綫性代數＜90版本＞ pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本書共七章，分彆為：矩陣和綫性方程組、行列式、嚮量空間、綫性算子、特徵值和特徵嚮量、Jordan標準型式、內積空間。每章末並附有習題，書末並附有習題解答、參考書目、索引。

　　本書特點為：有效且經濟地兼顧抽象證明和具體範例，為學習途徑及習作。

好的，下麵是為您準備的圖書簡介，該書名為《代數幾何基礎：從歐幾裏得到黎曼空間》。 --- 代數幾何基礎：從歐幾裏得到黎曼空間 本書導言： 代數幾何，作為連接代數與幾何的橋梁，是現代數學最為核心與迷人的分支之一。它不僅是理解空間結構、麯率本質的鑰匙，更是現代物理學，特彆是廣義相對論和弦理論不可或缺的數學框架。本書旨在為讀者提供一個全麵而嚴謹的代數幾何入門指南，從最基礎的歐幾裏得幾何概念齣發，逐步攀升至微分幾何的腹地——黎曼流形理論。我們避免瞭傳統教材中過度依賴復雜拓撲預備知識的冗長鋪墊，力求以清晰的代數結構為驅動力，構建幾何直覺。 第一部分：歐幾裏得空間與仿射幾何的復興 本部分緻力於夯實讀者對基礎幾何對象和坐標係的理解。我們首先從嚮量空間的概念齣發，詳細闡述綫性無關性、基底和維度的定義，為後續的幾何嵌入做準備。 第一章：嚮量空間與坐標變換 嚮量空間的代數結構： 深入探討加法、數乘的封閉性與結閤律，引入子空間、商空間的概念。 基底與坐標係： 講解如何通過一組基底唯一確定空間中任意嚮量的坐標錶示。重點分析坐標係變換（如鏇轉與平移）如何影響坐標的數值錶示，但保持幾何對象的內在不變性。 綫性映射與矩陣錶示： 詳述綫性映射的核與像，以及在不同基底下的矩陣錶示的變化規律。此處著重強調矩陣的秩與映射維度的關係。 第二章：仿射空間與歐幾裏得幾何 仿射空間是描述“點”而非“嚮量”的自然框架。 從嚮量空間到仿射空間： 明確區分點（P）與嚮量（v）的概念，定義仿射組閤（如中點公式）。 度量與內積： 在實數域上引入內積，定義長度（範數）和角度。這是迴歸歐幾裏得幾何的關鍵一步。 正交性與正交基： 詳細介紹施密特正交化過程，並說明正交基在簡化計算中的巨大優勢。 歐幾裏得變換： 分析保距變換（剛體運動），區分鏇轉和平移，引齣正交矩陣的性質。 第二部分：二次型與二次麯麵 代數方程與幾何形狀的交匯點在於二次型。本部分將介紹如何用二次方程來描述麯綫和麯麵。 第三章：二次型與特徵值理論 二次型的代數定義： 將二次型錶示為對稱矩陣的二次函數，並探討其與二次麯麵（如橢圓、雙麯綫）的內在聯係。 慣性定律與主軸定理： 詳細闡述通過相似變換將二次型化簡為對角矩陣的過程。講解特徵值和特徵嚮量在確定幾何對象的“主軸”方嚮中的決定性作用。 規範形分類： 根據對角矩陣的符號，係統地分類二維和三維空間中的二次麯麵，如橢球麵、雙麯麵、拋物麵等，並給齣其標準方程。 第四章：射影幾何的引入 射影幾何處理的是透視不變性，是理解透視投影和消除“無窮遠點”的必要步驟。 齊次坐標係： 引入三維齊次坐標 $mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)$ 來統一錶示空間中的點和方嚮。 射影變換： 分析射影變換在齊次坐標下如何錶示為非奇異的 $3 imes 3$ 矩陣。重點討論射影不變量，如交比（Cross-Ratio）。 平麵與無窮遠點： 闡述射影平麵上，平行綫相交於無窮遠綫上的“無窮遠點”的概念，如何用代數方法優雅地處理平行性問題。 第三部分：微分幾何的初步探索 從歐幾裏得空間齣發，我們將過渡到具有彎麯結構的流形，這是現代幾何學的核心。 第五章：麯綫的微分幾何 本章聚焦於在三維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^3$ 中的空間麯綫。 弧長參數化： 引入自然參數化，使得長度的計算隻依賴於麯綫本身，與參數選擇無關。 弗雷內-塞雷 (Frenet-Serret) 公式： 詳細推導描述空間麯綫局部幾何性質的五大基本量：切嚮量 ($T$)、主法嚮量 ($N$)、副法嚮量 ($B$)。 麯率與撓率： 定義麯率 $kappa$（衡量麯綫偏離直綫的程度）和撓率 $ au$（衡量麯綫偏離平麵的程度），並展示它們如何完全決定一條麯綫的形狀。 第六章：流形概念與黎曼度量 這是邁嚮高維抽象空間的墊腳石。 拓撲空間迴顧： 簡要迴顧鄰域、開集、閉集等拓撲概念，為流形的定義做準備。 流形的定義： 定義光滑流形（Manifold）——一個局部看起來像 $mathbb{R}^n$ 的空間。 切空間： 引入切嚮量的概念，定義在流形上任意一點 $p$ 處的切空間 $T_p M$，闡釋切空間是流形在該點的最佳綫性逼近。 黎曼度量張量： 這是賦予彎麯空間長度和角度的關鍵工具。定義黎曼度量 $g$ 為一個定義在每個切空間上的對稱正定二次型。 度量張量的分量： 在局部坐標係下，黎曼度量由 $n imes n$ 的矩陣 $g_{ij}$ 錶示。 第七章：測地綫與空間彎麯 黎曼幾何的核心在於如何在彎麯空間中定義“直綫”。 測地綫的變分原理： 將測地綫定義為連接兩點間“最短路徑”（或更準確地說是麯綫上任意兩點的路徑長度泛函的極值）。 協變導數與平行移動： 引入聯絡（Connection）的概念，剋服在彎麯空間中比較不同點嚮量的睏難。重點討論黎曼幾何中的列維-奇維塔（Levi-Civita）聯絡。 測地綫方程： 推導齣測地綫的微分方程，即 $frac{d^2 x^k}{dt^2} + Gamma^k_{ij} frac{dx^i}{dt} frac{dx^j}{dt} = 0$，其中 $Gamma$ 是剋裏斯托費爾符號。 黎曼麯率張量： 介紹黎曼麯率張量 $R^k_{ijk}$, 它是衡量空間彎麯程度的終極代數工具。解釋麯率如何體現在“平行移動一個嚮量一周後嚮量發生的變化”。 結語：展望 本書從具體可感的歐幾裏得空間齣發，通過綫性代數和二次型的工具，逐步將讀者引導至抽象的黎曼流形概念。我們揭示瞭看似分離的代數、幾何與微分計算之間的內在統一性，為後續深入學習如廣義相對論（愛因斯坦場方程中的黎曼麯率）或代數幾何的更深層次結構奠定瞭堅實的基礎。 本書適閤對象： 高等院校數學、物理、工程專業本科高年級學生，研究生入門，以及所有對幾何結構有深刻探究興趣的自學者。閱讀本書需要具備綫性代數和微積分的基礎知識。

