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原文作者： Keith Devlin

圖書標籤:

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　　《經濟學人》（The Economist）、《科學美國人》（Scientific American）、《齣版人週刊》（Publishers Weekly）一緻推薦！全球銷量逾百萬冊！

　　2004國際畢達哥拉斯奬、2007卡爾．沙根科普奬得主最新力作，颱師大數學係洪萬生教授領軍翻譯。

　　數學，是一切科學學習的基礎。

　　唯有數學，纔能顯現萬物背後隱藏的真理。

　　一切都不隻是數目而已。瞭解數學，從這裏開始。

　　在古埃及和巴比倫時期，數學隻是有關數目的學問。古希臘的數學傢關心起幾何學，數學開始和形狀有關。十七世紀中葉，牛頓和萊布尼茲分彆發明微積分，數學變成瞭研究數目、形狀、運動、變化及空間的一門學問。時至今日，它已是一個包含六、七十個不同範疇的龐大知識體係。

　　講起數學，絕大多數人腦中浮現的，不是艱澀難懂的公式，就是死記硬背的痛苦體驗。數學其實是一種模式的科學，是我們看待世界，包括外在的物理、生物與社會世界，以及內在心靈世界的一種方式。傑齣的英國數學傢哈代（G. H. Hardy）說：「數學傢的模式，就好比畫傢或詩人的模式一樣，必須是美的；其理念就像色彩或文字一樣，必須按和諧的方式安排在一起。」

　　所以，數學是美的，而那種美隱藏在數目、點、綫與麵、幾何圖形、函數等符號中。是什麼東西讓一架巨型噴射機能浮在空氣中？是什麼原因促使飛行器以外的物體墜地？數學讓那些看不見的變得可見，數學要用證明的確定性，勾勒齣真理的恆久。

　　從古典數學（代數）到現代語言分析，從幾何學、微積分到拓樸學、統計學及物理學，本書將揭示我們如何用數學去看見那些不可見的結構，去理解生活周遭的諸多現象。你可能會發現你所遭遇到的視界既怪異又陌生，就像那些遙遠的土地一樣。但那並不是一個遙遠的地方，那是我們居住的宇宙。

　　伽利略曾說：「自然這部大書隻能被那些通曉其中所寫語言的人閱讀。這個語言正是數學。」就讓本書作者德福林，這位精通數學語言的導師，帶領各位從頭、重新認識這門瑰美的學問。

本書特色

　　敘述俐落簡潔、不拖泥帶水，清晰道齣數學的麵貌。
　　涵蓋諸多數學重要領域及概念，能同時滿足高中生、大學生與社會人士的需求。
　　講述數學理論之美，是學生必備的經典案頭書籍！

　　不隻可以認識到一般數學書籍都有提及的代數、微積分、幾何學、拓樸學，還能看到數學在統計學、物理學及語言學上的應用，更能對數學從古至今的發展曆史瞭然於胸。

　　道齣數學的本質，讀者對其能有最深刻的認識，日後學習各項定理及觀念，可以更容易上手，不易再為數目等符號所纍，而喪失瞭體會數目、形狀、運動、變化、空間之美的機會。

　　The Economist、Scientific American、Wired、Publishers Weekly一緻鄭重推薦！
　　作者為史丹佛大學資深教授，曾獲2004國際畢達哥拉斯奬、2007卡爾．沙根科普奬。

　　由颱師大數學係洪萬生教授領軍翻譯。

　　藉由觀看數學如何協助邏輯學、語言學、統計學、物理學等學科建立理論，讀者可以獲得學習科學各學門的重要基礎，在理科領域無往不利。

作者簡介

Keith Devlin齊斯．德福林

　　2004國際畢達哥拉斯奬（International Pythagoras Prize）、2007卡爾．沙根科普奬（Carl Sagan Prize for Science Popularization）得主，史丹佛大學人文科學與先端科技研究中心（H-STAR）共同創辦人及資深研究員，同時也是該校Media X研究計畫的創立人之一。人稱「Math Guy」的德福林教授研究領域廣泛，包括數學認知、推理模式與訊息理論等，並鑽研以不同媒介傳授數學予多元大眾，緻力推廣「軟數學」的觀念。已齣版著作近三十本，發錶論文逾八十篇。目前居於加州帕洛阿爾托（Palo Alto）市。

譯者簡介

洪萬生

　　美國紐約市立大學（CUNY）博士，主修數學史、科學史，輔修數學哲學、科學哲學。曾任職颱灣師範大學數學係，講授數學（社會）史、數學哲學與HPM（數學史與數學教育之關連）專題，並主持「颱灣數學博物館」（museum.math.ntnu.edu.tw）網站，透過網路結閤科普同好，分享國內外數學普及活動的學術與教育資源，對於推廣數學普及讀物的書寫、齣版及閱讀不遺餘力。

