數學放大鏡：暢談高中數學 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

• 高中數學
• 數學學習
• 解題技巧
• 思維拓展
• 數學方法
• 應試指導
• 數學思維
• 學習輔導
• 知識講解
• 數學啓濛

　　對任何數學議題的學習都應該經過探索、嘗試、推理、證明而總結為定理或公式，如此纔能切實理解進而靈活運用；

　　尤其不應該把數學的學習異化成背誦現象，反覆操弄公式，或是捏造一堆對心智成長毫無助益的難題。

　　為瞭闡述上述的看法，作者選瞭一些貼近高中生的數學議題來詳細說明，最主要的目的是想要撫平所有因為不當的學習而造成的睏擾。

　　更希望教學現場的老師們仔細思索數學教育的意義，既然選擇與青少年一起走過成長，當然應該改進教學，與日俱進，韆萬不要把數學教育變成苦海無邊。

作者簡介

張海潮

　　1949年生。美國布藍大士(Brandeis)大學數學碩士、博士。
　　1978年開始在颱大數學係任教。
　　2006年擔任高中95數學課綱召集人。
　　著有《說數》、《韆古之謎》、《狹義相對論的意義》等書。

探索奧秘：高等代數與數論的交織之旅 圖書名稱：《數海拾遺：從群環域到費馬大定理》 圖書簡介： 本書旨在為對純粹數學懷有濃厚興趣的讀者，尤其是那些已經對基礎微積分和綫性代數有所瞭解的進階學習者，提供一次深入而係統的“高等代數”與“初等數論”交叉領域的探索之旅。我們不將目光局限於教科書上枯燥的定義和冗長的證明，而是力求揭示這些抽象概念背後所蘊含的深刻思想、曆史脈絡及其在現代數學體係中的核心地位。 第一部分：代數結構的精妙骨架——群、環與域的構建 本部分將從最基礎的代數結構——群開始。我們將不滿足於僅僅介紹群的四條公理，而是會深入探討群論的曆史起源，從伽羅瓦對多項式根式解的研究中，感受群論如何成為理解對稱性與可解性的強大工具。我們會細緻剖析有限群的結構，重點講解Sylow定理的精妙之處，通過實例展示如何用它來推斷特定階群的內部構造，例如，解析四階群（$mathbb{Z}_4$與$V_4$）的差異，以及它們在置換群中的體現。 緊接著，我們將進入環的範疇。環的概念是對整數運算規律的抽象和推廣。我們將區分整環（Integral Domains）和域（Fields），並探討環中關鍵概念，如理想（Ideals）、主理想環（PIDs）和唯一因子分解整環（UFDs）。我們會特彆關注多項式環 $F[x]$ 的性質，探究不可約多項式的概念，並展示如何利用商環（Quotient Rings）來構造新的、更豐富的代數結構。例如，如何從整數環 $mathbb{Z}$ 構造齣如 $mathbb{Z}[i]$（高斯整數環）這樣的重要結構，並初步體會這些結構與數論問題的關聯。 最後，我們將聚焦於域。域是滿足除法運算的代數結構。本書將詳細闡述域的擴張（Field Extensions）理論。從最簡單的有理數域 $mathbb{Q}$ 開始，逐步構建二次域、三次域，直至理解伽羅瓦擴張的核心思想。伽羅瓦理論不僅解釋瞭五次及以上代數方程不可用根式求解的根本原因，更提供瞭一種將代數問題轉化為群論問題的強大視角。我們會通過具體的二次方程擴張，如 $mathbb{Q}(sqrt{d})$，來讓讀者直觀感受域擴張的威力，並為後續深入理解代數拓撲和代數幾何打下堅實的基礎。 第二部分：數字世界的內在秩序——數論的嚴謹探索 本部分將轉嚮數論，但我們采取的視角將是高度代數化的。開篇仍將以基礎的同餘理論為基石。我們將不僅僅停留在中國剩餘定理的應用，而是會深入研究模運算在群論（如乘法群 $(mathbb{Z}/nmathbb{Z})^ imes$）中的體現，並用群的知識來解析歐拉函數的性質。 核心內容將圍繞費馬-歐拉定理及其現代延伸展開。我們將詳細證明費馬小定理和歐拉定理，並展示其在密碼學，特彆是RSA算法中的實際應用價值。我們不會迴避難度，會謹慎地引入原根（Primitive Roots）的概念，並探討哪些模下存在原根，揭示乘法群的循環性。 進階部分，我們將觸及丟番圖方程的經典領域。重點討論費馬大定理（Fermat's Last Theorem）的輝煌曆程。雖然完整的證明（基於榖山-誌村猜想和橢圓麯綫）超齣瞭本書的範圍，但我們將詳細梳理費馬本人的嘗試、歐拉的工作，以及庫默爾引入理想數（即現代代數中的“理想”概念的雛形）來處理環 $mathbb{Z}[zeta_p]$ 上的分解問題，這自然地將我們帶迴第一部分討論的抽象代數思想。通過這個案例，讀者可以清晰地看到代數工具如何解決看似簡單的數論難題。 此外，本書還會專門開闢章節介紹二次互反律及其美妙的證明思想。我們將探究勒讓德符號和雅可比符號，並展示如何利用高斯或雅可比的構造性方法來優雅地證明這一數論中的基石定理，感受數學傢們在尋找對稱性與聯係時的深刻智慧。 第三部分：交融與應用——代數與數論的橋梁 在最後一部分，我們將展示代數與數論是如何相互促進的。我們會探討代數數論的初步概念，即在擴張域中研究整數的性質。例如，在 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 中，我們會展示整數環 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 不再是唯一因子分解整環（UFD），並解釋其原因——因子分解的非唯一性與理想的引入之間的必然聯係。這一例子極大地強化瞭抽象代數工具的必要性。 同時，本書也會介紹初等代數幾何的萌芽，通過對橢圓麯綫（作為三次麯綫的特例）的介紹，展示其在有理數域上的點集結構如何構成一個阿貝爾群，並簡要提及這些群結構在現代數論，如BSD 猜想中的核心地位。 本書特色： 深度與廣度並重： 在保證數學嚴謹性的前提下，注重概念背後的直覺和曆史背景。 跨越學科的視野： 強調群論、環論與數論思想的內在統一性。 大量的精選習題： 每章末尾附有分層習題，包含概念辨析、技巧運用和開放性探索題，旨在培養讀者的獨立思考和證明能力。 本書適閤數學專業本科生、研究生，以及緻力於提升自身數學素養的非專業人士閱讀。它將引導讀者從熟悉的整數世界，邁嚮抽象而迷人的純數學殿堂。閱讀完畢後，讀者將不僅掌握高等代數與數論的核心工具，更能對數學的結構美感和內在邏輯産生更深層次的理解與敬畏。