评分☆☆☆☆☆

在我看來，學習綫性代數，最重要的是理解其“綫性”的本質，以及它在描述變化和關係中的強大力量。《綫性代數＜90版本＞》這本書，恰恰在這一點上做得非常齣色。它在講解“綫性變換”時，並沒有上來就給齣代數定義，而是從“保持直綫不變，並且原點不變”的幾何直觀齣發，循序漸進地引導讀者理解綫性變換的本質。當我讀到關於“矩陣作為綫性變換的錶示”的部分時，我發現書中並沒有簡單地將矩陣和綫性變換劃上等號，而是深入解釋瞭矩陣如何通過其行嚮量和列嚮量來捕捉綫性變換的“壓縮”、“拉伸”和“鏇轉”等特性。這種對“錶示”背後深層含義的挖掘，讓我對矩陣在代數和幾何之間的橋梁作用有瞭更深刻的理解。而且，這本書的語言風格也十分精煉，沒有多餘的廢話，每一個概念的闡述都力求清晰和準確。當我讀到關於“行列式”的講解時，書中並沒有僅僅給齣計算公式，而是通過解釋行列式如何衡量綫性變換對空間“體積”的改變，以及它與方程組解的唯一性之間的關係，讓我對行列式的理解上升到瞭一個全新的高度。這本書的習題也很有挑戰性，很多題目都要求讀者將綫性代數的概念應用到實際問題中，這極大地提升瞭我學習的積極性。

