國中生一定要會的100道數學經典題目 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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原文作者： National Council of Teachers of Mathematics

圖書標籤:

• 初中數學
• 經典題型
• 解題技巧
• 應試必備
• 數學思維
• 同步練習
• 名師精講
• 重難點突破
• 九年級
• 八年級

　　本書的特點是提供國內國、高中學生在學習數學時，有另一個麵嚮的思考。傳統以來國內對於數學的學習往往流於考試領導教學，對於學生在解題思考與多元理解實在有所缺憾，觀察國外一些數學試題可以發現，數學不會僅侷限於算術，而是結閤更多生活中的素材，題型也比較多元活潑，這都能促進學生邏輯與創造思考的能力。近年來許多大學教授疾呼現在大學生閱讀原(英)文書的能力太弱瞭，大學生望著原文書而卻步。因此，本書的一大特點，就是提供國內國、高中學生學習「數學英文」的材料，透過觀摩國外(NCTM)的試題，提昇閱讀數學原(英)文書的能力。本書另一個重要的特色，是一群國中資優班學生的譯作與解析，從學生觀點齣發的解析，而非老師觀點，或許不能完全滿足數學的嚴謹度，但相信能引起時下年輕人有相對應的共鳴，讀起來也能更輕鬆愜意。

譯者簡介

郭衍劭等人

　　颱中縣立豐南國民中學第39屆328資優班 全體同學

審訂者簡介

施信華

　　國立彰化師範大學工程教育博士
　　颱中縣立豐南國民中學數學科教師
　　環球科技大學兼任助理教授
　　中華民國斐陶斐榮譽學會會員

深入探索：代數與幾何的奧秘——一本麵嚮進階學習者的數學精粹 圖書名稱：代數與幾何的奧秘：麵嚮進階學習者的數學精粹 圖書簡介： 在數學學習的旅程中，我們往往在掌握基礎概念之後，渴望觸及更深層次的結構與更廣闊的應用領域。本書《代數與幾何的奧秘：麵嚮進階學習者的數學精粹》，正是為那些已經熟練掌握中學核心數學知識，並希望嚮高等數學或更嚴謹的數學思維邁進的學習者精心打造的一部深度解析之作。它並非基礎知識的重復，而是對核心概念進行哲學性探討、結構性重組，並引入瞭更多現代數學視角下的工具與技巧。 本書的結構精心設計，旨在提供一個平穩而富有挑戰性的過渡。內容分為四大核心闆塊，每一闆塊都深入剖析瞭現代數學的基石： --- 第一部分：結構的力量——抽象代數的初探與數論的迷宮 這一部分將引導讀者走齣單純的數值運算，進入對“結構”本身的思考。我們不再僅僅滿足於計算 $2+3=5$，而是探究“加法”這一操作在不同集閤上遵循的內在規律。 1. 群論的基石：對稱性與不變性 我們將從對稱群（如二麵體群 $D_n$ 和循環群 $C_n$）的直觀理解開始，這是幾何與代數交匯的絕佳範例。詳細闡述群的四個基本公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元），並引入瞭子群、陪集和拉格朗日定理。重點在於理解“同態”與“同構”的概念——即不同係統之間結構上的等價性。我們將通過具體的例子，如多項式方程的根與置換群（伽羅瓦理論的萌芽），展示群論在理解問題復雜性中的強大力量。 2. 環與域：拓展運算的邊界 在群的基礎上，我們引入乘法運算，構建環（Ring）的概念。重點解析整數環 $mathbb{Z}$ 的唯一分解性質，並將其與多項式環 $F[x]$ 進行對比。隨後，我們將引入“域”（Field），特彆是有限域（Galois Fields）的概念。這部分內容將展示數論中的許多經典結論，例如歐幾裏得算法的代數解釋，以及如何利用域的結構來構造具有特定性質的數集，為密碼學中的現代應用打下理論基礎。 3. 經典數論的現代視角 本書不會停留在費馬小定理的簡單證明上，而是會深入探討其更廣泛的背景。我們將詳細剖析二次互反律（高斯二次對偶理論），並展示如何利用環論中的理想（Ideal）概念來簡化對模運算的理解。此外，丟番圖方程（Diophantine Equations）的求解策略將被提升到代數幾何的初級層麵進行審視，探討綫性丟番圖方程組的解空間結構。 --- 第二部分：空間的精細刻畫——拓撲學與微分幾何的引言 如果說傳統的歐氏幾何關注的是“度量”（長度、角度），那麼本部分將引領讀者進入研究“形變不變性”的領域——拓撲學。 1. 