洪贊天

　　美國紐約州立大學水牛城分校英文係畢。

蘇意雯

　　國立颱灣師範大學數學博士，現任教於颱北市立教育大學數學資訊教育學係。自從大學時代接觸數學史之後，便深深為數學的文化麵嚮所吸引，在洪萬生教授及林福來教授的指導下，完成國內第一本討論數學史與數學教育之關連的博士論文。推廣數學普及著作的閱讀。與大朋友、小朋友分享更多元的數學觀，是過去、現在及未來一直努力的方嚮。

英傢銘

　　一九七四年生。國立颱灣師範大學數學係博士，師承洪萬生教授，專攻東亞數學史，並關注數學史融入數學教育的議題。曾任國中教師與大學助教，現任中原大學應用數學係講師。他對曆史、哲學、語言等有廣泛的興趣，並將這些內容融入中學的演講，以及大學通識課程「數學與文化」的教材中。他也熱愛棒球與科幻，是兄弟象迷與 Star Trek 影迷。

前言
序麯　何謂數學？
第一章 數目為何靠得住？
第二章 心智的模式
第三章 動靜有數
第四章 當數學成型
第五章 數學揭開美之本質
第六章 當數學到位
第七章 數學傢如何決疑
第八章 數學揭開宇宙的深層模式
後記
索引

〈譯者序〉

直指數學知識核心的模式　洪萬生

　　何謂數學？有關這個問題的答案，當然沒有標準的版本。以最近颱灣所齣版的數學普及書籍為例，從新潮的《社會組也學得好的數學十堂課》，到古典的《數學是什麼？》，都企圖迴答此一問題，而且，它們各自的作者顯然都提供瞭相當成功的現身說法。如此說來，本書《數學的語言》之賣點何在？難道這純粹隻是齣版社編輯想湊個熱鬧？

　　事實上，新潮也罷，古典也罷，前兩書的解說策略顯然都直接訴求瞭數學知識活動的參與，換言之，正如同數學傢的諄諄告誡：想要理解數學是什麼，最好的進路就是做數學（do mathematics）！因此，針對前兩書，你必須備好紙筆，專注地跟著計算與論證，否則閱讀的效果自然大打摺扣。然而，《數學的語言》卻完全不同，正如作者指齣：本書是「按照更大讀者群可以接近的一種格式」，述說「數學是有關模式的鑑彆與研究之故事」。既然如此，作者的書寫在論述（discourse）與敘事（narrative）之間，就力求摺衷與平衡。而這，當然也允許本書的形式與內容，為它自身的普及屬性，做瞭最有說服力的背書。

　　本書既然強調敘事，那麼，如何以「模式」（pattern）為主軸，或許是最佳抉擇。這是因為從一九八○年代以來，數學傢大都同意何謂數學的這一個新解：數學是研究模式的一種科學（a science of patterns）。如此一來，我們所熟悉的數學分支，就可以綜閤統攝在模式之下瞭。譬如說，算術與數論研究數目與計算之模式；幾何學研究圖形之模式；微積分允許我們處理運動之模式；邏輯學研究推論之模式；機率論處理機會之模式；拓樸學研究鄰近與位置之模式，等等。而為瞭傳遞數學的這個現代定義的一些訊息，「本書將運用八個主題，涵蓋計算模式、推論與溝通模式、運動與變化模式、形狀模式、對稱與規則模式、位置模式、機會模式，以及宇宙的基本模式」。無疑地，這種說法將數學從它傳統上被認定為最直觀的（或狹隘的）研究對象（如數目與圖形）解放齣來，從而可以從容地觀照人世間無所不在的模式。

　　數學模式既然無所不在，那麼，我們掌握它的目的，顯然不僅止於針對「何謂數學？」提供一個具有「現代性」的迴答吧。事實上，有關數學，還有另一個更根本的問題，那就是：掌握瞭這些模式做什麼用？當吾人應用數學來研究某些現象時，數學的迴報是什麼？作者的答案是：「數學讓不可見變成可見。」（Mathematics makes invisible visible.）而這一洞識，也正是本書英文版的副標題！譬如說吧，牛頓的數學幫助我們「看到」那些讓地球繞著太陽鏇轉，以及造成蘋果從樹上墜地的不可見之「重力」（gravity）──盡管重力概念是不是一個權宜的假設，他也始終說不清楚！又如，吾人利用十九世紀馬剋士威爾所發現的電磁方程式，藉以讓那些不可見的無綫電波，變成可以「看到」。還有，語言學傢喬姆斯基使用數學去「看」，而且描述我們認定為文法語句的不可見的、抽象的文字模式，於是，他得以將語言學轉變成為一門蓬勃發展的數理科學。

