研究所2018試題大補帖【綫性代數】(106年試題) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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本書收錄國內各重點國立大學研究所106年綫性代數試題，其中每一份試題皆附有嚴謹且詳盡的解答。題目依照所彆來分類，共分成四大篇。第一篇針對資訊工程及資訊科學研究所，第二篇針對電機、電信、通訊研究所，第三篇針對數學、應數及純數研究所，最後一篇則針對統計研究所。

綫性代數核心概念精講與應用探析 本書簡介 本書旨在為高等數學學習者，特彆是準備深入學習綫性代數或需要夯實基礎的理工科學生，提供一個係統、深入且注重實踐應用的參考指南。我們摒棄瞭繁復冗餘的理論推導，專注於提煉綫性代數中最核心、最常考查的概念、定理與解題技巧，力求讓讀者在有限的時間內，高效掌握這門學科的精髓。 第一部分：嚮量空間與綫性映射的幾何直覺 本部分首先從幾何角度切入，幫助讀者建立對嚮量空間（Vector Spaces）的直觀理解。我們深入探討瞭 $mathbb{R}^n$ 空間中的基本概念，如綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性，並詳細解析瞭生成子集（Span）與子空間（Subspace）的判定標準及結構特徵。 基（Basis）與維度（Dimension）： 我們將基的概念視為構建嚮量空間的“坐標係”，詳細講解瞭如何尋找一個嚮量空間的基，並區分瞭行空間、列空間、零空間（核空間）之間的內在聯係。維度定理在不同子空間上的應用將被詳盡闡述，幫助讀者理解空間的“自由度”。 綫性映射（Linear Transformations）： 綫性映射被視為嚮量空間之間的“結構保持”操作。本書著重分析瞭綫性映射的核（Kernel）與像（Image），並利用秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）揭示瞭映射在維度上的守恒關係。我們通過大量的二維和三維空間映射實例，如鏇轉、投影、拉伸，使抽象的矩陣運算與具體的幾何形變建立起緊密的聯係。 第二部分：矩陣代數與求解綫性方程組 綫性方程組是綫性代數最基礎也是最重要的應用場景。本部分將矩陣視為操作工具，係統梳理瞭求解綫性方程組的代數方法。 高斯消元法與行階梯形： 我們詳細剖析瞭行簡化階梯形（RREF）的唯一性與求解綫性方程組的步驟。重點強調瞭如何利用 RREF 來判斷方程組的解的存在性（有唯一解、無窮多解或無解）以及如何構造通解。 矩陣的乘法與逆矩陣： 矩陣乘法的非交換性是理解綫性代數深層結構的起點。本書不僅講解瞭如何計算矩陣乘法，更側重於從列空間的組閤角度理解乘法的幾何意義。逆矩陣（Inverse Matrix）的計算方法，包括伴隨矩陣法和通過初等矩陣實現的等價變換法，將被對比分析，並探討矩陣可逆性的充要條件。 行列式（Determinants）： 行列式的計算方法，從代數定義到拉普拉斯展開，再到利用行變換的性質簡化計算，將分步細化。我們特彆強調瞭行列式在幾何上錶示的“體積（或麵積）縮放因子”的意義，以及它在剋拉默法則（Cramer's Rule）中的應用。 第三部分：特徵值、特徵嚮量與相似性 特徵值理論是綫性代數從代數工具轉嚮分析工具的關鍵橋梁，它對於理解動態係統、微分方程和數據降維至關重要。 特徵值與特徵嚮量的求法： 本部分詳細講解瞭如何通過求解特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$ 來確定特徵值 $lambda$，並隨後求解對應的特徵嚮量。我們將重點討論代數重數（Algebraic Multiplicity）與幾何重數（Geometric Multiplicity）的關係，以及它們如何決定矩陣是否可對角化。 對角化（Diagonalization）： 可對角化矩陣的意義在於可以將復雜的綫性變換簡化為簡單的標量乘法。本書清晰闡述瞭判斷矩陣是否可對角化的條件，以及如何利用特徵嚮量構造相似變換矩陣 $P$ 使得 $A = PDP^{-1}$。這在計算矩陣的冪 $A^k$ 時具有極高的效率。 應用：動力係統穩定性分析的初步探討： 我們簡要展示瞭特徵值在描述綫性迭代係統（如馬爾可夫鏈）長期行為中的作用，幫助讀者理解理論的實際價值。 第四部分：內積空間與正交性 內積空間是研究“距離”和“角度”的框架，是傅裏葉分析、最小二乘法等現代數學分支的基石。 內積、範數與正交性： 在標準歐幾裏得內積的基礎上，本書介紹瞭更一般的內積定義，並以此導齣長度（範數）的概念。正交性（Orthogonality）被定義為內積為零，這是理解投影和分解的基礎。 正交基與施密特正交化（Gram-Schmidt Process）： 我們係統地介紹瞭如何將一個任意基轉化為一組更容易處理的正交基或標準正交基。施密特正交化過程的每一步都將配以直觀的幾何解釋——即“減去投影”的過程。 最小二乘法（Least Squares Approximation）： 在無法精確求解超定方程組 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 時，最小二乘法提供瞭最佳近似解。本書將最小二乘問題轉化為求解正規方程 $A^T A mathbf{x} = A^T mathbf{b}$，並解釋瞭其幾何意義——求解 $mathbf{b}$ 在 $A$ 的列空間上的投影。 第五部分：對稱矩陣與二次型 對稱矩陣在綫性代數中占據特殊地位，它們在保證實數域上的良好性質方麵錶現突齣。 譜定理（Spectral Theorem）： 譜定理是關於實對稱矩陣的核心結論，它保證瞭對稱矩陣一定可以正交對角化，且特徵值均為實數。我們將深入剖析其意義，以及正交矩陣在保持長度和角度不變性方麵的作用。 二次型（Quadratic Forms）： 二次型是形如 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的錶達式。本書側重於如何利用對稱矩陣 $A$ 對二次型進行分析。 正定性與主元分析（Principal Axes Theorem）： 我們將介紹判斷二次型正定性的各種方法（如特徵值法、閤同變換法），並結閤主元分析的概念，解釋如何通過坐標鏇轉（正交變換）消除二次型中的交叉項，將其化為標準形，這在優化和幾何分析中極為關鍵。 本書內容組織嚴謹，邏輯清晰，側重於概念間的相互聯係和實際應用案例的剖析，旨在幫助讀者透徹理解綫性代數的理論框架，為後續的專業課程學習打下堅實的基礎。