拓撲學的基本概念 我們將定義拓撲空間，重點解析“開集”這一核心概念，並討論閉集、鄰域、連續映射的嚴格定義。直觀上，拓撲學研究的是“橡皮泥幾何”，因此我們將詳細分析一些經典的拓撲等價例子，如咖啡杯與甜甜圈（環麵）的同胚性。書中將引入緊緻性（Compactness）和連通性（Connectedness）這兩個至關重要的拓撲性質，並展示它們在函數空間中的重要作用。 2. 流形與切空間：光滑世界的描述 本書將引入一維和二維流形（如球麵和環麵）的直觀概念，為讀者理解更高維空間打下基礎。我們將探討如何使用“圖冊”（Atlas）和“坐標變換”來局部描述光滑空間。隨後，我們將介紹微分幾何中的核心工具——切嚮量和切空間。理解切空間，是通往現代物理學（如廣義相對論）中幾何描述的必經之路。我們將用嚮量場和第一基本形式（First Fundamental Form）來初步探討麯率的概念，理解錶麵如何彎麯。 --- 第三部分：極限的深處——實分析與測度的嚴謹性 本部分旨在將高中階段對函數極限和微積分直覺性的理解，轉化為實分析中基於 $epsilon-delta$ 語言的嚴格邏輯體係。 1. 實數係的構造與完備性 我們將從集閤論的視角重新審視實數 $mathbb{R}$ 的構造（如戴德金分割或柯西序列），並著重強調“完備性”的意義。這一性質是微積分定理（如介值定理、最值定理）成立的根本保證。 2. 序列、級數與收斂的嚴格檢驗 詳細探討序列的收斂性、柯西序列的概念，以及更強大的魏爾斯特拉斯一節定理（Bolzano-Weierstrass Theorem）。在級數部分，除瞭常見的比值檢驗，我們將深入分析傅裏葉級數（Fourier Series）的初步概念，探討如何用一係列周期函數來錶示復雜的波形，這在信號處理和偏微分方程中有核心地位。 3. 勒貝格測度的引入 本書將超越黎曼積分的局限性，簡要介紹勒貝格積分的背景和必要性。重點在於理解“測度”如何更精確地衡量集閤的大小，以及可測集的概念。我們將通過一個簡單的例子展示不可測集的存在性（如巴拿赫-塔斯基悖論的哲學討論），以凸顯嚴謹測度理論的價值。 --- 第四部分：關係與變換——離散數學與圖論的應用深化 這部分聚焦於離散對象之間的關係，是計算機科學和網絡理論的理論基礎。 1. 關係代數與偏序集 我們將係統性地分析各種關係（如等價關係、偏序關係）。重點在於格（Lattice）理論的初步介紹，理解集閤之間“上下”關係的結構。摩根定理在關係代數中的應用將被深入探討。 2. 圖論的深度應用 超越基礎的連通性判斷，本書將深入到圖的染色問題，特彆是四色定理的背景及其在圖論中的復雜性。我們將詳細分析歐拉路徑和哈密頓迴路的判定條件，並引入生成樹算法（如普裏姆算法和剋魯斯卡爾算法）的嚴格證明。圖的代數錶示——鄰接矩陣和關聯矩陣，將被用於分析網絡的流與割（最大流最小割定理的直觀闡述）。 3. 組閤數學的高級計數原理 我們將不再滿足於簡單的排列組閤，而是引入生成函數（Generating Functions）作為解決復雜計數問題的強大工具。通過將計數問題轉化為多項式的係數提取，我們將解析許多看似無關的遞歸關係和組閤恒等式。 --- 目標讀者定位： 本書適閤於對數學有強烈熱情，已經通過瞭中學數學競賽或同等水平考試的獨立學習者、有誌於從事理工科研究的大學生預備生，以及希望係統性地迴顧和提升自身數學基礎的在職工程師。全書強調概念的深度理解、邏輯的嚴密推導，以及不同數學分支之間的內在聯係。閱讀本書，將不僅是學習新知識，更是一次對數學思維方式的全麵重塑。

數論 —1-13題
代數與應用問題–14-35題
幾何與應用問題 —36-71題
數列與樣式 —72-82題
機率與統計 -83-91題
智力遊戲 —92-100題

推薦序

奇蹟隨時發生在你身上

　　「好的老師，是教室裏的奇蹟」《第 56 號教室的奇蹟》而這奇蹟便在我這一班發生瞭。在施信華老師的引領之下，我班同學有幸一窺數學殿堂之美，更能在此殿堂留下美麗的迴憶。　　

　　這本熱騰騰的師生作品，經過兩年來的研究翻譯與創作，終於可呈現在數學愛好者的眼前，在升學掛帥的時代，資優班背負的，卻隻是考上第一誌願的狹隘責任。殊不知真正的資優生，他們更要有用心研究、獨立思考及剋服睏難堅持到底的人格特質。

　　感謝施信華老師給我班同學一個展現健全資優人格的機會，他更冒著被傢長質疑「不專心課內及基測題目，編什麼書？」的危險，堅持「咬定青山不放鬆，立根原在破巖中」的精神，這在在都是做學問的正確態度。

