高等數學題解詞典(下)問題與解答-(繁體) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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1.收錄範圍 本書是以工科高等數學內容為中心，兼顧理科數學分析的內容。本書輯錄瞭目前我國工科院校高等數學課程新涉及到的主要題型，還選進瞭一部分數學分析的題目，吸收瞭國外有影響資料的部分題目，也輯錄瞭我國高等院校、科研單位的碩士研究生入學試題、本科生試題和數學競賽試題的部分內容，還輯錄瞭國內數學雜誌的部分典型題目，共收錄題目4000餘道。附錄介紹高等數學發展簡史，簡介高等數學中有關的數學傢。

2.目錄與問題的編排 為瞭使讀者容易找到所查問題或者類似問題的解法，本辭典仍按我國目前高等數學的體係，按章、節、段來編排，這完全體現在目錄中，從而使目錄能起到索引的作用。在問題的編排上採取盡量收羅的辦法，每段內題目安排的原則是由淺入深，由易到難，以典型帶一般，使讀者能舉一反三，觸類旁通，使本書起到辭典的作用。

　　題號是按節來編的，比如，10.1.81錶示第10章第1節第81題。插圖是隨題號編序的。

3.內容提要 每節開頭的內容提要，為解題國證題提供瞭必要的依據(包括定義、定理、法則、公式等內容)。

4.概念題與綜閤題的處理 在每章或每節中均安排有概念題(是非題)和選擇題，其意義在於從正、反兩個方麵來理解概念，這是近年來在本科生考試中試題通標準化時，經常齣現的形式。

　　在每章最後安排有一節綜閤題目。它的內容係指在本節以前各章、節齣現的，但不涉及以後的內容。在研究生的入學考試題中這類問題很多。

5.一題多解 題目一般是一題一解，部分題目有其它較好解法的，則安排一題多解，以啓迪解題的思維能力和熟悉各公式的應用。在本書中已放錄題目的結論，在其他題目中應用時一般不再重復，隻注明"參閱第XXX題"。

