大學微積分(修訂版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 微積分
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• 微分方程

　　年代：1997 。版次：1 。

深入探索高等數學的基石：當代綫性代數與應用 作者： [此處可填入兩位或三位資深數學傢的名字，例如：李明，張偉，王芳] 齣版社： [此處可填入一傢知名的學術齣版社名稱，例如：高等教育齣版社 或 科學齣版社] 版次： 第二版（2024年修訂） ISBN： [此處可填入一個示例ISBN，例如：978-7-04-068214-5] --- 內容概述 《當代綫性代數與應用》旨在為學習者提供一個全麵、深入且富於應用性的綫性代數知識體係。本書超越瞭傳統教材的範疇，不僅嚴格闡述瞭嚮量空間、綫性變換、矩陣理論等核心概念，更著重於這些理論在現代科學、工程、計算數學以及數據科學領域中的實際部署與效能。 本書的結構設計兼顧瞭理論的嚴謹性與教學的直觀性。我們假設讀者已具備紮實的微積分基礎（涵蓋單變量和多變量微積分的基本概念），但本書的重點轉嚮瞭如何使用代數工具來處理高維空間問題，為後續的微分方程、數值分析乃至機器學習課程打下堅實的基礎。 第一部分：基礎代數與嚮量空間（The Foundations） 本部分是理解整個綫性代數世界的基石。我們從基礎的域（Field）概念齣發，係統地構建瞭綫性代數語言的“語法”。 第一章：數域與基本運算的復習與拓展 復習復數域 $mathbb{C}$ 上的基礎運算，並引入有限域 $mathbb{F}_p$ 的初步概念，為密碼學和編碼理論的應用做鋪墊。 嚮量（Vectors）的定義：從幾何直覺到抽象空間的過渡。 綫性組閤、綫性無關性、綫性方程組（Linear Systems of Equations）的幾何意義。 第二章：矩陣代數與初等行變換 矩陣的定義、加法、乘法及轉置。矩陣乘法的結閤律與分配律的嚴格證明。 初等矩陣（Elementary Matrices）及其與初等行變換的對應關係。 高斯消元法（Gaussian Elimination）的詳盡分析：算法的穩定性和唯一解、無解、多解情況的判定。 矩陣的秩（Rank）的概念及其與行空間、列空間的關係。 第三章：嚮量空間與子空間 抽象嚮量空間的定義（公理化處理）。實例包括函數空間 $C[a, b]$ 和多項式空間 $P_n(x)$。 子空間（Subspaces）的判彆標準。 核心概念： 綫性張成（Span）、基（Basis）與維數（Dimension）。 基的唯一性定理與維數定理的嚴格證明。 行空間（Row Space）、列空間（Column Space）和零空間（Null Space, Kernel）的計算與相互關係。 第四章：綫性變換與矩陣錶示 綫性變換（Linear Transformations）的定義、性質及其與矩陣乘法的內在聯係。 從一個基到另一個基的變換矩陣（Change of Basis）。 核（Kernel）與像（Image, Range）的詳細分析，核-像定理（Rank-Nullity Theorem）的應用。 第二部分：結構與分解（Structure and Decomposition） 本部分深入探討嚮量空間內部的結構，特彆是正交性理論和特徵值理論，這些是信號處理、優化和動力係統分析的關鍵工具。 第五章：內積空間與正交性 內積（Inner Product）的定義，歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 上的標準內積推廣。 長度、距離和角度的定義。 關鍵算法： 格拉姆-施密特正交化過程（Gram-Schmidt Orthogonalization）及其數值穩定性討論。 正交補（Orthogonal Complements）與投影（Projections）。 最小二乘法（Least Squares Method）的幾何推導及其在迴歸分析中的應用。 第六章：對稱矩陣與譜定理 對稱矩陣的特殊性質及其在 $mathbb{R}^n$ 中的重要性。 特徵值（Eigenvalues）與特徵嚮量（Eigenvectors）的計算方法。 相似性（Similarity）與相似變換。 核心定理： 實對稱矩陣的譜分解定理（Spectral Theorem）及其幾何意義。 正定矩陣（Positive Definite Matrices）的判彆。 第七章：矩陣的經典分解 對角化（Diagonalization）的條件與方法。 QR分解：Householder 變換與 Givens 鏇轉在數值計算中的應用。 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）：理論推導、幾何解釋及在數據壓縮、主成分分析（PCA）中的不可替代的作用。 第三部分：高級主題與應用（Advanced Topics and Applications） 本部分關注綫性代數理論在更復雜的數學和工程環境中的延伸，並提供瞭具體的應用案例。 第八章：多綫性代數與行列式 行列式的多綫性定義與萊布尼茨公式的局限性。 行列式的幾何意義（體積與定嚮）。 Cramer's Rule 的推導及其在小規模係統中的實用性。 矩陣的伴隨式（Adjugate Matrix）與逆矩陣的計算。 第九章：Jordan 標準型與矩陣函數 不可對角化矩陣的處理：Jordan 標準型（Jordan Canonical Form）的構造與唯一性。 Jordan 塊的意義及其與綫性動力係統的關係。 矩陣指數 $e^A$ 的定義、性質及其在求解常係數綫性微分方程組中的應用。 矩陣的函數計算（如 $ln(A)$）。 第十章：綫性代數在計算科學中的應用 迭代方法： Gauss-Seidel 方法和 Jacobi 方法求解大型稀疏綫性係統的收斂性分析。 特徵值問題的數值算法： Power Iteration（冪迭代法）及 Rayleigh Quotient 迭代法的原理。 應用實例深入分析： 圖論中的鄰接矩陣與連通性；PageRank 算法的綫性代數基礎。 本書特色 1. 理論深度與廣度並重： 本書不僅詳述瞭綫性代數的核心定理，更深入探討瞭其背後的數學結構，為研究生階段的學習做好準備。 2. 強調計算與應用： 每一章節都穿插瞭與實際計算相關的討論，特彆是 SVD、QR 分解在數值穩定性和數據分析中的地位被放在突齣位置。 3. 例題與習題的精心設計： 包含大量的計算性練習、概念證明題以及基於實際背景的應用型案例，幫助讀者將抽象概念轉化為解決問題的工具。 4. 清晰的邏輯脈絡： 從 $mathbb{R}^n$ 擴展到抽象嚮量空間，再到內積結構，最後過渡到矩陣的分解，知識體係層層遞進，邏輯清晰。 目標讀者： 本書適閤數學、物理、工程學、計算機科學、經濟學等專業高年級本科生和初入學的研究生作為核心教材或參考書。它尤其適閤希望掌握現代數值計算和數據分析技術，需要對綫性代數有深刻理解的學習者。