　　也感動於班上同學們的熱誠與堅持。從本書的翻譯到創作到編輯而成書，在在告訴我們每一個老師和同學「隻要有心，奇蹟隨時會發生在我們身上。」

　　期盼這本初試啼聲的書能帶給喜愛或尚未喜愛數學的朋友們更大的啓發與樂趣。

颱中縣立豐南國民中學　三年二十八班導師何明珠　謹識

序

　　有鑑於時下學生學數學「多算多算再多算」的方式，以為數學要學好非得要不斷地寫習題，反而導緻學生「僵化」的思考模式，舉例來說：我們知道當分子與分母差相等的真分數比較時，數字越大的分數值便越大；但是，我們總會這樣輕易地就寫上瞭答案，而忽略瞭題目是否有正負號的差彆。所以，因為做太多類似或「曾經算過」的題目，就很自然地把當初所算的答案或算法給套用上去，結果卻因為題型上有所修改而失分。

　　另一個問題是：許多學生在考完試、聽完講解後，總會恍然大悟地說瞭聲「考試時怎麼沒想到這個算法？」這就是思考不夠靈活所造成的；因此，我們收集來自「全美」最受歡迎的活用百大試題，概括瞭各式題型以及完整解析，讓現在頭腦趨近僵化的學生，有一個可以動腦、活用數學的空間。

　　當初拿到這些題目時，第一個反應是「天啊，看都看不懂」；但在後來經過仔細地分析、審慎地查閱單字，翻譯成中文後，發現「題目並不難」，而即使有些題目一開始無法迅速地解齣答案，在經過瞭多次的思考與計算後，問題也都迎刃而解瞭。另外，每道試題皆有自創類似的延伸題，讓使用者可以舉一反三，徹底瞭解問題核心概念與相關解答技巧。

　　也許您使用後並不認為中文翻譯百分之百標準，但，我們已盡最大的力量，以「信達雅」為宗旨，試著翻譯齣每一個數學專用的用語，並力求文句流暢通順，以期望能讓初接觸「英文數學」的使用者們可以輕鬆瞭解題目本意，而不會因為這些題目屬於「原文」就敬而遠之；而對照中英文後，也可以學習很多平常較少使用到的英文單字，一舉兩得、輕鬆學習！

颱中縣立豐南國民中學 39 屆 328 資優班全體同學　謹識

评分☆☆☆☆☆

這本《國中生一定要會的100道數學經典題目》根本是我傢女兒的數學救命恩人！她國小數學都還算不錯，一上國中，整個數學的難度跟廣度都瞬間提升，每次看到她抱著數學課本一臉痛苦的樣子，我心裡真的很捨不得。試過很多不同的參考書，有些講解的太複雜，有些題目又太偏，感覺就是死命地操練，卻沒有真正學到東西。直到我偶然間看到這本書，它的設計真的很不一樣。它不是那種厚厚一本的題目集，而是精選瞭100個最重要、最核心的數學題目。每一個題目後麵都有非常詳盡的解釋，而且不是那種簡略帶過的，而是從最基本的觀念開始講，一步一步引導你思考。我女兒現在每天晚上都會固定花時間看這本書，而且她會把書裡的題目寫完，再對照解答，有不懂的地方就會迴去仔細看講解。最讓我驚喜的是，她現在會主動問我一些數學問題，而且是關於理解觀念的問題，而不是單純的算術。她甚至會跟我說，她發現原來很多題目都可以用不同的方法解，以前她隻知道一種方法，現在她覺得數學很有趣。這本書真的幫她建立瞭紮實的數學基礎，也讓她對數學不再感到恐懼，反而產生瞭學習的興趣。如果你的孩子也在為國中數學感到睏擾，我真的強烈推薦這本書，它絕對會讓你和你的孩子都受益匪淺！

评分☆☆☆☆☆

身為一位長期關注孩子學習的傢長，我一直在尋找能真正幫助孩子理解數學的資源。《國中生一定要會的100道數學經典題目》這本書，絕對是我近期遇到的最棒的選擇之一。它最吸引我的地方，在於它並非單純的題海戰術，而是透過精選的100道經典題目，深入淺齣地引導學生掌握國中數學的核心概念和解題技巧。書中的講解方式非常細膩，不僅提供瞭標準的解題步驟，更重要的是，它會分析每個步驟背後的邏輯思維，以及這個題目所能衍伸齣的其他變化。這對於國中生來說，能夠建立起非常紮實的數學基礎，並且學會如何靈活運用知識。我兒子在學習這本書後，明顯地對數學的理解力提升瞭許多。他不再隻是死記公式，而是開始能夠舉一反三，甚至能主動嚮我提齣一些關於數學觀念的討論。他的學習態度也從被動的接受，轉變為主動的探索。這本書的內容設計，不僅對數學能力有幫助，更重要的是培養瞭孩子獨立思考和解決問題的能力。我認為，這本書的價值遠不止於提升考試分數，它更能幫助孩子建立起麵對未來學習挑戰的信心。對於所有希望孩子在數學領域打下堅實基礎的傢長和學生來說，這本書絕對是值得入手的一本好書。

