推薦序 本書以圓錐麯綫為核心主題來開展,內容從歐氏麯綫,到圓柱麯綫,再到圓錐麯綫,最後總結於解析幾何的二次麯綫以及各種物理應用,不斷地動態生長連貫擴展,觀念清楚,邏輯的層次井然。
古希臘數學約從西元前600年開始,經過三百年的發展,在西元前300年左右於尼羅河齣海口的亞曆山卓(Alexandria)成熟,形成希臘數學的黃金時代(the golden age of Greek mathematics),最主要的代錶人物是三位偉大的數學傢:歐幾裏得(Euclid,約西元前315~前255年)、阿基米德(Archimedes,西元前287~前212年)與阿波羅尼奧斯(Apollonius,約西元前262~前190年)。
歐幾裏得在約西元前300年寫瞭13冊的《原本》(The Elements),創立歐氏幾何學,首度提齣公理—演繹的模型(AxiomaticDeductive Model),成為往後數學理論的典範。《原本》的內容包括平麵幾何、比例論、整數論、不可共度量的分類與立體幾何。他採用綜閤的證明方法推導齣467個定理,總結瞭古希臘的數學成就。
阿基米德求得圓、拋物弓形的麵積,估算圓周率,求柱、錐、球的體積與錶麵積。他採用窮盡法,配閤兩次歸謬法,成功地避開取極限的無窮步驟論證法,這讓他悄悄地來到微積分的大門口,隻差臨門一腳的功夫,因而被尊稱為數學之神的阿基米德,但仍然是受到他所處時代的局限。
阿波羅尼奧斯著有8捲的《圓錐麯綫論》,也採用綜閤的證明方法推導齣487個定理。這也是一項瞭不起的成就,讓他贏得「偉大幾何學傢」的美名。
埃及的托勒密國王問學於歐幾裏得,覺得幾何學不易學習,於是問道:學習幾何有沒有捷徑?歐幾裏得迴答說:世上有專為國王而鋪設的道路,但卻沒有皇傢大道通往幾何學。歐氏的綜閤演繹法是有局限的,無法施展數學另外半邊的計算功能。一直要等到兩韆年後的十七世紀上半葉,笛卡兒(Descartes,1596~1650年)與費馬(Fermat,1601~1665年)提齣坐標係的方法,溝通瞭代數與幾何,後人稱為這就是幾何學的皇傢大道,為往後的微積分與物理學奠基。用坐標的新方法重新看圓錐麯綫,於是有瞭二次麯綫的理論,更加完備又完美。
圓錐麯綫的理論,從阿波羅尼奧斯開始,默默為數學與科學打底兩韆年。我們可以說,若沒有圓錐麯綫,就沒有剋蔔勒(J. Kepler,1571~1630年)的行星運動三大定律,也沒有微積分,從而沒有近代科學,沒有近代的數學。
首先我們綜觀全書的內容,按曆史發展的順序,分成下列四個階段:
1.歐氏麯綫
歐氏平麵幾何由直尺與圓規所作齣的直綫與圓開始,兩者交織齣來的圖形世界,是歐氏幾何學研究的主題。我們稱為歐氏麯綫,有2種。這是歐氏首度以公理—演繹—證明的方式建構成功的數學係統。雖然簡單,但是內容豐富。
2.圓柱麯綫
接著,用直綫與圓動齣圓柱麯麵,再用平麵去交截,所得到的麯綫叫做圓柱麯綫,總共有4種:一直綫、兩平行綫、圓與橢圓。隻有橢圓是新生的圖形,容易就得到它的刻畫條件。前兩者為退化的圓柱麯綫。
3.圓錐麯綫
再來是用直綫與圓動齣圓錐麯麵,再用平麵去交截,所得到的麯綫叫做圓錐麯綫,更豐富,總共有7種:一點、一直綫、兩相交直綫、圓、橢圓、拋物綫與雙麯綫。後四種為非退化的圓錐麯綫,是我們真正想要研究的對象,分彆都得到它們的刻畫條件。注意到,圓柱麯綫下的橢圓與圓錐麯綫下的橢圓,刻畫條件相同,所以沒有區彆。
對於非退化的圓錐麯綫至少有三種刻畫,有瞭一種刻畫就可以寫齣一種方程式,讓圖形與方程式閤一,計算與證明並用。
4.二次麯綫
利用坐標幾何,以上所有的麯綫都可以用一般的二元二次方程式統閤起來,總共有10種麯綫,簡稱為二次麯綫,其中非退化的情形仍然隻有圓、橢圓、拋物綫與雙麯綫。
代數方程式的統閤力雖然超強,但是也帶來瞭一些麻煩。同一個圖形,因取的坐標係不同,方程式的錶現就不同,所以就有標準形。一個二次方程式透過坐標係的平移與鏇轉,就可以變成標準形,從而判彆齣是何種圖形。這裏會牽涉到一點兒綫性代數。
5.圓錐麯綫在物理上的應用
最後一章談論圓錐麯綫在物理上的應用,主要是光學的應用,反射定律與摺射定律,以及天文學的剋蔔勒行星運動三大定律。這是牛頓(Newton,1643~1727年)探得萬有引力定律的切入點。事實上,任何一條圓錐麯綫(包括退化與非退化)都有自然現象的對應。
伽利略(Galileo Galilei,1564~1642年)說:
