法呢？」

1.2    站在地麵上的人

由梨：「假設，地麵上站著一個人。」

我：「嗯。」

由梨：「之前哥哥說明力和加速度，有提到『加速度是位置的微分再微分』，以及『力會産生加速度』等……」

我：「嗯，是啊。」

由梨：「重力也作用在這個站立的人身上吧？重力也是力的一種吧？」

我：「當然囉。」

由梨：「可是這個人是靜止的，不是隻有一瞬間靜止，而是一直保持靜止。他的速度一直是0，即錶示速度沒改變……所以加速度是0吧？」

我：「喔妳是要問這個問題啊！」

由梨：「我覺得明明有作用力，加速度卻是0……好奇怪！」

我：「原來如此。妳覺得『力作用在物體上，加速度不應該等於0』啊。這個想法很好，由梨果然很聰明呢！」

评分☆☆☆☆☆

拿到《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》的那一刻，我的心情就像收到瞭一份精心準備的禮物。封麵設計簡約而不失雅緻，淡淡的藍色調和流暢的綫條，隱約透露齣嚮量那種既有方嚮又有大小的特性。我特彆喜歡觸感溫潤的紙張，翻閱時有一種舒適的滿足感，這無疑會提升閱讀的體驗。我一直認為，優秀的數學書籍，不僅僅在於內容的深度和廣度，更在於它能否以一種引人入勝的方式，將抽象的數學概念具象化，讓讀者産生共鳴。而“秘密筆記”這個副標題，更是勾起瞭我極大的興趣。它暗示著，這本書並非一本枯燥的教科書，而更像是作者在探索嚮量世界的個人心路曆程，裏麵可能包含著許多不為人知的思考、感悟，甚至是“走過的彎路”。我希望在這本書中，能夠看到一種全新的視角來理解嚮量，不是那種死闆的定義和推導，而是通過一種更加直觀、更加貼近生活的方式，去感受嚮量的魅力。我期望作者能夠用她獨特的語言，將那些復雜的公式和定理，轉化為一個個生動的故事，一個個有趣的謎題，讓我在不知不覺中，就領略到嚮量的強大力量。我甚至可以想象，書中會穿插著一些作者的手繪圖，那些充滿靈性的綫條，也許就是解開嚮量奧秘的鑰匙。

评分☆☆☆☆☆

當我拿到《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》時，一股莫名的興奮湧上心頭。首先，吸引我的就是這個充滿詩意的書名，它暗示著這本書不僅僅是關於數學知識的傳遞，更是一種對數學探索的獨特記錄。我一直對那些“秘密筆記”式的讀物情有獨鍾，因為它們往往充滿瞭作者最真實的想法和最深刻的感悟，不像教科書那樣經過層層刪改，顯得更加鮮活和觸手可及。我非常期待在這本書中，能夠看到作者如何用一種非常個人化、非常細膩的方式來解讀嚮量。我設想，這本書的語言風格會非常獨特，或許會像在和一位朋友聊天一樣，娓娓道來，將那些原本枯燥乏味的數學概念，變得生動有趣。我希望作者能夠分享她在學習嚮量過程中的一些“ Aha!”時刻，那些讓她茅塞頓開的瞬間。而且，“數學女孩”這個稱謂，也讓我覺得這本書會有一種特彆的視角，可能更注重直觀的理解，更側重於數學的趣味性，而不是一味地追求嚴謹的邏輯推導。我希望這本書能夠幫助我，將嚮量這個抽象的概念，變得更加具象化，更能讓我感受到它在現實世界中的應用和意義。我期待，這本書能為我打開一扇新的窗戶，讓我用全新的眼光去審視嚮量。

评分☆☆☆☆☆

《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》這本書，從拿到手的那一刻起，就散發著一種獨特的魅力。書名本身就充滿瞭神秘感和吸引力，“秘密筆記”這四個字，仿佛在邀請讀者進入一個不為人知的數學世界，去探索那些隱藏在錶麵之下的智慧。我一直覺得，數學的學習，很多時候需要一種“頓悟”，而這種頓悟，往往源於那些不經意的思考和獨特的視角。我非常期待，在這本“秘密筆記”中，能夠找到那種能點亮我思路的火花。我猜想，作者在書中一定是用一種非常放鬆、非常個人的方式，記錄瞭她對嚮量的理解和感悟，也許會穿插一些她在學習過程中遇到的趣事，或者是一些有趣的數學小實驗。而且，“數學女孩”這個身份，也讓我對這本書充滿瞭期待。我希望它能有一種不同於傳統數學書籍的風格，或許更加注重直觀的理解，更加強調數學的趣味性和應用性，而不是僅僅停留在公式和定理的層麵。我渴望在這本書中，能夠看到嚮量是如何在作者的筆下變得鮮活起來，不再是冰冷抽象的符號，而是充滿生命力的工具。我希望這本書能夠幫助我，擺脫對嚮量的恐懼，真正地愛上它，並從中獲得解決問題的靈感。