评分☆☆☆☆☆

我跟你們說，這本《國中生一定要會的100道數學經典題目》根本是神書！我以前念書的時候，數學就不是我的強項，尤其是國中那些代數、幾何，每次都覺得頭昏腦漲。現在輪到我傢女兒，我更擔心瞭。想說買本參考書幫幫她，結果試瞭幾本，都覺得內容太乾，不然就是編排得讓人看不懂。直到我翻到這本書，天啊，我簡直想跪拜作者！它的內容不是那種把所有公式列一列，然後齣幾百題給你練的。而是很巧妙地選齣100個「精華」，每一個題目都代錶一個重要的觀念或解題技巧。它的講解非常到位，從題目切入，然後把整個觀念講清楚，再逐步引導你怎麼去解題。重點是，它用的語言也很淺顯易懂，不會用一堆術語把你嚇跑。我女兒現在每天都會唸書，但我偷偷觀察瞭一下，她看這本書的時間比看教科書還多！而且她會把書裡的題目做完，還會自己去想有沒有別的解法。有時候我走過去看，她還會主動跟我討論題目，跟我說哪個地方她懂瞭，哪個地方她之前一直卡關。最讓我驚訝的是，她以前對數學很排斥，現在竟然會因為做對一題而很開心，那種成就感，我看得都替她高興。這本書不隻是一本練習題本，它更像是一個數學的啟濛導師，引導孩子去認識數學、理解數學、愛上數學。強烈推薦給所有國中生，尤其是那些覺得數學很難的同學！

评分☆☆☆☆☆

最近我傢小朋友開始上國中，數學課堂上老師講的內容，對他來說就像天書一樣。我雖然對數學不是頂尖，但也不希望他因為數學而對學習失去信心。於是，我到處尋找適閤的參考書，希望能夠幫助他打好基礎。在眾多書籍中，《國中生一定要會的100道數學經典題目》這本書立刻吸引瞭我。它的標題就非常明確，點齣瞭「經典」和「一定要會」，讓傢長和學生都能清楚知道這本書的價值所在。實際翻閱後，我發現它的內容編排非常有條理，每個題目都經過精心挑選，涵蓋瞭國中數學的核心概念。更重要的是，它的解析方式非常清晰，不僅提供瞭標準答案，更重要的是詳細解釋瞭每一步的邏輯思考過程，以及解題的關鍵點。這對於還在摸索數學觀念的國中生來說，是非常寶貴的。我兒子現在每天都會安排時間練習這本書的題目，而且他不再是被動地寫，而是主動去思考、去理解。有時候，他還會跟我討論題目，甚至能自己舉一反三，找齣類似的題目來練習。看著他對數學的態度從排斥轉為積極，我感到非常欣慰。這本書不僅幫助他提升瞭數學能力，更重要的是培養瞭他自主學習的習慣和對數學的興趣。對於傢長來說，這本書就像是一個可靠的後盾，讓你在孩子學習數學的路上不再孤單。

评分☆☆☆☆☆

天啊，我隻能說這本書根本是國中數學的救星！我傢那小子，每次看到數學就頭痛，尤其是到瞭國中，那個複雜度真的讓他有點招架不住。我試過市麵上好多教材，有的太難，有的又太淺，感覺都抓不太準點。但這本《國中生一定要會的100道數學經典題目》，真的讓我眼睛一亮！它不是那種死記硬背公式的書，而是從很多經典題型下手，帶你一層一層地拆解，讓你理解題目的邏輯和解題思路。我兒子現在每天都會主動拿齣這本書來寫幾題，以前是逼著他寫，現在是他自己願意。而且，裡麵舉的例子都非常貼近生活，或是那種你會在考試中看到的變形題，他學起來就覺得很有感覺，知道為什麼要學這些。老師上課教的，有時候他聽瞭有點模糊，但迴來看看這本書的講解，就好像醍醐灌頂一樣，茅塞頓開。我尤其喜歡它裡麵有些題目，會提供不同角度的解法，讓我兒子知道原來數學不是隻有一種答案，學習過程也變得更有趣、更有彈性。最近他的數學成績真的有明顯的進步，連老師都注意到他上課的專注度和發言的內容變多瞭。身為傢長，看到孩子不再害怕數學，甚至開始享受解題的樂趣，真的比什麼都重要。這本書絕對是我今年送給兒子的最佳禮物！