專科微積分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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《高等幾何學基礎》 簡介： 本書旨在為讀者構建一個嚴謹而直觀的現代高等幾何學知識體係，重點聚焦於歐幾裏得空間中的基礎概念、微分幾何的入門理論以及拓撲學的基本思想。我們摒棄瞭傳統教材中過於繁瑣的代數推導，轉而采用幾何直覺與嚴謹證明相結閤的方式，引導讀者深入理解空間結構與形變的內在規律。 第一部分：歐幾裏得空間與剛體運動 本部分是理解三維及高維空間幾何性質的基石。我們將從嚮量空間的概念齣發，迴顧綫性代數中關於基、維數、綫性變換的核心內容，並將其與幾何對象建立起直觀聯係。 1. 仿射空間與歐幾裏得空間的確立： 我們首先區分瞭抽象的仿射空間與具備度量結構的歐幾裏得空間。通過引入內積（點積），我們定義瞭長度、角度和正交性。這部分內容細緻闡述瞭如何利用坐標係來量化幾何關係，並討論瞭坐標變換對幾何性質（如長度、體積）的影響。 2. 剛體運動的分析： 剛體運動是保持物體內部相對距離不變的變換。我們詳細分析瞭剛體運動群的結構，證明瞭任何剛體運動都可以分解為一次鏇轉和一次平移的復閤。重點講解瞭鏇轉矩陣（正交矩陣）的性質，包括其行列式為 $pm 1$ 的幾何意義。鏇轉矩陣的特徵值分析被用來深入理解空間中的鏇轉軸和鏇轉角。此外，對四元數（Quaternions）在描述三維鏇轉方麵的優勢進行瞭探討，尤其是在計算機圖形學和機器人學中的應用背景。 3. 歐氏幾何中的不變量： 深入探討瞭在剛體運動下保持不變的幾何量。除瞭長度和角度外，我們還研究瞭二次型在二次麯麵分類中的作用。通過對二次型進行閤同變換（由剛體運動誘導），我們將二次麯麵（如橢球麵、雙麯麵、拋物麵）化為標準形式，這為理解三維空間中的“形狀”提供瞭強有力的代數工具。 第二部分：微分幾何入門——麯綫與麯麵 本部分將幾何學從靜態的歐氏空間拓展到局部可微分的幾何對象上，引入瞭微積分的思想來研究麯綫和麯麵的局部性質。 1. 空間麯綫的微分幾何： 我們從參數化麯綫開始，定義瞭弧長作為自然參數。核心概念是弗雷內-塞雷（Frenet-Serret）公式。這組微分方程組通過單位切嚮量、主法嚮量和副法嚮量（即弗雷內標架）描述瞭麯綫在空間中彎麯和扭轉的方式。我們詳細計算瞭麯率（Curvature）和撓率（Torsion），並探討瞭它們在描述麯綫幾何形狀中的物理意義。例如，零麯率意味著局部是直綫，而零撓率意味著麯綫位於一個平麵內。 2. 麯麵的基本形式： 麯麵被視為二維流形在三維空間中的嵌入。我們引入瞭第一基本形式，它允許我們在麯麵自身上進行度量（測量長度和角度），而無需參考外部空間。這確立瞭麯麵自身的“內在幾何”。 3. 麯麵的麯率概念： 隨後，我們過渡到第二基本形式，它描述瞭麯麵如何嵌入三維空間，即麯麵的“外在彎麯程度”。基於此，我們定義瞭主麯率、高斯麯率（Gaussian Curvature）和平均麯率（Mean Curvature）。高斯麯率尤其重要，因為它是一個內在不變量，根據Theorema Egregium（卓越定理），它僅依賴於麯麵第一基本形式，與麯麵如何嵌入外部空間無關。我們通過算例（如球麵、圓柱麵、馬鞍麵）來直觀理解不同麯率的幾何含義。 第三部分：拓撲學導論——幾何的定性研究 拓撲學關注在連續形變（拉伸、彎麯，但不允許撕裂或粘閤）下保持不變的性質。這部分內容為理解幾何學提供瞭更抽象、更本質的視角。 1. 拓撲空間的定義與基本概念： 我們從拓撲空間的嚴謹定義（開集、閉集）齣發，討論瞭連續函數的拓撲定義。重點分析瞭開球、鄰域等基本概念，並過渡到度量空間，展示瞭度量空間是如何自然地誘導齣拓撲結構。 2. 連通性與緊緻性： 連通性描述瞭一個空間是否可以被分割成不相交的“塊”。我們探討瞭路徑連通性和連通分支。緊緻性是拓撲學中一個極其強大的性質，它本質上是有限性在拓撲空間中的推廣。我們證明瞭在歐幾裏得空間中，緊緻集等價於有界且閉的集閤（Heine-Borel定理），並討論瞭緊緻性在分析學中的重要性。 3. 同胚與拓撲不變量： 同胚（Homeomorphism）是拓撲學中的等價關係。我們通過實例（如甜甜圈與咖啡杯的同胚性）來闡釋拓撲不變量的概念——那些在同胚變換下保持不變的性質。雖然本書不深入討論同調群或基本群，但我們會引入虧格（Genus）的概念，作為區分拓撲錶麵的一個簡單不變量。 本書特色與目標讀者： 本書的結構旨在為具有微積分基礎的讀者（包括工程、物理和數學專業的學生）提供一個紮實的幾何學基礎。我們通過豐富的幾何圖示和直觀的例子來輔助抽象概念的理解，同時保持必要的數學嚴謹性。學習完本書，讀者將能夠使用微積分工具分析空間形狀的局部特性，並理解現代幾何學中從歐氏度量到抽象拓撲結構的橋梁。本書為進一步學習微分流形、代數拓撲或幾何分析打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，這本書徹底改變瞭我對微積分的看法。在此之前，微積分在我腦海裏就是一個充滿著冰冷公式和復雜證明的學科，讓人望而生畏。但這本書，卻以一種非常溫和、友好的姿態，引領我進入瞭這個世界。作者的語言風格非常樸實，沒有過多華麗的辭藻，卻充滿瞭真誠和智慧。我印象最深刻的是，他在講解“導數”時，並沒有直接套用定義式，而是先從生活中的一個具體場景齣發，比如“一輛汽車的速度是如何變化的”，通過分析速度的變化來引齣瞬時變化率的概念，再自然而然地過渡到導數的定義。這種“從生活走嚮抽象”的方式，讓我覺得學習過程更加自然和流暢。書中的插圖也堪稱點睛之筆，它們不僅僅是簡單的示意圖，更是對數學思想的生動可視化。比如，在講解積分時，各種麵積分割的圖示，以及麯綫下方的陰影部分，都清晰地展示瞭積分的幾何意義。這種圖文並茂的學習方式，極大地降低瞭理解的門檻，讓我能夠更好地掌握那些抽象的數學概念。

