數學分析選講講義 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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趙匯濤（主編）

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現代代數基礎與應用：群論、環論及域論的深度探索 本書導言： 《現代代數基礎與應用：群論、環論及域論的深度探索》旨在為讀者提供一個嚴謹、係統且深入的現代抽象代數知識體係。代數學是數學科學的基石之一，其核心思想在於對代數結構（如群、環、域）進行本質性的抽象和研究。本書的目標不僅僅是介紹這些經典結構的概念和定理，更重要的是培養讀者運用代數思維解決實際問題的能力，並為後續學習更高級的數學領域（如代數拓撲、代數幾何和數論）打下堅實的基礎。 本書內容組織遵循邏輯遞進的原則，從最基礎的集閤論預備知識開始，逐步引入群論的深刻結構，隨後過渡到環論的復雜性，最終探討域論在伽羅瓦理論中的關鍵作用。我們力求在保持數學嚴謹性的同時，通過精心挑選的例題和應用實例，使抽象的概念得以生動地展現。 第一部分：預備知識與群論的基石 (Foundation and Group Theory) 本部分首先迴顧必要的集閤論、映射和二元運算的基礎知識，為後續的抽象代數奠定必要的語言基礎。 第一章：集閤、映射與基本代數結構 詳細討論集閤的代數操作、函數的性質（單射、滿射、雙射），以及二元運算的封閉性、結閤律和交換律。在此引入半群、獨異點（Monoid）的概念，為群的定義做好鋪墊。 第二章：群的嚴格定義與基本性質 本章的核心是對“群”這一基本結構的嚴格定義，包括單位元和逆元的存在性與唯一性。深入探討子群的定義及其性質，如子群的判定定理和陪集（Cosets）的概念。拉格朗日定理作為群論中的裏程碑式成果，將得到詳盡的證明和初步應用，特彆是關於群的階（Order）的性質討論。 第三章：群的同態與同構 引入群同態（Homomorphism）和同構（Isomorphism）的概念，這是理解不同代數結構之間聯係的關鍵。重點討論核（Kernel）和像（Image）的性質，它們揭示瞭結構保持的內在機製。第一同構定理（First Isomorphism Theorem）將在這裏被完整闡述和證明，展示瞭商群（Quotient Groups）在結構分解中的核心地位。 第四章：特殊群結構與應用 本章探討一些重要的群類：有限阿貝爾群的結構定理，它錶明任何有限阿貝爾群都可以分解為初等因子群的直積；模 $n$ 的加法群 $mathbb{Z}_n$ 和單位元群 $U(n)$ 的具體構造。此外，本章還將涉及置換群（Symmetric Groups $S_n$）的性質，特彆是交錯群 $A_n$ 及其在判斷方程可解性中的初步作用。 第五章：正規子群與商群的深入研究 正規子群是構造商群的前提。本章詳細分析正規性的判彆標準，並深入研究商群的性質。通過第二、第三同構定理，讀者將全麵掌握如何利用商群來分解復雜的群結構。對循環群、二麵體群（Dihedral Groups）等非平凡群的結構分析將貫穿本章。 第二部分：環論：拓展代數結構 (Ring Theory: Extending Algebraic Structures) 在群論建立起單目運算的抽象框架後，本部分引入雙目運算，研究環這一更豐富的結構。 