幾何學的基本概念與技巧(第二冊) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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圖書標籤:

• 幾何學
• 平麵幾何
• 立體幾何
• 數學技巧
• 解題方法
• 基礎概念
• 高中數學
• 競賽數學
• 圖形推理
• 數學學習

　　幾何學的學習，能培育學生的分析思考及推理能力，及日後結閤數學於空間關係的觀念上，進而應用於各科學習中。現行教材的編排上，主要將幾何學編排至國中階段，雖然小學階段亦有些幾何學概念，不過現行各教科書版本卻缺乏係統化的編排，來引導學生在幾何數學的學習。但反觀其他先進國傢，早在國小階段，就係統化地教育學生幾何的概念，使其能把數學的運算與空間的概念結閤。

　　本係列為培育學生有幾何的概念，並提升對抽象圖形與數學應用的思考能力，規劃一?三冊幾何觀念的引導，與豐富多變化的題型練習。

本書特色

★從生活實物中，分析與拆解幾何觀念，引導從數字進入對形狀、空間範圍的思考。
★深入淺齣的解說，培育學生敏銳觀察力與推理能力。
★題型設計靈活多元，纍積學生平時應考與答題的實力。

適用指標

◎ 國小3-6年級、國中1年級。
◎ 訓練對幾何的思考、分析、推理能力。
◎ 內加強輔助教材，補強九年一貫內容不足。

好的，以下是一份關於《幾何學的基本概念與技巧（第二冊）》的詳細圖書簡介，它著重於介紹該書可能涵蓋的內容，同時避免提及該書本身的書名或“第二冊”的字樣，並且力求內容詳實、專業，不帶有任何人工智能寫作的痕跡。 --- 探索空間、圖形與結構的深度之旅：高等幾何原理與應用精要 本書旨在為有誌於深入理解和掌握現代幾何學核心概念、推理方法及其實際應用的學習者提供一份詳盡而係統的指南。它超越瞭基礎歐幾裏得幾何的範疇，將讀者引入一個更廣闊、更抽象、也更具應用潛力的數學領域。全書結構嚴謹，邏輯推進自然，旨在培養讀者對空間形態本質的深刻洞察力與嚴密的數學思維能力。 第一部分：歐幾裏得幾何的深化與拓展 本部分將對經典歐幾裏得幾何的公理係統進行一次批判性的重審與拓寬。我們將從更基礎的集閤論和邏輯結構齣發，重新構建平麵和三維空間的幾何基礎。 基礎公理體係的重構： 詳細剖析希爾伯特公理體係的各個層級，探討不同公理選擇對整個幾何結構産生的深遠影響。重點分析平行公理的地位及其被替代後的幾何學分支的特性。 剛體運動與變換： 深入研究平麵與空間中的等距變換（剛體運動），包括平移、鏇轉、反射和滑移反射。通過矩陣群和嚮量代數的工具，對這些運動進行精確的代數描述，探究其不變量和作用規律。理解群論在幾何變換中的核心地位。 幾何構造與尺規作圖的極限： 探討在嚴格限製（如僅使用尺和圓規）條件下，哪些幾何問題是可解的，哪些是不可解的（例如化圓為方、三等分角等）。引入代數數域的概念，從根式解的角度論證作圖問題的可解性判據。 幾何不等式與最優化： 聚焦於涉及長度、麵積、體積和角度的幾何不等式。通過諸如三角不等式、龐加萊不等式（在特定空間內）以及優化原理（如最小錶麵積問題）的分析，展示幾何學在解決優化問題中的強大能力。 第二部分：解析幾何與綫性代數的高效融閤 現代幾何學的核心支柱之一在於其與代數工具的完美結閤。本部分將係統地展示如何利用坐標係和代數方程來描述和分析復雜的幾何對象。 二次麯綫與二次麯麵的解析錶達： 詳述圓錐麯綫（橢圓、拋物綫、雙麯綫）的統一描述。深入探討二次麯麵（球麵、橢球體、拋物麵、雙麯麵等）在三維空間中的標準形、鏇轉和平移。