评分☆☆☆☆☆

這本書最讓我感到驚艷的地方在於，它成功地將一個通常被視為“高冷”的學科，變得如此“平易近人”。我以前接觸過的微積分教材，總是充滿瞭各種抽象的符號和復雜的證明，很容易讓人望而卻步。但這本書，從一開始就營造瞭一種友好的氛圍。我記得在閱讀關於“極限”的章節時，作者並沒有直接給齣嚴謹的數學定義，而是通過一個不斷接近某個數值的過程，比如一隻兔子越來越接近終點綫，但永遠無法真正到達，來生動地解釋極限的含義。這種“故事化”的引入方式，比枯燥的數學語言更能抓住讀者的注意力，並幫助他們建立直觀的理解。而且，書中大量的圖示也起到瞭至關重要的作用。它們不是簡單的示意圖，而是經過精心設計的，能夠將抽象的數學概念可視化，比如在講解導數時，各種切綫和斜率的圖形，都清晰地展示瞭變化的趨勢。更難得的是，作者在解釋每一個公式和定理時，都會非常耐心，並且會追溯其背後的思想淵源，讓我們不僅僅知道“是什麼”，更能理解“為什麼”。這種深挖根源的講解方式，讓我覺得我不是在死記硬背，而是在真正地學習和理解。

评分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將復雜事物解釋得簡單明瞭的書籍情有獨鍾，而這本書恰恰做到瞭這一點。在翻閱過程中，我最先被吸引的是它獨特的章節編排方式。它似乎並非按照傳統的數學邏輯順序來展開，而是更側重於從實際應用和直觀理解齣發，逐步深入到理論層麵。比如，在介紹積分的概念時，作者並沒有一開始就拋齣定積分的定義和各種計算公式，而是通過一些生活中的例子，比如計算不規則形狀的麵積、測量麯綫下的總行程等，來激發讀者的興趣，讓他們體會到積分的實際價值和必要性。這種“由錶及裏”的教學方式，對於我這種非數學專業背景的人來說，簡直是救星。我不再是被一堆符號和公式淹沒，而是能夠根據實際問題，去理解這些數學工具是如何被創造齣來，又是如何幫助我們解決問題的。書中的語言也十分通俗易懂，避免瞭過多的專業術語，即使偶爾齣現，也會立刻配以清晰的解釋。而且，每隔一段時間，作者都會設置一些“小結”或者“思考題”，幫助讀者鞏固剛剛學到的知識，並引導他們進行更深入的思考。這種循序漸進、寓教於樂的設計，讓我感覺學習微積分不再是一件枯燥乏味的任務，而是一場充滿發現樂趣的旅程。

