高等微積分（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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初版四刷

　　高等微積分所討論的對象，是歐氏空間中的函數、點列與級數等；討論的內容，則是極限、收斂性、連續性、微分與積分等概念。為瞭讓這些概念能夠給齣嚴密的定義以及寫齣嚴密的證明，實數係的完備性是不可或缺的必備知識。

　　本書從實數係的定義齣發，先完成實數係完備性及其各種等價敘述的證明；再以此作為踏腳石，並使用歐氏空間中開集、閉集、緊緻集與連通集等拓樸概念做為工具，引導讀者進入近代分析數學的入門科目。

　　全書之編寫，採取嚴密處理的方式，除瞭以大一微積分為預備知識、也引用少數綫性代數的定理外，其他內容在書中都給瞭證明。

作者簡介

趙文敏，颱灣省澎湖縣人，民國三十五年生

＊現職：
　　國立颱灣師範大學數學係教授

＊學曆：
　　國立颱灣師範大學數學係理學士
　　美國芝加哥大學數學博士

＊經曆：
　　颱灣省立馬中學數學教師
　　颱北市立第一女子高級中學數學教師
　　國立颱灣師範大學數學係助教
　　國立颱灣師範大學數學係副教授
　　國立颱灣師範大學數學係教授兼係主任

＊著作：
　　拓撲學導論
　　寓數學於遊戲【兩冊】
　　數論淺談
　　無窮級數
　　數學史【第一捲】
　　幾何學概論
　　大學微積分【兩冊】
　　高等微積分(上)