评分☆☆☆☆☆

當我看到《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》這本書時，我的內心充滿瞭期待。書名中的“秘密筆記”四個字，就像一個邀請函，邀請我進入作者的數學世界，去發現那些隱藏的智慧和獨特的見解。我一直相信，優秀的數學書籍，不僅僅是知識的搬運工，更應該是思想的啓迪者。我期待在這本書中，能夠看到作者如何以一種非常個人化、非常細膩的方式，來解讀嚮量這個概念。我猜想，這本書的語言會非常生動，充滿瞭作者自己的思考和感悟，而不是冰冷的公式堆砌。我希望能夠通過這本書，獲得一些不尋常的學習方法，那些能夠幫助我更直觀、更深刻地理解嚮量的精髓。而且，“數學女孩”這個稱謂，也讓我對這本書充滿瞭好奇。它可能意味著一種更加注重感性理解和形象思維的學習方式，能夠幫助我建立起對嚮量的整體認知。我渴望這本書能夠成為我學習嚮量路上的一個重要夥伴，它不僅教會我知識，更能讓我感受到數學的魅力，激發我持續探索的熱情。

评分☆☆☆☆☆

《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》這本書，僅從書名就能感受到一種彆樣的數學探索之旅。“秘密筆記”四個字，瞬間就勾起瞭我的好奇心，仿佛是在邀請我偷窺一份屬於數學愛好者的珍貴寶藏。我一直認為，真正能打動人心的數學書籍，不僅僅是知識的傳遞，更是思想的碰撞和心靈的共鳴。我期待在這本書中，能夠看到作者如何以一種非常私密、非常個人化的方式，去記錄她對嚮量世界的理解和感悟。我設想，這本書的語言會充滿瞭溫度和人情味，就像一位經驗豐富的導師，在循循善誘地引導著我。我希望作者能夠分享一些她獨特的學習心得，那些在她腦海中閃現過的靈光乍現，那些讓她剋服睏難的智慧。而且，“數學女孩”這個定位，也讓我對這本書充滿瞭期待。它可能意味著一種更加注重直觀感受和形象思維的學習方式，能夠幫助那些對數學望而卻步的讀者，找到學習的樂趣。我渴望在這本書中，能夠感受到嚮量的生命力，理解它在現實世界中的廣泛應用，從而激發齣我更深入學習的動力。

评分☆☆☆☆☆

《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》這本書，僅僅是拿到手，就讓我感到一種滿滿的驚喜。書名本身就充滿瞭誘惑力，“秘密筆記”這四個字，勾起瞭我心中對未知的渴望，仿佛是一扇通往數學深處的大門，等待著我去開啓。我期待，這本書能夠以一種非常個人化的方式，呈現作者對嚮量的理解，而不是簡單的知識羅列。我希望能夠在這本書中，看到一些作者自己摸索齣的、獨一無二的學習方法，那些能讓她豁然開朗的瞬間。我甚至可以想象，書中會包含一些作者的隨筆，或者是一些對數學的獨到見解，讓閱讀的過程充滿瞭趣味性和思想的啓迪。而且，“數學女孩”這個標簽，也為這本書增添瞭一層特彆的色彩。我希望這本書的語言風格能夠是輕鬆活潑的，充滿青春的活力，能夠用一種更加貼近生活的方式，來講解嚮量的概念，讓那些原本覺得枯燥的數學知識，變得生動有趣，易於接受。我渴望這本書能夠成為我手中一份特彆的禮物，它不僅傳授知識，更能點燃我對數學的熱情，讓我主動地去探索和發現。

评分☆☆☆☆☆

《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》的齣現，對我來說，就像是數學學習道路上遇到的一位知己。書名本身就充滿瞭吸引力，“秘密筆記”四個字，在我腦海中勾勒齣瞭一幅畫麵：在某個寜靜的午後，一位聰慧的數學女孩，在她的書桌前，用筆尖在紙上留下她對嚮量世界的獨特見解。我期待的，正是這種帶有個人色彩、充滿探索精神的數學筆記。我希望它不會像教科書那樣，僅僅是冰冷地陳述事實，而是充滿瞭溫度和思考。我希望作者能夠分享她在學習嚮量過程中遇到的睏惑，以及她是如何一步步剋服這些睏難，最終豁然開朗的。我尤其希望，書中能有一些不尋常的切入點，用一些意想不到的比喻或者類比，來解釋嚮量的本質。我曾經在學習嚮量時，感覺它像是飄在空中的幽靈，摸不著邊際，但又無處不在。我渴望這本書能夠幫助我找到一個穩固的支點，讓我能夠真正地“抓住”嚮量，理解它的內在邏輯。而且，“數學女孩”這個標簽，也讓我覺得這本書不會那麼嚴肅，或許會帶有一些輕鬆的幽默感，讓學習的過程不再是煎熬，而是一種享受。我非常期待，這本書能夠成為我手中的一盞明燈，照亮我在嚮量世界裏前行的道路。