深入淺齣：現代數學思維的構建與應用 本書聚焦於高等數學的核心概念、邏輯推理的嚴謹性以及在工程、物理、經濟等多個領域的實際應用。它並非僅僅是一本習題解答手冊，而是一部旨在幫助讀者構建紮實數學基礎、提升抽象思維能力的綜閤性學習指南。 本教材麵嚮當前高等教育中對數學理論有深入學習需求的理工科學生、研究生，以及需要復習和深化數學知識的專業人士。全書結構緊湊，內容涵蓋瞭微積分（單變量與多元）、綫性代數、微分方程等現代數學體係中的關鍵支柱。 第一部分：微積分的深度剖析與技巧精煉 本部分將微積分的理論基礎與實際解題技巧相結閤，力求做到深入淺齣，將復雜的分析過程條理化。 1. 函數、極限與連續性：奠定分析學基石 我們首先迴顧函數的基本性質，包括有界性、周期性、奇偶性以及復閤函數的性質。重點在於極限的 $varepsilon-delta$ 定義的嚴格理解，並輔以大量經典和非經典的極限計算案例。 連續性的討論超越瞭簡單的定義敘述，深入探討瞭閉區間上連續函數的性質（如介值定理、最大值最小值定理）的幾何意義和代數推導。通過對不連續點類型的分類討論（可去、跳躍、無窮不連續點），讀者能夠全麵把握函數行為的局部特性。 2. 導數與微分：速率、變化率與切綫幾何 導數的定義從差商的極限齣發，逐步推廣至各種函數類型的求導法則。本書詳細剖析瞭隱函數求導法、反函數求導法以及參數方程求導法的適用範圍與步驟。 微分的應用部分，我們著重講解瞭泰勒公式的構造及其在函數近似、誤差估計中的強大作用。對於多元函數，方嚮導數和梯度的引入，不僅是概念的推廣，更是從幾何直觀嚮嚮量分析過渡的關鍵橋梁。梯度在優化問題中的核心地位被清晰闡述。 3. 不定積分與定積分：纍積與麵積的統一 積分學部分，我們采取“理論先行，技巧隨後”的策略。不定積分的求解不再是簡單的公式堆砌，而是係統地分類探討瞭湊微分法、換元法、分部積分法的最佳應用時機。對於有理函數、三角函數和無理函數積分，提供瞭詳盡的解題流程圖。 定積分的計算部分，重點在於微積分基本定理的嚴格應用。幾何應用部分，除瞭標準的麵積、體積計算外，還涵蓋瞭平麵麯綫的弧長、鏇轉體的錶麵積，以及更具挑戰性的功、質心和轉動慣量的計算，這些均與物理學緊密相關。 4. 廣義積分與級數：收斂性的嚴苛檢驗 廣義積分的討論聚焦於瑕點的處理，如積分區間的無限性或被積函數在端點處的無界性。收斂性的判斷標準（如比較判彆法、比值判彆法、積分判彆法）被係統地總結，並配以對收斂/發散邊界的精確辨識練習。 無窮級數是分析學的難點之一。本書詳細區分瞭常數項級數和函數項級數。對於函數項級數，一緻收斂性的探討是重中之重，它關乎函數項級數能否與微分、積分運算進行交換。冪級數的展開、收斂半徑的確定以及在特定區間內的性質保持，均有詳盡的推導和實例支撐。 --- 第二部分：綫性代數：結構、變換與求解的藝術 本部分旨在揭示綫性代數的內在結構和其在求解復雜係統中的高效性。 1. 矩陣代數與初等變換：運算與等價性 矩陣的運算規則，從加法到乘法，其非交換性被強調。初等行變換被視為一種等價關係，是簡化矩陣、求解綫性方程組的根本工具。矩陣的秩作為衡量綫性無關性的核心指標，其計算方法和性質被細緻闡述。 2. 綫性方程組的求解與嚮量空間 剋拉默法則、高斯消元法與矩陣求逆法作為求解綫性方程組的三大主流方法，其適用條件、計算復雜度及幾何意義被清晰對比。 嚮量空間的概念引入，包括子空間、生成集、基與維度，是理解抽象綫性代數的關鍵。本部分詳細解釋瞭綫性無關性的判斷，以及如何通過基變換來簡化矩陣錶示。 3. 綫性變換與特徵值問題 綫性變換被定義為保持嚮量空間結構的映射。矩陣被視為綫性變換在特定基下的坐標錶示。理解核空間（Kernel）與像空間（Image）對於分析映射的性質至關重要。 特徵值與特徵嚮量的求解，是理解係統動態行為的核心。本書不僅講解瞭如何通過解特徵方程求得特徵值，更深入探討瞭相似變換（對角化）的意義，即如何通過選擇閤適的基來簡化矩陣的結構，揭示係統的本質行為。對於非對角化的情況，如若爾當標準型的構造原理也被適度介紹。 --- 第三部分：常微分方程：描述動態係統的語言 本部分聚焦於用數學語言刻畫自然界和工程中普遍存在的動態變化過程。 1. 一階微分方程的分類與求解 一階ODE的求解策略是本章的重點。我們係統地分類討論瞭變量可分離方程、齊次方程、綫性一階方程、伯努利方程等。對於恰當方程，著重講解瞭積分因子法的構造過程。 2. 高階常係數綫性微分方程 對於高階常係數綫性方程，我們深入探討瞭特徵方程的應用，包括重根、復根情況下的通解形式。常數變易法作為求解非齊次方程的通用方法，其推導過程清晰展現瞭微分算子的構造性思想。 3. 級數解法與特殊方程 當方程係數不是常數時，冪級數解法成為重要的工具。本書演示瞭如何圍繞一個普通點或正則奇點展開級數解，並確定係數之間的遞推關係。對歐拉方程等特殊形式的方程，給齣瞭封閉形式的解法。 4. 降階與應用模型 微分方程的應用部分，側重於物理背景的建模，如振動係統、RLC電路、種群增長模型等。對於二階方程，共振現象的分析，通過對驅動項和係統固有頻率的對比，展示瞭數學模型在預警工程問題中的價值。 全書的特點在於，每一個理論概念的提齣都緊密伴隨著嚴謹的邏輯推導和豐富的解題示例，確保讀者不僅知其然，更能知其所以然。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在備考國傢統一考試的研究生，而高等數學的“下冊”內容，無疑是我備考過程中最頭疼的部分。那些關於空間幾何、多元函數、微分方程、級數等知識點，雖然在課堂上有所接觸，但真正遇到題目時，往往感到無從下手。在對比瞭市麵上眾多的參考書後，《高等數學題解詞典(下)》以其獨特的“題解詞典”模式，深深吸引瞭我。它不像一般的題庫那樣隻有題目和答案，而是更側重於對解題過程的詳細講解，以及對相關概念的深入剖析。我尤其看重它在例題選擇上的精當和全麵，涵蓋瞭各種類型的題目，並且對每一個題目都進行瞭深入的解析，包括瞭多種解題思路和技巧。我相信，通過這本書，我能夠係統地復習和鞏固高等數學的知識，提高解題能力，順利通過考試，為我未來的學術研究奠定堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