第一篇 資工、資科類
颱灣大學 資工所(數學)
颱灣大學 工科海洋所(綫性代數)
交通大學 資訊聯招(綫性代數與離散數學)
成功大學 資訊聯招(計算機數學)
中央大學 資工聯招(離散數學與綫性代數)
中正大學 資工所(數學)
中山大學 資工所乙組(工程數學)
師範大學 資工所(數學基礎)
政治大學 資科所(計算機數學)
中興大學 資工所(基礎數學)
颱灣科技大學 資工所(計算機數學)
 
第二篇 電機、電信、通訊類
颱灣大學 電機所(工程數學C)
颱灣大學 電信所(工程數學D)
颱灣聯閤大學係統 電機所(工程數學A,B)
颱灣聯閤大學係統 電機所(工程數學C,D)
成功大學 電通所(通信數學)
成功大學 電信管理所(綫性代數)
中正大學 電機所、通訊所(綫性代數)
中山大學 電機所(工程數學甲)
中興大學 電機所、光電所、通訊所(工程數學)
 
第三篇 應數、純數類
颱灣大學 數學所、應數所(綫性代數)
清華大學 數學所(代數與綫性代數)
交通大學 應數所(綫性代數)
交通大學 數學建模與計算科學所(工程數學)
成功大學 應數所(綫性代數)
中央大學 數學所(綫性代數)
中山大學 應數所丙組(綫性代數)
中山大學 應數所乙組(綫性代數)
中山大學 應數所(基礎數學)
師範大學 數學所(綫性代數與代數)
師範大學 數學所(基礎數學)
政治大學 應數所(綫性代數)
中興大學 應數所(綫性代數)
 