　　更具體地說，本書作者利用瞭八章的內容，從計數（含算術與數論，第一章）、心智推論（第二章）、運動現象（第三章）、圖形（含幾何、對稱與拓樸學，第四、五、六章）、機會事件（第七章）到物理宇宙（第八章），分彆提煉其各自模式，進而據以說明這又是如何促成相關數學的巨大進展。現在，我們就針對這八章內容，提供一個極其簡要的說明。

　　第一章的重點是質數相關理論（含密碼學之應用）與費馬最後定理的簡介。有瞭這個預備，作者在第六章有關拓樸學的深入討論之後，再迴過頭來，完結費馬最後定理的故事。其實，在第一章中，作者也提及抽象化概念之為大用，尤其是數學仍然處在搖籃階段的時候。

　　第二章針對數學證明的嚴密性所需之邏輯推論模式，進行一個曆史的迴顧性說明。其中極為重要的故事情節，有康托爾發明集閤論之後所引發的羅素悖論，對數學基礎所造成的深層危機，以及希爾伯特積極迴應的形式主義之崛起，乃至於哥德爾不完備定理的最終緻命一擊。不過，最有茶餘飯後談助的插麯，則莫過於數學傢如何利用「模式」，找到隱藏在書寫文字中的「指紋」。

　　第三章討論數學傢如何馴服無限概念，然後，據以建立有關運動與變化之模式。同時，為瞭微積分的極限理論之完備，作者也論及實數與復數之曆史發展。接著，作者再從解析數論切入，說明黎曼 函數如何為我們揭開質數的隱藏模式。至於第三章最令人意想不到的內容，則是作者告訴我們：應用傅氏分析學，隻要給定足夠多的音叉，我們就可以演奏貝多芬第九號交響麯。

　　第四章主題是歐幾裏得《幾何原本》，以及所延伸之非歐幾何、尺規作圖與五種柏拉圖正多麵體等單元。此外，作者還提及圓錐麯綫、解析幾何、射影幾何以及高維度幾何學之應用。而「最麻辣的」情節，莫過於作者提及柏拉圖如何說明五個正多麵體與其宇宙生成論之關係，以及無獨有偶的剋蔔勒之論證：恰好隻有六個行星的原因，是每個行星和下一個行星之間的距離，必定和一個特定的正多麵體有關，而正多麵體剛好隻有五個。當然，作者的評論更是發人深省：「就細節而言，柏拉圖和剋蔔勒兩人對於原子論的想法都是錯誤的。但是，就尋求以數學的抽象模式理解自然模式的意義而言，他們的研究所秉持的傳統，直到今天仍然具有高度成效。」

　　第五章的主題是群的模式與底蘊美學的對稱之密切關連，這是因為正如作者指齣：對稱的研究，捕捉瞭形狀更深刻、更抽象的一個麵嚮。而從變換觀點切入，群之概念當然就堂而皇之地走進來瞭。因此，在本章中，作者雖然提及許多與美學有關的數學如地磚鑲嵌、壁紙圖案、雪花與蜂巢結構，甚至於格子與球裝填問題等等；然而，群結構所錶現的模式，顯然纔是正道。

　　在第六章一開始，作者就運用一九三一年設計的倫敦地下鐵地圖，以及在科普書籍中相當膾炙人口的剋尼斯堡七橋問題，來引進拓樸模式之概念。其他單元如莫比烏斯帶、甜甜圈與咖啡杯、紐結分類，乃至四色定理等等，也都是非常「性感的」（sexy）題材。當然，代數理論（尤其是有關群與多項式）協助打造研究工具，也是非常具有啓發性的敘事。最後，基於橢圓麯綫的拓樸模式之深刻掌握，英國數學傢懷爾斯終於證明瞭三百多歲的費馬最後定理。

　　在第七章中，作者從機率論的誕生，談到巴斯卡有關「機會的幾何模式」之研究。再論及壽險與機率之關係，以及期望值之研究如何啓發吾人考慮人為因素。其他如鍾形麯綫、統計推論以及平均人的概念，都有助於機會的抽象模式之探討。此外，在金融數學的脈絡中，作者也說明經濟學傢如何利用數學，幫忙吾人在高度易變的權證交易市場中做齣優選。

　　正如第三章一樣，第八章的主題也是物理學中的數學模式。不過，本章顯然意在強調：盡管數學在物理上的應用，具有悠久曆史的優良傳統，但是，過去十幾二十年不斷發生的，卻是另一個方嚮的工作：將物理中的概念與方法應用到數學上，並取得新的發現。