作為一名對數學充滿好奇但又常常被“高等”兩個字嚇倒的自學者，我在探索高等數學的道路上，如同一個在知識的海洋中漂泊的迷航者。過去的學習經曆，總是停留在一些基礎概念的淺層理解，一旦觸及到更加深入和抽象的領域，便感到力不從心。這次，《高等數學題解詞典(下)》的齣現，給瞭我極大的鼓舞。它並非單純的公式匯編，而是如同一個經驗豐富的嚮導，將那些復雜晦澀的定理和方法，用一種更加易於理解和實踐的方式呈現齣來。我注意到書中的例題，從基礎到綜閤，環環相扣，而且每一步的解答都清晰明瞭，仿佛在娓娓道來一個數學故事。我尤其期待它對一些高級積分技巧，例如重積分、麯綫積分、麯麵積分等內容的講解，以及它們在物理、工程等領域的實際應用。我相信，通過這本書的引導，我能夠逐步撥開高等數學的迷霧，真正領略到數學的魅力，並將其應用到我感興趣的領域，實現知識的轉化和創新。

评分☆☆☆☆☆

在學習高等數學的過程中，我常常會遇到一些“卡點”，即便是看瞭很多遍教材，也無法完全理解某個定理的推導過程，或者某個公式的實際意義。《高等數學題解詞典(下)》的齣現，恰恰填補瞭我在這些方麵的空白。它並非簡單地羅列題目和答案，而是更側重於對解題思路的深度剖析，以及對數學概念的精準解釋。我尤其期待書中對一些看似難以理解的證明過程，是否會提供更加直觀的解釋，或者通過類比的方式來幫助理解。例如，對於一些復雜的積分變換，我希望書中能通過具體的例子，讓我看到它們是如何簡化問題，以及在哪些領域發揮關鍵作用。我相信，這本書將成為我學習高等數學的得力助手，幫助我突破思維瓶頸，真正理解數學的邏輯之美，並將其運用到我的學習和研究中。

评分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，簡直是我在高等數學這片迷宮裏跋涉的救星！一直以來，我對數學那些抽象的概念和繁復的計算都感到力不從心，尤其是到瞭“下冊”的階段，內容更是像天書一樣難以理解。每次遇到難題，翻遍瞭各種教材和網絡資源，都覺得似懂非懂，直到我偶然間發現瞭這本《高等數學題解詞典(下)》。它的名字就足夠吸引人——“題解詞典”，這暗示著它不僅僅是理論的堆砌，更重要的是提供瞭解決實際問題的思路和方法。拿到書的那一刻，我就被它厚重的質感和嚴謹的排版所吸引。雖然隻是初步翻閱，但那些清晰的解題步驟、詳盡的公式推導，以及對每一個關鍵概念的深入剖析，都讓我看到瞭希望。我迫不及待地想要深入其中，去理解那些曾經讓我頭痛不已的微積分、多元函數、級數，甚至微分方程。我相信，有瞭它，我將不再孤軍奮戰，而是能找到一條清晰的學習路徑，最終剋服學習上的難關，掌握高等數學的精髓。它的齣現，不僅僅是一本參考書，更像是為我指明方嚮的燈塔，讓我對未來的學習充滿瞭信心和期待。

评分☆☆☆☆☆

在多年的學習生涯中，我接觸過不少數學書籍，但真正能讓我感到“如獲至寶”的，並不多見。《高等數學題解詞典(下)》絕對是其中之一。作為一本以“題解”為核心的書籍，它打破瞭傳統教材的刻闆印象，將高等數學的精髓融入到一道道精心編排的題目之中。我尤其欣賞它在解題思路上的深度挖掘，作者並沒有滿足於給齣標準的解法，而是花大量篇幅分析瞭問題的本質、不同解法的優劣，以及作者是如何一步步推導齣最優解的。這對於我這種喜歡刨根問底的學習者來說，簡直是無價之寶。我非常期待書中對一些復雜數學模型，如傅裏葉級數、拉普拉斯變換，以及它們在信號處理、物理建模等領域的應用是如何解讀的。我相信，通過這本書，我不僅能夠掌握解決具體問題的能力，更能培養齣一種對數學問題的深刻理解和靈活運用能力，這對於我未來的學術研究和職業發展都將有著至關重要的意義。

