工程數學奪分寶典(上冊)：微分方程單元 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

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• 微分方程
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• 教材
• 應試
• 數學輔導
• 解題技巧
• 公式總結

　　工程數學是每一個工科學生，在大學到研究所都必須研讀及使用的科目，而且在研究所入學考試與公職考試中，工程數學都是必考的一門科學。筆者在補習班已教授逾20年工程數學，且由於本身的學經曆為電機背景，故工程數學相關的綫性代數與工程機率也都是由筆者負責教授。在邁入20年的教學生涯，將工程數學匯總起來，齣版一係列“奪分寶典”書籍，是筆者目前主要的目標。

　　筆者教學強調兩個要點：第一是觀念解析。數學最重要的是觀念理解，強調背誦及瘋狂解題都不是正確的學習方法；如何應用是觀念的齣發，在不同的情形下使用適當的觀念，纔是數學最重要的，也是最美麗的地方。

　　第二是演練。很多同學都認為懂瞭就好，為什麼要多練習題目？數學就像是一種技藝，老師傅的手，經過韆錘百煉，做齣來的産品纔是藝術；學徒的手做齣來的東西，隻是相像，總是缺少瞭些靈魂。所以每年在高成工數教室春季班，我都會齣作業給我的學生做，而且我親自批改，就是希望透過老師傅的提點，讓這些小師傅快些齣師，獨當一麵。也因為如此，高成工數學員的成績超凡優秀。

　　這本書是筆者上課用的講義，它有兩個特色：分類非常仔細，且題型非常完整，是非常適閤當作觀念理解與演練習題的工具書。但筆者建議讀者手邊應有一本原文教科書，搭配閱讀；或是親自來上課，由筆者仔細講述觀念給同學聽，效果會更加乘。書中的範例旁都有◎：◎錶示基礎題，◎◎錶示進階題，◎◎◎為挑戰題，讀者可依學習的情形及目標選擇範例來演練。

作者簡介

編著：高成老師

　　◎颱大電機係畢業
　　◎南加州大學(USC)電子物理研究所畢業
　　◎中華民國82年度電子工程人員高考三級特優榜首錄取
　　◎中華民國82年度電子工程人員專業技術人員考試錄取
　　◎輔考研究所、高普特考公職考試逾20年教學經驗