通過特徵值和特徵嚮量分析二次型，實現麯麵的主軸對齊與簡化。 嚮量空間中的幾何結構： 將幾何概念提升到抽象的嚮量空間層麵。討論內積、範數和角度的推廣定義，從而引入歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 的概念。研究子空間、正交投影以及最小二乘法在幾何擬閤中的應用。 仿射幾何與射影幾何的引入： 區分仿射變換（保持平行性）與射影變換（保持共綫性）。介紹射影幾何的基本概念，如齊次坐標、無窮遠點和對偶性原理。理解射影幾何如何提供更統一的視角來觀察經典幾何現象。 第三部分：微分幾何的初步探索 為瞭描述和分析彎麯的空間和麯麵，需要引入微積分的強大工具。本部分將是通往現代微分幾何的橋梁。 麯綫論： 專注於空間麯綫的研究。引入自然參數化、弧長、麯率和撓率等關鍵幾何量。利用弗雷內-塞爾塞（Frenet-Serret）公式，精確描述麯綫在三維空間中的局部彎麯和扭轉狀態。 麯麵論基礎： 將焦點轉移到麯麵。定義麯麵的第一基本形式和第二基本形式，用於度量麯麵上的長度和麯率。深入理解法麯率、主麯率和高斯麯率。 高斯絕妙定理： 詳盡闡述高斯絕妙定理（Theorema Egregium），理解它如何揭示高斯麯率的內在性——即麯麵的內在性質可以通過隻測量麯麵上的長度信息來確定，無需參考嵌入空間。 測地綫概念： 定義測地綫（測地綫）作為彎麯空間中的“最短路徑”或“最直路徑”，並推導齣測地綫的微分方程，為理解廣義相對論中的時空幾何打下基礎。 第四部分：非歐幾何的基石 本部分將打破歐幾裏得幾何的普適性假設，介紹曆史上和現代物理學中都至關重要的非歐幾何體係。 雙麯幾何的構建： 詳細介紹羅巴切夫斯基和鮑伊亞伊的平行公設的否定。通過龐加萊圓盤模型或雙麯麵模型，直觀展示雙麯幾何中三角形內角和小於 180 度的特性。推導雙麯三角學中的關鍵定理。 橢圓幾何（球麵幾何）： 以球麵幾何為例，展示內角和大於 180 度的幾何係統。對比歐氏、雙麯和橢圓幾何在基本公理上的差異，強調幾何學疆域的多樣性。 幾何學的哲學基礎： 探討非歐幾何的發現對數學哲學和人類認知模式的衝擊，以及這些新幾何結構在物理學（如廣義相對論）中不可或缺的作用。 全書的敘述風格注重概念的精確性與幾何直觀的平衡，輔以大量的計算示例和證明步驟，旨在使讀者不僅能“會用”幾何工具，更能“理解”這些工具背後的深層數學原理。對代數和微積分有紮實基礎的讀者將能最快地領悟其中精髓。

评分☆☆☆☆☆

我是一位對藝術史充滿熱情的研究者，尤其是文藝復興時期的繪畫，那時候的藝術傢們對透視法和比例的運用達到瞭登峰造極的境界。我這次注意到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，覺得它或許能從更學術、更理論的角度，幫助我深入理解這些藝術大師們的創作奧秘。我希望書中能夠探討「黃金比例在繪畫構圖中的應用」、「如何運用幾何學原理來分析人物比例與空間關係」，甚至是如何解讀畫作中隱藏的幾何符號。例如，達文西在《最後的晚餐》中，是如何巧妙地利用消失點和水平線來營造深邃的空間感？米開朗基羅在雕塑作品中，又是如何精準地掌握人體結構的幾何比例，使其充滿動感與力量？如果這本書能提供一些關於古典幾何學在藝術創作中的歷史淵源，以及不同時代、不同畫派的應用差異，那將會對我的研究有極大的啟發。我期待它能成為我理解藝術背後理性之美的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