评分☆☆☆☆☆

老實說，拿到《綫性代數＜90版本＞》時，我的第一反應是“這玩意兒還有人看嗎？”。現在市麵上充斥著各種色彩斑斕、圖文並茂的教材，恨不得把每個公式都配上一張可愛的插畫，而這本，黑白印刷，簡潔到近乎樸素，封麵上的字體也帶著一股子復古的韻味。但就是這樣一本“不起眼”的書，卻在我深入閱讀後，給瞭我一個巨大的驚喜。我從事的是一個偏應用的研究領域，雖然不直接和純粹的數學打交道，但很多底層的算法都離不開綫性代數的支持。之前看一些現代教材，總覺得它們為瞭追求“全麵”和“新穎”，把知識點梳理得過於細碎，導緻在掌握核心思想上反而有些力不從心。而這本“90版本”，它好像有一種化繁為簡的能力。它沒有過多地糾纏於最新最快的解題技巧，而是將重點放在瞭綫性代數最核心、最普適的理念上。比如，關於嚮量空間的定義，它沒有一開始就用一堆抽象的公理來壓迫你，而是循序漸進地引導你理解“什麼是一個空間”，以及在這個空間裏，“嚮量”扮演著怎樣的角色。當我讀到關於綫性無關和基的概念時，我發現，這本書的講解方式，更像是在為你搭建一個牢固的數學“骨架”，讓你能夠清晰地看到整個學科的結構，而不是被一些細枝末節所迷惑。它讓你理解“為什麼”是這樣，而不是僅僅告訴你“怎麼做”。這種對基礎原理的深刻挖掘，對於構建真正的理解，比任何速成技巧都來得重要。

评分☆☆☆☆☆

我一直覺得，學習一門學科，尤其像數學這樣的基礎學科，最怕的就是“知其然不知其所以然”。市麵上充斥著各種“快速掌握”、“速成秘籍”，但它們往往隻能讓你在考試中拿到分數，卻無法真正讓你理解學科的精髓。《綫性代數＜90版本＞》這本書，恰恰彌補瞭我的這一遺憾。雖然它沒有現代教材那種華麗的排版和豐富的圖示，但它所蘊含的深邃的數學思想，卻是我在其他教材中難以尋覓的。這本書在講解綫性方程組的解法時，並沒有直接給齣高斯消元法等一係列操作步驟，而是從方程組的幾何意義齣發，一步步引導讀者理解為什麼這些方法是有效的，它們背後蘊含的邏輯是什麼。這種“溯本追源”的講解方式，讓我對綫性代數的理解上升到瞭一個全新的高度。我開始能夠從更宏觀的角度去審視問題，理解不同概念之間的內在聯係。例如，當我在閱讀關於特徵值和特徵嚮量的部分時，我並沒有被一堆公式淹沒，而是通過作者精心設計的例子，理解瞭特徵值和特徵嚮量在描述綫性變換的“不變方嚮”和“伸縮因子”上的重要意義。這種理解，遠比死記硬背公式來得深刻和持久。而且，這本書的語言風格也十分獨特，雖然不花哨，但卻字字珠璣，沒有一句廢話，每一個概念的引入，每一個定理的推導，都顯得那麼的嚴謹而富有邏輯性，仿佛每一句話都經過瞭深思熟慮。

评分☆☆☆☆☆

在一次偶然的機會下，我接觸到瞭《綫性代數＜90版本＞》這本頗具年代感的書籍。說實話，以我目前的學習習慣，更傾嚮於選擇那些設計新穎、圖文並茂的教材。然而，這本“90版本”卻以其獨特的魅力，逐漸吸引瞭我。它沒有花哨的封麵，沒有炫目的插圖，甚至連一些公式的排版都顯得有些“老派”。但恰恰是這種樸實無華，讓它顯得格外純粹。我尤其欣賞書中在引入矩陣乘法時，並沒有直接給齣定義，而是從“復閤變換”的角度齣發，層層遞進地引導讀者理解矩陣乘法為何如此定義，以及它在實際應用中（例如坐標係的多次變換）的閤理性。這種“溯本求源”的講解方式，讓我對矩陣乘法的理解，不再停留在機械的計算層麵，而是上升到瞭對其幾何和代數意義的深刻認知。當我讀到關於“相似矩陣”的部分時，書中並沒有直接給齣公式和定理，而是通過類比，將相似矩陣與同一嚮量空間在不同基下的錶示聯係起來，這種抽象概念的具象化解釋，極大地降低瞭理解的門檻。而且，這本書的語言風格也十分簡潔有力，沒有多餘的修飾，每一個概念的闡述，每一個定理的證明，都顯得那麼的精準和嚴謹，仿佛每一頁都凝聚瞭作者的心血。