第六章：環的定義與基本概念 環的定義（加法阿貝爾群結構與乘法結閤律），以及交換環、單位環等特殊類型的環。深入討論環中的零因子（Zero Divisors）、整環（Integral Domains）的概念和區分。單位（Units）和可逆元的討論是理解環中運算性質的關鍵。 第七章：子環、理想與商環 類比群論中的子群和正規子群，本章引入子環和理想（Ideals）。理想是環論中乘法運算的“正規子集”，是構造商環（Quotient Rings）的基礎。詳細證明環的第一同構定理，並分析主理想（Principal Ideals）和極大理想（Maximal Ideals）的作用。 第八章：整環中的特殊性質 本章專注於整環的性質。引入域（Fields）的概念，理解域是具有除法的整環。對整環進行進一步分類，包括唯一因子域（UFDs）、主理想整環（PIDs）和歐幾裏得整環（Euclidean Domains, EUDs）。展示如何通過構造歐幾裏得函數來證明一個環是EUD，進而證明它是PID和UFD。 第九章：多項式環的結構 多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是域）的結構研究至關重要。本章將證明多項式環 $F[x]$ 是一個歐幾裏得整環、主理想整環和唯一因子整環。討論多項式的除法算法、不可約多項式（Irreducible Polynomials）的性質，並展示如何利用不可約多項式構造域的擴張。 第十章：環同態與素理想 類比群論中的同態，討論環同態的性質。深入研究素理想（Prime Ideals）和極大理想在區分不同類型環中的作用：一個交換環是域當且僅當它隻有一個非零的極大理想；一個交換環是整環當且僅當它的零理想是素理想。 第三部分：域論與伽羅瓦理論的序麯 (Field Theory and Preludes to Galois Theory) 本部分將代數結構的研究引嚮其在方程求解方麵的應用，側重於域的擴張和根域的構造。 第十一章：域擴張與代數元 域擴張（Field Extensions）是研究方程根的自然框架。定義域的擴張次數 $[ ext{L}: ext{K}]$。介紹代數元（Algebraic Elements）和超越元（Transcendental Elements），並證明任何有限擴張都是代數擴張。重點分析由一個元生成的域擴張 $ ext{K}(alpha)$ 的結構。 第十二章：代數閉包與根域 討論代數閉包（Algebraic Closure）的存在性及其唯一性（在同構意義下）。引入根域（Splitting Fields）的概念，證明任何多項式在某個域上都存在根域。最小多項式（Minimal Polynomial）的性質及其在構造擴張中的關鍵作用將被詳細闡述。 第十三章：有限域 係統研究有限域（Finite Fields），也稱伽羅瓦域 $ ext{GF}(p^n)$。證明所有具有相同階的有限域是同構的。闡述 $ ext{GF}(p^n)$ 的構造方法，並討論其乘法群是循環群這一重要結論，為有限域在編碼理論和密碼學中的應用埋下伏筆。 結語與展望： 本書最後對現代代數的核心概念進行瞭全麵覆蓋，旨在使讀者不僅掌握“是什麼”和“如何做”，更能理解“為什麼”。抽象代數提供瞭一種強大的視角來統一和簡化數學中的許多分支。本書的結構為讀者深入理解伽羅瓦理論、代數數論等更前沿的領域做好瞭充分的準備。通過嚴謹的證明和豐富的實例，我們相信讀者將能夠欣賞到代數結構的內在美和其在整個數學乃至科學領域中的強大解釋力。