深入探索數學的基石：一本拓寬你對嚴謹分析理解的指南 書名：高等微積分（下） 內容簡介 本書是《高等微積分（上）》的續篇，旨在將讀者在基礎微積分和初步分析中所建立的知識體係，推嚮一個更為深邃、嚴謹且廣闊的境界。它不再滿足於僅僅處理直觀的極限和導數概念，而是深入探究這些概念背後的結構、拓撲性質以及它們如何支撐起更高級的數學分支。全書的敘事邏輯強調從具體例子到抽象定理的提煉過程，旨在培養讀者獨立思考和進行數學證明的能力。 本書的結構被精心劃分為若乾核心部分，每一部分都以前一部分的成果為基礎，逐步構建起對現代分析學的完整認知。 --- 第一部分：多變量函數的微分幾何與拓撲基礎 在高等分析的學習中，從一維空間（實數綫 $mathbb{R}$）躍遷至高維空間（$mathbb{R}^n$）是至關重要的一步。本部分將係統性地重塑讀者對函數、連續性、極限的理解，使其適應多變量環境。 1. 拓撲預備與度量空間： 我們首先建立必要的拓撲語言。不同於離散數學中的開閉集定義，這裏引入開球、鄰域、緊緻性（Compactness）和連通性（Connectedness）的精確定義。重點分析歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的特殊性質，特彆是 Heine-Borel 定理在高維空間中的地位及其在證明中的關鍵作用。緊緻集上的連續函數性質（極值定理、一緻收斂性）將是本部分的核心應用。 2. 偏導數、方嚮導數與梯度： 對偏導數的討論將不再是簡單的計算，而是引入方嚮導數的概念，探討函數在特定方嚮上的變化率。梯度嚮量的引入不僅是計算工具，更是連接微分與函數局部最優解的關鍵橋梁。我們深入探討函數在特定方嚮上的可微性並不意味著在所有方嚮上都可微，以及這種差異如何導嚮更強的可微性概念。 3. 鏈式法則的幾何解釋與高階導數： 鏈式法則在高維下的復雜性需要幾何直覺來指導。本節將詳細推導多變量鏈式法則的矩陣形式，並引入Hessian 矩陣。Hessian 矩陣不僅用於分類臨界點（局部最大值、最小值、鞍點），更重要的是，它構成瞭泰勒定理在高維空間中的嚴格錶述，為後續的優化理論打下基礎。 4. 隱函數定理與反函數定理： 這是多變量微分學的兩大支柱。隱函數定理（Implicit Function Theorem）討論瞭方程組 $F(x, y) = 0$ 在局部能否定義齣 $y$ 作為 $x$ 的函數。反函數定理（Inverse Function Function Theorem）則在高維空間中給齣瞭局部可逆性的充分條件，即Jacobian 矩陣行列式不為零。證明過程中將大量運用壓縮映射原理（見下文），強調其嚴謹性。 --- 第二部分：積分的深化與勒貝格測度的初步接觸 本部分將超越黎曼積分的直觀理解，轉嚮更強大的積分理論，並為現代泛函分析做鋪墊。 1. 多重積分與坐標變換： 詳細討論直角坐標係、柱坐標係和球坐標係下的多重積分計算，重點在於雅可比行列式在麵積或體積元素變換中的作用，解釋為什麼它必須齣現在積分的變量代換中。 2. 麯綫積分與麯麵積分： 嚮量場（Vector Fields）的概念是物理學和幾何學中的核心。我們嚴格定義綫積分（Line Integrals）和麵積分（Surface Integrals），並區分第一類和第二類積分。 3. 格林定理、斯托剋斯定理與高斯散度定理的嚴謹推導： 這是微分幾何與分析結閤的經典篇章。本書將避免過早地將這些定理視為“已知結論”，而是基於多重積分的Fubini定理和斯托剋斯定義的微分形式，通過精妙的邊界分析，嚴格證明這些核心定理。這些定理揭示瞭微分運算（鏇度、散度）與積分運算之間的深刻對偶關係。 4. 黎曼積分的局限性與勒貝格積分的動機： 簡要介紹黎曼積分在處理“高度不規則”函數時的失敗（如狄利剋雷函數）。引入測度論的基本思想——不再按定義域分割，而是按值域分割。雖然本書不會深入測度論的復雜細節，但會提供勒貝格積分的直觀框架，解釋其優越性，特彆是它能處理的函數類更廣，且在交換極限與積分時更具魯棒性。 --- 第三部分：序列、級數與函數空間（一緻收斂的威力） 本書將重點放在一緻收斂性上，這是區分高等微積分與初等微積分的關鍵。 1. 函數序列與一緻收斂： 細緻區分逐點收斂（Pointwise Convergence）與一緻收斂（Uniform Convergence）。通過反例（如三角函數序列的極限），展示逐點收斂不足以保證極限函數保持連續性、可積性或可微性。 2. Weierstrass M-檢驗與冪級數： 嚴格證明一緻收斂的判彆法，特彆是M-檢驗法在證明函數級數一緻收斂性中的強大效力。對冪級數的分析將集中於其收斂半徑的確定（使用比值判彆法或根值判彆法），以及在收斂區間端點處的性質討論。 3. 逐項微分與逐項積分： 給齣在什麼條件下，我們可以將極限與微分或積分的順序互換（即 $lim int f_n = int lim f_n$ 或 $lim frac{d}{dx} F_n = frac{d}{dx} lim F_n$）。一緻收斂性在這裏扮演瞭決定性的角色。 4. 傅裏葉級數入門（概念性介紹）： 基於內積空間和正交性的概念，簡要介紹傅裏葉級數是如何用正交基函數來展開一般函數的。這部分作為對函數空間概念的引入，展示瞭如何將一個無窮維空間（函數空間）轉化為一個可處理的“坐標係”。 --- 第四部分：常微分方程的嚴格解法與存在性 本部分將微分方程的求解從特解計算提升到理論證明層麵。 1. 一階 ODE 的解法迴顧與應用： 復習和歸納變量分離法、積分因子法等，並將其應用於實際物理和工程問題中，強調模型建立的過程。 2. 綫性 ODE 理論： 深入探討綫性常微分方程組的解的結構。解空間構成一個嚮量空間，齊次方程的解是齊次解空間，非齊次方程的解是特定解加上齊次解。引齣基本解矩陣的概念。 3. Picard 存在與唯一性定理： 這是常微分方程理論的基石。本書將使用Banach 壓縮映射定理（在第一部分的反函數定理證明中已鋪墊）來嚴格證明在特定條件下，初值問題（IVP）一定存在局部解且解是唯一的。這從根本上保證瞭我們所求解的微分方程的有效性。 全書的語言風格力求清晰、準確且具有啓發性。每章末尾精心設計的習題，一部分用於鞏固計算技巧，另一部分則著重於要求讀者構造反例或完成嚴謹的理論證明，從而真正掌握分析學的精髓。本書的目標是為讀者未來進入實分析、復分析或微分幾何的學習做好最堅實的準備。

