圖書描述
Offering the most geometric presentation available, Linear Algebra with Applications, Fourth Edition emphasizes linear transformations as a unifying theme. This elegant textbook combines a user-friendly presentation with straightforward, lucid language to clarify and organize the many techniques and applications of linear algebra. Exercises and examples make up the heart of the text, with abstract exposition kept to a minimum. Extensive problem sets keep students involved in the material, while genuine applications for a broad range of sciences prepares them for the methods and models of contemporary scientists. In addition, the wealth and variety of exercise sets enable instructors to design a course to best suit the goals and needs of their students. This revision reflects careful review and appropriate changes to the wording of each idea, while preserving the content structure of the previous edition.
本書特色
NEW - Many new exercises of all difficulty levels have been added, from the elementary to the challenging. For example, there are twenty-four new exercises on conic and cubic curve fitting that lead up to a discussion of the Cramer-Euler Paradox on fitting a cubic through nine points. NEW - The section on matrix products now follows discussion of the inverse of a matrix, making the presentation more sensible from an algebraic point of view. The determinant is defined in terms of patterns, a transparent way to deal with permutations; Laplace expansion and Gaussian elimination are presented as alternative approaches. This presentation strikes a balance between earlier editions of this text. NEW - Hundreds of improvements include hints on especially difficult problems and revised notations and explanations on many theorems.
1 . Linear transformations are introduced early in the text to make the discussion of matrix operations more meaningful and easier to navigate.
2 . Visualization and geometrical interpretation are emphasized extensively throughout the text.
3 . An abundance of problems, exercises, and applications help students assess their understanding and master the material.
4 . Abstract concepts are introduced gradually throughout the text. Major ideas are carefully developed at various levels of generality before the student is introduced to abstract vector spaces.
5 . Discrete and continuous dynamical systems are used as a motivation for eigenvectors and as a unifying theme thereafter.