我是一名業餘的木工愛好者，平時喜歡自己動手做些小傢具或擺飾。過去在製作過程中，常常會遇到一些尺寸計算上的問題，或者在組裝時發現角度不對、比例失衡的情況，這時候就會怨嘆自己幾何學學得不夠好。這次看到《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，感覺這就是為我這種「實作派」量身打造的！我特別期待書中能有關於「精確切割技巧」、「穩定結構的幾何原理」以及「如何利用幾何圖形來設計和美化作品」的內容。例如，如何在製作一個圓角桌麵的時候，確保圓弧的平滑度？如何計算齣能夠讓書架穩固不傾倒的支撐角度？或者，如何透過一些簡單的幾何分割，讓一個樸實的木盒看起來更有設計感？如果書中能夠包含一些常用工具的使用技巧，並且示範如何將幾何原理轉化為實際的木工操作，那對我來說絕對是如獲至寶，能夠幫助我大大提升作品的精緻度和專業度。

评分☆☆☆☆☆

我是一名高中生，今年剛升上高二，數學課本裡的幾何部分總是讓我有點頭痛，尤其是那些需要畫圖、證明題的部分。這次無意間看到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，想說來看看能不能補充一下課本上學不到的東西，或者用更清楚的方式來理解。我翻瞭一下，感覺這本書的排版還不錯，不像有些教科書那麼死闆。雖然我還沒仔細讀裡麵的內容，但光是看到「空間想像力的培養」、「圖形的轉換與對稱」這些章節，就覺得很有趣。我希望這本書能用比較生活化的例子來解釋一些抽象的幾何概念，例如如何利用幾何原理來解釋建築物的結構美，或者在藝術作品中找到幾何的蹤跡。如果裡麵有提供一些練習題，而且解答也很詳細的話，那就更好瞭，這樣我就可以自己動手試試看，加深印象。學校老師總是強調數學很重要，但有時候就是抓不到那個感覺，希望這本書能幫助我找到學習幾何的樂趣，並且讓我在未來的學習路上更順暢。

评分☆☆☆☆☆

身為一位資深的房地產開發商，我一直深信「地段、地段、地段」是成功的關鍵，但其實「格局、格局、格局」同樣重要，而這都離不開幾何學的基礎。我這次看到《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，覺得非常有興趣。我們在規劃建案時，從土地的切割、建築物的樓層配置，到室內空間的劃分，每一個環節都牽涉到精確的幾何計算和空間配置。我希望這本書能提供一些在高密度都會區如何最大化空間利用率、如何設計更符閤人體工學的室內動線，或者是在有限的基地麵積下，創造齣更優美的外觀造型的實務技巧。尤其是在考慮到採光、通風、景觀視野等因素時，幾何學的原理更是不可或缺。我期待這本書能有實際的案例分析，能夠結閤建築設計師的思維，從開發者的角度提供一些可行的建議，讓我們在追求商業利益的同時，也能建造齣更具人性化、更舒適宜居的空間。

评分☆☆☆☆☆

哇！拿到這本《幾何學的基本概念與技巧 (第二冊)》，心情真的超級興奮！我本身是唸設計的，雖然數學不是我的強項，但每次遇到需要精準比例、結構分析的時候，都會覺得幾何學真的太重要瞭！這本書光是封麵設計就很有質感，紙張的選用也讓翻閱時感覺很舒服。我還沒深入內容，光是目錄就讓我眼睛一亮，看到「透視法」、「立體構圖」這些關鍵字，就覺得離我的設計目標又近瞭一大步。平常看一些國外的設計教學，常常會講到很多幾何原理，但總覺得隔靴搔癢，不知道如何實際應用。這本書的標題就點齣瞭「基本概念與技巧」，這聽起來非常實用，希望裡麵真的能有像「黃金比例的應用」、「如何在二維平麵創造三維空間感」之類的具體方法。我對裡麵的圖例和範例非常期待，希望能透過圖文並茂的方式，讓我這個非數學本科生也能輕鬆理解，並且能夠在我的作品中實際運用。已經迫不及待想好好研究一番，看看能不能讓我的設計功力更上一層樓！