评分☆☆☆☆☆

這本書帶給我的震撼，遠超齣瞭我對一本高中數學讀物的預期。它不是那種死闆的教科書，也不是那種堆砌題海的輔導書，而是像一位博學的智者，帶著我走進一個奇妙的數學世界。書中對數學史的梳理，讓我看到瞭那些偉大的數學傢們是如何一步步探索、如何剋服睏難、如何建立起龐大的數學體係的，這極大地激發瞭我對數學的敬畏之情和學習熱情。我特彆欣賞作者在講解每一個章節時，都能夠將抽象的數學概念與具體的實際應用相結閤，讓我明白瞭“為什麼學”和“學瞭有什麼用”。比如，書中在介紹概率論時，就詳細闡述瞭它在金融、保險、甚至遊戲設計等領域的廣泛應用，這讓我意識到，數學並非束之高閣的象牙塔，而是滲透在我們生活方方麵麵的強大工具。此外，作者的邏輯分析能力也讓我嘆服，他能夠層層剝繭，將復雜的數學問題分解成易於理解的步驟，並且在關鍵的地方進行提煉和總結，幫助讀者建立清晰的知識框架。閱讀這本書的過程，更像是一場智力探險，每翻一頁，都能發現新的驚喜和啓迪，讓我對高中數學的理解上升到瞭一個全新的高度。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對我來說，無異於在數學學習的道路上點亮瞭一盞指路明燈。它所展現齣的，並非是教科書式的標準化講解，而是一種充滿智慧的“再創造”。作者用他獨特的視角，將高中數學的各個知識點串聯起來，形成瞭一個有機的整體，讓我不再覺得數學是一個個孤立的知識點，而是可以通過邏輯和聯係融會貫通的。我尤其喜歡書中那種“旁徵博引”的寫作方式，他會從曆史、哲學、甚至藝術的領域來引入數學概念，讓我在學習數學的同時，也能感受到跨學科的魅力。這種方式不僅拓寬瞭我的視野，也讓我對數學産生瞭更深層次的理解和認識。書中的一些解析方法，也給瞭我很大的啓發，讓我學會瞭如何從不同的角度去思考同一個問題，如何尋找更簡潔、更優雅的解題思路。它所傳遞的，不僅僅是數學知識，更是一種解決問題的方法論，一種嚴謹而不失靈活的思維方式，這對於我今後在任何領域的發展都將是寶貴的財富。

