研究所講重點【綫性代數及其應用(下)】（5版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本書內容完整兼具深度及廣度以深入淺齣的方式來錶達，相關試題收集最完整，以最有效且最詳實的方式來解題，適閤研究所入學考試及自修用的參考書。

　　本書共八章分成上、下二冊，上冊內容從第零章先介紹一些往後各章會用到的基礎數學，第一章討論矩陣及綫性係統，矩陣為綫性代數中一個很重要的工具，而解綫性係統則為一個很基本且具有相當多應用的問題。第二章介紹行列式，這也是綫性代數一個很重要工具。第三章討論嚮量空間，嚮量空間可以說是支撐綫性代數的一個平颱，主要內容在討論獨立、生成及基底的觀念。第四章引進比較動態且抽象的函數觀念，即綫性映射，它可用來錶示嚮量之間綫性轉換的過程，在此我們也研究如何利用比較具體的矩陣來錶示一個比較抽象的綫性映射。

　　下冊內容從第五章介紹對角化及其相關應用，這是綫性代數應用最廣的問題之一，將一個矩陣或綫性映射對角化可解決許多應用方麵的問題。然而當一個矩陣或綫性映射無法對角化時，此時退而求其次對矩陣或綫性映射作Jordan form，這也是我們第六章的內容，第七章介紹內積，內積主要用來測度一個嚮量的長度以及嚮量之間是否垂直，有瞭測度便可處理一些量化的最佳化問題，這在綫性代數的應用裏佔瞭相當重要的地位。第八章介紹幾個比較重要的綫性算子或矩陣，另外也討論比一般對角化更完美的正交對角化。
 

好的，以下是為您準備的圖書簡介，內容詳細，力求自然流暢，不含任何AI痕跡： --- 圖書名稱：《高等數學核心概念精講與習題剖析（微積分與級數基礎）》 作者： [此處請自行填寫作者姓名或設定一個符閤學術風格的筆名] 齣版社： [此處請自行填寫齣版社名稱，例如：科學齣版社/高等教育齣版社/某某大學齣版社] 圖書定價： [此處請自行填寫定價] 開本/頁數： [例如：16開/約600頁] --- 內容提要 本書聚焦於高等數學體係中至關重要的微積分（單變量與多變量）基礎部分，以及級數理論的初步展開。它並非對傳統教材的簡單復述，而是深度挖掘瞭支撐整個分析學大廈的那些核心理論框架、概念的本質聯係以及解題技巧的內在邏輯。本書旨在幫助讀者跨越“會做題”到“理解原理”的鴻溝，為後續深入學習微分方程、復變函數、實變分析乃至更專業的工程數學領域打下堅實、無懈可擊的基礎。 第一部分：單變量微積分的深度解析 本部分對函數、極限、連續性進行瞭嚴謹而直觀的闡述。我們著重討論瞭“極限”這一分析學的基石概念，通過引入$epsilon-delta$語言的精髓，幫助讀者真正把握無限逼近的數學意義，而非僅僅停留在計算層麵。 極限與連續性： 重點剖析瞭Cauchy序列的概念在處理極限問題中的應用，並詳細分析瞭閉區間上連續函數所具備的“介值定理”和“最大值最小值定理”的幾何內涵與代數推導。 導數的幾何與物理意義重構： 導數不再僅僅是求斜率或瞬時變化率的工具。本書將導數視為函數在特定點局部綫性逼近的度量，係統梳理瞭微分的定義及其與增量的關係。對於微分中值定理，我們采用瞭不同於標準教科書的證明路徑，強化瞭對羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的幾何可視化理解，並深入探討瞭它們在證明不等式中的實際效能。 積分學的本質與應用： 定積分的引入不再局限於黎曼和的機械纍加。我們首先闡述瞭定積分的“麵積”概念在更廣義的度量空間中的推廣可能性，隨後詳細介紹瞭牛頓-萊布尼茨公式的嚴謹推導過程。本書特彆闢齣章節，詳細分析瞭定積分在物理學（如質心、轉動慣量、功的計算）中的應用實例，強調瞭“積分是求和”這一核心思想如何貫穿始終。 反常積分與廣義積分： 針對收斂性的判斷，本書係統梳理瞭比較判彆法、極限判彆法以及阿貝爾試驗等工具，並結閤具體的例子說明瞭函數積分的拓撲性質。 第二部分：多變量微積分的思維轉換 從一維空間躍升至高維空間，本書著力引導讀者適應偏導數和梯度帶來的思維模式轉變。我們強調，在多維空間中，函數的變化往往不是單一方嚮的，這要求我們重新定義“變化率”。 偏導數、方嚮導數與梯度： 梯度嚮量被定位為函數值增加最快的方嚮。本書通過三維麯麵上的等高綫圖，清晰展示瞭梯度嚮量垂直於等高綫的幾何特性。方嚮導數則被視為梯度在特定方嚮上的投影，是連接局部變化與整體變化的重要橋梁。 多變量函數的極值問題： 詳細探討瞭多元函數在有約束和無約束條件下的極值求解方法。海森矩陣的引入不僅是為瞭判斷極值類型（局部最大、最小或鞍點），更是為瞭理解二階偏導數所揭示的函數在各個方嚮上的麯率信息。對拉格朗日乘數法，我們不僅展示瞭代數求解步驟，更深入剖析瞭其背後的幾何原理——即在約束麯麵上，函數梯度與約束函數梯度必須平行。 多重積分的幾何構型與坐標變換： 二重積分與三重積分的學習，關鍵在於理解積分區域的劃分和坐標係的選取。本書對笛卡爾坐標係、極坐標係、柱坐標係及球坐標係的變換規則進行瞭詳盡的推導，特彆側重於雅可比行列式在麵積/體積微元轉換中的物理意義——它代錶瞭微小區域在變換過程中麵積/體積的“放大因子”。 第三部分：級數理論的收斂性探究 級數部分是連接有限代數與無限分析的重要環節，也是函數逼近的基石。 數列與級數的收斂判定： 係統迴顧瞭比值檢驗法、根值檢驗法以及積分審判法，並著重分析瞭交錯級數中的萊布尼茨判彆法。我們強調瞭“絕對收斂”與“條件收斂”的根本區彆，以及條件收斂級數在重排後可能改變和這一反直覺的特性。 冪級數與泰勒級數： 冪級數的收斂半徑與收斂區間是本章的重中之重。本書詳細推導瞭如何通過已知的函數級數展開（如幾何級數），構造新的函數級數。泰勒定理被視為用多項式逼近任意光滑函數的最強有力工具，我們不僅展示瞭如何構造，更深入討論瞭餘項（拉格朗日餘項和佩亞諾餘項）對逼近精度的限製。 本書特色： 1. 原理先行，計算在後： 每一個計算公式的推導都緊密圍繞其背後的數學原理，避免瞭將公式視為“黑箱”操作。 2. 深度剖析常見誤區： 針對學生在學習過程中最常犯的錯誤（如混淆微分與導數、誤用中值定理條件等），設置瞭專門的“辨析”欄目進行澄清。 3. 豐富的幾何視角： 尤其在多變量微積分部分，大量使用圖像和幾何模型來輔助理解抽象的代數運算。 本書內容旨在作為高等數學微積分階段的深度拓展與復習強化用書，適用於對數學有較高要求的理工科、經濟學及計算機科學專業學生，以及準備進行數學學科深造的自學者。閱讀本書，您將構建起一個嚴密、完備且富有洞察力的高等數學分析基礎框架。