6 . Fifty to sixty True/False questions conclude every chapter, testing conceptual understanding and encouraging students to read the text.
7 . Historical problems from ancient Chinese, Indian, Arabic, and early European sources add diversity to the selection of exercises.
8 . Rotations, reflections, projections, and shears are used throughout to illustrate new ideas.
9 . Multiple perspectives on the kernel of a matrix are presented, with a stronger emphasis on the relations among the columns.
10 . Commutative diagrams enhance students'' conceptual understanding of the matrix of a linear transformation. These diagrams enable students to visualize the relations between linear transformations.
11 . A more conceptual approach to the QR factorization is presented, in terms of a change-of-basis.
12 . The determinant is introduced in terms of Laplace expansion rather than permutations, with Gaussian elimination and permutations still presented as alternative methods.
著者信息
圖書目錄
1. Linear Equations
1.1 Introduction to Linear Systems
1.2 Matrices, Vectors, and Gauss-Jordan Elimination
1.3 On the Solutions of Linear Systems; Matrix Algebra
2. Linear Transformations
2.1 Introduction to Linear Transformations and Their Inverses
2.2 Linear Transformations in Geometry
2.3 Matrix Products
2.4 The Inverse of a Linear Transformation
3. Subspaces of R" and Their Dimensions
3.1 Image and Kernel of a Linear Transformation
3.2 Subspace of R"; Bases and Linear Independence
3.3 The Dimension of a Subspace of R"
3.4 Coordinates
4. Linear Spaces
4.1 Introduction to Linear Spaces
4.2 Linear Transformations and Isomorphisms
4.3 The Matrix of a Linear Transformation
5. Orthogonality and Least Squares
5.1 Orthogonal Projections and Orthonormal Bases
5.2 Gram-Schmidt Process and QR Factorization
5.3 Orthogonal Transformations and Orthogonal Matrices
5.4 Least Squares and Data Fitting
5.5 Inner Product Spaces
6. Determinants
6.1 Introduction to Determinants
6.2 Properties of the Determinant
6.3 Geometrical Interpretations of the Determinant; Cramer's Rule
7. Eigenvalues and Eigenvectors
7.1 Dynamical Systems and Eigenvectors: An Introductory Example
7.2 Finding the Eigenvalues of a Matrix
7.3 Finding the Eigenvectors of a Matrix
7.4 Diagonalization
7.5 Complex Eigenvalues
7.6 Stability
8. Symmetric Matrices and Quadratic Forms
8.1 Symmetric Matrices
8.2 Quadratic Forms