评分☆☆☆☆☆

這本被譽為“微積分聖經”的《微積分原理與方法》確實名副其實，它最突齣的特點就是其對極限概念的“吹毛求疵”式的嚴謹性。作者顯然深知，極限是整個微積分大廈的基石，因此花費瞭大量的篇幅來剖析$epsilon-delta$語言的內涵和外延。我花瞭很長時間纔真正理解瞭函數連續性的那個“鄰域”概念，但一旦跨過這個門檻，原來那些模糊不清的直覺都被清晰的邏輯所取代。積分部分，從黎曼和的定義到牛頓-萊布尼茨公式的證明，整個過程如同抽絲剝繭般清晰可見，讓人信服。這本書的習題設計也很有層次感，基礎的計算題隻是熱身，後半部分的大量證明題，尤其是涉及到一緻收斂性和傅裏葉級數的部分，真正考驗瞭讀者的綜閤能力。它不是那種讓你快速學會解題的速成手冊，而是一本需要你慢下來、用心去體悟數學嚴密之美的教科書，讀完後會感覺對“變化率”和“纍積量”有瞭全新的、更深刻的認識。

评分☆☆☆☆☆

這本《高等代數基礎》簡直是為那些初次踏入抽象代數世界的小白量身定做的，作者的敘述方式極其平易近人，完全沒有那種高深莫測的學究氣。開篇對集閤論和數係的梳理，紮實得讓人心裏有底。我記得我以前學綫性代數的時候，矩陣和嚮量空間的定義總感覺有點空中樓閣，但這本書裏，作者用瞭大量生活化的例子和清晰的幾何直覺來解釋這些抽象概念，比如用投影和變換來闡述特徵值和特徵嚮量的意義，一下子就豁然開朗瞭。更贊的是它在證明過程中的那種“手把手”的指導感，每一步的邏輯推導都交代得清清楚楚，絕不含糊帶過，即使是像同構定理這種核心定理，也能被拆解成易於理解的小塊。我尤其欣賞它在章節末尾設置的那些“思考題”，它們不是那種死記硬背的計算題，而是引導你去深入理解概念本質的開放性問題，真正做到瞭學以緻用，而不是學瞭就忘。這本書的排版也很舒服，公式和定理之間的留白恰到好處，閱讀體驗極佳，強烈推薦給所有需要打牢代數基礎的理工科學生。

评分☆☆☆☆☆

我近期翻閱的這本《概率論與數理統計》著實讓我體驗瞭一把什麼叫“理論與實踐的完美結閤”。市麵上很多統計學的書要麼過於側重純粹的數學推導，讀起來枯燥乏味，要麼就是流於錶麵的案例堆砌，缺乏深度。然而，這本教材在介紹隨機變量、大數定律和中心極限定理時，並沒有止步於嚴格的數學證明，而是巧妙地穿插瞭大量現代數據分析中的實際應用場景，比如風險評估模型中的泊鬆分布應用，以及A/B測試中如何科學地判斷結果的顯著性。作者對統計推斷部分的闡述尤為精彩，無論是點估計還是區間估計，他都非常細緻地解釋瞭背後的統計學思想，而不是簡單地羅列公式。特彆是對貝葉斯方法的引入，處理得非常自然和循序漸進，讓人在掌握傳統頻率學派工具的同時，也能感受到另一種強大的思維方式。這本書的習題設計也很有品味，有些題目需要結閤編程軟件（比如R或Python）纔能有效完成，這對於培養當代數據科學傢是至關重要的。

评分☆☆☆☆☆

我最近讀完的這本《微分方程導論》給我留下瞭極其深刻的印象，它成功地將一門看似偏嚮“工具性”的學科，提升到瞭富有美感的數學藝術高度。這本書的敘述風格非常注重物理意義和幾何解釋，而不是一味地推導求解方法。例如，在講解二階常微分方程時，作者沒有急於給齣特徵方程，而是先從受迫振動的物理模型入手，解釋瞭阻尼、共振等現象如何對應於方程解的類型和穩定性，這使得解微分方程不再是機械性的計算，而變成瞭解釋自然現象的鑰匙。對於偏微分方程的引入部分，雖然篇幅不長，但對拉普拉斯方程和波動方程的物理背景介紹得極為到位，讓人對這些偏微分方程在熱傳導和波傳播中的作用有瞭直觀認識。此外，本書在高級主題的處理上，比如級數解法和拉普拉斯變換，都處理得非常細膩，特彆是對於冪級數解的收斂性分析，處理得極其審慎和嚴謹，讓讀者真正理解瞭為什麼這些看似復雜的解法是有效的。

评分☆☆☆☆☆

說實話，我對《離散數學及其應用》這本書的評價是：挑戰與收獲並存，但最終收獲遠大於挑戰。這本書的難度係數絕對不低，它涉及到的邏輯、圖論和組閤學的知識點非常密集，要求讀者必須保持高度的專注力。剛開始接觸命題邏輯和謂詞邏輯時，我感覺自己像是在學習一門全新的語言，需要時間去適應那種精確到位的錶達方式。圖論的部分是我的最愛，作者對連通性、歐拉迴路和哈密頓路徑的介紹既有理論深度，也融入瞭網絡算法的最優化思想，讓人體會到離散結構在計算機科學中的核心地位。最讓我頭疼的還是組閤數學的計數原理部分，那些排列組閤的公式看起來簡單，但一旦應用到復雜的實際問題中，就很容易混淆。不過，這本書最大的優點在於其嚴謹性，它教會我的不僅是知識點，更是一種結構化的、嚴密的數學思維模式，對於日後學習算法設計和數據結構，無疑是打下瞭最堅實的基石，適閤有一定數學基礎，渴望深入鑽研理論的讀者。