第一章　實數係
第二章　歐氏空間的拓樸性質
第三章　極限與連續
第四章　Rk上的微分
第五章　Rk上的Riemann積分

评分☆☆☆☆☆

讓我印象深刻的是，這本書的編寫風格非常具有親和力。雖然是高等微積分，但作者並沒有使用過於晦澀難懂的語言，而是盡量用清晰、簡潔的學術語言來闡述概念。我特彆喜歡在一些關鍵的證明或者定理的敘述後麵，會有一個“注意”或者“提示”的部分，這些部分往往會點齣一些容易齣錯的地方，或者提供一些解題的技巧，這些“錦囊妙計”真的是非常實用。我記得有一次，我被一個關於偏導數的題目卡住瞭，翻閱到書後的提示部分，作者那裏用瞭一句話點醒瞭我，我纔恍然大悟，很快就解決瞭問題。這種“防患於未然”的教學設計，極大地減少瞭讀者在學習過程中的挫敗感。而且，這本書的章節安排也非常閤理，每一章的內容都銜接得非常緊密，並且會適當地迴顧前麵學過的內容，幫助讀者鞏固記憶。我覺得，這本書不僅僅是在教授知識，更是在引導讀者形成良好的學習習慣和獨立思考的能力。

评分☆☆☆☆☆

這本書的排版設計，可以說是教科書級彆的典範。我看到它采用的是一種非常簡潔的風格，沒有多餘的裝飾，每一個文字、每一個公式都擺放得恰到好處。書中的字號大小適中，閱讀起來非常舒適，長時間閱讀也不會感到疲倦。我尤其喜歡它在公式上的處理，每一個公式都被單獨列齣，並且給齣瞭編號，方便引用。而且，在公式的推導過程中，作者會將每一步的中間結果也清晰地展示齣來，不會省略關鍵的步驟，這對於我這種喜歡刨根問底的讀者來說，是極大的福音。我曾經嘗試過閱讀其他一些微積分書籍，裏麵的公式推導經常是跳躍性很強，讓人看瞭雲裏霧裏，而這本書在這方麵做得非常嚴謹。此外，書中的圖錶也繪製得非常專業，綫條清晰，比例準確，能夠非常直觀地展示數學概念。我記得書中關於麯麵積分的一個圖示，通過幾個不同角度的觀察，讓我徹底理解瞭麯麵積分的幾何意義，真的是受益匪淺。

评分☆☆☆☆☆

這本《高等微積分（上）》給我最深刻的印象，是它那近乎藝術品般的編輯水準。從封麵到內頁，每一個細節都透露著製作者的用心。我尤其喜歡它那柔和的內頁配色，不是那種刺眼的白，而是一種暖白色，長時間閱讀也不會讓眼睛感到疲憊。書中的文字印刷非常清晰，沒有絲毫的模糊或重影，即便是最小的符號，也辨識度極高。更讓我驚喜的是，在許多關鍵定義和定理的旁邊，都有一些小小的注釋或者引言，這些內容雖然不是主乾知識，但卻能提供一些曆史背景、應用場景或者作者的個人見解，這些“畫龍點睛”式的補充，極大地豐富瞭閱讀的層次感，讓我不僅僅是在學習公式和定理，更是在與作者進行一場跨越時空的學術交流。在處理復雜的推導過程時，作者采用瞭非常精巧的排版方式，將每一個步驟都清晰地標示齣來，並且用不同顔色的高亮來區分不同的變量或者關鍵操作，這種視覺上的引導，極大地降低瞭理解的難度。有時候，一本好書不僅僅是內容的傳遞，更是閱讀體驗的營造，而這本書在這方麵做得淋灕盡緻。我常常在下午陽光正好時，泡上一杯茶，翻開這本書，在柔和的燈光下，沉浸在數學的海洋裏，那種感覺，就像是在享受一場寜靜而充實的精神盛宴。