评分☆☆☆☆☆

我必須承認，當初選擇這本書，多少有點“試水”的心態。微積分，對於我來說，一直是一個模糊而又遙遠的概念，總覺得那是理工科學生的“專屬技能”。但這本書，卻以一種非常巧妙的方式，讓我重新審視瞭它。首先，它的語言風格非常樸實，沒有使用太多晦澀的專業術語，即使有，也都會在隨後給齣清晰的解釋。這對於我這種非數學背景的讀者來說，簡直是福音。我記得在講解“積分”這個概念時，作者並沒有直接去定義定積分和不定積分，而是先從生活中一個非常樸素的問題入手：如何測量一個形狀不規則的區域的麵積？通過將這個大問題分解成無數個小矩形纍加的過程，作者自然而然地引齣瞭積分的思想，並且讓我深刻體會到，這種“分割-纍加”的思想是如何強大而又普適的。書中的插圖也極具匠心，它們不僅是簡單的幾何圖形，更是對數學思想的生動詮釋。比如，當講解導數時，作者會用非常形象的圖來展示函數圖像在不同點上的切綫斜率，讓我瞬間就理解瞭導數代錶的“瞬時變化率”的幾何意義。這種從直觀感受齣發，再逐步深入到抽象理論的方式，讓我覺得學習微積分不再是一件令人畏懼的事情，而是一次充滿驚喜的探索。

评分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大感受就是，它成功地打破瞭我對微積分的刻闆印象。以往接觸到的微積分書籍，往往是嚴肅、抽象、公式堆砌，讓人望而生畏。而這本書，卻以一種更加“人性化”的方式展開。它的語言風格非常流暢，甚至帶有一點文學色彩，讀起來一點也不枯燥。我印象最深刻的是，作者在介紹“函數”這個基本概念時，並沒有直接給齣一個冷冰冰的數學定義，而是從一個更具象的場景切入，比如“一輛汽車行駛的距離與時間的關係”，讓我們從生活經驗齣發，自然而然地理解函數所描述的“輸入”與“輸齣”之間的對應關係。這種“由易到難，由淺入深”的講解方式，讓我這個數學基礎相對薄弱的人，也能夠輕鬆跟上節奏。書中的插圖更是錦上添花，它們不僅僅是簡單的示意圖，而是經過精心設計，能夠非常直觀地幫助讀者理解抽象的數學概念。比如，在講解“導數”時，各種麯綫上的切綫和斜率的圖形，都清晰地展示瞭瞬時變化率的幾何意義，讓我一下子就豁然開朗。這種將理論與圖像相結閤的教學方式，極大地提升瞭學習效率和趣味性。

评分☆☆☆☆☆

拿到這本書，我第一反應是它為什麼會有如此……怎麼說呢，一種“輕鬆”的學術氛圍。通常提到微積分，大傢腦海裏浮現的都是厚重的、密密麻麻的公式和定理，一看就讓人頭疼。但這本書的排版，包括字體、字號、行間距，甚至留白，都給我一種非常舒適的閱讀體驗。更重要的是，它在內容的處理上，也完全顛覆瞭我對微積分書籍的固有印象。作者在引入每一個新的概念時，都非常注重“情境化”。比如，當他開始講解“函數”這個基礎概念時，並沒有直接給齣數學定義，而是從描述一個物體隨時間變化的運動軌跡開始，讓讀者直觀地理解函數是如何描述事物之間關係的。而到瞭更復雜的“導數”部分，他則通過分析賽車的速度變化，或者股票市場的波動，來引入瞬時變化率的概念，而不是像某些教材那樣，上來就直接給齣“f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h”這樣的公式。這種“接地氣”的講解方式，讓我這個對純數學理論感到畏懼的人，一下子就放鬆瞭下來，仿佛在聽一位經驗豐富的老師在講故事，而不是在被動地接受知識灌輸。書中的插圖也很有特色，它們不僅僅是簡單的示意圖，很多都經過瞭精心設計，能夠非常形象地傳達數學思想。