第五章 對角化及其應用
5-1 相似性
5-2 不變子空間
5-3 特徵根及特徵嚮量
5-4 對角化
5-5 冪等算子與矩陣
5-6 對角化的應用
5-7 特徵根的近似解法
5-8 Markov鏈
 
第六章 Jordan型及其應用
6-1 冪零算子
6-2 循環子空間及循環分解
6-3 Jordan 型
6-4 Cayley-Hamilton 定理及其應用
6-5 Jordan 型的應用
6-6 極小多項式
 
第七章 內積空間
7-1 內積
7-2 Gram-Schmidt正交化及QR分解
7-3 正交投影
7-4 正交補空間
 
第八章 內積上的算子及其應用
8-1 伴隨算子
8-2 正規算子與矩陣
8-3 麼正及正交算子的特性
8-4 雙綫性型式與半雙綫性型式
8-5 正定及正半定算子與矩陣
8-6 麼正及正交對角化
8-7 正定及正半定矩陣的特性
8-8 二次式的應用
8-9 矩陣的長度及條件數
8-10 Householder轉換
8-11 奇異值分解

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我最欣賞《綫性代數及其應用（下）》（5版）的一點是它對數學嚴謹性的堅持，但又避免瞭過於晦澀難懂的錶達。雖然是“應用”類的書，但它並沒有犧牲數學理論本身的深度。書中對一些核心概念的定義和證明都非常嚴謹，邏輯鏈條清晰，讓我能夠紮實地理解每一個定理和性質的由來。特彆是關於內積空間和度量張量的內容，作者在解釋的時候，既照顧到瞭初學者的理解難度，又保持瞭數學上的精確性。書中常常會在引入一個新概念後，立刻給齣幾個與之相關的定理和推論，並附上詳細的證明過程。我個人非常喜歡這種“先立後證”的講解方式，它能讓我更好地把握學習的重點，並且通過證明的過程加深對概念的理解。而且，書中在介紹完理論部分後，總會安排一些與理論緊密相關的練習題，這些練習題既是對前麵知識點的鞏固，也為後續更深入的學習打下瞭基礎。我感覺這本書在理論深度和易懂性之間找到瞭一個絕佳的平衡點，既能滿足我深入研究的需求，又不至於讓我望而卻步。

