高等數學習題全解指南（上冊）（同濟·第8版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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同濟大學數學科學學院（編）

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《高等數學精講精練與習題解析（下冊）：伴您徵服微積分的深度與廣度》 內容提要 本書是為高等數學學習者精心打造的配套輔導與深入研習的權威指南。它聚焦於高等數學課程中最為關鍵和富有挑戰性的第二部分內容，即多變量微積分、嚮量分析、級數理論以及微分方程。本書的設計理念在於“精講、精練、精析”，旨在構建一座連接理論知識與實際解題能力之間的堅實橋梁。我們深知，高等數學的學習不僅需要理解抽象的數學概念，更依賴於對計算技巧的熟練掌握和對復雜問題的係統性分析能力。因此，本書在內容組織上力求嚴謹、深入且富有啓發性。 本書並非簡單地對教材內容進行復述或羅列習題答案，而是針對每一核心知識點，提供深層次的剖析、解題思路的係統梳理，以及多種解題路徑的比較與探討。我們嚴格遵循當前主流高等數學教材的知識體係脈絡，確保讀者在學習過程中能夠無縫銜接課堂教學內容，實現知識的內化與遷移。 第一部分：多變量微積分的精要解析 本部分是高等數學進階學習的基石，涵蓋瞭從二維空間嚮更高維度拓展的核心思想。 1. 空間幾何與嚮量代數基礎的深化： 我們將重新審視三維空間中的坐標係變換、距離與角度的計算，並重點講解嚮量的綫性組閤、內積與外積在幾何意義上的深刻內涵。對於麯麵與空間麯綫的參數方程描述，提供直觀的幾何解釋，避免純粹的代數運算帶來的理解障礙。 2. 偏導數與方嚮導數的精妙應用： 偏導數的概念引入後，本書詳盡闡述瞭鏈式法則在多元函數中的擴展形式，並給齣多種實際場景下的應用案例，例如復閤函數求導、隱函數求導定理的嚴謹推導與應用邊界的探討。方嚮導數部分，著重解析其與梯度嚮量之間的內在聯係，強調梯度嚮量在尋找函數最大變化率方嚮上的關鍵作用。 3. 多元函數的極值問題與最優化： 這是高等數學應用性最強的部分之一。我們不僅詳細介紹瞭費馬定理在多元函數中的推廣（駐點），還係統梳理瞭二階偏導數判彆法（海森矩陣的跡）。特彆地，本書花費大量篇幅講解拉格朗日乘數法的原理、構造過程及其在約束優化問題中的強大威力，配有大量經濟學、工程學中的實際優化模型實例。 4. 二重積分與三重積分的幾何詮釋： 積分的維度提升帶來瞭計算復雜度的增加。本書將二重積分的概念從幾何意義（麵積、體積）擴展到物理意義（質量、質心）。重點剖析瞭在不同坐標係（直角坐標、極坐標、柱坐標、球坐標）下的積分區域的劃分策略與變量替換的技巧。三重積分的講解側重於理解體積元 $dV$ 在不同坐標係下的具體錶達，並展示其在計算物理量（如質心、轉動慣量）中的應用。 第二部分：嚮量場與場論基礎 本部分內容是連接微積分與經典物理場論的橋梁，對後續學習物理、工程數學至關重要。 1. 空間麯綫上的積分（綫積分）： 我們區分瞭第一類綫積分（對弧長）和第二類綫積分（對坐標）。重點解析瞭功的計算、質量的計算等物理背景，並深入探討瞭保守力場與勢函數的概念，以及如何利用其簡化復雜的綫積分計算。 2. 麯麵上的積分（麵積分）： 麵積分的引入，同樣分為對麵積（第一類麯麵積分）和對坐標（第二類麯麵積分）。第二類麯麵積分的講解會聚焦於通量的概念，即液體或場量穿過某一麯麵的總量。 3. 場論三大基本公式的融會貫通： 這是本部分的精髓所在。本書對格林公式、斯托剋斯公式和高斯（散度）公式的闡述力求清晰、完整。我們不僅給齣定理的正式錶述，更重要的是展示它們之間內在的聯係——它們都是基本定理在不同維度下的推廣形式（例如，格林公式是二維的散度定理）。通過大量實例，指導讀者如何根據積分路徑或積分麯麵的性質，靈活選擇應用哪個公式來簡化計算。 第三部分：無窮級數：收斂性的探秘 無窮級數是分析學中對無限過程求和的嚴謹方法，其核心在於判斷收斂性。 1. 數項級數的審斂法則： 從基本的比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法，到更精妙的積分判彆法和交錯級數的萊布尼茨判彆法，本書對每種判彆法的適用條件和局限性進行瞭細緻的辨析。特彆關注絕對收斂與條件收斂的區彆及其重要性。 2. 冪級數與函數的錶述： 冪級數是實現“以有限逼近無限”的關鍵工具。我們詳盡講解瞭如何利用求導、積分以及已知的基本級數（如幾何級數）來構造新函數的泰勒級數（麥剋勞林級數）。泰勒定理的餘項（拉格朗日餘項與佩亞諾餘項）的討論，嚴格界定瞭級數近似的誤差範圍。 3. 傅裏葉級數簡介（選講或拓展）： 針對部分課程要求，本書簡要介紹瞭周期函數展開為三角級數的基本原理，及其在周期性信號分析中的初步應用。 第四部分：常微分方程：動態係統的數學模型 微分方程是描述自然界和工程中各種變化過程的通用語言。 1. 一階常微分方程的解法： 本部分係統梳理瞭可分離變量法、齊次方程、伯努利方程、綫性一階方程以及恰當條件下的全微分方程（或稱為精確方程）的解法，並強調瞭它們在建立簡單物理模型（如放射性衰變、電路暫態過程）中的應用。 2. 二階常係數綫性常微分方程： 這是應用最為廣泛的類型。本書重點剖析瞭特徵方程的建立與解法，包括實根、重根、復根三種情況的通解形式。對於非齊次方程，詳細介紹瞭待定係數法和常數變易法的解題步驟與適用場景的對比。 3. 級數解法（初步）： 對於不能用初等方法求解的微分方程，本書引入瞭冪級數法求解微分方程，展示瞭如何利用微分方程的性質來確定級數係數，為後續深入學習微分方程打下基礎。 本書特色與學習建議： 注重概念的幾何與物理意義： 避免死記硬背公式，強調多維空間中的“形”與“勢”。 精選例題與變式訓練： 每節內容後均配有精選例題，這些例題經過精心設計，覆蓋瞭不同難度和不同考察點，並附有詳細的解題步驟與技巧提煉。 方法對比與歸納總結： 針對同一問題，常提供多種解法，並指齣其優缺點，幫助讀者形成靈活的解題思維體係。 通過對本書內容的深入學習與反復練習，讀者將能夠係統掌握高等數學下冊的全部核心知識點，為後續的專業課程學習（如理論力學、電磁學、概率論與數理統計等）奠定堅實而深厚的數學基礎。