评分☆☆☆☆☆

我必須強調，這本《高等微積分（上）》在內容組織上，給我留下瞭極為深刻的印象。它並非簡單地羅列公式和定理，而是力求將數學的邏輯美和嚴謹性展現在讀者麵前。作者在講解每一個概念時，都會先鋪墊其産生的背景和意義，讓你明白為什麼需要學習這個概念，而不是盲目地記憶。我特彆欣賞作者在引入新的證明方法時，會先迴顧一些已知的，相對簡單的證明思路，然後在此基礎上進行拓展和升華，這使得新的證明方法顯得不那麼突兀，也更容易被接受。而且，書中對一些容易混淆的概念，比如“收斂”和“絕對收斂”，都會進行非常清晰的辨析，並且給齣明確的區分方法，這對於避免學生在學習中産生誤解非常有幫助。我曾經因為這兩個概念的區彆而睏擾瞭很久，直到閱讀瞭這本書，纔終於理清瞭頭緒。這種細緻入微的講解，真的體現瞭作者深厚的教學功底。

评分☆☆☆☆☆

我非常喜歡這本書的編排風格，它就像是一位經驗豐富的老師，耐心地引導著每一個求知的學子。在講解復雜的定理時，作者會拆解成多個小的步驟，並且用清晰的語言解釋每一步的邏輯，生怕讀者會漏掉任何一個細節。我記得，在學習格林公式的時候，書中用瞭整整一個章節來詳細講解它的推導過程，並且配有多個不同形狀區域的圖示，讓我能夠從不同角度理解這個公式的幾何意義。這種“慢而穩定”的講解方式，雖然可能需要花費更多的時間，但卻能確保讀者真正理解每一個概念，而不是死記硬背。而且，書後的習題設計也非常有特色，每一章節的習題都從易到難，循序漸進，並且提供瞭答案，這讓我可以隨時檢驗自己的學習成果，並從中吸取經驗教訓。我經常在做完習題後，對照答案，找齣自己理解上的偏差，並及時進行糾正，這種主動的學習過程，讓我覺得非常有成就感。

评分☆☆☆☆☆

這款《高等微積分（上）》在細節處理上，簡直是無可挑剔。它的裝訂非常牢固，采用的是精裝工藝，書頁縫閤得嚴絲閤縫，即便經常翻閱，書頁也不會鬆散。我甚至懷疑，這本書可以輕鬆地經曆幾十年的磨損而不變形。紙張的厚度也非常閤適，墨水不會滲到背麵，影響閱讀。我尤其喜歡的是，書中對公式的排版方式，每一個公式都經過精心設計，大小、間距都恰到好處，讀起來非常舒服。而且，作者在公式旁邊會用小括號標注齣每個符號的含義，這一點對於初學者來說，簡直是救星。我以前學微積分的時候，經常因為一個符號不認識，導緻整個公式都看不懂，這本書在這方麵考慮得非常周到。此外，書中的一些圖示，比如函數的等高綫圖，或者嚮量場的示意圖，都畫得非常生動形象，能幫助我更直觀地理解抽象的數學概念。我曾經花瞭好幾個小時，反復研究書中的一個關於斯托剋斯公式的圖示，纔真正理解瞭它在物理學中的應用，這本書的圖示功不可沒。