　　教學特色

　　1.由基礎觀念著手，強調觀念是大樹、解題是樹葉，從破題、思考到解題技巧一氣嗬成，將韆百題融會貫通化簡為一個觀念。

　　2.由先修課程、精修課程到課後輔導，網路教學、批改作業、視訊解惑，考前衝刺題庫單元，強烈要求同學考上颱、交、清、成一流學府。

　　3.上課內容活潑、輕鬆易懂、循循善誘、活力十足的好老師，是同學口中一緻稱贊的工數界名師。

　　4.專任教於颱北、中壢、新竹、颱中、高雄偉文係列補習班。

《高等代數精析與應用》：構建堅實的數學基礎 圖書簡介 在現代科學、工程技術、經濟管理乃至數據科學等諸多領域，紮實的數學基礎是不可或缺的基石。本書《高等代數精析與應用》旨在為廣大理工科學生、研究生以及需要復習高等代數知識的專業人士，提供一套係統、深入且注重應用的教材。本書的編排嚴格遵循經典高等代數的知識體係，重點聚焦於綫性代數的核心概念與技巧，力求在理論的嚴謹性與實際問題的解決能力之間找到完美的平衡。 本書的獨特之處 本書並非傳統意義上對知識點的簡單羅列，而是著重於概念的深度理解、證明的邏輯推導，以及方法在實際問題中的靈活應用。我們深知，對於許多學習者而言，高等代數的抽象性常常是理解的難點，因此，本書在內容組織上采用瞭“理論建構—示例演示—習題鞏固”的遞進模式，確保讀者能夠循序漸進地掌握每一個知識點。 第一部分：矩陣代數與綫性方程組的求解 本部分是高等代數的基礎，我們從最基本的矩陣運算、行列式的性質與計算入手。 矩陣運算的幾何意義： 不僅詳細介紹瞭矩陣的加減乘除、轉置、求逆等運算，更深入探討瞭矩陣乘法背後的綫性變換幾何意義，例如鏇轉、縮放、投影等，幫助讀者建立直觀的圖像理解。 行列式的精妙結構： 詳細闡述瞭行列式的代數餘子式、拉普拉斯展開定理，並著重講解瞭如何利用行列式的性質快速簡化計算，避免冗長的人工計算。特彆強調瞭行列式在綫性方程組解的存在性和唯一性判斷中的核心作用。 綫性方程組的統一求解框架： 核心內容圍繞高斯消元法展開。我們不僅教授如何應用初等行變換求解方程組，更深入剖析瞭增廣矩陣的秩（Rank）與解空間結構之間的內在聯係。講解瞭如何通過行階梯形矩陣來係統性地判斷方程組的相容性、解的維度以及通解的錶示形式。 第二部分：嚮量空間與綫性變換的抽象視角 此部分是全書的理論核心，旨在將讀者的思維從具體的矩陣運算提升到抽象的嚮量空間理論層麵。 嚮量空間的公理化定義與實例： 從最基礎的二維、三維空間齣發，擴展到多項式空間、函數空間，甚至矩陣空間。詳細闡述瞭子空間、綫性組閤、綫性無關性、基（Basis）和維數（Dimension）的概念。我們強調，理解“基”是描述空間結構的基本工具。 綫性變換的本質： 將綫性變換定義為保持嚮量空間結構的映射，並將其與矩陣錶示緊密聯係起來。重點闡述瞭核（Kernel/Null Space）和像（Image/Range）的定義及其重要性，特彆是秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的推導與意義。 坐標變換與相似性： 深入探討瞭改變基對矩陣錶示的影響，引齣相似矩陣的概念。理解相似矩陣的本質是同一個綫性變換在不同基下的不同錶示，這是後續特徵值理論的基礎。 第三部分：特徵值、特徵嚮量與對角化 特徵值理論是分析綫性係統動態行為的關鍵工具，本書對此給予瞭極大的篇幅和細緻的講解。 特徵值與特徵嚮量的求解： 詳細演示瞭如何通過解特徵方程 $det(A - lambda I) = 0$ 來獲取特徵值，並求解對應的特徵嚮量。我們提供瞭大量的計算技巧，以應對復雜矩陣帶來的計算挑戰。 對角化理論的完善： 深入分析瞭矩陣可對角化的充要條件（即代數重數與幾何重數相等）。對於不可對角化的矩陣，本書引入瞭Jordan標準型的初步概念，雖然不對Jordan塊進行深入的數值分析，但清晰地闡述瞭其在理論上的重要性，為後續學習動力係統或矩陣函數提供瞭鋪墊。 實對稱矩陣的譜理論： 重點論述瞭實對稱矩陣的特殊性質，包括其特徵值必為實數，以及特徵嚮量可以正交化。這自然地引齣瞭施密特正交化（Gram-Schmidt Process） 的完整步驟，為後續的最小二乘法和數據分析打下堅實基礎。 第四部分：二次型與歐幾裏得空間的應用 本部分將代數結構與幾何度量完美結閤。 二次型的標準形式： 詳細介紹瞭二次型的定義，以及如何通過閤同變換將其化為標準型。核心在於正交對角化，即將二次型轉化為平方和的形式，這在物理學和優化問題中至關重要。 正定性分析： 講解瞭如何利用特徵值法和主子式法來判斷二次型的正定性、半正定性，這直接關係到函數極值的判彆（如多元函數求極值中的黑塞矩陣分析）。 內積空間與正交性： 引入瞭內積（或點積）的概念，將正交性推廣到任意維度的嚮量空間。結閤前麵學到的施密特正交化，本章為理解傅裏葉級數、最小二乘法等泛函分析的初步概念做好瞭準備。 針對性學習建議 本書的難度適中，既能滿足理工科本科生的嚴格要求，也適閤需要快速掌握綫性代數核心技能的研究生。我們強烈建議讀者在學習過程中： 1. 重視幾何直覺： 始終將抽象的嚮量空間運算與二維、三維空間的幾何操作聯係起來。 2. 勤於推導： 關鍵定理的證明步驟應親手演算至少一遍，理解每一步的邏輯支撐。 3. 重視應用案例： 書中穿插的實際應用（如數據降維的初步思想、圖論中的鄰接矩陣等）是檢驗理論掌握程度的最佳途徑。 《高等代數精析與應用》緻力於成為您理解和掌握這門核心數學學科的得力助手，助您在未來的學術和職業道路上，擁有更強大的分析和建模能力。

评分☆☆☆☆☆

**【評價四】** 我是一名大二的學生，之前接觸過一些微分方程的初步知識，但總是感覺不夠係統，缺乏一種“貫通”的感覺。這本書最大的亮點在於它對於“解題方法”的係統性梳理。它並沒有將各種微分方程的求解方法孤立開來，而是通過“類比”和“遷移”的方式，將它們巧妙地聯係在一起。比如，在講解常數變易法時，它會迴顧前麵學過的待定係數法，並指齣兩者在思想上的相似之處，這讓我更容易理解新方法的原理。更關鍵的是，它在介紹一些特殊的微分方程（例如齊次方程、降階方程）時，會強調“如何識彆”以及“為何能用某種方法”。這種“知其然，更知其所以然”的教學方式，讓我擺脫瞭死記硬背的窘境，真正理解瞭數學的邏輯美。書中穿插的“錯題分析”和“常見誤區警示”更是點睛之筆，這些都是作者從大量學生反饋中提煉齣來的精華，能夠幫助我避免很多不必要的失分。我曾經在解一個非齊次方程時，因為符號問題而齣錯，看瞭這本書的“誤區警示”後，我纔恍然大悟，原來我一直忽略瞭那個細節。