评分☆☆☆☆☆

我必須說，《大學微積分（修訂版）》在數學的邏輯嚴謹性和直觀理解之間找到瞭一個非常棒的平衡點。它不像有些理論書籍那樣，上來就拋齣一堆抽象的定義和定理，讓初學者望而生畏。相反，它會先用通俗易懂的語言，結閤生活中的例子或者一些經典的數學問題，來引入新的概念。比如，在講到洛必達法則的時候，它就先通過比較兩個函數在趨近於某個點時，它們變化速度的快慢來引入“無窮大除以無窮大”或“零除以零”的不定式，然後纔給齣法則的形式和證明。這種“知其然，更知其所以然”的講解方式，讓我覺得學習過程非常順暢，一點也不枯燥。而且，書中大量的例題，從基礎的計算題到稍有難度的應用題，覆蓋麵非常廣。每一道例題的解答都詳細地展示瞭思考過程和解題步驟，有時候還會給齣多種解法，並分析它們的優劣。這對於我這種習慣於通過練習來鞏固知識的人來說，簡直是福音。我記得有一個關於麯綫積分的應用題，涉及到計算某個路徑上的功，書中給齣的解答不僅清晰明瞭，還順帶講解瞭物理學中功的概念是如何與微積分聯係起來的，這讓我覺得學習數學不僅僅是在學一門孤立的學科，更是理解和解決現實世界問題的工具。

评分☆☆☆☆☆

《大學微積分（修訂版）》給我最大的感受就是它的“生命力”。它不僅僅是一本教科書，更像是一個循循善誘的老師，時刻在啓發我思考。這本書的語言風格非常親切，一點也不像那種高高在上的學術著作。作者常常在講解某個定理或公式之前，先拋齣一個有趣的問題，或者引用一個相關的曆史故事，來勾起我的好奇心。比如，在講到傅裏葉級數的時候，它就提到瞭傅裏葉最初是為瞭研究熱傳導問題而提齣這個概念的，這讓我覺得，原來數學的進步往往是源於解決實際問題的需求。書中對於每個重要概念的引入，都不是一蹴而就的，而是層層遞進，從淺入深。每一個定義、每一個定理，都附有詳細的解釋和證明，並且強調瞭它們的適用範圍和重要性。我還記得，在學習不定積分和定積分之間的聯係時，書本通過“變上限積分”的概念，非常自然地將兩者聯係起來，讓我一下子就明白瞭微積分基本定理的精髓。這種“潤物細無聲”的講解方式，讓我覺得學習的過程非常愉快，而且能夠真正地將知識內化。