评分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計倒是挺有意思的，不是那種傳統意義上生硬刻闆的數學書封麵，而是用瞭一些比較抽象的幾何圖形和漸變色，一眼看過去還以為是本設計類的畫冊。當初在書店裏翻到它，也是被這個封麵吸引瞭。我平時對數學，尤其是微積分，算是有那麼點敬畏感，總覺得那是屬於理工科大佬們的領域，而我一個文科生，能避開就盡量避開瞭。但這本書拿在手裏，卻一點都不顯得“嚇人”，反而有種想翻開看看的衝動。我記得當時在書店裏，我大概翻瞭裏麵的幾個章節，比如那個講極限的，它用瞭不少圖示，把抽象的概念可視化瞭，這對我這個視覺型學習者來說太友好瞭。還有那個關於導數的應用，它舉的例子都很有生活氣息，不像我以前在高中或者其他地方看到的那些純粹的數學題，讓人一下子就覺得微積分好像也沒那麼遙遠，好像真的能跟生活聯係起來。雖然我當時沒買，但這本書的形象在我腦子裏留下瞭很深的印象，那種“溫和”的微積分，讓我對它産生瞭好奇，也讓我覺得，也許我真的可以嘗試去理解一下這個聽起來很高深的學科。它沒有一開始就丟給你一堆公式和定理，而是循序漸進，用一種更易於理解的方式來引導讀者。這一點，對於很多和我一樣，對數學望而卻步的讀者來說，可能就是打開新世界大門的第一把鑰匙。

评分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠將枯燥的知識變得生動有趣的教材充滿好感，而這本書無疑做到瞭這一點。當我翻開這本書的時候，我並沒有看到一上來就堆砌的公式和定理，而是被一些非常具有啓發性的問題所吸引。比如，在介紹“極限”這個概念時，作者並沒有直接給齣數學定義，而是通過一個生動的故事，比如“無限接近但永不觸及”的阿喀琉斯追趕烏龜的故事，來引齣極限的思想，這種方式讓我一下子就對這個抽象的概念産生瞭興趣。書中大量的圖示也功不可沒，它們不是簡單的示意圖，而是經過瞭精心設計，能夠將抽象的數學概念轉化為直觀的圖像。例如，在講解“積分”時，作者用分割成無數個小矩形的方法來計算不規則圖形的麵積，這種“化整為零，化麯為直”的思想，通過圖像的展示，變得異常清晰明瞭。而且，作者在講解每一個概念時，都非常注重追溯其背後的思想邏輯和實際應用，讓我明白學習這些數學工具的意義，而不是僅僅停留在符號和計算層麵。這種“知其然，更知其所以然”的學習體驗，讓我覺得非常受益。

评分☆☆☆☆☆

說實話，拿起這本書，我原本是抱著一種“試試看”的心態，畢竟“微積分”這三個字，在我看來，一直都是高高在上、難以企及的。但這本書，卻以一種我意想不到的方式，讓我逐漸沉浸其中。最讓我贊賞的是，它在講解每一個新概念的時候，都非常有條理，並且總是從一個更具象、更直觀的視角齣發。比如，在介紹“函數”這個基礎概念時，作者並沒有直接拋齣數學定義，而是通過描述一個物體隨時間變化的運動軌跡，或者氣溫隨時間的變化，來解釋函數如何錶示事物之間的依賴關係。這種“從經驗到理論”的引導方式，讓我這個數學基礎相對薄弱的人，也能迅速理解。而當涉及到更復雜的概念，比如“導數”時，作者更是彆齣心裁，他會用一個生動的比喻，比如“山坡的坡度”，來解釋瞬時變化率的含義，並且配以精美的插圖，將抽象的數學思想可視化。這些插圖，不僅僅是簡單的示意圖，更是幫助我理解數學原理的“拐杖”。整本書的語言風格也十分流暢，不生硬，不枯燥，讀起來就像是在和一位經驗豐富的老師進行一場深入的交流。

评分☆☆☆☆☆

說實話，拿到這本書的時候，我腦子裏還是有點忐忑的。畢竟“微積分”這三個字，自帶一種“勸退”屬性，尤其是對於我這種數學基礎相對薄弱的人來說。但是，當我真正開始閱讀之後，驚喜就接踵而至瞭。作者在講解概念的時候，真的花瞭很大的心思去構建一個清晰的邏輯鏈條。他不是那種直接扔給你一個定義，然後讓你去死記硬背的風格。而是會先從一個直觀的、甚至有點“故事性”的引入開始，讓你慢慢理解這個概念的由來和意義。我印象特彆深刻的是關於“微分”的講解，他沒有直接上公式，而是先用一個生動的比喻，比如描述一個不斷變化的山坡的坡度，然後引齣“瞬時變化率”這個概念，再慢慢過渡到導數的定義。這種方式，讓我感覺自己不是在被動地接受知識，而是在主動地探索和發現。書中的插圖也起到瞭至關重要的作用，它們不僅是裝飾，更是幫助理解的“拐杖”。各種麯綫、切綫、麵積的圖示，都非常清晰地描繪瞭抽象的數學思想，讓我能夠在大腦中形成一個具象的畫麵。而且，很多例題的解析也都非常詳盡，一步一步地展示瞭如何應用所學的知識來解決問題，完全不會讓人感到“雲裏霧裏”。這本書讓我覺得，微積分其實並不是一座不可逾越的高山，而是一片可以通過耐心和引導去探索的風景。