评分☆☆☆☆☆

當我看到《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》這本書時，我的目光就被深深吸引瞭。書名中的“秘密筆記”四個字，給我一種非常獨特的感受，仿佛是一份珍貴的手稿，記錄著作者在嚮量領域探索過程中的點點滴滴。我一直覺得，真正的數學學習，需要的不僅僅是課本上的知識，更是一種對數學的熱愛和探索的精神。我希望這本書能夠為我帶來一些不同尋常的視角，讓我能夠從一個全新的角度去理解嚮量。我猜想，書中一定有很多作者自己獨到的見解，那些經過她自己思考和實踐纔形成的理解方式。我期待，這本書的語言會非常生動有趣，不會像傳統的數學書籍那樣枯燥乏味，而是充滿瞭對話感和啓發性。我尤其希望，作者能夠分享一些她在學習嚮量過程中遇到的挑戰，以及她是如何巧妙地剋服這些挑戰的。而且，“數學女孩”的稱號，也讓我覺得這本書會帶有一些獨特的女性視角，可能在解釋一些概念時，會更加注重細節和感受。我渴望這本書能夠成為我探索嚮量世界的嚮導，帶我領略嚮量的奧秘，並激發我對數學更深層次的興趣。

评分☆☆☆☆☆

剛翻開《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》，我立刻就被它吸引住瞭。書名中的“秘密筆記”四個字，本身就帶有一種探索的神秘感，仿佛能帶領讀者進入一個不為人知的數學世界。我一直認為，優秀的數學讀物，不僅僅在於內容的專業性，更在於它能否以一種引人入勝的方式，將抽象的概念變得生動有趣。我期待在這本書中，能夠看到作者如何用她獨特的視角，去解讀嚮量這個數學中的重要分支。我猜想，這本書不會像傳統的教科書那樣，僅僅是羅列定義和公式，而是會充滿作者個人的思考和感悟，甚至可能包含一些她在探索過程中遇到的趣事和靈感。我尤其希望，作者能夠分享一些不同於主流講解方式的理解方法，用一些巧妙的比喻或者生動的例子，來幫助讀者建立對嚮量的直觀認識。而且，“數學女孩”這個名字，也為這本書增添瞭一抹青春的活力和獨特的女性視角。我希望這本書的語言風格是輕鬆活潑的，能夠激發起我對嚮量學習的興趣，讓我不再覺得它是一個遙不可及的難題。我渴望這本書能夠成為我手中的一把鑰匙，幫助我打開嚮量世界的奇妙大門。

评分☆☆☆☆☆

剛收到這本《數學女孩秘密筆記：嚮量篇》，還沒來得及深入翻閱，光是封麵設計和紙張的觸感就讓我對它充滿瞭期待。我一直覺得，數學學習不應該僅僅是公式的堆砌和定理的記憶，更應該是一種探索的過程，一種發現美的旅程。而“秘密筆記”這個名字，恰恰點燃瞭我心中對未知的好奇。我設想，在這本書裏，作者一定用一種非常私密、非常個人化的方式，記錄瞭她在嚮量世界裏的那些閃光時刻，那些讓她豁然開朗的頓悟，那些她自己摸索齣的、獨一無二的理解路徑。我非常期待能從這些“秘密”中，窺見嚮量這個看似抽象的概念，是如何在作者的筆下變得鮮活、生動，甚至充滿趣味的。我希望這本書不僅僅是傳授知識，更能激發我自己的思考，讓我不僅僅是被動地接受，而是主動地去探索，去構建屬於自己的嚮量認知體係。我猜想，書中一定會有很多不同於課本的講解方式，或許會結閤一些生活中的例子，或者是一些富有創意的幾何圖形，讓那些原本讓人頭疼的嚮量運算和定理，變得更容易理解和記憶。而且，“數學女孩”這個名字，本身就帶著一種青春的活力和獨特的視角，這讓我相信，這本書的語言風格也會是輕鬆活潑的，不會像傳統的數學書籍那樣枯燥乏味，而是充滿瞭對話感和溫度。我迫不及待地想要沉浸其中，去體驗一場屬於“數學女孩”的嚮量奇遇記。