评分☆☆☆☆☆

作為一名數學專業的學生，我深知一套好的習題解析對於鞏固理論知識的決定性作用。這本指南的難度覆蓋麵相當廣，從基礎的綫性代數運算到後麵高等代數中更深層次的群論和域擴張的應用題，都有詳盡的解析。我發現它收錄的題目很多都帶有很強的代錶性，很多都是我上課時老師特彆強調但又不太會做的“壓軸題”類型。更讓我驚喜的是，書中偶爾還會穿插一些不同解法的比較和探討，這種多角度的思考訓練，對於培養我的數學直覺和解題的靈活性非常有幫助，讓我不再局限於單一的思維定式。

评分☆☆☆☆☆

我最近一直在為期末考試做準備，這本習題全解指南簡直是我的救命稻草。它不像市麵上一些隻提供答案而不解釋過程的書籍，這本書的每一個解題步驟都像是有一位經驗豐富的老師在我旁邊手把手地教我。它不僅僅是給齣瞭“怎麼做”，更深入地闡述瞭“為什麼這麼做”，很多我原來理解模糊的概念，通過書中的詳細推導和例證，瞬間豁然開朗。特彆是那些抽象的拓撲空間和泛函分析中的概念題，作者沒有采用過於晦澀的語言，而是用非常貼近直覺的描述來引導思考，這種由淺入深的教學方式，極大地提升瞭我的學習效率和自信心。

评分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和紙質真是讓我眼前一亮，拿到手裏就感覺分量十足，一看就知道是下瞭功夫的用心之作。內頁的排版清晰明瞭，無論是公式的呈現還是文字的注釋，都做得非常考究，長時間閱讀下來眼睛也不會感到疲勞，這對於學習一門硬核學科來說簡直是太重要瞭。我之前看很多教材的習題解析，不是排版混亂，就是符號印刷模糊不清，但這本書在這方麵做得非常到位，看得齣齣版社對這套書的質量把控非常嚴格，這不僅僅是一本習題集，更像是一件工藝品，讓人在學習的過程中都能保持一個好心情。尤其是那些復雜的嚮量運算和矩陣變換，清晰的展示讓我能立刻抓住問題的核心脈絡，這點體驗是其他習題集無法比擬的。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我購買過不少高等數學相關的參考書，很多都存在一個通病：解析過於簡略，關鍵的跳躍步驟一帶而過，導緻我看瞭也等於沒看。然而，這本《指南》的詳盡程度達到瞭一個令人稱贊的水平。它會把每一步的定理引用、公式變換的依據都標注得清清楚楚，這對於我這種需要精確論證的場閤尤其重要。我甚至可以把它當作一本補充教材來用，很多在教材中一筆帶過的定理證明，在這裏都得到瞭細緻的展開和驗證。這種對細節的執著，體現瞭編者對教學嚴謹性的深刻理解，是真正為學生著想的錶現。

评分☆☆☆☆☆

自從用瞭這本書，我感覺自己對待數學的態度都積極瞭許多。以前麵對那些復雜的數學證明題，我常常感到氣餒和不知所措，但翻開這本書後，那種“原來如此”的頓悟感是無法替代的。它不僅僅是提供瞭一個標準答案，更像是在構建一個完整的知識網絡，讓我清晰地看到各個知識點之間是如何相互連接和支撐的。這種係統的、全景式的學習體驗，讓我對高等數學這門學科産生瞭更深層次的興趣和敬畏。我強烈推薦所有正在啃同濟教材的同行們入手這本寶典，它絕對是你通往高分路上最可靠的夥伴，物超所值，無可替代。