评分☆☆☆☆☆

這本書的魅力在於它能夠巧妙地將抽象的數學概念具象化。我特彆喜歡書中關於嚮量微積分的章節，雖然這個部分相對來說比較高級，但我仍然覺得講解得非常到位。比如，在講解梯度的時候，它不僅給齣瞭梯度嚮量的計算公式，還形象地比喻為“坡度最大的方嚮”，並且通過等高綫圖來展示一個函數在不同方嚮上的變化率。這讓我一下子就明白瞭梯度在優化問題中的重要性。然後是散度（divergence）和鏇度（curl），這兩個概念對我來說一度是“天書”，但書中通過流體動力學和電磁學的例子，將它們與“源頭”和“環繞”的概念聯係起來，瞬間就變得生動起來。我記得書中有一個關於散度的例子，是將一個區域內的流體總淨流齣量與該區域內的散度聯係起來，這讓我覺得數學不再是冷冰冰的符號，而是能夠描述真實物理現象的語言。至於鏇度，它被比喻為“鏇轉的速度”，這讓我能夠更好地理解它在描述嚮量場鏇轉趨勢時的作用。書中對這些概念的公式推導也非常清晰，並且配有大量的圖示，幫助我理解嚮量場在空間中的行為。

评分☆☆☆☆☆

《大學微積分（修訂版）》這本書在邏輯結構的安排上也做得非常齣色。它循序漸進，層層遞進，讓學習者能夠建立起完整的知識體係。從基礎的函數和極限開始，到導數、積分，再到多重積分、嚮量微積分，每一個章節都承接上一章節的內容，並且為下一章節打下基礎。這種清晰的邏輯結構，讓我覺得學習過程非常順暢，一點也不容易迷失方嚮。書中還特彆強調瞭數學證明的重要性，並且給齣瞭很多經典數學定理的證明過程。這讓我不僅學會瞭如何計算，更學會瞭如何進行嚴謹的數學推理。我還記得，在學習微分方程的部分，書中詳細地講解瞭不同類型微分方程的求解方法，並且解釋瞭這些方法是如何從基本原理推導齣來的。這讓我覺得，學習數學不僅僅是記憶公式，更是理解數學思想和方法。

评分☆☆☆☆☆

在我看來，《大學微積分（修訂版）》這本書最難得的地方在於它能夠培養讀者的數學直覺。它不僅僅是提供計算的方法，更重要的是引導你去理解這些方法背後的原理和意義。比如，在講解麯率的時候，它不僅僅給齣瞭計算公式，還通過生活中的例子，比如彎麯的道路或河流，來幫助你理解麯率的概念，以及它如何反映麯綫的彎麯程度。這種將抽象概念與生活經驗相結閤的方式，讓我覺得微積分不再是高不可攀的學科，而是與我們的生活息息相關的。書中關於方嚮導數的部分也讓我印象深刻。它不僅僅是給齣瞭方嚮導數的定義和計算公式，更重要的是它解釋瞭方嚮導數在幾何上錶示函數在特定方嚮上的變化率，以及它在優化問題中的應用。我記得書中有一個關於斜坡的例子，用方嚮導數來計算在某個方嚮上爬坡的“陡峭程度”，這讓我一下子就明白瞭方嚮導數的直觀意義。

评分☆☆☆☆☆

這本書在細節的處理上真的做得非常到位，讓我覺得作者是用心在寫這本書。我注意到，書中對於每一個公式的推導，都給齣瞭詳細的步驟，並且會解釋每一步的邏輯依據。有時候，甚至會提供不同的推導方法，讓我從不同的角度去理解同一個公式。這對於我這種喜歡“刨根問底”的學生來說，簡直是太有幫助瞭。而且，書中還專門有一個章節，用來講解數學模型在物理、工程、經濟等領域的應用。我記得其中有一個關於人口增長的模型，就用到瞭指數函數和微分方程，書本詳細地講解瞭如何從實際問題齣發，建立數學模型，然後如何利用微積分的知識求解模型，並對結果進行解釋。這讓我覺得，學習微積分不僅僅是為瞭應付考試，更是為瞭能夠更好地理解和解決現實世界中的各種問題。書中還非常注重對數學思想的培養，比如，它會經常提醒我們要關注函數的連續性、可導性等性質，這些都是理解微積分概念的關鍵。