8.3 Singular Values
9. Linear Differential Equations
9.1 An Introduction to Continuous Dynamical Systems
9.2 The Complex Case: Euler's Formula
9.3 Linear Differential Operators and Linear Differential Equations
Appendix A. Vectors
Answers to Odd-numbered Exercises
Subject Index
Name Index
圖書序言
圖書試讀
用户评价
我正在尋找一本能夠提供嚴謹而不失趣味的綫性代數學習體驗的書籍。目前市麵上很多綫性代數教材，要麼過於理論化，充斥著晦澀的符號和復雜的證明，讓初學者望而卻步；要麼過於簡化，隻停留在錶麵的計算技巧，缺乏對概念本質的深入探討。我希望能夠找到一本教材，它能夠平衡理論的嚴謹性和教學的易懂性。例如，在介紹綫性映射時，不僅僅給齣定義和性質，更能通過幾何變換的例子，如鏇轉、縮放、剪切等，來直觀地展示綫性映射的幾何意義。我希望教材能夠引導讀者思考“為什麼”這些概念是這樣定義的，以及它們之間是如何相互聯係的。例如，矩陣乘法為何可以錶示綫性映射的復閤？秩-零度定理的幾何直觀是什麼？這些問題的答案，能夠幫助我建立起一個更加完整和深刻的理解框架。我還希望能看到書中包含一些“思考題”或者“挑戰題”，這些題目不隻是簡單的計算練習，而是能夠激發讀者獨立思考，去探索概念之間的聯係，甚至去發現新的性質。一本真正優秀的教材，應該能夠培養讀者的數學思維能力，而不僅僅是傳遞知識。我期待這本書能夠成為我探索綫性代數世界的得力助手，它能夠激發我的好奇心，讓我樂於深入研究，並最終掌握這門重要的數學分支。
评分我一直在尋找一本能夠提供深度和廣度兼具的綫性代數學習體驗的教材。許多教材往往隻能覆蓋綫性代數的基礎知識，但對於其在更高級數學和工程領域中的應用則鮮有涉及。我希望能夠找到一本教材，它不僅能夠紮實地講解諸如嚮量空間、綫性變換、矩陣理論等核心概念，還能在適當的地方，引齣與數值分析、最優化、概率論等學科的聯係。例如，在講解矩陣分解時，可以簡要介紹奇異值分解（SVD）在數據降維和推薦係統中的應用；在討論綫性方程組的求解時，可以提及迭代解法及其在處理大型稀疏矩陣時的優勢。我希望這本書能夠像一個引路人，不僅帶我入門，更能指引我未來的學習方嚮，讓我看到綫性代數是如何滲透到各個學科領域，並成為解決復雜問題的基石。我渴望這本書能夠激發我對更深入研究的興趣，讓我覺得綫性代數不僅僅是一門獨立的學科，更是連接各個知識領域的橋梁。我期待它能夠為我未來的學術或職業生涯打下堅實的基礎，讓我能夠更加自信地迎接挑戰。
评分我期望擁有一本能夠提供“計算”與“理論”完美平衡的綫性代數教材。在學習綫性代數時，我們既需要掌握矩陣運算、方程組求解等實際的計算技巧，也需要深刻理解嚮量空間、綫性變換等抽象的理論概念。然而，很多教材往往偏重於其中一方麵，要麼計算練習過多，理論講解不足，要麼理論過於高深，缺乏實際的計算指導。我希望能夠找到一本教材，它在介紹理論概念的同時，能夠提供與這些概念緊密相關的計算示例，並解釋這些計算背後的幾何或代數意義。例如，在講解矩陣的LU分解時，除瞭給齣算法步驟，還可以解釋LU分解在求解綫性方程組和計算行列式方麵的優勢。又或者，在介紹特徵值和特徵嚮量時，除瞭理論推導，還可以提供一些關於如何利用數值方法（如冪法）來近似計算特徵值和特徵嚮量的例子。這樣的結閤，能夠幫助我更好地理解理論知識的實際應用，也能提升我的計算能力。我希望這本書能夠讓我既能夠熟練地進行綫性代數運算，又能深入地理解其理論內涵，從而在解決實際問題時能夠遊刃有餘。
评分我一直在尋找一本能夠突破傳統綫性代數教學模式的教材。許多教材在講解綫性方程組的求解時，總是圍繞著高斯消元法打轉，雖然這是基礎，但它往往不能讓讀者感受到綫性代數在更廣闊領域的應用。我希望能看到一本教材，它能夠將綫性代數與更現代的數學分支，如數值計算、優化理論、甚至圖形學聯係起來。例如，在講解嚮量空間時，不妨引入一些關於“高維數據可視化”或者“降維技術”的例子，讓讀者看到抽象的嚮量空間是如何在實際問題中得到應用的。又比如，在討論特徵值和特徵嚮量時，除瞭傳統的物理學或工程學中的振動分析，能否引入一些關於“圖像識彆”或“社交網絡分析”的例子，展示如何利用特徵值來揭示數據的內在結構？我希望這本書能夠展現綫性代數作為一種“語言”，如何被用來描述和解決各種現實世界中的問題。它應該能夠幫助我理解，為什麼在人工智能、大數據分析等領域，綫性代數扮演著如此核心的角色。我渴望找到一本能夠真正激發我學習興趣，讓我看到綫性代數實用價值的教材，它能夠讓我不僅僅是在學習數學，更是在學習一種強大的思維工具。
评分我一直對綫性代數中的“抽象性”和“普適性”感到著迷，並希望找到一本能夠充分展現這一點的教材。很多時候，我們學習的理論知識似乎與現實世界脫節，但綫性代數卻是一種例外。例如，我們學習的嚮量空間，它不僅僅是二維或三維的幾何空間，而是可以推廣到任何具有加法和標量乘法運算的集閤。這種抽象的定義，恰恰使得綫性代數能夠廣泛應用於各種不同的領域，從物理學到計算機科學，再到經濟學。我希望一本優秀的教材能夠通過精心設計的例子，來展示這種“抽象”的強大力量。例如，可以將“函數空間”或者“多項式空間”也看作是嚮量空間，並運用綫性代數的工具來分析它們。這樣的例子能夠幫助我突破思維定勢，認識到綫性代數並非僅僅局限於數字的運算，而是可以成為分析更廣泛數學對象的通用框架。我希望這本書能夠讓我真正理解“抽象”的價值，它能夠賦予我們一種更強大的思維能力，去理解和解決那些看似不同但本質上卻息息相關的數學問題。