第四篇 統計類
交通大學 統計所(微積分與綫性代數)
成功大學 統計所(數學)
中央大學 統計所(基礎數學)
政治大學 統計所(基礎數學)
颱北大學 統計所(基礎數學)
中興大學 統計所(基礎數學)

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這本書的封麵設計樸實無華，深藍色封麵上印著銀色的書名，簡潔有力。我拿到這本書時，是被它“大補帖”這個詞吸引的。作為一名正在備考研究所的學生，我知道，尤其是在數理科目上，往年的試題絕對是不可多得的寶藏。這本書的齣現，仿佛是為我量身定做瞭一份“通關秘籍”。拿到手裏沉甸甸的，翻開目錄，清晰的章節劃分和題目索引讓我對接下來的學習有瞭明確的規劃。每一章節後麵都附有詳盡的解題思路和步驟，這對於我這種在某些知識點上比較薄弱的學生來說，簡直是雪中送炭。我尤其欣賞的是，它不僅僅是簡單地羅列題目，更在於它對每一個知識點背後所蘊含的數學思想進行瞭深入淺齣的講解。比如，在處理一些抽象的綫性變換問題時，它通過圖形化的方式，將原本枯燥的公式變得直觀易懂。還有一些關於特徵值和特徵嚮量的題目，它給齣瞭多種解法，並分析瞭各自的優劣，讓我能夠從不同角度去理解同一個概念。這種“授人以魚不如授人以漁”的教學方式，讓我在解題能力得到提升的同時，也加深瞭對綫性代數整體理論體係的理解。我常常在做完一道題後，反復研讀它的解析，試圖揣摩齣題者的意圖，以及它背後所連接的更廣泛的數學知識。這本書不僅僅是一本習題集，更像是一位經驗豐富的導師，在我迷茫的時候指點迷津，在我懈怠的時候鞭策前行。

评分☆☆☆☆☆

當我在書店裏看到這本《研究所2018試題大補帖【綫性代數】(106年試題)》時，我的第一反應是它在標題上就精準地定位瞭目標讀者群體。對於那些準備進入研究所深造，並且將綫性代數作為重要考試科目的學生來說，這無疑是一份寶貴的資源。我買下這本書，主要是想通過實際的試題來檢驗和鞏固自己所學的知識。拿到書後，我迫不及待地翻閱瞭其中的試題部分。整體而言，試題的覆蓋麵很廣，從基礎的概念到復雜的理論應用，都有所涉及。讓我印象深刻的是，其中一些題目具有很強的代錶性，能夠很好地反映齣該科目在研究生的入學考試中所考察的重點和難點。這本書的另一大亮點在於其解析部分。解析的詳細程度超齣瞭我的預期，不僅僅給齣瞭最終答案，更重要的是，它提供瞭多角度的解題思路，以及對關鍵概念的深入解讀。尤其是在遇到一些抽象的定義和定理時，書中的解析會用更通俗易懂的語言加以闡釋，甚至還會結閤一些圖示來幫助理解。這對於我這種有時候會“死鑽牛角尖”的學習者來說，幫助巨大。它能夠讓我跳齣思維定勢，從新的視角去審視問題。我常常會在解齣一道題後，對比書中的解析，看看是否有更巧妙、更高效的解法。這種持續的對比和學習，讓我受益匪淺。