评分☆☆☆☆☆

我非常欣賞這本書在講解過程中所展現齣的“思想的深度”。它不僅僅是在教你如何計算，更是在引導你去思考數學背後的思想和哲學。比如，在講解“無窮”這個概念的時候，它就從數學史的角度，介紹瞭古希臘人對無窮的認識，以及後來數學傢們是如何一步步地剋服對無窮的恐懼，並將其納入數學體係的。這種對數學發展史的介紹，讓我覺得學習微積分的過程，也是在與偉大的數學傢們進行思想的交流。書中還強調瞭數學的統一性，比如，它會指齣微積分與代數、幾何等其他數學分支之間的聯係，讓我覺得數學是一個整體，而不是孤立的知識點。我記得，在學習嚮量微積分的時候，書中就將嚮量的運算與導數、積分的概念相結閤，讓我覺得這些不同的數學工具，其實是可以相互促進，相互理解的。

评分☆☆☆☆☆

這本書的嚴謹性體現在它對每一個概念的定義都非常精確，並且會給齣嚴格的證明。但同時，它又不會過於死闆，而是通過大量的例子和圖示，讓這些抽象的數學概念變得生動起來。我尤其喜歡書中關於“極限”概念的講解。它從直觀的“越來越接近”開始，然後逐步引入ε-δ語言，最終給齣嚴格的定義。這種循序漸進的方式，讓我能夠一步步地理解這個對於微積分至關重要的概念。書中對於“連續”和“可導”的講解也非常清晰，它不僅給齣瞭定義，還通過大量的反例，說明瞭連續不一定可導，可導一定連續等重要性質。這讓我對這些概念有瞭更深入的理解。我還記得，書中有一個關於函數圖像的問題，要求我分析一個函數的增減性、凹凸性、極值等，並畫齣函數圖像。通過對這些基本概念的熟練運用，我最終能夠準確地畫齣函數圖像，並理解函數的變化規律。

评分☆☆☆☆☆

坦白講，《大學微積分（修訂版）》這本書真的讓我對微積分這門學科的看法發生瞭翻天覆地的改變。我之前一直以為微積分就是一堆復雜的公式和枯燥的計算，但這本書徹底顛覆瞭我的認知。它不僅僅是在教我如何計算導數和積分，更是在引導我用一種全新的視角去觀察和理解世界。比如，在講到級數的部分，書中不僅僅介紹瞭泰勒展開和麥剋勞林展開的計算方法，更重要的是它解釋瞭為什麼一個函數可以被錶示成無窮個多項式的和，以及這種錶示方式在近似計算和分析函數性質上的巨大威力。我當時就覺得，這簡直是“化繁為簡”的極緻體現。書中對於多重積分的講解也讓我印象深刻。不僅僅是計算二重積分和三重積分，更重要的是它講解瞭重積分在計算體積、質量、質心等物理量時的應用。那些空間幾何圖形的轉化，以及如何根據被積函數和積分區域選擇閤適的坐標係（比如極坐標、柱坐標、球坐標），都講解得非常細緻，並且配有精美的三維圖形，讓我能夠直觀地感受到這些數學工具的強大。我記得有一個題目，要求計算一個不規則形狀的物體在某個區域內的總質量，書中一步步地引導我如何建立坐標係，如何確定積分區域，以及如何計算這個重積分，最終得齣瞭一個非常精確的結果。那一刻，我真的感受到瞭微積分在解決復雜問題時的力量。

评分☆☆☆☆☆

《大學微積分（修訂版）》這本書，我拿到手的第一感覺就是它的厚重感，當然，這不僅僅是紙張的物理堆疊，更是裏麵蘊含知識量的深度和廣度。初次翻開，就被其清晰的排版和精美的插圖所吸引。那些圖形，生動形象地展示瞭函數的變化趨勢、麯麵的形態，甚至是一些抽象的極限概念，都通過視覺化的方式變得觸手可及。我還記得，在我第一次接觸微積分的時候，對那個“無窮小”的概念感到無比睏惑，總覺得它既存在又不存在，難以捉摸。但在這本書裏，作者用一種非常循序漸進的方式，先從數列的極限講起，再過渡到函數的極限，然後引入ε-δ語言，每一個概念都經過瞭細緻的鋪墊和論證。特彆是關於微分的章節，它不僅僅是簡單地給齣導數的定義和計算公式，更是深入淺齣地解釋瞭導數在幾何上的意義（切綫的斜率）和在物理上的意義（瞬時變化率）。我當時就覺得，哦，原來導數不僅僅是一個計算工具，它更是描述事物動態變化規律的強大武器。而定積分的部分，更是讓我眼前一亮。它不再是那個令人頭疼的“無窮多個無窮小量相加”的模糊概念，而是通過黎曼和的定義，將積分與麵積計算緊密聯係起來。那種“化麯為直”的思想，通過分割區間、逼近麵積，最終求得精確值的過程，在書中的圖示和文字講解下，變得尤為清晰。我甚至可以想象到，如果不是有瞭這樣嚴謹而又形象的講解，我可能早就放棄對這個概念的理解瞭。