　　總之，本書內容在凸顯模式旨趣的同時，誠如作者所說，也兼顧瞭數學的曆史發展與它當前的廣度，因此，他乃能將數學「形容成人類文化一個豐富而生動的成分」。基於此一進路，作者在書寫時，就充分地發揮瞭他自己的數學（史）洞識，相當值得推許。譬如說吧，在評論微積分的極限理論發展時，作者對於牛頓與萊布尼茲 vs. 哥西在數學物件上的認知對比，就是相當深刻的觀察，十分有助於我們理解十七到十九世紀的分析學之算術化（arithmetization of analysis）的曆史發展。

　　最後，我們必須提醒讀者：本書由於論及當今數學發展的實質內容，因此，非常抽象層次的理論之鋪陳，遂變得完全不可避免。同時，也由於「抽象概念的認識與錶現它們的適當語言之發展，真的是一體兩麵」，所以，閱讀本書時雖然不必預設數學知識或能力，但是，發掘意在言外的資訊之閱讀習慣，卻是十分必要。值此閱讀力即國力的呼聲中，如何培養穿透字麵、直指知識核心的能力，或許本書所念茲在茲的模式，就是最佳的試金石瞭。

　　（本文作者為颱灣師範大學數學係退休教授）

序麯　何謂數學？

一切都不隻是數目
何謂數學？隨機嚮人們提問，你可能獲得的答案是：「數學是有關數目的一種學問。」如果你繼續追問他們所謂的學問是哪一種，或許你可以誘導他們提齣譬如「那是一種有關數目的科學」之描述。不過，這大概是你最多可以得到的資訊。而這一種有關數學的描述，在大約二五○○年前，就已經不再正確瞭。

在這樣一個巨大的誤導之下，你所隨機抽樣的人們無法體會數學研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數學經常相當程度地貫穿吾人日常生活與社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。

事實上，「何謂數學？」這個問題的答案在人類曆史過程中，已經數度更易瞭。

到西元前五○○年左右為止，數學的確是有關數目（number）的一種學問。這是古埃及和巴比倫時期的數學。在這些文明中，數學所包括的，幾乎都以算術（arithmetic）為主。它大部分屬功利取嚮，而且充滿瞭「食譜」的特色（譬如，「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」）

從大約西元前五○○年到西元三○○年的這一時期，是希臘數學的時代。古希臘的數學傢主要關心幾何學（geometry）。誠然，他們按幾何方式，將數目視為綫段長之度量，而當他們發現有數目缺乏對應的綫段長時，有關數目的研究就停頓下來瞭。對於希臘人而言，由於他們強調幾何學，所以，數學不隻研究數目，而且也是有關形狀（shape）的學問。

事實上，幸虧有希臘人的現身，數學纔進入研究領域，而不再隻是度量、計算和會計等技巧的大雜燴。希臘人對於數學不隻是功利取嚮，他們視數學為一種知性探索，其中包含瞭美學與宗教成分。泰利斯（Thales）引進瞭如下想法，亦即：數學上精確陳述的斷言（assertion），都可以被一個形式的論證（formal argument）邏輯地證明齣來。這一創新標誌著定理（theorem）－－數學的基石－－的誕生。對希臘人而言，這一進路在歐幾裏得（Euclid）《幾何原本》（The Elements）齣版時，攀上瞭顛峰。這一部西方數學經典，在曆史上因流傳度僅次聖經而聞名於世。

運動中的數學
一直到十七世紀中葉，英國牛頓（Isaac Newton）和德國萊布尼茲（Gottfried Leibniz）彼此獨立地發明微積分之前，數學的整體本質未曾有根本的變革，或者幾乎沒有任何顯著的進展。實質來說，微積分是研究運動（motion）和變化（change）的一門學問。在此之前的數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態議題上。現在，引進瞭處理運動和變化的技巧之後，數學傢終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等等。在牛頓和萊布尼茲之後，數學變成瞭研究數目、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學問。

大部分涉及微積分的初始問題都導嚮物理的研究；事實上，該時期很多偉大的數學傢也被視為物理學傢。不過，從大約十八世紀中葉之後，當數學傢著手瞭解微積分為人類帶來的巨大力量背後是什麼，他們對於數學本身有著遞增的興趣，而不隻是關注數學應用而已。因此，當今日一大部分純數學被發展的時候，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握瞭優勢。到瞭十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間以及研究數學的工具的一門學問。

發生在二十世紀的數學活動之爆發相當戲劇化。在一九○○那一年，世界上所有的數學知識可以裝入大約八十部書籍之中。而在今日，現有數學將必須有十萬部書籍纔能容納。這種非比尋常的成長，不隻源自從前數學的增進，許多新的分支也已經湧現。在一九○○年，數學可以閤理地被視為包括瞭大約十二個主題：算術、幾何、微積分等等。至於今日，六十到七十之間的不同範疇，將是一個閤理的數字。某些主題，譬如代數和拓樸學（topology），已經細分為不同的子領域；至於其他主題，譬如復雜理論（complexity theory）或動態係統理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領域。