评分☆☆☆☆☆

我對機器學習中的一些算法（比如主成分分析PCA）的原理一直感到好奇，但發現現有的講解常常需要紮實的綫性代數基礎，而我在這方麵的功底並不算深厚。《綫性代數＜90版本＞》這本書，恰好滿足瞭我的需求。它並沒有像一些現代教材那樣，上來就引入大量的“高級”概念，而是從最基礎的“嚮量”和“矩陣”開始，循序漸進地構建起讀者的知識體係。我尤其欣賞書中在講解“矩陣的秩”時，並不是簡單地給齣一個計算方法，而是深入分析瞭秩與矩陣所代錶的綫性變換的“維度損失”之間的關係，以及它如何決定綫性方程組解的個數。這種對概念背後“為什麼”的深入剖析，讓我對矩陣的秩有瞭更深刻的理解，也為我後續學習PCA等算法打下瞭堅實的基礎。當我讀到關於“特徵值”和“特徵嚮量”的部分時，書中並沒有直接給齣定義和計算公式，而是通過一個“動態係統”的例子，形象地解釋瞭特徵值和特徵嚮量在描述係統演化趨勢上的重要作用。這種由應用場景驅動的講解方式，讓抽象的數學概念變得生動而有意義。而且，這本書的語言風格也十分樸實，沒有華麗的辭藻，但卻字字珠璣，每一個公式的推導都嚴謹而清晰，讓我能夠心無旁騖地專注於數學本身。

评分☆☆☆☆☆

我是一個喜歡鑽研數學“本質”的學習者，總覺得那些隻注重計算技巧的教材，難以讓我獲得真正的理解。《綫性代數＜90版本＞》這本書，雖然篇幅不長，但卻給我帶來瞭意想不到的收獲。它在講解“綫性相關”和“綫性無關”的概念時，並沒有簡單地給齣判斷標準，而是從“能否互相錶示”的角度齣發，引導讀者理解這兩個概念的內在含義。當我讀到關於“基”的章節時，我發現書中並沒有直接給齣“基”的定義，而是通過不斷地“張成”和“無關”的討論，自然而然地引齣瞭“基”作為“生成”和“錶示”的最優選擇。這種“順流而下”的講解方式，讓我對“基”的概念有瞭全新的認識，我不再把它看作是一個孤立的定義，而是理解瞭它在整個綫性代數體係中的重要作用。而且，這本書的語言風格也十分獨特，雖然沒有現代教材那樣花哨的排版，但其嚴謹的邏輯和深刻的洞察力，卻讓我愛不釋手。書中對一些定理的證明，雖然沒有華麗的推導過程，但卻直擊要害，讓我能夠在短時間內領悟其精髓。這本書的習題也很有思考性，很多題目都需要讀者將所學概念融會貫通，纔能解答。

评分☆☆☆☆☆

我是一個對數學理論的“美感”有著執著追求的人，總覺得好的數學書，不僅要教會你知識，更要讓你感受到數學本身的魅力。《綫性代數＜90版本＞》這本書，無疑做到瞭這一點。盡管它是一本“老書”，沒有現代教材那種精美的排版和大量的圖解，但它所傳遞齣的數學智慧，卻讓我深受觸動。書中在講解“綫性空間”的概念時，並沒有上來就拋齣抽象的定義，而是從解綫性方程組的“解空間”入手，逐步引導讀者理解“綫性空間”的本質屬性，即對加法和數乘運算的封閉性。這種由具體到抽象的講解路徑，讓我對綫性空間的理解，不再是空中樓閣，而是建立在瞭堅實的數學基礎之上。當我讀到關於“核”和“像”的概念時，我發現書中並沒有簡單地給齣它們的計算方法，而是深入探討瞭它們與綫性變換的性質之間的關係，例如“核”決定瞭變換的“信息損失”，而“像”則展示瞭變換的“輸齣範圍”。這種對概念背後數學意義的深入挖掘，讓我對綫性代數的理解，不僅僅停留在計算技巧，而是上升到瞭對問題本質的洞察。而且，這本書的習題設計也十分巧妙，很多題目都要求讀者通過邏輯推理來解決，而不是簡單的套用公式，這極大地鍛煉瞭我的數學思維能力。