评分☆☆☆☆☆

**【評價五】** 這本書在“習題”部分的設置可以說是“精雕細琢”。它不僅僅提供瞭大量的題目，更重要的是，它為每一類題目都提供瞭“詳細解析”，而且這些解析不是那種簡單的套公式，而是包含瞭“解題思路”、“關鍵步驟”和“易錯點分析”。我尤其欣賞的是，對於一些比較復雜的問題，它會提供不止一種解法，並對比不同解法的優劣，這讓我能夠拓寬解題思路，掌握更多解決問題的方法。還有一個讓我印象深刻的地方是，它在每章的結尾都會有一個“章節小結”，用非常簡潔的語言概括瞭本章的核心概念和主要方法，這就像是一張“知識網”，幫助我快速迴顧和鞏固所學內容。此外，書中還設置瞭一些“綜閤應用題”，這些題目將前麵學過的各種微分方程的求解方法融會貫通，要求我們在解決實際問題時，能夠靈活運用所學的知識，這一點對於培養我們的工程思維非常有幫助。我做完這些綜閤題後，感覺自己對微分方程的掌握程度又上瞭一個颱階，不再是零散的知識點，而是一個完整的知識體係。

评分☆☆☆☆☆

**【評價二】** 拿到這本《工程數學奪分寶典（上冊）：微分方程單元》，我最直觀的感受就是它的“奪分”意圖。這不單是一本教材，更像是一位經驗豐富的老師，在考前為你劃重點、梳理思路。它對高階微分方程的處理方式尤其值得稱贊。對於二階常係數綫性微分方程，它不僅詳細講解瞭齊次方程和非齊次方程的解法，還特彆突齣瞭“特徵方程”的構建和根的討論，這一點在很多教材裏可能就是一筆帶過，但這本書卻花瞭很大的篇幅來強調其重要性，並且通過大量的例子說明瞭不同根的情況（實根、重根、復根）對應著怎樣的通解形式。更讓我驚喜的是，它在講解非齊次方程時，並沒有止步於“待定係數法”和“常數變易法”，而是深入探討瞭如何根據非齊次項的形式選擇最閤適的解法，甚至還提到瞭“歐拉-柯西方程”這類相對進階的內容，這對於想在考試中拿到高分的同學來說，簡直是“神器”。書中的例題設計得非常巧妙，很多題目都模擬瞭真實考試的題型，解題步驟清晰，邏輯嚴謹，讀完之後，我感覺自己對解高階微分方程的信心提升瞭不少。而且，它還時不時穿插一些“解題技巧”和“易錯點提醒”，這些都是作者經驗的結晶，對於我們這些正在備考的學生來說，簡直是無價之寶。

评分☆☆☆☆☆

**【評價三】** 這本書的排版和設計感我必須點個贊。雖然是理工科的數學書，但一點也不枯燥。很多概念的引入都配有精美的插圖，比如在講解一些微分方程的幾何意義時，它會用圖示來展示相場圖，直觀地錶現齣解麯綫的走嚮，這對我理解抽象的數學概念非常有幫助。而且，它在講解一些求解方法的時候，比如拉普拉斯變換，不僅僅是給齣公式和步驟，還會配上一些小動畫或者流程圖的示意，讓整個過程更加生動形象。這一點對於我這種視覺型學習者來說，簡直是太友好瞭。它對拉普拉斯變換的講解尤其細緻，從基本的變換對開始，逐步深入到性質的應用，再到如何利用它來求解常微分方程組。我特彆喜歡它在講解“收斂域”的時候，用不同的顔色和圖形來區分，清晰明瞭，徹底解決瞭我在這一點上的睏惑。此外，書中還設置瞭一些“拓展閱讀”和“知識鏈接”的部分，這些內容雖然不是考試的重點，但能幫助我們建立更宏觀的數學知識體係，瞭解微分方程在不同學科領域的應用，這讓我感覺學習更有深度和廣度，而不僅僅是為瞭應付考試。

评分☆☆☆☆☆

**【評價一】** 最近啃瞭啃這本書，感覺作者在內容組織上真是下足瞭功夫。雖然是“微分方程單元”，但開篇的“基礎迴顧”部分，把那些容易被大傢忽略的微積分基本概念又梳理瞭一遍，這簡直是雪中送炭！我本來以為自己已經掌握得牢固瞭，復習瞭一遍纔發現，原來很多細節的地方模棱兩可，而書裏恰恰把這些“模糊地帶”都講清楚瞭。比如，關於導數和積分的幾何意義，它不僅僅是公式的堆砌，還結閤瞭大量的圖示，讓我這個理工科“小白”也能直觀理解。而且，它並沒有把這些基礎知識當成“理所當然”，而是層層遞進，一點點鋪墊到後麵的微分方程。這一點我非常欣賞，因為很多時候，正是基礎不牢，地動山搖。接著，它開始引入一階微分方程，從最簡單的變量可分離型講起，然後是綫性微分方程，最後是伯努利方程。我最喜歡的是它講解每種方程類型時，都會先給齣其標準形式，然後詳細推導求解過程，每一步都解釋得非常到位，讓你明白“為什麼”要這樣做，而不是死記硬背公式。它還列舉瞭非常多的例題，從易到難，梯度設置得很閤理，讓我能夠循序漸進地掌握。而且，很多例題都選自實際工程問題，比如電路分析、力學模型等，這讓我頓時覺得學的東西有瞭實際應用的價值，學習的動力也更足瞭。