评分☆☆☆☆☆

從內容呈現的角度來看，這本書真的做到瞭“潤物細無聲”的教學境界。它不是那種上來就拋齣一堆復雜公式，讓你無從下手的感覺。相反，它的敘述非常流暢，邏輯性極強。我特彆注意到，在引入每一個新的概念時，作者都會先給齣一些直觀的例子或者生活中的類比，讓抽象的數學概念變得具體可感。比如，在講解極限的時候，作者可能就從“無限接近”這個日常概念齣發，逐步引導到數學上的定義。這種由淺入深的方式，極大地降低瞭初學者的門檻。而且，書中不僅講解瞭理論，還穿插瞭大量的例題，這些例題的難度和類型都非常有代錶性，從最基礎的計算題，到需要綜閤運用多個定理的復雜問題，應有盡有。更重要的是，這些例題的解答過程都非常詳盡，不僅給齣瞭最終答案，還一步一步地展示瞭完整的推導過程，這對於我這種喜歡模仿和學習解題思路的人來說，是無價的。我甚至覺得，光是把書中的例題都徹底弄懂，就已經能掌握高等微積分的核心精髓瞭。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這本《高等微積分（上）》的裝幀質量簡直是業內標杆。我購買的是精裝版本，封麵采用的是布麵材質，觸感非常細膩，而且不容易留下指紋，即使經常翻閱，也能保持它的 pristine condition。書的整體重量適中，拿在手裏有分量，但又不至於壓手。打開書頁，你會看到它采用瞭非常環保的紙張，沒有刺鼻的化學氣味，這一點對於注重健康環保的讀者來說，是一個加分項。書中的插圖和圖錶，尤其是那些涉及到空間幾何的圖形，綫條流暢，色彩搭配得體，準確地傳達瞭三維空間的直觀感受，這對於理解多變量函數的性質至關重要。我最欣賞的是，在一些較為抽象的概念講解後麵，作者會精心設計一些“思考題”或者“拓展閱讀”的建議，這些並不是考試題，而是旨在激發讀者的好奇心和探索欲，引導大傢去思考更深層次的問題。這種教學設計，讓學習過程變得更加主動和有趣，而不是被動地接受知識。而且，書後的索引也非常詳盡，可以幫助我快速定位到我需要的知識點，這一點在復習和查閱時非常便捷。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當經典，采用的是那種略帶復古感的深藍色背景，搭配燙金的白色字體，瞬間就營造齣一種嚴謹而又不失學術氛圍的視覺感受。書脊上的“高等微積分（上）”幾個字，工整地排列著，給人一種紮實可靠的感覺，仿佛一本厚重的學問就藏匿其中，等待著我去探索。我拿到這本書的時候，首先被它的紙張質感所吸引，是一種略微粗糙但又非常順滑的啞光紙，聞起來有一股淡淡的油墨香，這種觸感和氣味，總能勾起我對學生時代那些埋頭苦讀的日子深深的懷念。翻開書頁，你會發現它的排版非常清晰，大量的公式和定理被妥善地分隔開來，並且使用瞭不同大小的字體和粗細來強調重點，這一點對於我這種需要反復查閱理解的讀者來說，簡直是福音。每一章的開頭，都會有一個簡要的章節概述，讓你對即將學習的內容有一個大緻的框架，這對於構建完整的知識體係非常有幫助。而且，書中的插圖和圖示也恰到好處，不會顯得過於花哨，但卻能準確地描繪齣抽象的數學概念，比如在討論多變量函數的可視化時，那些精美的三維圖形，真的是讓我豁然開朗，仿佛原本模糊的概念瞬間就變得立體起來。我特彆欣賞的是，在一些關鍵定理的證明過程中，作者並沒有直接給齣結論，而是層層遞進，引導讀者一步步去思考，就像是在進行一場智力探險，跟隨作者的邏輯，最終撥開迷霧，看到真理的光輝。這種循序漸進的講解方式，使得即使是初學者，也能逐步建立起對高等微積分的信心，而不是望而卻步。

评分☆☆☆☆☆

這本《高等微積分（上）》的書頁質量，真的是我見過最好的圖書之一。它采用的是一種略帶米黃色的環保紙張，觸感溫潤，而且對眼睛非常友好。我曾經試過在弱光環境下閱讀，字跡依然非常清晰，沒有反光的問題。更讓我驚喜的是，書本的裝訂非常牢固，無論我如何用力翻閱，書脊都保持平整，書頁也不會有任何鬆脫的跡象。我甚至覺得，這本書的壽命會比我的學習生涯還要長。在內容方麵，我注意到作者在很多關鍵定理的證明後麵，都附帶瞭對該定理在實際應用中的一些簡單介紹，雖然不深入，但足以讓你感受到數學的魅力不僅僅在於抽象的邏輯，更在於它強大的實用性。我記得在講解高斯散度定理的時候，作者就簡要提到瞭它在流體力學中的應用，這一點讓我對這個抽象的定理有瞭更直觀的認識。這種將理論與應用相結閤的教學方式，極大地激發瞭我學習的興趣。