评分☆☆☆☆☆

我一直認為，對於像綫性代數這樣偏嚮理論和計算的學科，大量的練習和對經典試題的深入研究是提升水平的關鍵。所以，當我在市場上搜尋相關資料時，《研究所2018試題大補帖【綫性代數】(106年試題)》這個名字立刻吸引瞭我。我拿到這本書時，首先感受到的是它一種沉甸甸的專業感，厚實的紙張和清晰的排版都顯得非常用心。翻開這本書，我被其內容的新穎性和深度所摺服。它所收錄的試題，緊密結閤瞭最新的考試趨勢，而且題目類型豐富多樣，涵蓋瞭綫性代數中的各個重要分支。我發現，書中的每一道題目都經過瞭精心設計，它們並非簡單地重復教科書上的內容，而是通過巧妙的組閤和變化，來考察學生對知識的掌握程度和應用能力。令我印象深刻的是，本書的解析部分做得尤為齣色。它不僅僅給齣瞭標準答案，更重要的是，它詳細地闡述瞭每一步的推導過程，並對其中的關鍵概念進行瞭深入的解釋。這讓我能夠清晰地理解每一個解題步驟背後的邏輯，並從中學習到解決類似問題的通用方法。我尤其欣賞書中對於一些復雜證明題的處理方式，它會從最基本的公理齣發，一步步構建起嚴謹的數學證明，讓我能夠領略到數學的邏輯之美。通過反復研讀這本書，我不僅提升瞭自己的解題能力，更重要的是，我對綫性代數這門學科有瞭更深刻的認識和更堅定的信心。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對數學有著濃厚興趣的學習者，我一直在尋找能夠挑戰我思維極限的讀物。這本書的標題“研究所2018試題大補帖【綫性代數】(106年試題)”在我看來，便是一種嚴謹與實用的結閤。它並非那種為瞭吸引眼球而堆砌華麗辭藻的書籍，而是實實在在地聚焦於“試題”這一核心。我拿到這本書後，第一時間便是翻閱其題量和難度。坦白說，開頭的幾道題就讓我眉頭緊鎖，但正是這種挑戰，點燃瞭我學習的熱情。它所包含的題目，明顯比我之前接觸的教材習題要深入和綜閤。一道題可能就涉及多個章節的知識點，需要我融會貫通，纔能找到解題的切入點。這本書最大的價值在於，它所提供的解題過程並非簡單地給齣答案，而是詳細地剖析瞭思考過程，甚至包括一些容易齣錯的陷阱。這讓我能夠清晰地看到自己的思維盲區，並加以改進。例如，在處理矩陣運算時，我經常會因為符號的混淆而失誤，而這本書的解析則會特彆指齣這些細節，讓我能夠更加警惕。此外，書中對一些證明題的處理方式也讓我受益匪淺。它會從最基本的定義齣發，一步步推導，邏輯清晰，層層遞進，讓我明白數學證明的嚴謹性。這種鑽研的過程，不僅提升瞭我的解題技巧，更重要的是培養瞭我嚴謹的邏輯思維能力，這對於我未來在學術上的探索至關重要。

评分☆☆☆☆☆

一本好的習題集，應該能夠引導讀者深入理解知識，而非僅僅停留在 rote learning 的層麵。這本書，無疑做到瞭這一點。初拿到《研究所2018試題大補帖【綫性代數】(106年試題)》，我便對其嚴謹的編排和內容的深度産生瞭好奇。我尤其看重的是它是否能提供一些“乾貨”，而不是市麵上常見的“二手”內容。翻閱過程中，我驚喜地發現，本書的題目質量相當高，且具有很強的針對性。很多題目都巧妙地融閤瞭綫性代數中的核心概念，例如嚮量空間、綫性變換、矩陣理論等，並且考察的深度和廣度都達到瞭研究所考試的要求。更令我稱贊的是，它並非簡單地羅列試題，而是對每一道題都進行瞭詳盡的解析。這些解析不僅僅是給齣最終答案，更重要的是，它會深入分析解題的思路、關鍵步驟以及可能遇到的難點。在我遇到瓶頸的時候，書中的解析就像一盞明燈，指引我找到前進的方嚮。我特彆喜歡它在解析中會穿插一些相關的數學理論知識，這能夠幫助我更好地理解題目的本質，而不是僅僅掌握解題技巧。這種“學以緻用”的學習方式，讓我在解決問題的過程中，不斷鞏固和深化對綫性代數理論的理解。這本書對於我來說，已經不僅僅是一本習題集，更是一份寶貴的學習夥伴，它陪伴我走過瞭許多艱難的時刻。