评分☆☆☆☆☆

我是一名對計算機圖形學和機器學習領域抱有濃厚興趣的愛好者，一直希望能深入理解這些技術背後的數學原理。在選擇綫性代數教材時，我曾糾結於市麵上各種新穎的、理論與應用結閤緊密的教材，但總覺得它們在基礎理論的講解上，有時會顯得倉促或過於簡化，導緻我雖然能照貓畫虎地進行計算，卻難以真正理解其背後的思想。《綫性代數＜90版本＞》這本書，則給瞭我一種截然不同的體驗。初次翻閱，其樸素的封麵和內頁設計，著實讓我有些意外，甚至一度懷疑它的實用性。然而，隨著閱讀的深入，我卻被它紮實的內容和深刻的講解所摺服。這本書在講解嚮量空間、綫性變換等核心概念時，沒有迴避其抽象性，而是用一種非常係統和嚴謹的方式，逐步建立起讀者的數學直覺。我尤其欣賞它對“基”的概念的闡述，不僅僅是給齣一個定義，而是通過多角度的解釋，讓你體會到“基”作為嚮量空間“骨架”的重要性，以及不同基下嚮量錶示的變化。當我讀到關於矩陣秩的講解時，我發現書中並沒有簡單地給齣計算方法，而是深入探討瞭秩與方程組解的個數、嚮量組綫性相關性之間的關係，這種對概念之間內在邏輯的梳理，讓我豁然開朗。這本書的習題設計也與眾不同，不像一些新版教材那樣追求計算的技巧性，而是更側重於對概念的理解和對基本定理的應用，做起來雖然需要思考，但每完成一道題，都感覺自己對綫性代數有瞭更堅實的把握。

评分☆☆☆☆☆

初次捧起這本《綫性代數＜90版本＞》，說實話，內心是有些許忐忑的。畢竟，“90版本”這幾個字，自帶一種時代的烙印，仿佛預示著某種陳舊，甚至是過時的知識體係。然而，翻開扉頁，那樸實無華的排版，略顯泛黃的書頁，反而帶來一種莫名的親切感，像是窺見瞭一段塵封的曆史。我並不是一個科班齣身的數學專業學生，接觸綫性代數更多的是齣於對一些工程領域（比如信號處理、圖像識彆）背後原理的好奇。網上關於各種新版綫性代數教材的討論層齣不窮，我總覺得那些復雜的符號和抽象的概念，像是橫亙在理解之路上的高山。而這本“90版本”，它的語言似乎更加…接地氣？我尤其欣賞其中對基礎概念的引入方式，它不像一些現代教材那樣上來就拋齣嚴謹的定義和公理，而是通過一些直觀的例子，比如嚮量的幾何意義，矩陣在坐標變換中的作用，一點點地引導讀者進入綫性代數的殿堂。甚至，我感覺有些內容，雖然沒有時下流行的“趣味數學”的包裝，但卻有著更深沉的思考空間，它鼓勵你去質疑，去探索，而不是被動地接受。讀到關於行列式的幾何解釋，我仿佛看到瞭空間是如何被綫性變換拉伸、鏇轉、傾斜的，這種具象化的理解，對於我這樣視覺型學習者來說，簡直是福音。而且，本書的習題設計，雖然可能不如一些新版教材那麼花哨，但卻緊密圍繞著概念的理解和基本運算，做起來有一種紮實的感覺，每解齣一道題，都感覺自己在理解的道路上又前進瞭一小步，這種成就感是難以言喻的。

评分☆☆☆☆☆

我之前在學習過程中，曾被一些關於“正交性”和“正交變換”的教材弄得一頭霧水。它們要麼過於側重代數運算，要麼講解得過於簡略，總是讓我感覺抓不住重點。《綫性代數＜90版本＞》這本書，卻給瞭我一個全新的視角。它在講解“正交”的概念時，並沒有僅僅停留在嚮量內積為零的定義上，而是通過對“投影”和“距離”的幾何意義的闡述，讓我深刻理解瞭正交性在幾何空間中的直觀含義。當我讀到關於“正交矩陣”的部分時，我發現書中並沒有簡單地給齣其性質（如逆矩陣等於其轉置矩陣），而是通過解釋正交矩陣在保持嚮量長度和角度不變的前提下進行鏇轉和反射的幾何意義，讓我理解瞭為什麼它在許多應用中如此重要。這種對概念幾何直觀性的強調，對於我這樣需要將抽象概念與實際應用聯係起來的學習者來說，簡直是“雪中送炭”。而且，本書的語言風格也十分嚴謹，每一個證明都邏輯清晰，沒有跳躍，讓我能夠一步步地跟隨作者的思路，理解數學的嚴密性。這本書的習題也很有特色，很多題目都涉及到對幾何意義的理解和推理，做完之後，我感覺自己對正交性這個概念有瞭前所未有的深刻認識。