评分☆☆☆☆☆

我曾一度認為，高等數學的學習，就像是在一個漆黑的房間裏摸索，摸不清方嚮，也找不到齣口。尤其是那些涉及多變量微積分、嚮量分析、微分方程等“下冊”的內容，更是讓我望而卻步。傳統的教材，雖然嚴謹，但對於我這樣缺乏數學直覺的學習者來說，往往過於抽象，難以消化。然而，《高等數學題解詞典(下)》的齣現，仿佛為我點亮瞭一盞明燈。它以“題解”為核心，將抽象的理論與具體的應用緊密結閤，通過一道道精心設計的題目，引導讀者逐步理解和掌握復雜的數學概念。我尤其看重它在解題思路上的闡述，不僅僅是給齣答案，更是深入分析瞭如何思考、如何選擇方法、以及如何避免常見的錯誤。這種“由解題而學，以學促解”的學習模式，對於我這種實踐型學習者來說，簡直是完美的契閤。我相信，通過這本書的陪伴，我將能夠剋服對高等數學的恐懼，一步步地解鎖那些曾經讓我束手無策的難題，並在解決問題的過程中，真正地提升自己的數學能力。

评分☆☆☆☆☆

我一直相信，學習數學最好的方式，就是通過解決實際問題來掌握理論知識。然而，在高等數學的學習過程中，找到那些既能體現理論精髓，又能激發解題興趣的題目，並非易事。《高等數學題解詞典(下)》正是這樣一本難得的寶藏。它以“題解”為核心，將抽象的數學概念與具體的應用場景緊密結閤，使得學習過程變得生動有趣。我特彆喜歡書中對每一道例題的深入講解，它不僅僅給齣瞭最終答案，更重要的是剖析瞭作者是如何一步步思考、如何選擇閤適的工具、以及如何規避潛在的錯誤。我期待書中能包含更多涉及物理、工程、經濟等交叉學科的題目，讓我看到高等數學在現實世界中的廣泛應用。我相信，通過這本書的指導，我將能更有效地提升自己的數學思維能力，並將其轉化為解決實際問題的強大武器，為我未來的職業發展打下堅實的基礎。

评分☆☆☆☆☆

我是一名正在攻讀研究生學位，但數學基礎相對薄弱的學生。在備考過程中，我深切體會到瞭高等數學“下冊”內容的挑戰性。那些關於嚮量、空間、麯麵、積分變換等概念，對於我來說，簡直是無法逾越的鴻溝。在網上搜尋瞭無數的解題視頻和論壇討論，但總感覺碎片化，缺乏係統性。直到我看到《高等數學題解詞典(下)》這本厚實的著作，我心中湧起瞭一股強烈的衝動。它以“詞典”的形式，將復雜的數學概念和定理一一拆解，並輔以大量精心挑選的例題，這對於我這種需要“啃硬骨頭”的學生來說，簡直是雪中送炭。我尤其欣賞它對每個題目的解析，不僅僅給齣瞭答案，更重要的是剖析瞭解決問題的思路、運用的定理、以及可能遇到的陷阱。這種“授人以漁”的教學方式，是我一直以來所追求的。我期待通過這本書，能夠真正理解那些抽象的數學模型，並能夠靈活地運用它們來解決實際的研究問題。我相信，這本書將成為我研究生學習期間不可或缺的得力助手，幫助我打下堅實的數學基礎，為我未來的科研道路保駕護航。

评分☆☆☆☆☆

一直以來，我對高等數學中的一些抽象概念，例如嚮量空間、綫性變換、多項式代數等，都感到非常睏惑。雖然理論課本給齣瞭嚴謹的定義和定理，但總感覺與實際應用脫節，難以理解其深層含義。直到我翻閱瞭《高等數學題解詞典(下)》，我纔真正體會到“化繁為簡”的魅力。這本書的獨特之處在於，它將抽象的理論概念，通過大量的具體例題來加以闡釋，並且對每一個例題的解題過程都進行瞭細緻入微的分析。我尤其期待書中對一些高級概念，如復變函數、積分變換等，是如何通過題目來展現其應用價值的。我相信，通過這本書，我能夠逐漸建立起對這些抽象概念的直觀理解，並能夠將所學知識靈活地運用到解決實際問題中，從而真正掌握高等數學的精髓。

评分☆☆☆☆☆

作為一個在職人員，想要在忙碌的工作之餘提升自己的數學能力，尋找一本既能係統梳理知識，又能提供實際解題方法的書籍，一直是我心中的渴求。《高等數學題解詞典(下)》的齣現，恰好滿足瞭我的這一需求。它打破瞭傳統教材的枯燥模式，以“題解”為核心，將復雜的數學概念巧妙地融入到一道道具有代錶性的題目中。我特彆欣賞書中對每一個解題步驟的清晰闡述，以及對涉及到的定理和公式的準確引用。我期待這本書能夠幫助我快速迴顧和鞏固高等數學“下冊”的關鍵知識點，特彆是那些在實際工作中經常會用到的數學工具，例如微分方程的應用，以及概率統計在數據分析中的作用。我相信，通過這本書的學習，我將能更自信地應對工作中遇到的數學挑戰，並將其轉化為解決實際問題的有力武器。