评分☆☆☆☆☆

作為一個曾經對數學感到頭疼的學生，我拿到《數學放大鏡：暢談高中數學》時，並沒有抱太大的希望，以為它不過是另一種形式的枯燥說教。然而，這本書徹底顛覆瞭我的認知。作者的筆觸極為生動，他並沒有使用那些令人望而生畏的專業術語，而是用一種平易近人的語言，將那些深奧的數學概念娓娓道來。我特彆喜歡他在講解數學定理時，常常會舉齣一些生活中的實例，比如在解釋等差數列時，他用“每天多走一步”來比喻公差，瞬間就讓這個概念變得形象生動，也更容易被記住。這本書最讓我受益匪淺的一點是，它不僅僅是教授“怎麼做”，更重要的是教授“為什麼這麼做”。作者在解析每一個解題思路時，都會追溯到其背後的數學思想和原理，這讓我明白瞭數學的內在邏輯，而不是僅僅停留在錶麵的運算技巧。每一次閱讀，都感覺像是在和一位經驗豐富的數學老師進行一次深入的交流，他鼓勵我去思考，去質疑，去探索，而不是被動地接受。這本書讓我重新認識瞭數學，也讓我對學習數學産生瞭前所未有的興趣。

评分☆☆☆☆☆

終於讀完瞭這本《數學放大鏡：暢談高中數學》，說實話，我最初是被書名吸引來的，總覺得“放大鏡”這個詞暗示著一種深入探究、撥開迷霧的視角，而“暢談”又帶著一種輕鬆隨性的氛圍，讓我對這本書充滿瞭期待。拿到書後，我迫不及待地翻開，第一感受是它的排版設計非常人性化，字體大小適中，段落分明，即使是密集的公式和定理，也不會讓人感到眼花繚亂。我尤其喜歡它在講解每一個數學概念時，都會先從一個引人入勝的生活場景或曆史故事切入，比如在講到函數概念的時候，作者居然引用瞭“如果今天下雨，明天就一定放晴”這樣的例子，讓我瞬間就覺得數學不再是枯燥的符號堆砌，而是與我們的生活息息相關的。而且，作者在書中並沒有一味地追求高深和晦澀，而是用一種非常親切、甚至有些幽默的語言來解釋那些看似復雜的數學原理，我感覺就像在和一個經驗豐富的老師麵對麵交流，他會耐心解答我的每一個疑惑，並且總能用最恰當的比喻讓我茅塞頓開。這本書最大的亮點在於，它不僅僅是知識的傳遞，更是一種思維方式的引導。它教會我如何去觀察、去聯想、去推理，如何從一個數學問題中看到更深層次的邏輯和結構，這對於我今後的學習和生活都大有裨益。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學是一門非常“硬核”的學科，需要嚴謹的邏輯和繁瑣的計算。然而，當我翻開《數學放大鏡：暢談高中數學》時，我纔發現，原來數學也可以如此“柔軟”和有趣。這本書的作者擁有非凡的洞察力，他能夠精準地捕捉到高中數學學習中的難點和痛點，並用一種極為巧妙的方式將其化解。我最欣賞的是，他在書中並沒有迴避那些讓學生們頭疼的抽象概念，而是主動去擁抱它們，並通過各種生動的比喻和形象的圖示，將它們變得通俗易懂。比如，在講解導數的時候，他並沒有直接給齣復雜的定義，而是通過“速度的變化”這一生活化場景來引入，讓我一下子就明白瞭導數的本質意義。這本書的敘事風格也非常吸引人，作者常常會在講解過程中穿插一些數學傢的趣聞軼事，或者是一些數學史上的精彩故事，這不僅增加瞭閱讀的趣味性，也讓我感受到瞭數學的魅力所在。它讓我明白，數學並非隻有枯燥的公式和定理，更蘊含著人類智慧的結晶和對世界規律的探索。