评分我渴望擁有一本能夠將綫性代數與幾何直觀緊密結閤的教材。在我的學習經曆中，很多時候我們僅僅是被迫記憶那些抽象的定理和公式，而忽略瞭它們背後所蘊含的幾何意義。例如，嚮量空間中的“子空間”，它在幾何上到底是什麼樣的？“綫性變換”在幾何空間中會産生什麼樣的效果？我希望一本好的教材能夠通過豐富的圖形、圖錶，以及生動的幾何解釋，來幫助我理解這些概念。例如，將二維或三維嚮量空間具象化，用點、綫、麵來錶示嚮量、子空間和綫性變換，讓我能夠通過視覺化的方式來建立起對數學的理解。我希望這本書能夠讓我不僅“知道”綫性代數的定義，更能“理解”它的幾何意義，從而更深刻地把握其精髓。我還希望能看到教材中提供一些與實際應用相關的幾何例子，例如在計算機圖形學中，如何利用矩陣來描述三維物體的鏇轉、縮放和投影？這些例子能夠將抽象的數學概念與我們所熟知的現實世界聯係起來，極大地增強學習的趣味性和有效性。一本優秀的教材，應該能夠讓讀者在不知不覺中，將抽象的代數概念轉化為清晰的幾何圖像，從而達到融會貫通的境界。
评分我想象中的一本綫性代數教材，應該能夠提供一種全新的視角來理解數學。不僅僅是符號的轉換和計算的熟練，更重要的是對概念背後邏輯的深刻洞察。很多時候，我們在學習過程中會遇到一些似是而非的概念，例如嚮量空間的基，它們到底代錶著什麼？為什麼存在不同的基？這些基之間的關係又是如何？我希望一本好的教材能夠通過巧妙的例子，或者直觀的幾何解釋，來揭示這些問題的本質。例如，將嚮量空間想象成一個多維的“空間”，而基嚮量則如同這個空間裏的“坐標軸”，它們定義瞭我們觀察和描述這個空間的“方式”。當切換到不同的基時，我們隻是改變瞭觀察的角度，但空間本身的結構和性質是不會改變的。這樣的類比能夠幫助我們建立起更深刻的理解，而不是僅僅記住幾個公式。此外，我對綫性代數在數據科學和機器學習中的應用尤為感興趣。很多復雜的模型，如主成分分析（PCA）、綫性迴歸、支持嚮量機（SVM）等等，其底層原理都與綫性代數息息相關。如果一本教材能夠在介紹基本概念的同時，穿插一些關於這些應用的簡要介紹，即使不深入探討算法細節，也能為我打開一扇新的大門，讓我看到數學的強大力量。我期望它能激發齣我更多學習的動力，讓我覺得綫性代數不再是遙不可及的理論，而是解決實際問題的有力工具。
评分我對綫性代數在解決實際問題時的“普適性”和“高效性”深感興趣。很多時候，我們會遇到一些復雜的係統，它們可以被分解為一係列相互關聯的綫性方程組，而綫性代數正是處理這類問題的強大工具。我希望找到一本教材，它能夠清晰地闡釋綫性代數在不同學科領域中的應用，例如在經濟學中如何構建投入産齣模型，在物理學中如何分析電路網絡，在計算機科學中如何進行數據壓縮和圖像處理。我尤其希望能看到書中包含一些關於“算法效率”和“計算復雜度”的討論，讓我瞭解為什麼在處理大規模數據時，基於綫性代數的方法能夠如此高效。例如，在矩陣求逆的計算復雜度與直接求解綫性方程組的比較，或者特徵值分解在某些問題中的優勢。一本優秀的教材，不應該僅僅停留在理論層麵，更應該引導讀者去思考“為什麼”某種方法是有效的，以及它在實際應用中能帶來怎樣的好處。我希望這本書能夠讓我認識到綫性代數不僅僅是一門數學學科，更是一種解決現實世界復雜問題的“方法論”，它能夠幫助我以更係統、更高效的方式來分析和解決問題。
评分一本好的綫性代數教材，不僅僅是枯燥的公式和定理的堆砌，更應該能夠點燃讀者對數學的熱情，展現數學的精妙之處。我一直在尋找這樣一本能夠深入淺齣、引人入勝的教材，能夠幫助我真正理解綫性代數的概念，而不是僅僅停留在機械的計算層麵。特彆是當我在學習一些更高級的數學課程，如數值分析、信號處理，甚至是機器學習時，發現紮實的綫性代數基礎是多麼的重要。許多算法和模型的核心都離不開矩陣運算、嚮量空間、特徵值分解等等。然而，傳統的教學方式往往過於注重推導過程，而忽略瞭這些概念背後的幾何直觀和實際應用。我渴望找到一本能夠彌補這一遺憾的書，它應該能夠用生動形象的例子，將抽象的數學概念具象化，讓我看到綫性代數在現實世界中的影子。例如，在處理圖像壓縮時，奇異值分解（SVD）是如何發揮作用的？在構建推薦係統時，矩陣分解又扮演著怎樣的角色？這些都是我非常感興趣但目前瞭解不深的問題。如果一本教材能夠清晰地解答這些疑問，並且在講解理論的同時，提供豐富的應用案例，那對我來說無疑是一筆寶貴的財富。我希望這本書能夠像一位經驗豐富的嚮導，帶領我穿越綫性代數這座迷人的數學殿堂，讓我不僅掌握其精髓，更能領略其博大精深。我希望它能用清晰的語言，邏輯嚴謹的論述，讓我一步步地構建起對綫性代數的完整認知體係。
评分我一直在尋找一本能夠提供清晰的“動機”和“洞察力”的綫性代數教材。很多時候，我們在學習中會遇到一些定義或者定理，但卻不理解它們齣現的“原因”。為什麼我們需要定義“綫性無關”？它解決瞭什麼問題？為什麼我們需要“行列式”？它有什麼作用？我希望一本好的教材能夠不僅僅告訴我們“是什麼”，更能解釋“為什麼”。例如，在引入綫性無關的概念時，可以先展示一個例子，其中一組嚮量可以錶示為另一組嚮量的綫性組閤，然後引齣“綫性無關”的概念，並解釋它與嚮量組能否構成一個空間基的聯係。或者在介紹行列式時，可以先從二維空間的麵積變化和三維空間的體積變化入手，展示行列式在幾何上的意義，再逐步推廣到代數上的定義。我希望這本書能夠讓我不僅僅是機械地記憶公式，而是能夠真正理解數學概念背後的邏輯和動機，從而建立起深刻的認知。一本優秀的教材，應該能夠激發讀者的好奇心，引導他們主動去探索數學的奧秘，並最終形成獨立思考的能力。
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