自然之書(Book of Nature)恆打開在我們的眼前,它是用數學語言寫成的,所用的符號是三角形、圓形與其他幾何圖形。不懂數學就讀不懂這本書。
幾何學(Geometry)的本意是測量土地,三角學(trigonometry)是測量三角形,所以最初三角學是幾何學的幫傭。幾何學不外是研究長度、角度、垂直、投影、切綫、麵積、體積、錶麵積。對於圓錐麯綫的研究,一路上伴隨著數學方法的演進:從毆氏幾何的綜閤法,三角法,到笛卡兒的坐標法,以及更後來的嚮量法、復數法、變換法。坐標係還分成直角坐標係與極坐標係,都各有優點,這些本書都用心加以呈現。
本書把圓錐麯綫與二次麯綫的概念清楚分辨,沒有混著談。高中教科書對橢圓與雙麯綫採用焦點距的定式,對拋物綫卻採用焦準式,並且一上來就給齣定義,就像魔術師突然從帽子裏抓齣小白兔。然而,本書從根源切入圓錐麯綫,讓人看清來龍去脈,這是難能可貴處。本書最特彆的是,具有有曆史的長程綜觀,還有方法論的連貫。
作者任教於成淵高中,對數學執著,帶領科展屢創佳績,拔得頭籌。本人樂於推薦本書給中學生與高中數學教師研讀。
菜聰明
2017年12月
序文 希臘人堅持演繹推理是建立數學證明的唯一方法,這是對人類文明最重要的貢獻,它使數學從木匠的工具盒,測量員的背包中解放齣來,使得數學成為人們頭腦中的一個思想體係。此後,人們開始靠理性,而不隻是憑感官去判斷事物。正是這種推理精神,開闢瞭西方文明。
~美國數學史傢莫裏斯˙剋萊因(Morris Kline,1908~1992年)~
一般數學史的書都說幾何學發源於埃及尼羅河畔的土地測量,所以說尼羅河是上天賜給埃及的禮物,幾何是尼羅河賜給人類的禮物,但是本書要指齣「燦爛星空」纔是幾何學更重要的發源地。
自古以來人類仰頭看星空,就有瞭無垠的想像,看那繁星點點,流星稍縱即逝,月亮是圓的。
依序就是「點」、「直綫」、「圓」的源起之一,是歐氏幾何學的齣發點。
到瞭古希臘時代,人類不再「坐井觀天」,開始窮究「所以然」,提齣深奧的問題,並且找尋結果。在短短300年期間,以簡單的點、直綫、圓作為基本概念,透過演繹法建立整個幾何學,得到相當卓越的成就。後人說:
幾何源於古希臘,天文是幾何的故鄉。
這是適切中肯的。
本書聚焦於探索圓錐麯綫的來龍去脈。目前實施的103高中數學課綱,圓錐麯綫屬於弱化單元,僅是簡單陳述圓錐麯綫就是平麵與圓錐麯麵的截痕,甚至真正教學時直接給齣焦點以及準綫定義,然後就推導齣其方程式,得到的知識隻是「知其然」,而不知其「所以然」,學生學習起來是既無趣又無聊。
圓錐麯綫源於古希臘文明,作者本著古希臘人追根究柢以及實事求是的精神,希望道齣「圓錐麯綫」的所以然,並且著重在闡明數學本身的理路,而不完全在於曆史的考據。
事實上,數學是研究數與圖形的學問。算術與代數研究數,幾何學研究圖形,錶麵上看起來兩者很不同,但是骨子裏卻相通。一個重大的突破是,透過笛卡兒(Descartes,1596~1650年)引入的坐標係,發展齣解析幾何學(又叫做坐標幾何學),讓數與形閤一。
此外,在本書中我們要採取各種觀點來連貫全書的內容:動態、運動、脹縮、變換、……等觀點,使得幾何成為連貫的整體知識,這些正是本書的特色。而解析幾何學的誕生,提供研究行星運動和彗星軌道的數學基礎,萌生微積分與自然科學,打開瞭通往近代數學與科學的大門。
作者任教高中,除瞭緻力於教學之外,最近八年來更投入數學課程的研究,特彆獨鍾幾何學的魅力。如今有幸完成這本幾何書,並且編入鸚鵡螺數學叢書裏,內心是歡喜又感激。寫作如走韆山萬水,有睏頓與喜悅,也有迷惑與甜蜜,隻要堅持著、努力著,終究會豁然開朗,痛飲快樂的甘泉。
現在的中學數學教育太著重於「零碎解題技巧」以及「不經慎思隻求快速解答」的學習文化,常常忽略培養嚴謹推理能力以及探索幾何內在結構之美,更是失去以簡馭繁的數學創新思考曆程。希望這本書的齣現,能帶給中學師生一些鼓舞與啓示。
此外,讓我們共同窺探大自然的「鞦葉」,歌頌著幾何之美~數感、形感、規律感以及美感。
在真實的寫作情境裏,作者體悟英國數學傢齊斯˙德福林(Keith Devlin)所說:數學讓不可見變成可見。
這是一連串建構知識的曆程,不僅讓自己提升專業知能,更可貴的是源源不絕的點子萌生,觸動內心不絕的思緒,激盪著且共鳴著,願永遠追隨數學的足跡。
最後,緻上誠摯的感謝於默默支持與鼓勵的傢人、朋友以及編輯者,特彆感謝主編蔡聰明教授不辭辛苦的指導及鼓勵,提供更寬廣的數學視野,除瞭受益無窮外,更是注入瞭數學的活水,歌頌著這永恆的理性。
林鳳美
2017年12月