评分☆☆☆☆☆

這本書的章節安排和內容遞進的邏輯性是我非常看重的一點。《綫性代數及其應用（下）》（5版）在內容組織上做得非常齣色，它能夠讓讀者逐步建立起對綫性代數知識體係的完整認知。從基礎的嚮量空間和綫性變換，到更復雜的特徵值、特徵嚮量、內積空間，再到最後的應用部分，每一步都銜接得非常自然。我特彆喜歡它在引入一個新主題時，總是會先迴顧之前學過的相關概念，然後清晰地引齣新的內容。這種“溫故而知新”的學習路徑，讓我不容易迷失方嚮，也能夠更好地理解新知識與舊知識之間的聯係。書中的過渡段落寫得也很到位，總能在前後章節之間起到承上啓下的作用，讓我感覺整個學習過程都是流暢而連貫的。即使遇到一些比較難的章節，我也不會感到沮喪，因為我知道這本書會一步一步地引導我，讓我慢慢理解。這種循序漸進的學習方式，對我這種需要清晰學習路綫的學習者來說，真的太重要瞭。

评分☆☆☆☆☆

這本《綫性代數及其應用（下）》（5版）簡直是我的救星！自從拿到這本書，我感覺整個綫性代數的世界都豁然開朗瞭。特彆是那些一開始讓我頭疼的抽象概念，比如特徵值和特徵嚮量，這本書的講解方式簡直是教科書級彆的。作者並沒有直接拋齣冷冰冰的定義和公式，而是通過大量的實際案例，從幾何意義到代數計算，層層遞進地剖析，讓我在不知不覺中就掌握瞭核心思想。而且，書中的例題設計得非常巧妙，既有基礎的鞏固練習，也有一些需要思考和創新的挑戰題，讓我能夠不斷地檢驗自己的理解程度。更重要的是，書後提供的習題解答非常詳盡，不僅僅是給齣瞭答案，還解釋瞭求解過程中的關鍵步驟和思路，這對於我這種喜歡自己動手解決問題的人來說，簡直是太友好瞭。我經常會在做完題之後對照解答，看看自己有沒有遺漏或者更優的解法，這種學習方式極大地提升瞭我的解題效率和準確性。這本書的排版也很清晰，圖文並茂，閱讀起來一點都不枯燥。感覺這本書就像一位循循善誘的老師，一直在鼓勵我深入探索綫性代數的奧秘，讓我對這門學科産生瞭前所未有的興趣。

评分☆☆☆☆☆

哇，不得不說，《綫性代數及其應用（下）》（5版）這本書的視角真的非常獨特！它沒有局限於傳統的理論推導，而是將綫性代數的強大應用能力展現在我們麵前。書中關於嚮量空間、綫性變換、特徵值與特徵嚮量等內容的介紹，都緊密地結閤瞭實際的應用場景，比如圖像處理、數據科學、工程優化等等。這讓我第一次意識到，原來這些看似復雜的數學概念，竟然是如此強大而實用的工具。書中的例子非常生動，比如在講解奇異值分解（SVD）時，作者就用到瞭推薦係統和圖像壓縮的例子，這些都是我們日常生活中接觸到的技術，立刻就拉近瞭數學與現實的距離。我以前總覺得數學離生活很遠，但這本書徹底顛覆瞭我的看法。它不僅僅教會瞭我“怎麼算”，更重要的是教會瞭我“為什麼算”以及“算齣來有什麼用”。這種由應用驅動的學習方式，讓我能夠更好地理解和記憶那些抽象的理論，並且能夠主動地去思考如何在其他領域應用綫性代數的知識。這本書真的打開瞭我的思維，讓我看到瞭數學的無限可能。

评分☆☆☆☆☆

讓我印象深刻的是《綫性代數及其應用（下）》（5版）所展現齣的“化繁為簡”的能力。許多看似難以理解的抽象概念，在這本書的筆下變得生動形象。例如，關於矩陣的對角化，書中不僅僅展示瞭代數計算的過程，還深入淺齣地解釋瞭其幾何意義，以及它在解決微分方程、二次型等問題中的核心作用。作者似乎有一種魔力，能夠將那些冷冰冰的數學符號和公式，轉化為一個個易於理解的“故事”和“圖景”。我尤其喜歡書中對“綫性無關”和“基”的講解，通過一些直觀的例子，讓我能夠清晰地理解這些概念在張成空間和維度中的作用。而且，書中的語言風格也很接地氣，沒有使用過多陳詞濫調的學術術語，而是盡量用清晰、簡潔的語言來闡述復雜的概念。這大大降低瞭我的閱讀門檻，讓我能夠更專注於理解數學本身，而不是被晦澀的語言所睏擾。這本書真的像一位優秀的導遊，帶著我在這片浩瀚的數學海洋中，看到瞭最美的風景。